6.1 Definition der multivariaten Normalverteilung

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1 Kapitel 6 Die multivariate Normalverteilung Wir hatten die multivariate Normalverteilung bereits in Abschnitt 2.3 kurz eingeführt. Wir werden sie jetzt etwas gründlicher behandeln, da die Schätzung ihrer Parameter von grundlegender Bedeutung für weitere Verfahren ist. Außerdem sind einige aus ihr abgeleitete Verteilungen von Bedeutung. 6.1 Definition der multivariaten Normalverteilung Sei Y eine m-dimensionale Zufallsvariable mit EY = µ und VarY = Σ. Wenn a ein m 1-Vektor von Konstanten ist, so ist U = a t Y eine eindimensionale Zufallsvariable. Es gilt nach Formel 2.2 und 2.3 EU = a t µ und VarU = a t Σa. Wir nennen U eine Linearkombination von Y. Aus dem Vektor Y wird durch das lineare Funktional U = a t Y ein Skalar. Nun besagt ein Resultat von Cramer und Wold, dass die Verteilung einer m-dimensionalen Zufallsvariablen vollständig bestimmt ist durch die eindimensionalen Verteilungen aller Linearkombinationen, die man mit den Komponenten von Y bilden kann. Wir können jetzt eine neue Definition der multivariaten Normalverteilung geben, die allgemeiner ist als die in Gleichung 2.9. Eine m-dimensionale Zufallsvariable Y hat eine multivariate Normalverteilung, wenn alle Linearkombinationen von Y eine univariate Normalverteilung besitzen. Jede Komponente des Vektors Y ist eine Linearkombination von Y, so ist zum Beispiel Y 1 = [1, 0,...,0]Y. Daher existiert der Erwartungswertvektor µ, da die Komponenten von µ Erwartungswerte univariater Zufallsvariablen sind. Ferner existiert auch die Kovarianzmatrix Σ, da deren Elemente die Varianzen einer bzw. die Kovarianzen zweier univariater Zufallsvariablen sind. Wir haben auf S. 18 gesehen, dass Σ positiv semidefinit ist. Unsere jetzige Definition der multivariaten Normalverteilung verlangt keine weiteren Bedingungen für Σ. Jedoch verlangt die Dichtefunktion der multivariaten Normalverteilung in Gleichung 2.9 die Existenz von Σ 1, d.h. Σ muss vollen Rang haben und damit positiv definit sein. Eine multivariate Normalverteilung, für die Σ 1 nicht existiert, heißt eine singuläre oder degenerierte Normalverteilung und besitzt keine Dichtefunktion. Eine unmittelbare Folgerung aus der Definition der multivariaten Normalverteilung ist, dass eine multivariate Normalverteilung bei einer linearen Transformation erhalten bleibt. Sei A 82

2 6.1. DEFINITION DER MULTIVARIATEN NORMALVERTEILUNG 83 eine m p Matrix von Konstanten und W = A t Y, dann ist W N p A t µ; A t ΣA, 6.1 da jede Linearkombination von W eine Linearkombination von Y ist und daher normalverteilt ist. Der Erwartungswert und die Varianz folgen aus Gleichung 2.2 und 2.3. Im univariaten Fall konnten wir jede beliebige Normalverteilung auf die Standardnormalverteilung transformieren. Wir geben jetzt eine äquivalente Transformation zwischen einem Zufallsvektor Y N m µ; Σ und einem zufälligen Vektor U, dessen Komponenten unabhängig und standardnormalverteilt sind, so dass U N p 0; I p, wobei p = RangΣ und I p ist eine p-dimensionale Einheitsmatrix. Nehmen wir zunächst an, dass Σ vollen Rang besitzt. Dann gibt es eine nichtsinguläre m m-matrix B, so dass Σ = BB t. Man könnte z.b. siehe Gleichung 4.15 Σ = AΛA t = AΛ }{{ 1/2 } Λ} 1/2 {{ A} t verwenden. Dabei ist A die Matrix, deren Spalten die Eigenvektoren von Σ B B t sind, und Λ ist die Diagonalmatrix der Eigenwerte von Σ. Die Matrix B ist somit die Matrix der Komponentenladungen C = AΛ 1/2 siehe S. 49. Betrachten wir jetzt die Transformation Y µ = BU. Wenn U N m 0; I, dann gilt nach Gleichung 6.1 Y µ N m 0; BB t und daher Y N m µ; Σ. Da B 1 existiert, ist die inverse Transformation gegeben durch: U = B 1 Y µ. Wenn Y N m µ; Σ, dann gilt EU = 0 VarU = B 1 ΣB 1 t nach Gleichung 6.1 = B 1 BB t B t 1 = I m Damit gilt U N0; I m. Es sei angemerkt, dass die Matrix B nicht eindeutig ist, so dass es viele solche Transformationen gibt. Nehmen wir jetzt an, dass Σ nicht von vollem Rang ist. Wir brauchen das folgende Argument aus der Matrix-Algebra: Sei Σ eine symmetrische, positiv semidefinite reelle Matrix vom Rang p < m. Dann gibt es eine nichtsinguläre quadratische Matrix P, so dass PΣP t = Ip Schreiben wir P = P1 P 2 für eine p m Matrix P 1, so muss P 1 notwendigerweise Rang p haben. Es folgt, dass P 1 ΣP t 1 = I p. Setzt man Q := P 1 und teilt man Q = [Q 1, Q 2 ], wobei Q 1 eine m p-matrix mit Rang p ist, so gilt mit Gleichung 6.2 Σ = Q Ip Q t = [Q 1, Q 2 ] Ip Q t 1 Q t 2 = Q 1 Q t 1

3 84 KAPITEL 6. DIE MULTIVARIATE NORMALVERTEILUNG Nach diesem Resultat existieren für ein gegebenes Σ vom Rang p Matrizen P 1 und Q 1, so dass Σ = Q 1 Q t 1 und P 1 ΣP t 1 = I p. Wenn dann U N p 0; I wird durch die Transformation Y µ = Q 1 U ein m-dimensionaler Vektor definiert, dessen Komponenten Linearkombinationen von U sind, so dass Y N m µ; Q 1 Q t 1. Wir sagen dann, dass Y verteilt ist wie N m µ; Σ vom Rang p und schreiben Y N m µ; Σ. Wenn umgekehrt: Y N m µ; Σ, dann wird durch die Transformation U = P 1 Y µ ein p-dimensionaler Vektor definiert, dessen Komponenten Linearkombinationen von Y µ sind, so dass U N p 0; P 1 ΣP t 1, d.h. U N p0; I. Für die obigen Transformationen können wir die in den Gleichungen 4.7 und 4.8 gegebene kanonische Darstellung von Σ benutzen. Wenn Λ die Diagonalmatrix der von Null verschiedenen Eigenwerte ist und A die m p-matrix vom Rang p der zugehörigen Eigenvektoren in den Spalten, dann erfüllen P 1 = Λ 1/2 A t und Q 1 = AΛ 1/2 die obigen Bedingungen. Wenn Σ vollen Rang hat, ist A die m m-matrix der Eigenvektoren, P 1 = P = Λ 1/2 A t und Q 1 = Q = P 1 = B. Die Methode ist dann eine Hauptkomponentenanalyse, so dass die transformierten Variablen die Varianz 1 haben siehe S. 49. Wir fassen die obigen Resultate so zusammen: Satz 6.1 Y N m µ; Σ mit Rang p m gilt genau dann, wenn Y = µ + BU, wobei U N p 0; I, BB t = Σ und B ist eine m p-matrix vom Rang p. Folgerung 6.1 Wenn Σ vollen Rang hat, ist B eine m m-matrix mit vollem Rang und wir können dann schreiben: U = B 1 Y µ. Wenn Y eine singuläre Verteilung vom Rang p < m hat, dann können die Komponenten von Y µ als Linearkombinationen von p unabhängigen standardnormalverteilten Zufallsvariablen dargestellt werden. Eine Möglichkeit, eine geeignete Transformation zu finden, basiert auf den Eigenwerten und Eigenvektoren von Σ. Die m p Eigenwerte, die Null sind, implizieren m p lineare Relationen zwischen den Komponenten von Y. Für ein Beispiel einer ausgearteten Verteilung betrachten Sie einen Vektor Y, dessen Komponenten aus der Länge, Breite und dem Umfang eines zufälligen Rechtecks bestehen. Dann gilt zwischen den drei Komponenten dieses Vektors die lineare Beziehung 2Y 1 +2Y 2 Y 3 = 0. Obwohl wir einen dreidimensionalen Vektor haben, ist die Variation in Wirklichkeit zweidimensional und RangΣ = 2. Hätten wir Radius, Durchmesser und Umfang eines zufälligen Kreises, so gäbe es zwei lineare Beziehungen zwischen den Komponenten und die effektive Dimension dieses dreidimensionalen Vektors wäre 1. Wenn Σ vollen Rang hat, hat Y eine Dichtefunktion, wie sie in Kapitel 2.3 definiert wurde. 6.2 Eigenschaften der multivariaten Normalverteilung a Wenn Y N m µ, Σ vom Rang m, so dass Σ 1 existiert, dann gilt:

4 6.2. EIGENSCHAFTEN DER MULTIVARIATEN NORMALVERTEILUNG 85 Y µ t Σ 1 Y µ χ 2 m 6.3 Dies ist eine Verallgemeinerung der bekannten Tatsache, dass das Quadrat einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen χ 2 1-verteilt ist. Insbesondere gilt für m = 1, dass [Y µ/σ] 2 χ 2 1. Nach Folgerung 6.1 können wir schreiben: U = B 1 Y µ mit BB t = Σ und U N0; I. Dann ist U t U = m Uj 2, wobei die U j unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen sind. Folglich ist U t U χ 2 m-verteilt. Andererseits gilt aber: U t U = Y µ t B 1 t B 1 Y µ = Y µ t Σ 1 Y µ Damit folgt das obige Resultat. Subtrahiert man in Gleichung 6.3 nicht den Erwartungswertvektor µ, sondern z.b. µ 0 µ, so erhält man anstelle der zentralen χ 2 -Verteilung eine nichtzentrale χ 2 - Verteilung mit Nichtzentralitätsparameter δ 2 = µ µ 0 t Σ 1 µ µ 0. Wir werden jetzt zeigen, dass die Randverteilungen und die bedingten Verteilungen einer multivariaten Normalverteilung wieder Normalverteilungen sind. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass Y folgendermaßen aufgeteilt ist evtl. muss man vorher die Variablen umordnen: j=1 Y = Y 1 Y 2 mit Y 1 ein q 1 Vektor q < m Entsprechende Aufteilungen gelten für den Erwartungswertvektor und die Kovarianzmatrix: µ = µ1 µ 2 Σ = Σ11 Σ 12 Σ 21 Σ 22 Dabei sind Σ 11 und Σ 22 symmetrische positiv semidefinite q q bzw. m q m q- Matrizen und Σ 12 = Σ t 21 sind q m q-matrizen. b Die Randverteilung von Y 1 ist N q µ 1 ; Σ 11. Die multivariate Normalverteilung von Y 1 folgt aus der Tatsache, dass Linearkombinationen von Y 1 auch Linearkombinationen von Y sind und damit univariate Normalverteilungen haben. c Y 1 und Y 2 sind genau dann unabhängig verteilt, wenn Σ 12 = 0. d Wenn Σ 22 vollen Rang hat, so dass Σ 1 22 existiert, ist die bedingte Verteilung von Y 1, gegeben Y 2 = y 2 eine multivariate Normalverteilung mit: EY 1 Y 2 = y 2 = µ 1 + Σ 12 Σ 1 22 y 2 µ 2 VarY 1 Y 2 = y 2 = Σ 11 Σ 12 Σ 1 22 Σ 21 Wir betrachten den Spezialfall q = 1. Dann ist Y 1 = Y 1 die erste Komponente von Y, also eine univariate Zufallsvariable. Dann ist

5 86 KAPITEL 6. DIE MULTIVARIATE NORMALVERTEILUNG EY 1 Y 2 = y 2 = µ 1 + Σ 12 Σ 1 22 y 2 µ Nun ist aber Σ 12 Σ 1 22 eine 1 m 1-Matrix, also ein Zeilenvektor, d.h. Gleichung 6.4 hat die Gestalt EY 1 Y 2 = y 2 = µ 1 + β 2 y 2 µ β m y m µ m 6.5 wenn wir die Elemente dieses Vektors mit β 2,..., β m bezeichnen. Gleichung 6.5 ist die Regressionsfunktion von Y 1 auf Y 2,..., Y m. Für die bedingte Varianz haben wir dann VarY 1 Y 2 = y 2 = σ 11 Σ 12 Σ 1 22 Σ Für die bedingte Varianz kann man zeigen siehe z.b. Chatfield und Collins, 1991, S. 99, auch Rinne, 2000, S. 49, dass VarY 1 Y 2 = y 2 = 1 σ gilt. Dabei ist σ 11 das 1, 1-te Element der Inversen Σ 1. Das bedeutet: die bedingte Varianz ist eine Konstante, die nicht von y 2 abhängt. Gleichung 6.6 impliziert eine Zerlegung σ 11 = Σ 12 Σ 1 22 Σ 21 + VarY 1 Y 2 = y der unbedingten Varianz, VarY 1 = σ 11 in Σ 12 Σ 1 22 Σ 21 die Varianz der Regressionsfunktion der bedingten Erwartungswerte um den unbedingten Erwartungswert µ 1 und die Restvarianz VarY 1 Y 2 = y 2, die Varianz um die Regressionsfunktion vergleiche S. 28, wo wir die Zerlegung der SQTotal in SQRegression und SQResiduale betrachtet haben. Die Matrix Σ 12 Σ 1 22 ist im allgemeinen Fall q beliebig eine q m q-matrix von Regressionskoeffizienten. Die j-te j q Zeile besteht aus den Regressionskoeffizienten für die Regression von Y j auf Y q+1, Y q+2,...,y m. Für die bivariate Normalverteilung bedeutet das, wenn wir die frühere Notation aus Gleichung 2.11 verwenden EY 1 Y 2 = y 2 = µ 1 + ρ σ 1 σ 2 y 2 µ 2 und VarY 1 Y 2 = y 2 = σ 2 11 ρ 2 Wir leiten jetzt noch einige Resultate für Linearkombinationen von zufälligen Vektoren her. Beachten Sie, dass wir bisher nur Linearkombinationen der Komponenten eines zufälligen Vektors, also von univariaten Zufallsvariablen betrachtet haben. Chatfield und Collins unterscheiden zwischen linear compounds und linear combinations. Linear compounds in ihrem Sinne sind Linearkombinationen der Komponenten eines zufälligen Vektors. Das Ergebnis ist eine univariate Zufallsvariable. Linear combinations sind Linearkombinationen von zufälligen Vektoren. Das Ergebnis ist wieder ein zufälliger Vektor.

6 6.3. SCHÄTZUNG DER PARAMETER 87 e Sei V = n d r X r. Dabei sind X r zufällige Vektoren mit EX r = µ r und Varianz- Kovarianzmatrix Σ r und d r sind skalare Konstanten. Dann gilt für den Erwartungswertvektor µ V und die Varianz-Kovarianzmatrix Σ V von V µ V = EV = d r EX r = d r µ r 6.9 Σ V = VarV = d 2 rσ r + 2 d r d s covx r, X s 6.10 r<s Wenn die zufälligen Vektoren X r normalverteilt sind, so ist auch V normalverteilt. Wenn die X r unkorreliert sind und dieselbe Varianz-Kovarianzmatrix Σ haben, gilt n VarV = Σ = d t dσ 6.11 Dabei ist d t = d 1, d 2,...,d n. d 2 r f Wenn die X r unkorreliert sind und dieselbe Varianz-Kovarianzmatrix Σ haben und wenn V = n d r1 X r und W = n d r2 X r. covv, W = d t 1 d 2Σ 6.12 Dabei ist d t i = d 1i, d 2i,...,d ni. Wenn die X r normalverteilt sind, so sind auch V und W normalverteilt. Sie sind unabhängig, wenn d t 1 d 2 = 0 gilt. g Nehmen Sie an, dass die X r unabhängig verteilt sind wie N m µ; Σ. Dann ist der Stichprobenmittelwert gegeben durch: X = 1 X r n und aus dem Resultat in e folgt mit d r = 1/n X N m µ; 1 n Σ 6.13 Beachten Sie, dass die Kovarianzmatrix umgekehrt proportional zum Stichprobenumfang ist. Dies ist analog zum univariaten Fall, in dem VarȲ = σ2 /n gilt. 6.3 Schätzung der Parameter Wenn eine Stichprobe mit n unabhängigen Beobachtungen des zufälligen Vektors X gegeben ist, so sind der Stichprobenmittelwertvektor X und die Stichprobenkovarianzmatrix S mit dem Nenner n-1 erwartungstreue Schätzer der Parameter µ und Σ. Wenn X eine multivariate Normalverteilung besitzt, dann ist X der Maximum-Likelihood-Schätzer von µ und man kann zeigen, dass wie im univariaten Fall [n 1/n]S der Maximum-Likelihood- Schätzer von Σ ist. Dieser Schätzer ist nicht erwartungstreu. Wir werden den erwartungstreuen Schätzer benutzen. Um die gemeinsame Verteilung von X und S zu untersuchen, brauchen wir zunächst die Wishart-Verteilung.

7 88 KAPITEL 6. DIE MULTIVARIATE NORMALVERTEILUNG 6.4 Die Wishart-Verteilung Die Wishart-Verteilung ist die multivariate Verallgemeinerung der χ 2 -Verteilung. Die χ 2 f- Verteilung kann als Summe der Quadrate von f unabhängigen standardnormalverteilten Zufallsvariablen definiert werden. Seien X r, r = 1, 2,..., f unabhängig und N m µ r ; Σ. Dann nennt man die Verteilung der zufälligen m m Matrix W = f X r X t r eine Wishart-Verteilung und W wird eine Wishart-Matrix genannt. Die Verteilung heißt zentral, wenn alle µ r = 0 und wir schreiben dann: W W m f, Σ Andernfalls heißt die Verteilung nichtzentral, und wir schreiben: Dabei ist M t = [µ 1, µ 2,...,µ f ]. W W m f, Σ; M Nun betrachten wir die zufällige Matrix X = X t 1 X t 2. X t f Dies ist eine f m-matrix anstelle der gewohnten n m-datenmatrix. Wir können auch mit den Spaltenvektoren so schreiben: X = Y 1, Y 2,...,Y m Dabei ist Y j ein zufälliger f 1-Vektor, der die j-te Komponente des zufälligen Vektors darstellt. Dann gilt: W = X t X = X 1,...,X f X t 1. X t f f = X r X t r = w ij m m 6.14 Dabei ist w ij = Y t iy j = f Y ir Y jr = f X ri X rj das ij-te Element von W. W ist die zufällige Matrix der unkorrigierten Summen der Quadrate und Produkte der Y j. Dazu beachte man, dass Y t 1 Y t X t Y t 1 Y 1 Y t 1 Y 2... Y t 1 Y m X = 2. Y Y t 1, Y 2,...,Y m = 2Y 1 Y t 2Y 2... Y t 2Y m Y t m Y 1 Y t m Y 2... Y t m Y m Y t m Wir geben einige Eigenschaften dieser Verteilung meist ohne Beweis:

8 6.4. DIE WISHART-VERTEILUNG 89 a EW = fσ + M t M 6.15 Dies folgt aus der Definition von W, da aus Gleichung 2.1 Σ = EX r X t r µ r µ t r folgt: EX r X t r = Σ + µ rµ t r. b RangW = minf, m mit Wahrscheinlichkeit 1. c Wenn W 1 W m f 1, Σ; M 1 und W 2 W m f 2, Σ; M 2 unabhängig sind, dann gilt: wobei M t = [M t 1 M t 2]. W 1 + W 2 W m f 1 + f 2, Σ; M 6.16 Dieses Resultat entspricht dem für die χ 2 -Verteilung bekannten Resultat: Die Summe von zwei unabhängigen χ 2 -verteilten Zufallsvariablen ist wieder χ 2 -verteilt, wobei sich die Freiheitsgrade addieren. Beachten Sie, dass die Kovarianzmatrizen identisch sein müssen. d Wenn W W m f, Σ; M und C eine m q-matrix von Konstanten, dann gilt C t WC W q f, C t ΣC; MC 6.17 Sei Z r = C t X r. Dann wird der m-dimensionale Vektor X r in den q-dimensionalen Vektor Z r transformiert und wir können schreiben: C t WC = f C t X r X t rc = f Z r Z t r. Dabei sind die Z r unabhängig und verteilt wie NC t µ r ;C t ΣC. e Wenn W W m f, Σ; M und c ein m 1-Vektor von Konstanten, dann gilt: c t Wc σ 2 χ 2 f δ2, 6.18 wobei σ 2 = c t Σc und σ 2 δ 2 = c t M t Mc. Wenn die Wishart-Verteilung zentral ist, so ist auch die χ 2 -Verteilung zentral. Die Eigenschaften d und e betrafen Linearkombinationen, bei denen die Originalvariablen in neue Variablen transformiert wurden. Jetzt werden Linearkombinationen der Zeilen, also der Merkmalsträger gebildet. Sei X t 1 X t 2 X =. X t n Dabei seien die X r unabhängig und verteilt wie N m µ r ; Σ und EX t = M t = [µ 1, µ 2,...,µ n ]. Wenn D = [d 1, d 2,...,d n ] eine n-dimensionale orthogonale Matrix ist und d r1 V r = X t d d r = X 1, X 2,...,X n r2. = n d ri X i, i=1 d rn r = 1, 2,..., n Dann sind die V r auch unabhängig und verteilt wie N m ν r ; Σ mit ν r = M t d r.

9 90 KAPITEL 6. DIE MULTIVARIATE NORMALVERTEILUNG f Die Wishart-Matrix X t X kann in die Summe von unabhängigen Wishart-Matrizen zerlegt werden: s X t X = X t D k Dk t X, 6.19 k=1 s wobei die D k jeweils n n k -Matrizen sind mit n k = n. Die Spalten dieser k=1 Matrizen sind disjunkte Teilmengen einer orthogonalen Matrix D. Für m = 1 beinhaltet Gleichung 6.19 die Zerlegung einer Summe der Quadrate Total in unabhängige quadratische Formen, die wie σ 2 χ 2 -verteilt sind. Dies ist die Basis für die Theorie der univariaten linearen Modelle. Die allgemeine Form dieser Gleichung, d.h. m > 1 ist die Basis der Theorie der multivariaten Varianzanalyse. 6.5 Die gemeinsame Verteilung des Stichprobenmittelwertvektors und der Stichprobenkovarianzmatrix Wir wissen, dass im univariaten Fall der Mittelwert und die Varianz in der Stichprobe unabhängig verteilt sind. Wir wollen jetzt das analoge Resultat für den multivariaten Fall zeigen, nämlich, dass der Mittelwertvektor X und die Kovarianzmatrix S in der Stichprobe unabhängig verteilt sind. Nehmen wir an, dass X r, r = 1, 2,..., n unabhängig und identisch verteilt sind wie N m µ; Σ und sei X t = [X 1, X 2,...,X n ]. Sei D eine n-dimensionale orthogonale Matrix, deren erste Spalte d 1 sei mit d t 1 = 1/ n[1, 1,..., 1]. Wir zerlegen D in D = [d 1, D 2 ]. Dann gilt nach der Zerlegung von Wishart-Matrizen aus Gleichung 6.19 X t X = X t d 1 d t 1 X + Xt D 2 D t 2 X 6.20 Damit haben wir eine Zerlegung von X t X in zwei unabhängige Wishart-Matrizen. Es folgt aus Gleichung 6.12, dass sie unabhängig sind. Insbesondere folgt aus den Gleichungen 6.10 und 6.12, dass die Zufallsvektoren V r := X t d r unabhängig und normalverteilt sind mit Kovarianzmatrix Σ. Nun gilt V 1 = 1 n X r = n X, so dass X t d 1 d t 1 X = V 1V t 1 = n X X t 6.21 Aus den Gleichungen 6.20 und 6.21 folgt vgl. Gleichung 3.2 X t D 2 D2X t = V r V t r r=2 = X t t X n X X = n 1S Da V 1 unabhängig von V r, r = 2, 3,..., n, folgt, dass X und S unabhängig verteilt sind. Die Verteilung von X ist die Verteilung von 1/ nv 1 und ist daher N m µ; 1/nΣ. Dieses Ergebnis hatten wir bereits in Gleichung 6.13.

10 6.6. HOTELLINGS T 2 -VERTEILUNG 91 Um die Verteilung von n 1S herzuleiten, bemerken wir zunächst, dass für r > 1 da aus der Orthogonalität von D folgt: n n EV r = E d sr X r = d sr µ = 0 s=1 s=1 d t 1 d r = 1 n d sr = 0 n s=1 Aus der Definition einer Wishart-Verteilung folgt, dass Mit Gleichung 6.15 folgt n 1S = V r V t r W m n 1, Σ 6.22 r=2 ES = Σ Das bedeutet also, dass S ein erwartungstreuer Schätzer von Σ ist. Für m = 1 ist dies das Resultat für die univariate Normalverteilungstheorie, dass der Stichprobenmittelwert und die Stichprobenvarianz unabhängig verteilt sind mit X Nµ; σ 2 /n und n 1s 2 σ 2 χ 2 n 1, wobei s2 = 1/n 1 n x r x Hotellings T 2 -Verteilung Hotellings T 2 -Verteilung ist nach Harold Hotelling benannt, der diese Verteilung als multivariate Verallgemeinerung der Student t-verteilung vorgeschlagen hat. Gelte X N m µ, 1/kΣ, wobei k eine von der speziellen Anwendung abhängige Konstante sei. Sei fs W m f, Σ unabhängig von X und sei f > m 1. Wir definieren T 2 durch: T 2 m f = kx µ 0 t S 1 X µ Dies ist eine univariate Zufallsvariable und die Verteilung ist f m + 1 Tm 2 mf f Fm, f m + 1; δ eine nichtzentrale F-Verteilung mit Nichtzentralitätsparameter δ 2 = kµ µ 0 t Σ 1 µ µ Wenn µ = µ 0, ist die Verteilung zentral und wir schreiben dann f m + 1 Tm 2 f Fm, f m mf

11 92 KAPITEL 6. DIE MULTIVARIATE NORMALVERTEILUNG Hotellings T 2 hat die folgende Invarianzeigenschaft: Sei Z = C t X + b. Dabei sei C eine nichtsinguläre Matrix von Konstanten und b sei ein Vektor von Konstanten. Dann gilt S Z = C t SC und wenn wir ξ 0 = C t µ 0 + b definieren, so gilt: [T 2 m f] Z = kz ξ 0 t S 1 Z Z ξ 0 = k[c t X µ 0 ] t [C t SC] 1 [C t X µ 0 ] = kx µ 0 t [CC 1 S 1 C t 1 C t ]X µ 0 = kx µ 0 t S 1 X µ 0 = [T 2 m f] X Das bedeutet Invarianz gegenüber der Wahl des Ursprungs und der Skalierung. Für m=1 reduziert sich Gleichung 6.23 zu kx µ 0 2 s 2, d.h. das Quadrat der Student t- Verteilung. Gleichung 6.26 enthält für die zentralen Verteilungen das bekannte univariate Resultat, dass das Quadrat einer t-verteilung mit f Freiheitsgraden eine F-Verteilung mit 1 Freiheitsgrad im Zähler und f Freiheitsgraden im Nenner ist. Die T 2 -Verteilung wird beim Testen von Hypothesen benutzt. Für die Herleitung der Verteilung sei auf Chatfield und Collins 1991, S verwiesen.