Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen

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1 Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen Sommersemester 2012 Bernhard Burgeth Universität des Saarlandes c , Bernhard Burgeth

2 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 2 1 Vektoren in der Ebene und im Raum 1.1 Einführung in die Geometrie von Vektoren Viele physikalische Werte sind skalare Größen, z.b. Temperatur, Länge, Masse. vektorielle Größen tragen auch eine Richtungsinformation, z.b. Kraft und Verschiebung. In diesem Abschnitt geht es um die Einführung von Vektoren mit einigen arithmetischen Operationen und deren grundlegenden Eigenschaften. Vektoren in der Ebene und im Raum lassen sich als Pfeile (gerichtete Strecken) darstellen. Dabei entspricht der Richtung des Vektors der Pfeilrichtung, sein Betrag der Pfeillänge. Vektoren haben einen Anfangs- und Endpunkt. Bezeichnungen: Vektoren durch fett gedruckte Buchstaben a, v und x. Die auftretenden Zahlen werden Skalare genannt und mit kursiven Buchstaben (a, b, k, λ) gekennzeichnet. Sind A der Anfangs- und B der Endpunkt eines Vektors v so schreibt man auch v = AB Vektoren sind äquivalent, wenn sie in Richtung und Länge übereinstimmen. Äquivalente Vektoren betrachten wir als gleich auch wenn sie in verschiedenen Positionen liegen (vorausgesetzt, die Pfeile haben die glei-

3 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 3 che Richtung und Länge.) Deswegen schreibt man für äquivalente Vektoren v und w. v = w Abbildung 1: Links: Vektor AB. Rechts: Äquivalente Vektoren. Wir definieren: Die Summe v+w zweier Vektoren ist ein neuer Vektor dem ein Pfeil vom Anfangspunkt von v bis zum Endpunkt von w entspricht. Es gilt dann: v + w = w + v Der Vektor mit Länge Null heißt Nullvektor und wird mit 0 bezeichnet. Für ihn soll gelten: 0 + v = v + 0 = v für jeden beliebigen Vektor v. Der Nullvektor hat keine natürliche Richtung.

4 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 4 Abbildung 2: Addition zweier Vektoren. Zu einem vom Nullvektor verschiedenem Vektor v gehört der negative Vektor v mit gleicher Länge wie v aber entgegengesetzter Richtung. Dieser Vektor hat die Eigenschaft (warum?) Wir setzen fest: 0 = 0. v + ( v) = 0. Die Differenz / Subtraktion von zwei Vektoren v und w ist über die Summe erklärt: v w = v + ( w). Wir können auch Skalare und Vektoren miteinander verbinden. Dazu sei v 0 und k R, k 0, dann ist das Produkt kv der Vektor,

5 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 5 Abbildung 3: Differenzen von Vektoren. dessen Länge das k -fache der Länge von v ist und dessen Richtung im Falle von k > 0 mit der von v übereinstimmt, im Falle von k < 0 ihr entgegengesetzt ist. Wir legen fest: Falls k = 0 oder v = 0 so folgt kv = 0. Die Vektoren der Form kv nennt man skalare Vielfache von v. Unter anderem erkennt man aus der folgenden Zeichnung, dass ( 1)v und v die selbe Länge haben aber in entgegengesetzte Richtungen zeigen, also gilt ( 1)v = v Weiter sieht man, dass die skalaren Vielfachen eines Vektors parallel sind. Man kann auch die Umkehrung zeigen.

6 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 6 Abbildung 4: Skalare Vielfache eines Vektors v. 1.2 Vektoren in Koordinatensystemen Die Einführung rechtwinkliger Koordinaten stellt sich beim Umgang mit Vektoren als vorteilhaft heraus. Es sei z.b. v ein Vektor in der Ebene (im zweidimensionalen Raum R R) dessen Anfangspunkt im Ursprung eines rechtwinkligen Koordinatensystems liegt. Die Koordinaten (v 1, v 2 ) seines Endpunktes sind die Komponenten von v, weswegen man v = (v 1, v 2 ) schreibt. Wir bevorzugen hier die Zeilenschreibweise, aus Gründen der Platzersparnis.

7 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 7 Achtung! Üblich ist in der Linearen Algebra die Schreibweise von Vektoren in Spaltenformat ( ) v1 v =, das wir später auch benutzen werden. Zwei Vektoren v = (v 1, v 2 ) und w = (w 1, w 2 ) sind genau dann äquivalent, also gleich, wenn v 2 v 1 = w 1 und v 2 = w 2. Die Operationen der Vektoraddition und Multiplikation mit einem Skalar Abbildung 5: Vektor v und seine Komponenten v 1 und v 2. übertragen sich wie folgt auf die Komponentenschreibweise: Für v = (v 1, v 2 ) und w = (w 1, w 2 )

8 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 8 gilt Schließlich hat man für v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2 ). Abbildung 6: Komponentenweise Addition von Vektoren. v = (v 1, v 2 ) und einen Skalar k R gilt kv = k(v 1, v 2 ) = (k v 1, k v 2 ).

9 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 9 Abbildung 7: Komponentenweise Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar. Wegen v w = v + ( 1)w ergibt sich aus den beiden bisherigen Regeln zur Vektoraddition und Multiplikation mit einem Skalar v w = (v 1 w 1, v 2 w 2 ). Beispiel 1.1 Es sei v = (1, 2) und w = (7, 6). Dann ist v + w = (1, 2) + (7, 6) = (1 + 7, 2 + 6) = (8, 4) 4v = 4 (1, 2) = (4 1, 4 ( 2)) = (4, 8) v w = (1, 2) (7, 6) = (1 7, 2 6) = (6, 8)

10 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 10 Ganz entsprechend zur Beschreibung von Vektoren in der Ebene durch Zahlenpaare können Vektoren im dreidimensionalen Raum nach Einführung eines rechtwinkligen Koordinatensystems durch Tripel reeller Zahlen beschreiben. Dazu wählt man sich bekanntlich einen Punkt 0 (Ursprung) und drei durch 0 gehende, aufeinander senkrecht stehende Geraden (Koordinatenachsen) aus. Diese Achsen werden mit Längeneinheiten zur Abstandsmessung versehen. Jedem Punkt P im Raum kann dann ein Zahlentripel (x, y, z) als Koordinaten zugeordnet werden, siehe Bild 8. Die Abbildung 8: Links: Koordinatensystem. Rechts: Parallelen zu den Koordinatenebenen schneiden sich im Punkt P und haben die Schnittpunkte X, Y und Z mit den Koordinatenachsen. Koordinaten sind dann gegeben durch die vorzeichenbehafteten Längen x = 0X, y = 0Y, z = 0Z. Als Beispiel sind die Punkte mit den Koordinaten (4, 5, 6) und ( 3, 2, 4) dargestellt.

11 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 11 Abbildung 9: Darstellung zweier Punkte im Koordinatensystem. Man unterscheidet Rechts- und Linkssysteme, siehe Abb. 10. Eine Merkhilfe ist die bekannte Rechte-Hand-Regel. Bemerkung 1.1 Wir verwenden hier ausschließlich Rechtssysteme. Liegt der Anfangspunkt eines Vektors v im Ursprung des Koordinatensystems, so nennen wir, wie im zweidimensionale Fall, die Koordinaten des Endpunktes die Komponenten des Vektors v und schreiben v = (v 1, v 2, v 3 ) Wie zuvor im Zweidimensionalen hat man auch im dreidimensionalen Raum die folgenden Resultate:

12 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 12 Abbildung 10: Links: Rechtssystem. Rechts: Linkssystem. v und w sind genau dann äquivalent, wenn v 1 = w 1, v 2 = w 2 und v 3 = w 3 gilt. v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ) kv = (kv 1, kv 2, kv 3 ) für jeden Skalar k R. Beispiel 1.2 Für v = (1, 3, 2) und w = (4, 2, 1) sind z.b. v + w = (5, 1, 3), 2v = (2, 6, 4) w = ( 4, 2, 1) v w = v + ( 1)w = ( 3, 5, 1). Der Anfangspunkt braucht nicht im Ursprung 0 zu liegen. Die Komponenten des Vektors P 1 P 2 mit Anfangspunkt P 1 (x 1, y 1, z 1 ) und Endpunkt

13 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 13 Abbildung 11: Koordinaten des Endpunktes als Komponenten des Vektors v. P 2 (x 2, y 2, z 2 ) ergibt sich zu (vgl. Abb. 12) P 1 P 2 = OP 2 OP 1 = (x 2, y 2, z 2 ) (x 1, y 1, z 1 ) = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ). Wie lautet die entsprechende Formel im zweidimensionalen Raum? Beispiel 1.3 Der Vektor v = P 1 P 2 mit P 1 (2, 1, 4) und P 2 (7, 5, 8) hat die Komponenten v = (7 2, 5 ( 1), ( 8) 4) = (5, 6, 12).

14 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 14 Abbildung 12: Komponenten des Vektors P 1 P Vektorarithmetik Im folgenden Resultat, das wir als Satz formulieren, sind die wichtigsten Rechenregeln für Vektoren in der Ebene und im Raum dargestellt. Satz 1.1 Für Vektoren u, v und w (im zwei- oder dreidimensionalen Raum) und Skalaren k, l R gelten 1. u + v = v + u (Kommutativität) 2. (u + v) + w = v + (u + w) (Assoziativität)

15 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM u + 0 = 0 + u = u (Neutrales Element) 4. u + ( u) = 0 (Inverses Element) 5. k(lu) = (kl)u 6. k(u + v) = ku + kv (Distributivität I) 7. (k + l)u = ku + lu (Distributivität II) 8. 1u = u Wir geben einen geometrischen Beweis von b) (d.h. wir stützen uns auf die Vorstellung von Vektoren als als Pfeilen, siehe dazu auch Abb. 13). Ein analytischer Beweis fußt dagegen auf der Beschreibung von Vektoren durch Zahlendupel oder -tripel. Geometrischer Beweis von b) Es seien u = P Q, v = QR und w = RS. Dann hat man v + w = QS und u + (v + w) = P S sowie u + v = P R und (u + v) + w = P S, also folgt v + (u + w) = (u + v) + w,. Analytischer Beweis von b) In der Übung.

16 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 16 Abbildung 13: Assoziativität der Vektoraddition. 1.4 Norm eines Vektors Die Norm eines Vektors u, kurz mit u bezeichnet, ist seine Länge. Mit dem Satz von Pythagoras ergibt sich für den Vektor u = (u 1, u 2 ), dass (siehe Abb. 14) u = u u2 2, und für den Vektor u = (u 1, u 2, u 3 ), dass u = u u2 2 + u2 3. Jeder Vektor u mit u = 1 heißt Einheitsvektor. Der Abstand d(p 1, P 2 ) zweier Punkte P 1 (x 1, y 1, z 1 ) und P 2 (x 2, y 2, z 2 ) im Raum ist gerade die Norm

17 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 17 Abbildung 14: Norm u eines Vektors u. P 1 P 2 ihres Verbindungsvektors gilt dann P 1 P 2. Mit P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) d(p 1 P 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. Überlegen Sie sich: Wie lautet die analoge Formel bei zwei Punkten in der Ebene? Beispiel 1.4 Der Vektor u = ( 3, 2, 1) hat die Norm u = ( 3) = 14.

18 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 18 Die Punkte P 1 (2, 1, 5) und P 2 (4, 3, 1) haben den Abstand d(p 1, P 2 ) = (4 2) 2 + ( 3 + 1) 2 + (1 + 5) 2 = 44 = Nach unserer Definition hat ku die k -fache Länge des Vektors u. Damit ergibt sich ku = k u, gültig für Vektoren in der Ebene oder im Raum. Weitere Beispiele folgen in den Übungen. 1.5 Skalarprodukt von Vektoren und erste Anwendungen Das Skalarprodukt stellt eine Möglichkeit dar, Vektoren (in der Ebene oder im Raum) miteinander zu multiplizieren, was einige geometrische Anwendungen ermöglicht. Wir nehmen im Folgenden stillschweigend an, dass wir es immer mit Vektoren in der Ebene oder im Raum zu tun haben. Es seien u, v 0, als von Null verschieden Vektoren mit gleichem Anfangspunkt. Als den Winkel zwischen u und v Bezeichnen wir den von den Pfeilen eingeschlossenen Winkel θ der allerdings der Ungleichung 0 θ π genügt, siehe Abb. 15. Wir definieren das Skalarprodukt zunächst geometrisch. Definition 1.1 Es seien u und v zwei Vektoren, die den Winkel θ einschließen. Das Skalarprodukt oder innere (euklidische) Produkt u v ist definiert

19 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 19 Abbildung 15: Der Winkel zwischen u und v erfüllt stets 0 θ π. als u v = { u v cos θ für i u 0 und v 0 0 für u = 0 oder v = 0 Zur Berechnung des Skalarproduktes müssen wir den eingeschlossenen Winkel kennen. Beispiel 1.5 Die Vektoren in Abb. 16, schließen den Winkel 45 0 ein, also ist Weiter an der Tafel Das Skalarprodukt kann aber auch über die Komponenten berechnet werden, was für praktische Rechnungen vorteilhaft ist. Eine solche Formel wollen wir nun herleiten.

20 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 20 Abbildung 16: Der Winkel zwischen u und v in diesem Beispiel beträgt Es seien dazu u = (u 1, u 2, u 3 ) 0 und v = (v 1, v 2, v 3 ) 0 zwei nichttriviale Vektoren, die, wie in Abb. 17 dargestellt, den Winkel θ einscließen. Nach dem Kosinussatz gilt P Q 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ. Wegen P Q= v u erhält man u v cos θ = 1 2 ( u 2 + v 2 u v 2 )

21 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 21 Abbildung 17: und damit auch uv = 1 2 ( u 2 + v 2 u v 2 ) Ersetzt man nun in dieser Gleichung die Terme u 2 = u u u 2 3, v 2 = v1 2 + v2 2 + v3 2 sowie v u 2 = (v 1 u 1 ) 2 + (v 2 u 2 ) 2 + (v 3 u 3 ) 2,

22 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 22 so ergibt sich nach einigen Vereinfachungen u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3. (1.1) Analog findet man die entsprechende Formel für Vektoren u = (u 1, u 2 ) 0 und v = (v 1, v 2 ) 0: u v = u 1 v 1 + u 2 v 2. (1.2) Aus der Definition des Skalarproduktes läßt sich eine Regel zur Bestimmung des Winkels zwischen Vektoren herleiten: cos θ = u v (1.3) u v Dazu ein Beispiel 1.6 Gegebene seien u = (2, 1, 1) und v = (1, 1, 2) Wir berechnen u v und den Winkel θ zwischen u und v (an der Tafel). Beispiel 1.7 Wir berechnen den Winkel θ zwischen der Kante und der Diagonalen eines Würfels mit der Kantenlänge k (an der Tafel). Dazu führen wir das in Abb. 18 dargestellte Koordinatensystem ein. Der folgende Satz stellt einen Zusammenhang her zwischen Norm und Skalarprodukt. Satz 1.2 Für einen Vektor v gilt: v v = v 2, das heißt v = (vv) 1 2

23 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 23 Abbildung 18: Würfel mit Kantenlänge k im gewählten Koordinatensystem. Beweis: v schließt mit sich selbst den Winkel θ = 0 ein, also ist v v = v v cos θ = v 2 cos 0 = v 2.. Man kann Eigenschaften des Winkels zwischen zwei Vektoren schon an ihrem Skalarprodukt ablesen, wie das folgende Resultat lehrt.

24 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 24 Proposition 1.1 Ist u 0 und v 0, so gilt für den von ihnen eingeschlossenen Winkel θ: θ ist spitz u v > 0 θ ist stumpf u v < 0 θ = π 2 u v = 0. Beweis an der Tafel. Beispiel 1.8 Wir berechnen die paarweisen Skalarprodukte der Vektoren u = (1, 2, 3), v = ( 3, 4, 2) und w = (3, 6, 3). Es gilt: u v = 1 ( 3) + ( 2) = 5 v w = 21 u w = 0. u und w stehen also senkrecht aufeinander. Zueinander senkrechte Vektoren heißen orthogonal. Mit Proposition 1.1 folgt: Zwei Vektoren u und v sind genau dann orthogonal, wenn u v = 0 ist.

25 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 25 Schreibweise: u v Im unten stehenden Satz werden die wichtigsten Eigenschaften des Skalarproduktes aufgelistet. Satz 1.3 Es seien u v und w Vektoren (in der Ebene oder im Raum) und k R ein Skalar. Dann gelten 1. u v = v u 2. u (v + w) = u v + u w 3. k (u v) = (ku v) = u (kv) 4. v v > 0 für v 0, und v v = 0 für v = Orthogonalprojektionen Es gibt in Physik und Technik zahlreiche Anwendungen bei denen man sich für die Zerlegung eines Vektors u in einen zu einem gegebenen Vektor a parallelen und einen dazu senkrechten Summanden. Wie gewinnt man diese Zerlegung? Vorgehensweise: man verlegt u und a in einen gemeinsamen Ausgangspunkt Q und fällt das Lot vom Endpunkt von u auf die Gerade durch a, vgl. Abbildung 19. Zwei Vektoren spielen nun eine wichtige Rolle:

26 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 26 Der Verbindungsvektor w 1 von Q zum Lotfußpunkt und w 2 = u w 1. Man sieht, dass w 1 parallel und w 2 senkrecht zu u ist, und dass gilt Abbildung 19: u = w 1 + w 2, wobei w 1 parallel und w 2 senkrecht zu u ist. w 1 + w 2 = w 1 + (u w 1 ) = u. Man nennt den Vektor w 1 die Orthogonalprojektion von u auf a oder auch die Vektorkomponente von u entlang a und bezeichnet ihn mit proj a u. Entsprechend nennt man den Vektor w 2 senkrecht zu a. Offensichtlich gilt: Vektorkomponente von u w 2 = u proj a u. Berechnungsformeln sind für diese Vektoren im folgenden Satz angegeben.

27 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 27 Satz 1.4 Für Vektoren u und a 0 gilt: proj a u = u a a 2a. u proj a u = u u a a 2a. Wir wenden uns einem elementaren Beispiel zu. Beispiel 1.9 Gegeben seien u = (2, 1, 3) und a = (4, 1, 2). Bestimmen Sie die Vektorkomponenten von u entlang a und senkrecht zu a. Lösung an der Tafel.

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