Kapitel III. Aufbau des Zahlensystems

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1 Kapitel III. Aufbau des Zahlensystems 1 Addition und Multiplikation natürlicher Zahlen Wir wollen erklären, wie man natürliche Zahlen addiert und multipliziert und dabei nur den Begriff das Zählens verwenden. Heuristische Überlegung. Die natürlichen Zahlen entstehen durch fortschreitendes Zählen. Man kann diesen Vorgang beispielsweise anhand einer Strichliste dokumentieren: leer,,,,..., n, n, (n ),... Anstelle von Strichfolgen kann man die Zahlen etwa durch arabische oder römische Zifferen ausdrücken: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, I, II, III, IV, V, V I, V II, V III, IX, X, XI,... Beim Zählen folgt auf eine Zahl genau eine nächste. Nenne diese den Nachfolger; schreibe n für den Nachfolger von n. Es gilt: (α) Verschiedene natürliche Zahlen haben auch verschiedene Nachfolger. (β) 0 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl. (γ) Jede natürliche Zahl wird erreicht, wenn man lange genug zählt. In der Sprache der Mengenlehre bedeutet dies: Definition. Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge N, zusammen mit (1) einem ausgezeichneten Element 0, und (2) einer Abbildung S : N N n S(n) =: n Es soll gelten (Axiome der natürlichen Zahlen.) (A) S ist injektiv, d.h.: Aus n m folgt n m. 1

2 (B) 0 S(N), d.h.: Für alle n N ist n 0. (C) (Induktionsaxiom.) Sei M N eine Menge mit den Eigenschaften (i) 0 M; (ii) Aus x M folgt x M Dann ist M = N. n wird als Nachfolger von n bezeichnet. Alle weiteren Aussagen über natürliche Zahlen und deren Beweise lassen sich einzig und allein auf diese drei Axiome gründen. Wir werden diese Rückführung auf die Axiome an Beispielen demonstrieren. 1.1 Satz. Jede von 0 verschiedene Zahl ist Nachfolger einer natürlichen Zahl. Beweis. Sei M = {0} S(N). Zeige, daß M = N ist. Es gilt (i) 0 M (ii) Sei x M; dann ist x = S(x) S(N) M, also x M. Nach Axiom (C) ist M = N. I. Addition natürlicher Zahlen. 1.2 Satz. Zu jedem x N existiert genau eine Funktion a x : N N mit folgenden Eigenschaften: (1) a x (0) = x (2) a x (y ) = a x (y) für alle y N. Schreibe x + y := a x (y) für alle x N. Wegen (1) und (2) gilt: x + 0 = x und x + y = (x + y) für alle x, y N. Definition. Die gemäß 1.2 eindeutig existierende Verknüpfung + : N N N, (x, y) x + y mit den Eigenschaften x + 0 = x und x + y = (x + y) heißt Addition natürlicher Zahlen. Beweis von 1.2. Halte x fest. Seien a x, b x : N N Funktionen mit den Eigenschaften (1) und (2), d.h. (1) a x (0) = b x (0) = x, 2

3 (2) a x (y ) = a x (y) und b x (y ) = b x (y) für alle y, x N. Sei M = {y N a x (y) = b x (y)}. Zu zeigen: M = N. (i) a x (0) = x = b x (0), also 0 M (wegen (1)). (ii) Sei y M, d.h. a x (y) = b x (y). Es folgt mit (2): Nach (C) ist M = N. a x (y ) = (a x (y)) = (b x (y)) = b x (y ) also y M Existenz. Sei M = {x N Es existiert eine Funktion a x : N N mit den Eigenschaften (1) und (2) }. Zu zeigen: M = N. (i) Setze a 0 (y) := y. Dann gilt (1) a 0 (0) = 0 (2) a 0 (y ) = y = (a 0 (y)) } Also ist 0 M. (ii) Sei x M und a x : N N die wegen x M in der (bereits bewiesenen) Eindeutigkeitsaussage eindeutig bestimmte Abbildung mit (1), (2). Dann ist a x (0) = x und a x (y ) = (a x (y)) für alle y N. Setze a x (y) := (a x (y)) für alle y N. Da a x die Bedingungen (1) und (2) erfüllt, folgt a x (0) = (a x (0)) = x und a x (y ) = (a x (y )) = (a x (y) ) = (a x (y)) Also erfüllt auch a x (1) und (2), d.h. x M. Nach (C) ist (wegen (i) und (ii)) M = N. 1.3 Satz. Für alle x, y, z N gilt (x + y) + z = x + (y + z) (Assoziativgesetz) x + y = y + x (Kommutativgesetz) Beweise nur das Assoziativgesetz. Halte x, y fest. Sei M = {z (x+y)+z = x + (y + z)}. Zu zeigen: N = M. (i) (x + y) + 0 (1) = x + y (1) = x + (y + 0), also 0 M. 3

4 (ii) Sei z M, d.h. (x + y) + z = x + (y + z). Dann ist (x + y) + z (2) = ((x + y) + z) = (x + (y + z)) (2) = x + (y + z) (2) = x + (y + z ), also z M. Nach (C) folgt M = N. Schreibe 1 für 0. Dann gilt: x + 1 = x + 0 (2) = (x + 0) (1) = x. II. Multiplikation natürlicher Zahlen. 1.4 Satz. Zu jedem x N gibt es genau eine Funktion m x : N N mit den Eigenschaften (3) m x (0) = 0 (4) m x (y ) = m x (y) + x für alle y N. Der Beweis verläuft analog zum Beweis von 1.2 und wird daher weggelassen. Setze x y := m x (y) für alle x, y N. (3) und (4) bedeuten somit x 0 = 0 und x (y + 1) = (x y) + x für alle x, y N. Ferner ist x 1 = x (0 ) = x 0 + x = 0 + x = x + 0 = x. Definition. Die Verknüpfung : N N N, (x, y) x y heißt Multiplikation natürlicher Zahlen. 1.5 Satz Für alle natürlichen Zahlen x, y, z gilt x y = y x (Kommutativgesetz) x (y + z) = (x y) + (x z) (Distributivgesetz) x (y z) = (x y) z (Assoziativgesetz) Beweise nur das Distributivgesetz. Halte x, y fest und setze M := {z x (y + z) = (x y) + (x z)}. Zu zeigen: M = N (i) x (y + 0) = x y = (x y) + 0 = (x y) + (x 0), also 0 M. (ii) Sei z M, d.h. x (y + z) = (x y) + (x z). Es folgt x (y + z ) = x ((y + z) ) = (x (y + z)) + x = ((x y) + (x z)) + x = (x y) + ((x z) + x) = (x y) + (x z ), also z M. 4

5 Nach (C) gilt daher M = N. Konvention. Wir lassen künftig den Malpunkt weg und schreiben kurz x + y + z für x + (y + z) = (x + y) + z, xyz für x(yz) = (xy)z; xy + z für (xy) + z z + xy für z + (xy) (Punktrechnung vor Strichrechnung). III. Der Rekursionssatz. Bei der Definition von Addition und Multiplikation sind wir nach dem folgenden Schema vorgegangen: (i) Man definiert a x (0) bzw. m x (0). (ii) Man gibt an, wie a x (y ) bzw. m x (y ) aus a x (y) bzw. m x (y) zu berechnen ist. Diese Vorgehen nennt man rekursive (induktive) Definition. Sie funktioniert ganz allgemein: 1.6 Rekursionssatz. (ohne Beweis.) Sei A eine Menge, g : A A eine Abbildung und α A ein Element. Dann gilt es genau eine Funktion f : N A mit folgenden Eigenschaften: (i) f(0) = α; (ii) f(n ) = g(f(n)) für alle n N. (f(0) = α, f(1) = g(f(0)) = g(α), f(2) = g(f(1)) = g(g(α), f(3) = g(g(g(α))),...). Beispiele. a) A = N, g(a) = a, α N : f(n) = a α (n) = α + n b) A = N, g = a x, α = 0 : f(n) = m x (n) = x n Rekursive Folgen. Man nennt eine Abbildung f : N A auch eine Folge von Elementen aus A und schreibt auch f n für f(n), (f n ) n N oder f 0, f 1, f 2,... für f. Beispiele. f = c : N N n c ist die konstante Folge c, c, c,.... f : N N, n 2 n ist die Folge 1, 2, 4, 8, 16, 32,... Eine Folge f, die wie in 1.6 definiert ist, nennt man eine rekursive Folge. 5

6 Es wird in diesem Fall eine Abbildung g : A A und ein α A vorgegeben und erklärt (i) f 0 = α ; f n+1 = g(f n ) Man nennt α das Anfangsglied und g eine Rekursionsgleichung für die Folge f. Beispiel. Sei g : R R, g(x) = 1 ; α = 1. Dann ist f 1+x 0 = 1, f n+1 = 1 Die Folgenglieder berechnen sich nacheinander als f 0 = 1, f 1 = = 1 2, f 2 = = 2 3, f 3 = = 3 5,... 1+f n. Allgemeiner kann man rekursive Folgen definieren, indem man angibt, wie ein Folgenglied aus den k vorangegangenen berechnet werden soll (k fache Rekursion): (1.6) Satz. Sei g : R k R eine Funktion in k Variablen. Dann wird durch Vorgabe von f 0,..., f k 1 und die Rekursionsvorschrift f n+k = g(f n,..., f n+k 1 ) für n = 0, 1, 2,... eine eindeutig bestimmte Folge definiert. Beispiel. k = 2, g(x, y) = x + y; f 0 = 0, f 1 = 1 : f n+2 = g(f n, f n+1 ) = f n + f n+1 = Summe der beiden vorangegangenen Folgenglieder. Die Folge beginnt mit 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,... Es handelt sich um die berühmte Fibonacci Folge. Das Induktionsaxiom (C) läßt sich auch etwas anders formulieren: (V) Beweisprinzip der vollständigen Induktion. Sei A = A(n) eine Aussage über natürliche Zahlen. Es sei bekannt: (a) (Induktionsbeginn) A(0) ist richtig. (b) (Induktionsschluß) Aus der Gültigkeit von A(x) (Induktionsannahme) folgt stets die Gültigkeit von A(x + 1). Dann ist A allgemein (d.h. für alle n N) richtig. Beweis. Sei M := {x x N und A(x) gilt}. Zu zeigen: M = N. 6

7 (i) 0 M, da A(0) gilt. (ii) Sei x M, dann gilt A(x). Nach Voraussetzung gilt dann auch A(x+1). Also ist x + 1 M. Nach (C) ist daher M = N. IV. Die Anordnung der natürlichen Zahlen. 1.7 Satz. Für alle x, y, z N gilt: a) Aus x + y = x + z folgt y = z ( Kürzungsregel ). b) Aus x + y = 0 folgt: x = 0 und y = 0. Beweis. a) Zu zeigen: Aus y z folgt x + y x + z. Halte y, z mit y z fest; setze M = {x x + y x + z} Zeige mit Hilfe von (C), daß M = N. (i) 0 + y = y z = 0 + z, also 0 M. (ii) Sei x M, d.h. x + y x + z = (x + y) (x + z) nach (A). Aber (x + y) = (y + x) = y + x und (x + z) = (z + x) = z + x ; also ist y + x z + x und somit x M. Nach (C) folgt M = N. b) Aus y 0 folgt y = w mit w N nach 1.1, und x + y = x + w = (x + w) 0 nach (B). Analog schließt man, wenn x 0 ist. 1.8 Korollar. Für x, y N tritt genau einer der folgenden Fälle ein: (1) x = y (2) Es gibt ein u 0 in N mit x = y + u (3) Es gibt ein v 0 in N mit y = x + v Beweis. Unvereinbarkeit: Wegen 1.7a) ist y + u y für u 0. Also sind (1) und (2) unvereinbar. Entsprechend zeigt man dies für (1) und (3). Aus (2) und (3) folgt x = y + u = (x + v) + u = x + (v + u), also v = u = 0 nach 1.7a) und b); Widerspruch. 7

8 Eintreffen eines der drei Fälle: Halte x fest, zeige induktiv die Aussage A(y) : Für x, y gilt (1), (2) oder (3). Induktionsbeginn: y = 0 : x = y + x = (1) oder (2) gilt für x, y Induktionsannahme: Für x, y gilt (1), (2) oder (3). Schluß von y auf y + 1: Wir unterscheiden zwei Fälle: a) (1) oder (3) gilt für x, y = y = x+v, v N = y+1 = x+(v+1) = v nach 1.7b) und (3) gilt für x, y + 1. b) (2) gilt für x, y = x = y + u, u = u = w = w + 1, w N = x = (y + 1) + w, w N = (1) oder (2) gilt für x, y + 1. Definition. x < y := y = x + v mit v 0 (Fall (3)) Im Fall (2) ist daher y < x. Aus 1.8 ergibt sich 1.9 Korollar. Für x, y tritt genau einer der Fälle x = y, x < y oder y < x ein. Im Fall x < y (sprich x kleiner als y ) schreibt man auch y > x (sprich y größer als x ). Definition. x y := x > y oder x = y x y := x < y oder x = y 1.10 Korollar. Die Relation ist eine lineare Ordnung (oder Totalordnung) auf N, d.h.: (1) x x (Reflexivität) (2) Aus x y und y x folgt x = y (Antisymmetrie) (3) Aus x y und y z folgt x z (Transitivität) Ist dabei x y oder y z, so ist auch x z. (4) Es gilt x y oder y x. Beweis. (1), (2) und (4) sind klar nach 1.9. Zu (3): y = x + v, z = y + w = z = x + (v + w) = x z. Dabei: v 0 oder w 0 = 1.7b) v + w 0 = x < z Korollar. (Monotonie) Für alle x, y, z N gilt 8

9 a) Aus x y folgt x + z y + z b) Aus x y folgt x z y z Beweis. a) y = x + u = y + z = x + u + z = (x + z) + u b) y = x + n = yz = (x + u)z = xz + uz Definition. Sei A N nicht leer. Ein Element a 0 A heißt Minimum von A (oder kleinstes Element von A) wenn a 0 a für alle a A (Schreibe dann a 0 = MinA) Prinzip vom kleinsten Element. Jede nicht leere Menge natürlicher Zahlen besitzt ein Minimum. Dieses ist eindeutig bestimmt. Die Eindeutigkeit folgt aus 1.10 (2). Beweis. 0 A = 0 = Min A, denn 0 n für alle n N (wg. n = 0 + n). Sei nun 0 A. Angenommen A besitze kein Minimum. Setze B := {n n N und n < x für alle x A}. Es folgt B A =. Wegen A folgt B N. Zeige, daß auch B = N, Widerspruch. (i) Wegen 0 A ist 0 < x für alle x A, also 0 B. (ii) Sei n B. Dann ist n < x für alle x A. Es folgt n + 1 x für alle x A. Da A kein Minimum besitzt ist n + 1 A. Also gilt n + 1 < x für alle x A, d.h. n + 1 B. Nach (C) gilt daher B = N Satz. N ist nullteilerfrei, d.h. Aus x 0 und y 0 folgt: x y 0 Beweis. y = z, z N (nach 1.1). Also gilt wegen x 0 xy = xz = xz + x 0 nach 1.7b). 9