2.4 Die Länge von Vektoren

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1 .4 Die Länge von Vektoren 59 Wir können dies auch so sagen: Wir identifizieren (,1)-Spaltenmatrizen mit Vektoren (oder Punkten) aus R, das heißt die Menge R und R 1 werden miteinander identifiziert. Einen Vektor v aus R dürfen wir daher so v1 v = (v 1,v ) oder so v = v schreiben. Die erste Schreibweise hat den Vorteil, dass sie aus schreibtechnischen Gründen platzsparender ist; die zweite, dass sie besser zur Matrizenrechnung passt, wie wir gleich sehen werden. Damit gilt R v1 = {(v 1,v ) v 1,v R} = { v v 1,v R}. Alle Überlegungen gelten analog auch für Vektoren aus R 3. Damit können wir Elemente aus R (bzw. aus R 3 ) wie folgt interpretieren: Als geordnete Zahlenpaare (Tripel). Als Punkte der Ebene (des Raumes). Als Vektoren in der Ebene (im Raum). Als (, 1)-Spaltenmatri ((3, 1)-Spaltenmatri)..3 Rechenregeln für Vektoren in Koordinatendarstellung Für Vektoren in der Ebene und im Raum mit einem rechtwinkligen Koordinatensystem lassen sich nützliche Rechenregeln aufstellen. Diese Regeln sind die gleichen wie die in den Sätzen.1 und.. Geometrische Vektoren sind jetzt Vektoren in Koordinatendarstellung. Zum Beispiel lautet das Kommutativgesetz: Für beliebige Vektoren u,v in R oder in R 3 gilt u+v = v+u. Die anderen Rechenregeln kann man analog den Sätzen.1 und. entnehmen..4 Die Länge von Vektoren Es sei v ein Vektor in der Ebene mit einem rechtwinkligen Koordinatensystem. Welche Länge hat der Vektor v? Wir bezeichnen die Länge von v mit v und wollen eine Formel zur Berechnung dieser finden. Nach dem Satz des Pythagoras gilt v = v1+v, also ist die Länge von v durch die Formel v = v1 +v gegeben, siehe Bild.1.

2 60 Vektoren in der Ebene und im Raum y z v v = (v 1, v, v 3 ) v v = (v 1, v ) v v 3 v 1 y v 1 v Bild.1: Länge in der Ebene Bild.13: Länge im Raum Satz.3 (Länge eines Vektors im R ) Die Länge v eines Vektors v R ist v = v 1 +v. Beispiel.6 Welche Länge hat der Vektor v = (4, 3)? Lösung: Die Länge des Vektors v ist v = 4 +( 3) = 16+9 = 5. Nun sei v = (v 1,v,v 3 ) ein Vektor aus dem Raum R 3. Durch zweifache AnwendungdesSatzesvonPythagoras(sieheBild.13)gilt v = v1+v +v 3 und damit v = v1 +v +v 3. Satz.4 (Länge eines Vektors im R 3 ) Die Länge v eines Vektors v R 3 ist v = v 1 +v +v 3.

3 .4 Die Länge von Vektoren 61 Beispiel.7 Welche Länge hat der Vektor v = (4, 3,) R 3? Lösung: Die Länge des Vektors v ist v = 4 +( 3) + = = Statt Länge sagt man auch Betrag oder Norm. Ein Vektor der Länge 1 heißt Einheitsvektor. Die Vektoren e 1 = (1,0) und e = (0,1) sind Einheitsvektoren in der Ebene R und die Vektoren i = (1,0,0), j = (0,1,0) und k = (0,0,1) sind Einheitsvektoren im Raum R 3. Aber auch der Vektor v = (1/ 3,1/ 3,1/ 3) ist ein Einheitsvektor im R 3. Mithilfe der Länge eines Vektors lässt sich die geometrische Frage nach dem Abstand zweier Punkte P 1 = ( 1,y 1,z 1 ) und P = (,y,z ) im Raum beantworten. Wir wissen aufgrund obiger Überlegungen, dass P 1 P = ( 1,y y 1,z z 1 ) ist, also ist P 1 P = ( 1 ) +(y y 1 ) +(z z 1 ) derabstandvonp 1 zup imraum.analoggiltfürzweipunktep 1 = ( 1,y 1 ) und P = (,y ) in der Ebene R P 1 P = ( 1 ) +(y y 1 ). Satz.5 (Abstand zweier Punkte) Der Abstand zweier Punkte P 1 = ( 1,y 1,z 1 ) und P = (,y,z ) im Raum ist P 1 P = ( 1 ) +(y y 1 ) +(z z 1 ). Analog für zwei Punkte in der Ebene. Beispiel.8 Berechnen Sie den Abstand der beiden Punkte P 1 = (, 1, 5) und P = (4, 3,1) im Raum R 3. Lösung: Es ist P 1 P = (4 ) +( 3 ( 1)) +(1 ( 5)) = =

4 7 Eigenwerte und Eigenvektoren Ist A R n n und R n, so liegen zwar beide Vektoren und A im Vektorraum R n, aber es gibt im Allgemeinen keine geometrische Beziehung zwischen ihnen, siehe Bild 7.1. A A Bild 7.1: und A Bild 7.: und A parallel Oftmals eistieren jedoch von Null verschiedene Vektoren, sodass und A parallel sind, das heißt, und A sind skalare Vielfache voneinander, siehe Bild 7.. Solche Vektoren ergeben sich in natürlicher Weise bei der Untersuchung von elektrischen Systemen, mechanischen Schwingungen, chemischen Reaktionen sowie aus der Genetik, Quantenmechanik, Ökonomie und Geometrie. In diesem Kapitel wollen wir zeigen, wie man diese Vektoren findet. Beachten Sie, dass für = o auch Ao = o ist, das heißt, Ao ist ein Vielfaches des Nullvektors. Daher sind wir wirklich nur an solchen Vektoren in R n interessiert, die nicht gleich dem Nullvektor sind. Ist λ eine reelle Zahl und o ein Vektor in R n mit A = λ, so sagen wir, dass λ ein Eigenwert von A ist und ein zu λ dazugehöriger Eigenvektor. Das Paar (λ, ) heißt Eigenpaar.

5 173 Beispiel 7.1 Zeigen Sie, dass der Vektor = (1,1) ein Eigenvektor zum Eigenwert λ = der folgenden Matri ist:. Lösung: Es gilt A = 1 1 = =, das heißt, = (1,1) ist ein Eigenvektor zum Eigenwert λ =. Eigenwerte und -vektoren können im R und R 3 geometrisch interpretiert werden. Ist ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, also A = λ, so führt die Multiplikation von mit A zu einer Streckung oder Stauchung von, wobei für negatives λ noch eine Richtungsumkehrung dazukommt, siehe Bild 7.3. λ λ λ λ 0 λ 1 λ 1 1 λ 0 λ 1 Bild 7.3: und λ WennderVektor oeigenvektorzurmatriaist,dannsinddievektoren und A linear abhängig. DieEinheitsmatriE (derordnungn)hatnurdeneigenwertλ = 1undjeder Vektor o ist Eigenvektor zum Eigenwert λ = 1, denn es ist E = 1. Ist (λ,) ein Eigenpaar zur Matri A, dann gilt A = A(A) = Aλ = λa = λ und allgemein für k = 0,1,,... A k = λ k. Ist also (λ,) ein Eigenpaar von A, dann ist (λ k,) ein Eigenpaar von A k für k = 0,1,,...

6 174 7 Eigenwerte und Eigenvektoren 7.1 Wie berechnet man Eigenwerte und Eigenvektoren? Hierzu schreiben wir die Gleichung A = λ als A = λe n oder äquivalent (λe n A) = o. Damit λ ein Eigenwert von A ist, muss diese Vektorgleichung bzw. dieses homogene lineare Gleichungssystem eine nicht triviale Lösung besitzen. Nach Satz 6.9 ist dies genau dann der Fall, wenn Det(λE n A) = 0. Diese Gleichung heißt charakteristische Gleichung von A; ihre Lösungen sind die Eigenwerte von A. Berechnet man Det(λE n A) = 0, so ergibt sich ein Polynom in λ, das als charakteristisches Polynom von A bezeichnet wird. Das charakteristische Polynom einer Matri aus R n n hat den Grad n und den führenden Koeffizienten 1. Demzufolge hat das charakteristische Polynom einer (n, n)-matri die Form λ n +a n 1 λ n 1 + +a 1 λ+a 0. Da die charakteristische Gleichung λ n +a n 1 λ n 1 + +a 1 λ+a 0 = 0 nach dem Fundamentalsatz der Algebra höchstens n verschiedene Lösungen hat, besitzt eine (n, n)-matri höchstens n Eigenwerte. Beispiel 7. Gegeben sei die Matri A =. Berechnen Sie die Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren. Lösung: Wir suchen alle reelle Zahlen λ und alle Vektoren = ( 1, ), die der Gleichung = λ genügen. Ausgeschrieben erhalten wir 1 + = λ = λ

7 7.1 Wie berechnet man Eigenwerte und Eigenvektoren? 175 bzw. (λ 1) 1 = 0 1 +(λ 4) = 0. Dies ist ein homogenes lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen und zwei Gleichungen, das nur dann eine nicht triviale Lösung hat, wenn die Determinante der Koeffizientenmatri Null ist, also λ 1 1 Det = 0. λ 4 Dies bedeutet λ 5λ+6 = 0 bzw. faktorisiert also sind (λ 3)(λ ) = 0, λ 1 = und λ = 3 die Eigenwerte der Matri A. Um nun alle Eigenvektoren von A zum Eigenwert λ 1 = zu finden, setzen wir für λ in die Vektorgleichung = λ ein und erhalten bzw. 1 1 = 0 1 = 0. 1 =, Alle Lösungen dieses homogenen linearen Systems sind durch 1 = = jede reelle Zahl t