23. November Betweenness Centrality Closeness Centrality. H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 108

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1 23. November 2011 Betweenness Centrality Closeness Centrality H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 108

2 Betweenness Centrality Grundlegende Idee: Ein Knoten ist wichtig, wenn er auf vielen kürzesten Wegen liegt Sei σ st = σ ts die Zahl der kürzesten Wege zwischen s und t Sei σ st v die Zahl der kürzesten Wege zwischen s und t, auf denen der Knoten v (als Zwischenknoten) liegt Intermediationszentralität (Betweenness Centrality) BC: C B v = s v t V σ st (v) σ st H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 109

3 Ansatz zur Beschleunigung Kombinatorisches Zählen von Wegen Def. (Vorgänger): P s v = {u V: u, v E, d G s, v = d G s, u + ω(u, v)} Lemma: Für s v V gilt: σ sv = σ su u P s (v) BFS und Dijkstra (mit Fibonacci- Heap) Folgerung: Ist ein Startknoten s V gegeben, lässt sich die Zahl und Länge aller kürzesten Wege zu allen anderen Knoten in Zeit O(m + n log n) für gewichtete Graphen berechen, in O(m) für ungewichtete. H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 110

4 Abhängigkeit eines Knotens Ziel: Nicht alle Paar-Abhängigkeiten summieren müssen Def.: (Abhängigkeit eines Knotens s) δ s v = δ st (v) t V δ st v Diese Summen haben eine rekursive Beziehung! = σ st(v) σ st C B v = δ st (v) s v t V Theorem: Für die Abhängigkeit δ s v eines Startknotens s V zu einem anderen Knoten v V gilt: σ sv δ s v = (1 + δ σ s w ) sw w: v P s (w) H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 111

5 Abbildung zum Beweis [Brandes 2001] δ s v = σ sv σ sw (1 + δ s w ) w: v P s (w) C B v = δ st v s v t V = δ s (v) s v V H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 112

6 Akkumulation der Abhängigkeiten (1) Beobachtung: Ähnlich wie bei Tiefensuche: Bei Berechnung der kürzesten Wege von einem Startknoten s V in G entsteht ein Baum aus den Kanten der ersten Entdeckung. Folgerung: Sei der Baum der kürzesten Wege von einem Startknoten s V in G gegeben. Dann lassen sich die Abhängigkeiten von s zu allen anderen Knoten in Zeit O(m) und Platz O(n + m) berechnen. H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 113

7 Akkumulation der Abhängigkeiten (2) Beweis: Traversiere die Knoten in nicht-aufsteigender Reihenfolge hinsichtlich ihrer Distanz zu s und akkumuliere die Abhängigkeiten gemäß des Theorems. Wir müssen pro Knoten eine Abhängigkeit und die Liste der Vorgänger speichern. Pro Kante gibt es höchstens ein Element in allen diesen Listen. H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 114

8 Der Algorithmus von Brandes Berechne n Kürzeste-Wege-Bäume, einen pro s V Währenddessen auch die Mengen P s (v) berechnen Berechne für jedes jeweilige s V und alle anderen v V die Abhängigkeiten δ s (v) mit Hilfe des Baumes, der Vorgängermengen und des Theorems: Starte an den Blättern des Baumes, arbeite dich wie auf der vorigen Folie beschrieben schrittweise zur Wurzel voran Akkumuliere den Abhängigkeitswert des Startknotens s zu jedem einzelnen Knoten v im Zentralitätswert von v δ s v = σ sv σ sw (1 + δ s w ) w: v P s (w) C B v = δ s (v) s v V H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 115

9 Endresultat BC kann in Zeit O(nm + n 2 log n) und Platz O(n + m) auf gewichteten Graphen berechnet werden. Für ungewichtete Graphen reduziert sich die Laufzeit zu O(nm). Für dünn besetzte Graphen mit einer linearen Anzahl von Kanten (linear in n) verbessert dies den naiven Algorithmus mit kubischer Laufzeit um den Faktor O( n log n ) bzw. O(n). H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 116

10 Nähezentralität (Closeness Centrality) H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 117

11 Nähezentralität (Closeness Centrality) Wieder Berücksichtigung der kürzesten Wege Dieses Mal aber deren Länge, nicht deren Zahl Mittlerer kürzester Abstand: l i = 1 d n ij j Nachteil dieses Maßes: Hohe Werte sprechen für einen geringen Einfluss im Netzwerk Nähezentralität: C i = 1 l i = j n d ij H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 118

12 Alternative Formulierung Problem: Knoten in verschiedenen Komponenten haben unendlich großen Abstand Alternativ: Harmonisches Mittel des Abstands C i = 1 1 n 1 d ij j i Löst das Problem der ZHK und gibt Ähnlichkeit an Trotzdem: In der Praxis (inkl. Wissenschaft) wenig verwendet H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 119

13 Betrachtung des ganzen Netzwerks Auch Netzwerke kann man anhand bestimmter Maße einordnen Closeness bei einer ZHK: l = 1 n 2 ij d ij = 1 n Bei mehreren ZHK: Wieder Problem mit unendlich großen Abständen. Daher Durchschnittsbildung mit harmonischem Mittel: l = n C i i i l i H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 120

14 Fragestellung Wie und wie schnell kann man die Nähezentralität berechnen? H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 121

15 Abstandsberechnung Abstandsberechnung in ungewichteten (Multi)Graphen: Breitensuche (BFS) Analog zur Tiefensuche vergeben wir BFS-Nummern: BFS(w) := BFS(v)+1 gdw. w von v entdeckt wird Komplexität: O(n+m) H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 122

16 entralit ät Breitensuche Breitensuche Kantenklassifikation Abst andszentralit ät en Baumkante, falls w nicht markiert ist Rückwärtskante, falls w markiert ist und BFS(w) < BFS(v) gilt Querkante, falls w markiert ist und BFS(w) = BFS(v) gilt Vorwärtskante, falls w markiert ist und BFS(w) > BFS(v) gilt H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 123

17 Berechnung von Nähezentralität in ungewichteten Multigraphen Abst andszentralität en Proposition: Sei G = (V, E) ein ungewichteter Multigraph, Closeness sei s V. Nach BFS mit Wurzel s gilt: d G (s, v) = BFS(v) für alle v V. Satz Die Closeness-Zentralitäten der Knoten eines stark zusammenhängenden Multigraphen können in O(n m) Zeit berechnet werden. H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 124

18 Diskussion Nähezentralität Vorteil: Nähezentralität sehr natürliches Maß Nachteil: Kein breites Spektrum der Ergebnisse Maximaler Abstand typischerweise logarithmisch Beispiel IMDB: Maximum , Minimum: Nachteil: Behandlung von unzusammenhängenden Graphen Lösung dafür: Harmonische Mittelbildung H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 125

19 Fazit Zentralitätsmaße Gradzentralität Eigenvektorzentralität, PageRank Intermediations- und Nähezentralität (Betweenness und Closeness Centrality) Art der Berechnung Komplexität Aussagekraft Jetzt sind Sie dran! H. Meyerhenke: Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse 126

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