Der Vektor lebt unabhängig vom Koordinatensystem: Bei einer Drehung des Koordinatensystems ändern zwar die Komponenten, der Vektor v aber bleibt.
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- Susanne Hertz
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1 Vektorlger Vektorlger Vektoren sind Grössen, die einen Betrg sowie eine Rihtung im Rum hen. Im Gegenstz zu den Vektoren estehen Sklre nur us einer Grösse ls Zhl. In Bühern wird nsttt v oft v geshrieen. Beispiele: Geshwindigkeit v, Elektrishes eld E, Krft. Wählt mn ein Koordintensystem, so knn mn die Komponenten eines Vektores v folgendermssen ngeen: v = (v x, v y, v z ) (krtesishe Komponenten). Der Betrg von v ist: v = vx 2+v2 y +v2 z. Anstelle der krtesishen Komponenten knn mn uh den Betrg und die Rihtung (2 Winkel!) ngeen, siehe S.2. z y v Der Vektor let unhängig vom Koordintensystem: Bei einer Drehung des Koordintensystems ändern zwr die Komponenten, der Vektor v er leit. x 1. Rehenopertionenen Vektorddition: + = (1) Die Sutrktion funktioniert nlog. Im krtesishen Koordintensystem ddiert (sutrhiert) mn komponentenweise: x + x = x y + y = y z + z = z (2) Multipliktion mit einer sklren Grösse: = α (3) Komponentenshreiweise: x = α x y = α y z = α z (4) 1
2 Vektorlger 2. Polrkoordintendrstellung Es git noh ndere Möglihkeiten, einen Vektor in Komponenten zu zerlegen. Eine dvon ist die Polrkoordintendrstellung. Sie ist esonders in der xilsymmetrishen Anordnung nützlih, und wird z.b. ei Bewegungen von Teilhen in einem Zentrlfeld verwendet. = (r, θ, ϕ) (5) Der Winkel θ heisst der Polrwinkel und liegt zwishen der z-ahse und dem Vektor. Der Winkel ϕ heisst der Azimuthwinkel, er eshreit die Rihtung der Projektion des Vektors uf die (x, y) Eene. z θ r ϕ y Dmit wird die Multipliktion mit einem Sklr zu: x α = (α r, θ, ϕ) (6) 3. Einheitsvektor und Ortsvektor Die drei Einheitsvektoren hen die Länge 1 und stehen jeweils prllel zu den Ahsen des krtesishen Koordintensystems: e 1 = (1, 0, 0) e 2 = (0, 1, 0) e 3 = (0, 0, 1) (7) Mn sgt, die Einheitsvektoren spnnen den Rum uf. Jeder Vektor knn dnn folgendermssen geshrieen werden: = x e 1 + y e 2 + z e 3 (8) Insesondere ezeihnet r den Ortsvektor: Sei ein Punkt P = (x, y, z) im Rum gegeen. Dnn lutet der zugehörige Ortsvektor: r = x e 1 + y e 2 + z e 3 (9) Mit Hilfe eines zeithängigen Ortsvektors r(t) eshreit mn die Bewegung z.b. eines Mssenpunktes im Rum. 2
3 Vektorlger 4. Sklrprodukt (inneres Produkt) Im Gegenstz zu gewöhnlihen Zhlen git es ei Vektoren mehrere Möglihkeiten, ein Produkt zu definieren. Dfür ist die Division durh einen Vektor niht definiert! Definition Sklrprodukt: = (10) = os θ θ = (, ) (11) Ds Sklrprodukt mht us zwei Vektoren einen Sklr, lso eine Zhl. Rehenregeln: = = 2 = 2 ( + ) = + Berehnen wir ds Sklrprodukt in krtesishen Komponenten: = ( x e 1 + y e 2 + z e 3 ) ( x e 1 + y e 2 + z e 3 ) = x x + y y + z z (12) wegen e i e i = e 2 i = 1 und e i e j = 0, flls j i. (13) Anwendungen: = n, woei n die Projektion von uf ist ( n = os ). n Die Projektion eines Vektors uf einen Einheitsvektor ergit die entsprehende Komponente: e 1 = x. (14) Winkel zwishen zwei Vektoren: os() =, worus für, 0 folgt: (15) = 0 (, ) = 90 (16) Astnd zwishen zwei Punkten A, B (den Endpunkten der Vektoren und ): d = (17) 3
4 Vektorlger Areit, die eine Krft entlng eines Weges s verrihtet: W = s ( Krft ml Weg ). Wir zerlegen in je einen Anteil prllel und senkreht zum Weg s. s Mn nennt die ührungskrft und ist die Projektion uf s: = + und W = s = s os() = s (18) Mit dem Sklrprodukt knn mn leiht den Pythgors eweisen: = + 2 = ( + ) 2 = ( + ) ( + ) = (19) = 90 o = 0 2 = (20) 5. Vektorprodukt (äusseres Produkt) Definition: = mit, und = sin() (21) entspriht lso der von und eingeshlossene lähe. Ahtung: Rehte-Hnd-Regel! (Mittelfinger) (Zeigefinger) θ (Dumen) Krtesishe Koordinten: = ( y z z y ) e 1 + ( z x x z ) e 2 + ( x y y x ) e 3 (22) 4
5 Vektorlger Regeln: = ( ) = 0 e i e i = 0 für i = e 1 e 2 = e 3 Indizes zyklish vertushr. ( + ) = + 6. Sptprodukt (gemishtes Produkt) d = ( ) (23) d Ds Sptprodukt ezeihnet ds Volumen des von,, ufgespnnten Prllelepipedes. 5
9 Vektorprodukt. Dieses Gleichungssystem muss man nun lösen! Das ist allerdings nicht ganz einfach. Die Lösung lautet:
9 Vektorprodukt 9.1 Ds Vektorprodukt Gegeen seien zwei (komplnre) Vektoren und, die eine Eene ufspnnen. Suht mn einen Vektor n, der uf diese Eene senkreht steht, dnn muss n orthogonl zu und n orthogonl
Mehra b = a b a b = 0 a b
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