Arbeitsblatt 1. ORTSVEKTOREN. "Ortsvektoren.ggb" Zahlenpaar (seine "Koordinaten") beschrieben werden.

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1 Schule Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg Thema Personen Mathematik Modul 5 Einführung in VEKTOREN 5f und Alfred Dominik Arbeitsblatt Einführung in "Vektoren" mit GeoGebra Unterlagen von von Markus Hohenwarter, adaptiert A.D. 1. ORTSVEKTOREN "Ortsvektoren.ggb" Die Lage eines Punktes (zb Punkt A) in einem Koordinatensystem kann durch ein Zahlenpaar (seine "Koordinaten") beschrieben werden. Diese Koordinaten beschreiben den Weg vom Nullpunkt des Koordinatensystems bis zum Punkt. Seite 1 von 11

2 Der ORTSVEKTOR a führt zum Punkt A.(Geogebra bezeichnet leider die Vektoren nicht mit dem Vektorzeichen). Ändert sich der Vektor a so ändert sich auch die Lage von...:::: Hängt man einen Vektor an einen anderen Punkt als den Nullpunkt an so ändert sich natürlich der erreichte Punkt. Vektoren geben eine Richtung an, sie können also verschoben werden. Alle unten gezeichneten Pfeile sind Darstellungen desselben Vektors. ORTSVEKTOREN zu einem fixierten Punkt dürfen...verschoben werden. Seite 2 von 11

3 2. ADDITION VON VEKTOREN addition_worksheet.ggb oder addition.html Sie sehen hier die Pfeile zweier Vektoren a und b sowie ihrer Summe c = a + b. Ziehen Sie die Pfeile der Vektoren a und b an ihren Spitzen. Beobachten Sie dabei die Koordinaten von a, b und c. Wie berechnet man die Koordinaten des Vektors c? Geben Sie zunächst zwei Beispiele mit konkreten Zahlen an. Versuchen Sie auch eine allgemeine Formel für die Koordinaten von c = (xc, yc) anzugeben, wenn a = (xa, ya) und b = (xb, yb) sind. Verschieben Sie den Anfangspunkt von b zur Spitze von a. Ziehen nun die Spitze von b. Was fällt Ihnen auf? Schreiben Sie Ihre deine Beobachtungen zusammen mit einer Skizze auf. Vektoren die nicht zu einem fixierten Punkt gehören dürfen...werden. Werden Vektoren addiert so hängt man sie aneinander. Der durch die Addition entstandene Vektor läuft von... Seite 3 von 11

4 3. BETRAG von VEKTOREN betrag_worksheet.ggb oder betrag.html Unter dem Betrag eines Vektors versteht man die Länge eines ihn repräsentierenden Pfeils. Sie sehen hier einen Vektor a, der als Pfeil dargestellt ist, und die Länge dieses Pfeils. Ziehen Sie den Pfeil des Vektors a an seinem Anfangspunkt und an der Spitze. Die Länge des Pfeils entspricht dem Betrag a des Vektors a. Übung: Überlegen Sie, wie man diesen Betrag berechnen könnte. Versuchen eine Formel für den Betrag eines Vektors a = (xa, ya) anzugeben. Schreiben Sie Ihre Vermutung zusammen mit einer Skizze auf. Berechnen Sie mit Iher Formel aus (1) den Betrag der Vektoren (3, 4) und (5, 2). Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse anhand der obigen Zeichnung. Seite 4 von 11

5 4. Einheitsvektor einheitsvektor.html oder einheitsvektor_worksheet.ggb Einen Vektor mit Betrag 1 nennt man Einheitsvektor. Sie sehen hier Pfeile eines Vektors a und seines zugehörigen Einheitsvektors a 0.(wird auch als a bezeichnet) 1 v Ziehen Sie den Pfeil des Vektors a an seiner Spitze so, dass er in Richtung der x-achse zeigt. Versuchen Sie herauszufinden, wie man den Einheitsvektor a 0 aus den Koordinaten und dem Betrag von a berechnen kann. Geben Sie zwei Beispiele samt Rechengang an. Lassen Sie den Vektor a diesmal in Richtung der y-achse zeigen. Geben Sie wie in (1) wieder zwei Beispiele zur Berechnung von a 0 an. Wie berechnet man den Einheitsvektor a 0 zu einem beliebigen Vektor a? Versuchen Sie wieder zwei Beispiele anzugeben und überprüfen Sie diese mit Hilfe der obigen Zeichnung. Bestimmen Sie eine Formel für die Berechnung des Einheitsvektors a 0. Seite 5 von 11

6 5. Gegenvektor gegenvektor.html oder gegenvektor_worksheet.ggb Sie wissen bereits, dass ein Vektor durch (unendlich viele) Pfeile dargestellt werden kann. Hier sehen Sie nun zwei Pfeile, die einen Vektor a und seinen so genannten Gegenvektor b darstellen. Ziehen Sie den Pfeil des Vektors a an seiner Spitze mit der Maus und beobachten Sie dabei die Koordinaten des Gegenvektors b. Welchen Zusammenhang zwischen den Koordinaten von a und b können Sie entdecken? Wie berechnet man die Koordinaten des Gegenvektors eines allgemeinen Vektors a = (x, y). Seite 6 von 11

7 6. Vektorsubtraktion Subtraktion.html oder subtraktion_worksheet.ggb Sie sehen hier die Pfeile der Vektoren a und b, des Gegenvektors von b sowie der Differenz c = a - b. Ziehen Sie die Pfeile der Vektoren a und b an ihren Spitzen. Beobachten Sie dabei die Koordinaten von a, b und c. Wie berechnet man die Koordinaten des Vektors c? Geben Sie zunächst zwei Beispiele mit konkreten Zahlen an. Versuchen Sie eine allgemeine Formel für die Koordinaten von c = (xc, yc) anzugeben, wenn a = (xa, ya) und b = (xb, yb) sind. Verschieben Sie den Anfangspunkt von a zur Spitze von b (dem Gegenvektor von b). Ziehen Sie nun die Spitze von a. Was fällt auf?. Verschieben Sie den Anfangspunkt von b zur Spitze von a. Ziehen Sie nun die Spitze von b. Was fällt auf? Versuchen Sie einen Zusammenhang zwischen c = a - b und der Vektoraddition herzustellen. Seite 7 von 11

8 7. Verschiebung um einen Vektor subtraktion.html oder subtraktion_worksheet.ggb Sie sehen hier ein blaues Dreieck und ein um einen Vektor v verschobenes grünes Dreieck. Der Punkt C' entsteht durch Verschiebung des Punktes C um den Vektor v. Lesen Sie die Koordinaten des Punktes C aus der Zeichnung ab und versuchen Sie die Koordinaten von C' mit Hilfe von v zu berechnen. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis auch anhand der obigen Zeichnung. Berechnen Sie zur Probe auch den Vektor von C nach C'. Bestimmen Sie auch die weiteren Eckpunkte A' und B' wie in (1a). Ziehen Sie die Punkte A, B, C oder C' mit der Maus. Versuchen Sie eine allgemeine Formel für die Koordinaten eines verschobenen Punktes P' anzugeben, wenn P = (x P, y P ) und v = (x v, y v ) gegeben sind. Seite 8 von 11

9 8. Skalarmultiplikation Skalarmult.html oder skalarmult_worksheet.ggb Das Multiplizieren eines Vektor a mit einer Zahl t nennt man Skalarmultiplikation. Du siehst hier zwei Pfeile, die einen Vektor a und den Vektor b = t a darstellen. Der Vektor b entsteht also aus dem Vektor a durch Multiplikation mit der Zahl t. Verändern Sie den Wert der Zahl t durch Ziehen mit der Maus. Beobachten Sie dabei die Koordinaten des Vektors b. Ziehen Sie danach auch den Pfeil des Vektors a an seiner Spitze. a) Wann zeigen beide Pfeile in dieselbe Richtung? b) Für welchen Wert von t wird b zum Gegenvektor von a? Wie berechnet man die Koordinaten des Vektors b für eine allgemeine Zahl t und a = (xa, ya)? Seite 9 von 11

10 9. Streckenteilung streckenteilung.html oder streckenteilung_worksheet.ggb Sie sehen hier den blauen Verbindungsvektor der Punkte A und B. Der rote Vektor entsteht durch Multiplikation dieses Vektors mit der Zahl t. 1. Der Teilungspunkt T entsteht durch abtragen des roten Vektors vom Punkt A aus. Verändern Sie den Wert der Zahl t durch Ziehen mit der Maus und beobachten dabei die Koordinaten von T. a) Für welchen Wert von t gilt T = A bzw. T = B? b) Für welche Werte von t liegt T auf der Strecke, für welche nicht? c) Für welchen Wert von t wird T der Mittelpunkt der Strecke AB?. 2. Lesen Sie die Koordinaten von A und B aus der Zeichnung ab und versuchen Sie den Punkt T für den Wert t = 0.7 zu berechnen.. 3. Versuchen Sie eine Formel zur Berechnung von T anzugeben, wenn die Punkte A und B sowie die Zahl t gegeben sind. Überprüfen Sie Ihre Formel auch mit dem Beispiel aus (2). 4. Können Sie auch eine allgemeine Formel für die Berechnung des Mittelpunktes M einer Strecke AB angeben? Erinnern Sie sich dazu an das Ergebnis von (1c). Seite 10 von 11

11 10. Abtragen einer Strecke Streckeabtragen.html oder streckeabtragen_worksheet.ggb In der folgenden Zeichnung ist das Abtragen einer Strecke der Länge s von einem Punkt A in einer vorgegebenen Richtung a zu sehen. Als Ergebnis entsteht der Punkt B. Sie können die Richtung durch Ziehen des Vektors a, die Lage des Punktes A sowie die Länge s der abgetragen Strecke verändern. 1. Versuchen Sie herauszufinden, wie der Punkt B berechnet wird, wenn der Punkt A, der Vektor a und die Streckenlänge s gegeben sind. Berechnen Sie zwei Zahlenbeispiele. 2. Geben Sie allgemeine Formel für den Punkt B an. Seite 11 von 11