Übungen zu Ingenieurmathematik I

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1 Ostbayerische Technische Hochschule Regensburg Fakultät Informatik / Mathematik Prof. Dr. M. Leitz WS 013/14 Blatt 1 / I Übungen zu Ingenieurmathematik I (Bachelor-Studiengänge: Mikrosystemtechnik / Sensorik und Analytik) Themengebiet: Vektoren in der Ebene [Ü] Aufgabe a, b, c. 5 6 Ermitteln Sie (ohne Rechnung) auf graphischem Weg den Summenvektor s und den Differenzvektor d mit s a b c und d b a. [Ü] Aufgabe a 1, a, c. 4 7 Zerlegen Sie den Vektor c in Komponenten k 1 und k mit c k 1 k, wobei k 1 die Richtung von a 1 und k die Richtung von a haben soll. a) Lösen Sie diese Aufgabe auf ausschließlich graphischem Weg. b) Lösen Sie diese Aufgabe auf ausschließlich rechnerischem Weg.

2 [Ü] Aufgabe a, b. 9 Bestimmen Sie (i) denjenigen Einheitsvektor mit zum Vektor a entgegengesetzter Richtung. (ii) die Länge des Vektors b und den entgegen dem Urzeigersinn orientierten Winkel zwischen positiver x-achse und diesem Vektor. (iii) den Winkel zwischen den Vektoren a und b. (iv)) die senkrechte Projektion p des Vektors b auf den Vektor a und die Länge p dieses Projektionsvektors. (v) die Fläche des von den Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms. Überprüfen Sie die Richtigkeit Ihrer Berechnungen aus (i) mit (v) auf graphischem Weg. [Ü] Aufgabe a 1, c. 3 7 Zerlegen Sie den Vektor c in Komponenten k 1 und k mit c k 1 k, wobei k 1 die Richtung von a 1 und k eine Richtung senkrecht zu a 1 haben soll. a) Lösen Sie diese Aufgabe auf ausschließlich graphischem Weg. b) Lösen Sie diese Aufgabe durch eine möglichst einfache Rechnung und zwar ohne den Weg über ein lineares Gleichungssystem zu gehen. (Warum ist das hier anders als etwa in der Aufgabe so möglich?) senkrechte Projektion. [Ü] Aufgabe 5 Gegeben sind der Punkt C und die Gerade g mit 1 3 C ( 4,13), g : x s. 1 Bestimmen Sie den Fußpunkt F des Lots von C auf g und den Abstand des Punktes C von der Geraden g.

3 [Ü] Aufgabe 6 Ein Lichtstrahl, der längs der Geraden 5 9 g : x ( ) 13 7 auf die Gerade 6 5 h : x ( ) 5 1 g g ~ h zuläuft, wird an dieser reflektiert. a) In welchem Punkt trifft der Lichtstrahl auf die Reflexionsgerade h? b) Bestimmen Sie den Einfallswinkel. c) Bestimme die Gleichung der Geraden g ~, auf welcher der reflektierte Strahl verläuft. [T] Aufgabe 7 Zwei Ozeandampfer von je L 100m Länge befinden sich zur Zeit t 0 min mit dem Bug in den Punkten A(0km,0km) und B(0km,5km). Sie fahren mit den in der Skizze angegebenen Geschwindigkeiten in die angegebenen Richtungen. a) Kommt es zu einer Kollision? b) Bestimmen Sie gegebenenfalls den genauen Zeitpunkt der Kollision und die näheren Umstände. (z.b. Dampfer1 trifft mit dem Bug Dampfer Steuerbord in 40m Entfernung von dessen Heck.) Nord B 30 v 35 v m min m min Bemerkung: Steuerbord bedeutet die rechte Seite eines Schiffes, wenn man in Richtung des Schiffsbuges sieht. Backbord bedeutet die linke Seite eines Schiffs. A 45 Ost Nehmen Sie die Dampfer vereinfachend als Striche (Breite vernachlässigen) von 100m Länge an. [Ü] Aufgabe 8 Zeige mit den Mitteln der Vektorrechnung, dass die Mittelpunkte der Seiten eines Vierecks stets die Ecken eines Parallelogramms sind. Drücke zunächst die Vektoren e und f durch die Vektoren a,b,c,d aus. Sodann drücke man e und f nur durch die Vektoren a,b,c aus. (Der Vektor d läßt sich durch die Vektoren a,b,c darstellen.) a e d b f c 3

4 [T] Aufgabe 9 Beweisen Sie den Kosinussatz: c a b a b cos( ). Drücke zunächst den Vektor c durch die Vektoren a und b aus. Sodann bilde man das Skalarprodukt cc,. b c a [T] Aufgabe 10 D 100 N 4 cm 45 D 1 10 N D N cm Drei in einer Ebene befindliche Federn mit den Federkonstanten D 1, D und D 3 sind an einem Ende fest miteinander verbunden worden. Die anderen Enden sind so festgeheftet worden, dass sich die angegebenen Dehnungen und der angegebene Winkel einstellen. Bestimmen Sie die Verlängerung der Feder 3 und den Winkel, den Feder 3 mit Feder einschließt. [Ü] Aufgabe 11 An einem Ausleger hängt eine Last vom Betrag F 1000N. Bestimmen Sie den Betrag der Druckkraft im unteren Stab und den Betrag der Zugkraft im oberen Stab. 0 F 1000N 50 4

5 [Ü] Aufgabe 1 Der Tragarm eines Freileitungsmasten nimmt drei Kabellasten vom jeweiligen Betrag F 10kN auf. Bestimmen Sie die Beträge der Kräfte in den Stäben 1 bis 10. Welche Stäbe sind Druckstäbe und welche sind Zugstäbe? m F F F 1.5 m 1.5 m 1.5 m [T] Aufgabe 13 Wie groß ist der Durchhang h und welche Kraft G muß rechts am Seil hängen, damit in dem neben stehenden System Gleichgewicht herrscht? 1 m m h 500 N 400 N G [T] : Aufgabe für das Tutorium [Ü] : Übungsaufgabe zur selbständigen Bearbeitung [zusammen mit StudienkollegInnen] 5