Vektoren im R 2 und R 3

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1 Vektoren im R und R Orientierung Vektoren Koordinatendarstellung Addition und Subtraktion Skalare Multiplikation Skalarprodukt Vektorprodukt Basis, Linearkombination Länge eines Vektors Winkel zwischen Vektoren Orthogonalität, Orthogonalbasen Inhalt.. Fragen und Probleme Tpische Anwendungen Fakten und Regeln Reelle Vektoren und ihre Darstellung Addition von Vektoren Multiplikation von Skalaren mit Vektoren Linearkombinationen Zusammensetzen und Zerlegen eines Vektors Multiplikation von Vektoren (Skalarprodukt Länge und Winkel Orthogonalität und Orthonormalbasen Vektorprodukt im R Trainingsaufgaben..... n... Springer-Verlag GmbH Deutschland 07 E. Cramer et al., Toolbo Mathematik für MINT-Studiengänge, DOI 0.007/ _

2 8 Kapitel. Vektoren im R und R.. Fragen und Probleme Was sind Vektoren? Diese Frage ist allgemein nicht einfach zu beantworten, da die Antwort kontetabhängig ist. Für die Zwecke dieses ( Kapitels sind Vektoren Paare ( a a a oder Tripel a reeller Zahlen, die man a sich als Pfeile in der Ebene bzw. im Raum veranschaulichen kann und die durch ihre Richtung und ihre Länge bestimmt sind. w v z Kapitel.. Wozu sind Vektoren gut? Einige phsikalische Größen (z.b. Kraft, Geschwindigkeit, Feldstärke sind durch Stärke (Betrag und Richtung charakterisiert. Vektoren sind das richtige Hilfsmittel zur mathematischen Beschreibung solcher Objekte. Kapitel.. Wie kann (darf man mit Vektoren rechnen? Für Addition und Subtraktion gelten komponentenweise die üblichen Regeln, die man von Zahlen gewohnt ist. Ferner kann man Vektoren mit Zahlen s w z (Skalaren multiplizieren. Zudem lässt sich für zwei Vektoren des R oder R ihr Skalarprodukt bilden, eine Zahl, die zur Winkelbestimmung nützlich ist. Im R v + z v gibt es außerdem noch das sogenannte Vektorprodukt. Kapitel..,.. In welche Richtung zeigt ein Vektor? Jedem Paar (a,a R und damit jedem Vektor ( a a ist im Koordinatensstem der Ebene der Ortsvektor zugeordnet, der die Punkte (0, 0 und (a,a linear verbindet und dessen Spitze bei (a,a weg vom Ursprung (0, 0 zeigt. Alle Vektoren der Ebene mit derselben Länge und derselben Richtung werden (unabhängig von ihrem Startpunkt identifiziert. Sie können graphisch durch eine Parallelverschiebung ineinander überführt werden. Kapitel..

3 .. Fragen und Probleme 9 ( 4 ( 6 Welcher der Vektoren, ist länger? Die Länge (der Betrag beider Vektoren ist gegeben durch 4 ( = +4 + = 0 > 49 = = 6 (. ( 4 ( 6 Somit ist länger als. Kapitel..6 Stehen die Vektoren ( und ( 4 senkrecht aufeinander? Da das Skalarprodukt der beiden Vektoren ( ( 4 = 4+( =0 Null ist, ist dies der Fall. Dies zeigt auch die zugehörige Graphik. Kapitel..7 Ein Schiff fährt auf einem Fluss mit einer Geschwindigkeit von km/h. Ein Passagier bewegt sich auf dem Schiff senkrecht zur Fließrichtung mit km/h. Welche Geschwindigkeit misst ein Beobachter am Ufer für die Bewegung des Passagiers? Der Passagier bewegt sich für den Beobachter mit einer Geschwindigkeit vom Betrag,8 km/h. Denn mit Vektordarstellung in einem geeignetem Koordinatensstem gilt: ( 0 +(0 =(, ( = + = 0,8 [km/h]. Kapitel..,..6 Wie zerlegt man eine Kraft, und wozu ist das gut? Für einen Körper (hier Quadrat auf einer schiefen Ebene kann man mit der Zerlegung der Gewichtskraft F in Tangentialkomponente F T und Normalkomponente F N beispielsweise die Reibungskraft bestimmen (deren Betrag proportional zu F N ist. F T F F N Kapitel..4

4 0 Kapitel. Vektoren im R und R.. Tpische Anwendungen A. Schlitten Zwei Hunde ziehen einen Schlitten auf einer ebenen Fläche. Hund zieht mit einer Kraft von 0 N eine bestimmte Richtung, Hund zieht mit einer Kraft von 0 N in eine Richtung, die von der ersten um 4 abweicht. N: Newton in Wie schwer darf der Schlitten maimal sein, damit die Hunde die Last bewegen können (es darf Reibungsfreiheit angenommen werden? Was ändert sich, wenn der Winkel nur 0 beträgt? 4 (Seite A.Fähre Ein Fluss von 00 m Breite fließt mit einer Geschwindigkeit von m/s (wobei vereinfachend an- m/s genommen wird, dass die Strömungsgeschwindigkeit über die gesamte Breite konstant ist. Eine Fähre mit Fahrgeschwindigkeit 4 m/s soll von einer Anlegestelle zu einer genau gegenüberliegenden über- v setzen. (i Die Geschwindigkeit der Fähre setzt sich zusammen aus ihrer Eigengeschwindigkeit v und der Fließgeschwindigkeit des Wassers. Bestimmen Sie die Eigengeschwindigkeit v so, dass die Fähre sich stets senkrecht zur Flussrichtung bewegt. Welchen Winkel bildet v mit der Flussrichtung? (ii Wie lange dauert die Überfahrt? Wie lange würde sie bei einem stehenden Gewässer dauern? (Seite 6 A. Beschleunigung einer Kugel N: Newton Welche Beschleunigung erfährt die Kugel in der folgenden Skizze? (Seite 7 0 N

5 .. Tpische Anwendungen A.4 Kräftezerlegung F A α β F R F An einem gemeinsamen Punkt (A wirken zwei Kräfte mit F =, N und F =6,9 N. Die resultierende Kraftwirkung sei mit F R =,9 N gegeben. Welche Winkel bilden die Kräfte jeweils mit F R? Diese Aufgabe entspricht der Anwendungsaufgabe A., die mit geometrischen Hilfsmitteln gelöst wird (s. Seite. Hier soll mit Hilfe der Vektorrechnung eine Lösung gefunden werden. (Tipp: Nehmen Sie F R =( 0 c an. (Seite 9 A. Bildaufhängung Ein Bild mit Masse 6 kg hängt an einem Haken, wobei die Schnur mit den Aufhängepunkten ein gleichschenkliges Dreieck bildet (s. Graphik. Der Winkel an der Spitze des Dreicks beträgt 0. F 0 F G F BestimmenSiedenBetragderKraft F (und F in der Schnur. (Rechnen Sie vereinfachend mit einer Erdbeschleunigung g =0m/s. (Seite 60 A.6 Drehmoment Q v PQ F An einem starren Stab, ( der im Punkt P mit Ortsvektor p = fiiert ist, greift ( am Endpunkt Q (Ortsvektor q = die Kraft F ( 0 = 40 an (Einheiten: m bzw. N. P Bestimmen Sie das resultierende Drehmoment M bezüglich P. (Seite 60 Drehmoment: M = v PQ F

6 Kapitel. Vektoren im R und R A.7 Elektrische Feldstärke Eine Punktladung Q befindet sich an einem Quellpunkt Q mit dem Koordinatenvektor r Q R. Der Aufpunkt P, an dem das Feld berechnet werden soll, liegt, bezogen auf den Ursprung, bei r P R. P r P z r Q Q Dann ist die am Aufpunkt P herrschende Feldstärke gegeben durch E ( r P = Q 4πɛ 0 r r, wobei ɛ 0 die elektrische Feldkonstante ist und r = r P r Q, r = r. As: Amperesekunde Vm: Voltmeter Berechnen Sie die Feldstärke im Aufpunkt P für Q =0 9 As und ( 0 ( 0 r P = m, r Q = m, ɛ 0 = As/Vm. 0 (Seite 6.. Fakten und Regeln... Reelle Vektoren und ihre Darstellung Wie bereits in den Anwendungsbeispielen in Kapitel. deutlich wird, ist das Konzept der Vektorrechnung in vielen Bereichen nützlich und vorteilhaft. Zunächst soll geklärt werden, was ein Vektor ist.. Was sind Vektoren? Eine phsikalische Motivation für die Einführung von Vektoren liegt darin, dass relevante Größen wie Kräfte, Geschwindigkeiten, Feldstärken etc. nicht nur durch ihre jeweilige Stärke (Betrag festgelegt sind, sondern zusätzlich durch eine Richtung gekennzeichnet sind. Damit liegt es nahe, einen Vektor in der Ebene oder im Raum als Pfeil zu veranschaulichen, wobei die smbolisierte Stärke durch die Länge des Pfeils repräsentiert wird. Nach Festlegung eines Koordinatensstems kann man diese Pfeile auch als Paare bzw. Tripel reeller Zahlen schreiben. Diese Paare oder Tripel reeller Zahlen heißen reelle Vektoren.

7 .. Fakten und Regeln (Reelle Vektoren in der Ebene (R sind Paare reeller Zahlen, die als Spalten geschrieben werden, zum Beispiel: (, ( ( 0 7,, und (reelle Vektoren im Raum (R sind Tripel reeller Zahlen, die als Spalten geschrieben werden. Zum Beispiel: ( 0 ( 7 4,(, 0,. 4 6 Diese Darstellung wird als Koordinatendarstellung bezeichnet. Allgemein ist die Koordinatendarstellung reeller Vektoren wie folgt definiert.. Koordinatendarstellung reeller Vektoren In der Ebene wird ein Vektor v mit Komponenten v,v R geschrieben als ( v v = R v. Ein Vektor im Raum mit Komponenten v,v,v R hat die Darstellung v v = v R. v. Bemerkung Auch wenn in höheren Dimensionen n N keine direkte geometrische Vorstellung mehr möglich ist, können (reelle Vektoren mit n Komponenten v,v,...,v n R definiert werden. Sie sind in vielen Anwendungen relevant und werden dargestellt als Spalten v v v =. Rn. v n Mit ihnen kann wie mit den Spaltenvektoren im R und R gerechnet werden. Im Folgenden wird daher (z.b. bei Rechenoperationen stets der allgemeine Fall von Vektoren im R n ebenfalls erwähnt. Alle konkreten Rechnungen und Anwendungsaufgaben beziehen sich aber auf R bzw. R.

8 4 Kapitel. Vektoren im R und R Zwei Vektoren v = ( v.. ( w.. R n stimmen überein, falls sie komponenten- w n weise übereinstimmen: v n, w = v = w v i = w i für alle i {,...,n}..4 Graphische Darstellung reeller Vektoren Zur graphischen Darstellung eines Vektors als Pfeil in der Ebene oder im Raum wird basierend auf der Koordinatendarstellung ein kartesisches Koordinatensstem zugrunde gelegt (s. Abbildung.. z 0 0 Abbildung..: Kartesisches Koordinatensstem in der Ebene und im Raum. Um einen zugehörigen Pfeil zu einem reellen Vektor in der Ebene mit Koordinatendarstellung v =( v v zu zeichnen, wählt man einen beliebigen Anfangspunkt im Koordinatensstem und geht um v Längeneinheiten in -Richtung (bei positivem Vorzeichen nach rechts, bei negativem Vorzeichen nach links und von da aus um v Längeneinheiten in -Richtung (bei positivem Vorzeichen nach oben, bei negativem Vorzeichen nach unten weiter. Der so erreichte Punkte bildet den Endpunkt des Vektors und wird durch die Pfeilspitze markiert. Um im Weiteren zwischen Punkten und Vektoren in der Koordinatendarstellung zu unterscheiden, wird im Buch die folgende Bezeichnungsweise vereinbart.. Bezeichnungsweise für Punkte und Vektoren In der Koordinatenebene werden Punkte P =(p,p als Zeilen dargestellt, Vektoren v =( v v als Spalten. Analoges gilt im R..6 Beispiel Betrachtet man den reellen Vektor v = ( und wählt als Anfangspunkt A =(, 4, so erhält man die Darstellung des Vektors in Abbildung. mit Endpunkt E =(,.

9 .. Fakten und Regeln Für den Vektor v wird in einer solchen Situation auch die Notation AE verwendet, die andeutet, dass der Vektor über Anfangs- und Endpunkt definiert wird. 4 A =(,4 v E =(, Abbildung..: Graphische Darstellung eines gegebenen Vektors in Koordinatendarstellung. Die freie Wahl des Anfangspunktes macht die Darstellung als Pfeil im R oder R zwar nicht eindeutig, ist aber aus Anwendungssicht eine sinnvolle Eigenschaft. Der jeweils ausgezeichnete Pfeil mit Anfangspunkt (0, 0 bzw. (0, 0, 0 wird als Ortsvektor bezeichnet..7 Merkregel Wählt man (p,p als Anfangspunkt der Darstellung von v =( v v als Pfeil, so ist (p + v,p + v der Endpunkt des Pfeils. Ist die Darstellung eines Vektors v in der Koordinatenebeneals Pfeil mit Anfangspunkt (p,p und Endpunkt (q,q gegeben, so ist seine Koordinatendarstellung: ( q p v =. q p Analoges gilt auch für reelle Vektoren mit mehr als zwei Komponenten..8 Beispiel (i Der Endpunkt des in Beispiel.6 dargestellten Vektors v ist Q =(+, 4+( = (,. (ii Gegeben sei der Pfeil mit Anfangspunkt P =(,, und Endpunkt Q = (, 0, (vgl. Abbildung..

10 6 Kapitel. Vektoren im R und R z P v Q Abbildung..: Graphische Darstellung des Vektors v. Der dadurch definierte Vektor v hat somit die Koordinatendarstellung 4 v = 0 ( =.... Addition von Vektoren Vektoren können addiert und subtrahiert werden. Die entsprechende Regel wird anhand einiger Beispiel illustriert. Die Addition ist grundsätzlich nur sinnvoll für Vektoren mit identischer Komponentenzahl..9 Addition von Vektoren Die Addition von Vektoren v und w wird komponentenweiseausgeführt. Damit ergibt sich im ( ( ( R v w v + w : v + w = + =, v w v + w v w v + w R : v + w = v + w = v + w, v w v + w v w v + w R n v : v + w =. + w. = v + w.. v n w n v n + w n

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