10. Grassmannsche Vektoren und die Drehungen im Raum.

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1 10. Grassmannshe Vektoren und die Drehungen im Raum. Wir haen in der vorigen Vorlesung gesehen wie man Gegenstände im Raum vermöge der Zentralprojektion als Figuren in der Eene perspektivish genau darstellen kann. Dies wird etwa ei CAD/CAM Anwendungen, d.h. ei dem Computer Aided Design verwendet. Also z.b. eim design von neuen Autokarosserien. Infolge der Shnelligkeit von heutigen Rehnern kann man aer auh die Gegenstände ewegen und etwa im Raum drehen. Wir wollen uns hier die mathematishen Hintergründe eim Drehen von räumlihen Gegenständen ansehen. Die Grundidee ist, dass Dreh-

2 2. Geometrie (L2) ungen von Gegenständen am esten von Transformationen des ganzen Raumes eshrieen werden die auf Gegenstände. Statt also einen Gegenstand im Raum zu drehen ist es mathematish einfaher den Gegenstand festzuhalten und esser den ganzen Raum zu drehen. Um dies zu eshreien rauht man Vektoren und lineare Aildungen, die auf ihnen operieren. Vektorrehnung. Ein Vektor hat eine Länge und eine Rihtung. Es git zwei Typen von Vektoren - den Ortsvektor und den Rihtungsvektor. Beides sind Pfeile in der Eene oder im Raum mit dem Untershied, daß der Anfangspunkt eines Ortsvektors immer im Nullpunkt liegt und der Konvention, daß zwei Rihtungsvektoren gleih sind, wenn sie parallel sind: Zwei Ortsvektoren Ein Rihtungsvektor

3 10 Drehungen 3 Definition. Ein zwei-dimensionaler Vektor ist ein geordnetes Paar a = [a 1, a 2 ] von reellen Zahlen. Ein drei-dimensionaler Vektor ist ein geordnetes Tripel a = [a 1, a 2, a 3 ] von reellen Zahlen. Die Zahlen a 1, a 2, a 3 heißen die Komponenten des Vektors. Eine Darstellung eines Vektors [a 1, a 2 ] ist ein Pfeil (d.h. eine gerihtete Streke) von einem Punkt P(x, y) zum Punkt P(x + a 1, y + a 2 ). Ist P(x, y) = P(0,0), dann heißt t diese Darstellung ein Ortsvektor. Entsprehendes gilt im Raum. Die Länge eines Vektor v ist die Länge eines seiner Darstellungen und wird mit v ezeihnet. Mit Hilfe der Astandsformel läßt sih die Länge erehnen: Tatsahe. Die Länge des zwei-dimensionalen Vektors a = [a 1, a 2 ] ist gegeen durh die Formel: a = a a2 2. Die Länge des drei-dimensionalen Vektors a = [a 1, a 2, a 3 ] ist gegeen durh die Formel: a = a a2 2 + a2 3.

4 4. Geometrie (L2) Man kann Vektoren addieren und mit reellen Zahlen (Skalaren) multiplizieren gemäß der folgenden Regeln: Vektor Addition. Wenn a = [a 1, a 2 ] und = [ 1, 2 ], dann ist a + definiert durh a + := [a 1 + 1, a ]. Eenso für drei-dimensionale Vektoren a + := [a 1 + 1, a 2 + 2, a ]. Man kann die Vektor Addition geometrish auf zwei Weisen illustrieren: a+ a+ a a Triangle Gesetz Parallelogramm Gesetz

5 10 Drehungen 5 Es ist möglih die Länge eines Vektors zu verändern. Dies geshieht durh die Multiplikation mit einem Skalar. Multiplikation mit einem Skalar. Sei ein Skalar (d.h. eine reelle Zahl). dann ist der Vektor a definiert durh: a := [a 1, a 2 ] = [a 1, a 2 ] Entsprehend für drei-dimensionale Vektoren a := [a 1, a 2, a 3 ] = [a 1, a 2, a 3 ] Man verifiziert leiht, daß dem eine Längenveränderung um den Faktor entspriht, denn a = [a 1, a 2 ] = [a 1, a 2 ] = (a 1 ) 2 + (a 2 ) 2 = 2 a a 2 2 = 2 a a2 2 = a. Entsprehendes gilt für drei-dimensionale Vektoren. Das Skalarprodukt.

6 6. Geometrie (L2) Definition. Das Skalarprodukt zweier Vektoren a, ist die Zahl a := a os(θ) woei θ der Winkel zwishen a und ist (0 θ π). Zwei Vektoren a und sind senkreht oder orthogonal, wenn der Winkel zwishen ihnen θ = π 2 ist. Für solhe Vektoren gilt: a = a os( π 2 ) = 0. und umgekehrt, denn a = 0, dann ist os(θ) = 0 und so θ = π 2. Also haen wir: Satz. Zwei Vektoren a und sind orthogonal, wenn das Skalarprodukt a = 0. Das Skalarprodukt in Komponentenform. Seien zwei Vektoren a = [a 1, a 2, a 3 ] und = [ 1, 2, 3 ]

7 10 Drehungen 7 gegeen. Nah dem Kosinus Satz gilt a 2 = a a os(θ) = a a Damit gilt für das Skalarprodukt: a = 1 2 ( a a 2 ) = 1 2 (a2 1 + a a (a 1 1 ) 2 (a 2 2 ) 2 (a 3 3 ) 2 ) = a a a 3 3 Also haen wir: Satz. Das Skalarprodukt von a = [a 1, a 2, a 3 ] und [ 1, 2, 3 ] ist gegeen durh Vektoren in Aktion. a = a a a 3 3. Satz. Sei ABC ein Dreiek. Die Senkrehten von den Eken, A, B, C, auf die gegenüerliegenden

8 8. Geometrie (L2) Seiten, BC, AC, AB, des Dreieks shneiden sih alle drei in einem Punkt. C = [,] k h g A = [0,0] Lote treffen sih in einem Punkt B = [a,0] Beweis. Wir ezeihnen die Ekpunkte mit Koordinatenvektoren wie folgt: A = 0, B = 0 a, C = 0.

9 10 Drehungen 9 Dann gelten für die Senkrehten g, h, k die folgenden Formeln: x 0 g : = + α, y a x 0 h : = + β, y 0 a x a k : = + γ y 0 Wir erehnen den Shnitt g h der Senkrehten g und h wie folgt: 0 + α a = β [ ] a β = 0 αa β(a ) = 0 β = / Eingesetzt in h liefert den folgenden Ausdruk für den Shnittpunkt: m = 0 + β 0 a = [ ] a = [ 2 a Es leit zu zeigen, daß m niht nur auf der Senkrehten g, sondern auh auf den Senkrehten h und k liegt. ]

10 10. Geometrie (L2) Setze α := 2 a 2 a 0 + α a, dann gilt = + 2 a 2 a = a 2 = = m 2 a 0 a Setze γ := a, dann gilt a + a 0 Dies eweist den Satz. = [ 2 a ] = m Matrizen. Definition. Eine (zwei-dimensionale) Matrix ist ein Blok a G = d von rellen Zahlen a,,, d R.

11 10 Drehungen 11 Die Determinante einer Matrix ist gegeen durh a det = ad d Das Produkt einer Matrix mit einem Vektor ist gegeen durh a d x y = ax + y x + dy Das Produkt einer Matrix mit einer Matrix ist gegeen durh a x y ax + u ay + v = d u v x + du y + dv Satz (Determinanten Satz). Seien G, H Matrizen. Dann ist zwei det(g H) = det(g) det(h). Beweis. Nahrehnen. Korollar. Seien G, H zwei Matrizen mit det(g) = det(h) = 1. Dann ist det(g H) = det(g) det(h)

12 12. Geometrie (L2) Beweis. klar. a x y Satz. Seien G = und H = Matrizen mit det G = 1. Dann git es eine Matrix X d u v mit det(x) = 1, die die Matrix Gleihung H = G X löst Beweis. Definiere G 1 := [ d ] a Dann ist det G 1 = da = detg = 1 und G G 1 = a d [ d ] a = Weiter setze X := G 1 H

13 10 Drehungen 13 Dann ist nah dem Determinanten Satz det X = det(g 1 H) = det(g 1 ) det(h) = 1. Shließlih rehnet man leiht nah G X = G (G 1 H) = (G G 1 ) H = H. Dies eweist den Satz. Lineare Aildungen. Sei G eine Matrix mit det(g) = 1. Dann definiert die Zuordnung v G v eine ijektive Transformation der Eene. Manhe dieser Matrizen erhalten den Astand. Beispielsweise alle Matrizen der Form [ os α ] sin α sinα os α Diese Matrizen modellieren Drehungen. Welhe Bedeutung diese Matrizen für die Geometrie haen sieht man esten an ihrer geometrishen Dynamik, d.h. daran was die Potenzen G n mit einem elieig aer fest gewählten Vektor mahen:

14 14. Geometrie (L2) Hyperolishe Matrix G = 2 1 : 1 1 Elliptishe Matrix G = Drehung um [ ]. 30 o

15 Paraolishe Matrix G = 10 Drehungen : 0 1 Drehungen. Drehungen in der Eene (um den Winkel α) sind gegeen durh Matrizen der Form os α sin α sinα os α und für Drehungen im Raum um die Koordinatenahsen (mit Winkel α) git es die folgenden Drehmatrizen: D x := os α sinα 0 sinα os α, D y := os α 0 sinα 0 1 0, sinα 0 os α

16 16. Geometrie (L2) D z := os α sinα 0 sinα os α Der nähste Satz zeigt, dass diese Drehungen genügen um alle Drehungen im Raum zu ehreien. Definition. Eine allgemeine Drehung des Raumes ist eine lineare Aildung (Matrix) des Raumes, die die Einheitssphäre auf sih aildet. Satz. Jede Drehung im Raum ist Produkt der Drehmatrizen D x, D y, D z. Beweis. Üung. Drehungen und Perspektive. Man kann nun Drehungen und Zentralprojektion kominieren um ein rehnergestütztes Design Programm zu entwerfen. Literatur. Arhimedes, Quadratur der Parael R. Desartes, Geometrie