Grundwissen Mathematik 8

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Grundwissen Mathematik 8"

Transkript

1 Grundwissen Mthemtik 8 Proportionle Zuordnung Gehört bei einer Zuordnung zweier Größen zu einem Vielfchen der einen Größe ds gleiche Vielfche der nderen Größe, so heißt sie proportionle Zuordnung. Die Quotienten zugeordneter Größen sind gleich. (Erkennungsmerkml bei Wertetbellen) Der konstnte Quotient q y heißt Proportionlitätsfktor. Die Zuordnungsvorschrift einer proportionlen Zuordnung ht die Form q. Beispiel: Getnkte Benzinmenge Preis Ist 0 Liter 6 So uch 60 Liter y y/,,, q 6 : 0 Liter,0 Liter Zuordnungsvorschrift,0 Liter Die Punkte des Grphen liegen uf einer Gerden durch den Ursprung des Koordintensystems. Der Dreistz (Schlussrechnung) drf ngewendet werden Umgekehrt proportionle Zuordnung Gehört bei einer Zuordnung zweier Größen zum Doppelten, zum Hlben,..., zum r-fchen der einen Größe die Hälfte, ds Doppelte,..., ds r -fche der nderen Größe, so heißt sie umgekehrt proportionle Zuordnung Die Produkte zugeordneter Größen sind gleich. Die Zuordnungsvorschrift einer umgekehrt proportionlen Funktion ht die Form p, wobei p ds Produkt ein es Wertepres ist. 0 l 6 l 6 : 0, 0 l,0 0 Beispiel: Austrgen von 50 Zeitungen durch eine Gruppe von Personen. Anzhl der Personen usgetrgene Stückzhl pro Pers. Ist Pers. 60 So uch Pers. 60 y y p 50 Zuordnungsvorschrift 50 Die Punkte des Grphen liegen uf einer Hyperbel. Der Dreistz (Schlussrechnung) drf ngewendet werden Kreis Flächeninhlt A r π Umfng U rπ Kreiszhl π, Pers 60 Pers Pers 50:0

2 Funktionen Eine Zuordnung y, die jedem Wert für jeweils nur einen einzigen Wert für y zuordnet, heißt Funktion. Ein Grph ist nur dnn Grph einer Funktion wenn jede Prllele zur y-achse den Grphen in höchstens einem Punkt schneidet. + (linere Funktion) (qudrtische Funktion) (umgekehrt prop.funktion) Funktion Keine Funktion Jeder Funktionsterm f() legt eine Funktion f: f() fest. Die Menge ller Zhlen, für die bei einer Funktion f ein Funktionswert berechnet werden knn, nennt mn Definitionsmenge D bzw. D f. Die errechenbren Werte bilden die Wertemenge. Ein Punkt P ( p / y p ) liegt uf dem Grphen G von f, wenn die Koordinten von P die Funktionsgleichung y p f( p ) erfüllen. Nullstelle einer Funktion: -Koordinte eines Schnittpunktes eines Funktionsgrphen G t mit der -Achse Anstz: Lösung der Gleichung f() 0. Schnittpunkt mit der y-achse: Anstz: f(0) berechnen Schnittpunkte zweier Funktionsgrphen f und g Anstz: Lösung der Gleichung f() g(). Linere Funktion llgemeine Zuordnungsvorschrift f: m + t Der Grph ist eine Gerde mit Steigung m und y- Achsenschnittpunkt (0/t). Berechnung der Steigung us den Koordinten zweier y y Punkte: m Je größer m ist, desto steiler ist die Gerde. Für m<0 fällt, für m>0 steigt die Gerde; für m0 verläuft sie prllel zur -Achse Alle Gerden mit gleicher Steigung m sind prllel. Besondere Gerden: y Ursprungsgerde y Prllele zur -Achse durch (0 ) Linere Ungleichungen Ungleichungen können mit Hilfe denselben Äquivlenzumformungen gelöst werden wie Gleichungen - mit einer Ausnhme: Bei der Multipliktion oder Division mit einer negtiven Zhl uf beiden Seiten der Ungleichung muss ds Ungleichheitszeichen umgekehrt werden. f() besitzt die mimle Definitionsmenge D m Q\{} f () - P ( /5) liegt uf G von f mit Denn: 5. ist whr Nullstelle: 0 -,5 bzw (,5/0) S y : f(0) 0- - S y (0/-) f : + ; g : ) S ( Gerdengleichung us Punkten ufstellen: z.b.: Gerde g soll durch A( 5) und B(- ) verlufen: Steigung: 5 m, lso: ( ) g : y + t Nun Koordinten von A einsetzen: t und dmit t ; lso: y + (-) > > > > : > L ]- ; [

3 Linere Gleichungen mit zwei Vriblen: Für linere Gleichungen der Form + b y c (bei der nicht gleichzeitig 0 und b 0 sind) mit den Vriblen und y gilt:. Jede Lösung besteht us einem Zhlenpr.. Es gibt unendlich viele Lösungen.. Die den Lösungen entsprechenden Punkte liegen uf einer Gerden. Linere Gleichungssysteme mit zwei Vriblen Ein Zhlenpr heißt Lösung eines lineren Gleichungssystems, flls ds Pr jede Gleichung des Systems erfüllt. Zeichnerisches Lösen eines LGS mit zwei Vriblen Zunächst zeichnet mn die zu den beiden Gleichungen gehörenden Gerden (Auflösen nch y). Die gemeinsmen Punkte (Schnittpunkt oder gesmte Gerde) bilden die Lösung des lineren Gleichungssystems. Zwei Rechenverfhren zum Lösen eines LGS l. Beim Einsetzungsverfhren wird eine der beiden Gleichungen nch einer Vriblen ufgelöst. Der Term, den mn für diese Vrible erhält, wird dnn in die ndere Gleichung eingesetzt.. Beim Additionsverfhren werden die beiden Gleichungen so ddiert, dss dbei eine Vrible wegfällt". Dzu muss häufig zunächst eine (oder beide) Gleichung(en) mit einer geeigneten Zhl multipliziert werden. Die Lösung der durch. oder. entstndenen Gleichung wird in eine der ursprünglichen Gleichungen eingesetzt und so der Wert der nderen Vriblen bestimmt. Whrscheinlichkeitsrechnung Zufllseperimente: Eperimente mit unvorhersehbrem, nur von Zufll bhängigen Ausgng. Ergebnisrum: Die Zusmmenfssung ller möglichen Ergebnisse eines Zufllseperiments zu einer Menge. Zufllseperimente lssen sich häufig durch Bumdigrmme übersichtlich drstellen: Ds Zählprinzip verwendet mn m einfchsten im Zusmmenhng mit einem Bumdigrmm. Ht die erste Verzeigung n Äste und die zweite m Äste, so gibt es n m Möglichkeiten Beispiel: y y + y + : y,5 + (Lösungsgerde) Beispiel : (I) +y8 (II) 5-y Zu. (II ) 5- y (II ) in (I): +(5- )8... Einsetzen in (II ) liefert y Zu. (II) 5-y (II ) 0-y6 (II ) + (I): : Einsetzen in (II) liefert y Münzwurf Ω { Z, K } Würfeln Ω {,,,, 5, 6} Beispiel: zweifcher Münzwurf: K K Z Z K Z Im obigen Beispiel Möglichkeiten Beim zweimligen Würfeln ergeben sich so Möglichkeiten

4 Lplce-Eperiment Bei mnchen Zufllseperimenten knn mn us Symmetrie-Gründen lle Ergebnisse ls gleichberechtigt nsehen. Mn knn sich dnn keinen Grund denken, wrum bei häufiger Durchführung des Zufllseperi-mentes ein Ergebnis bevorzugt uftritt. Mn spricht in diesem Fll von einem Lplce- Eperiment Für Lplce-Eperiment gilt: P ( A) A Ω dh. Anzhl der günstigen Ergebnisse durch Anzhl der möglichen Ergebnisse Kürzen von Bruchtermen Zähler und Nenner durch denselben Term dividieren(gegebenflls erst usklmmern). Achtung! Nicht us Summen und Differenzen kürzen Lplce-Eperimente und zugehörige Ergebnisräume: Würfel: Ω {,..., 6}, G{,, 6} Augenzhl gerde G P ( G) Ω 6 Aber nicht Glücksrd mit unterschiedlich großen Sektoren (60 ;0 ;80 ) Augensumme beim zweimligen Würfeln: Lplce - Ergebnisrum: Ω { (;), (;),..., (6;6)} Für Ω {,,..., } trifft die Lplce - Annhme nicht zu ( ) + 5 ( + ) ( + ) ( + ) Addieren und Subtrhieren von Bruchtermen Brüche mit gleichem Nenner werden ddiert bzw. subtrhiert, indem mn die Zähler ddiert bzw subtrhiert und den Nenner beibehält. ( + ) ( + ) Multiplizieren von Bruchtermen Bruchterme multipliziert mn, indem mn jeweils die Zähler und die Nenner multipliziert und gegebenenflls kürzt Dividieren von Bruchtermen Ansttt durch einen Bruchterme zu dividieren, multipliziert mn mit seinem Kehrbruch ( ) : 5 ( ) 5 5 Lösen von Bruchgleichungen Definitionsbereich: (Ausschließen der Nennernullstellen!) Huptnenner: beide Seiten mit HN multiplizieren: Kürzen: Ausrechnen: Prüfe: D? Flls j, dnn Erbebnis in L ufnehmen (sonst L{}) - ; - D Q\{0;} Huptnenner: ( - ) - ; (-) (-) (-) - ( ) ( ) ;... L {}

5 5 Gebrochenrtionle Funktionen Besitzen häufig hyperbelähnliche Grphen. Die senkrechten Asymptoten können sich nur bei den Nennernullstellen ergeben (Für welche Werte wird der Nenner fst 0 und dmit, flls Zähler nicht uch Null wird, der Wert des Bruches sehr groß). Die wgrechten Asymptoten ergeben sich wenn mn für sehr große/kleine Werte einsetzt. Potenzen: Für n IN n und... n Fktoren und 0 gilt: und y + y 0 und n für 0 n Strhlenstz Vorussetzung: Zwei sich schneidende Gerden (g, g ) werden von zwei zueinnder prllelen Gerden geschnitten. Je zwei Abschnitte uf g verhlten sich wie die entsprechenden Abschnitte uf g. Die Abschnitte uf den Prllelen verhlten sich wie die von Z us gemessenen entsprechenden Abschnitte uf g bzw. g. y y : Ähnlichkeit Eigenschften: Wenn zwei Figuren ähnlich sind, sind entsprechende Winkel und entsprechende Seitenverhältnisse gleich groß. z.b. f ( ) + hier: Asymptoten : - und y - Beispiele 8 0, k, ( ) s 9 7,6 9 +, u, 7 8,9 r, 8,9, 0 Ähnlichkeitssätze: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn zwei Winkel des einen mit zwei Winkeln des ndern übereinstimmen. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis ihrer Seiten übereinstimmen.

Grundwissen Mathematik 8. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele

Grundwissen Mathematik 8. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele Themen Direkte Proportionlität Eigenschften Besonderheiten - Beispiele Zwei Größen und y heißen direkt proportionl, wenn gilt: Zum k-fchen Wert von gehört der k-fche Wert von y; Der Quotient q = y ht für

Mehr

Wirsberg-Gymnasium Grundwissen Mathematik 8. Jahrgangsstufe. -fache

Wirsberg-Gymnasium Grundwissen Mathematik 8. Jahrgangsstufe. -fache Wirsberg-Gymnsium Grundwissen Mthemtik. Jhrgngsstue Lerninhlte Fkten-Regeln-Beispiele Proportionlität Gehört bei einer Zuordnung zum r-chen der einen Größe ds r-che der nderen Größe, so spricht mn von

Mehr

Themenbereich 1: Proportionalitätszuordnungen. Proportionale Zuordnungen. y bzw. Umgekehrt proportionale Zuordnungen. 6000g

Themenbereich 1: Proportionalitätszuordnungen. Proportionale Zuordnungen. y bzw. Umgekehrt proportionale Zuordnungen. 6000g Themenbereich : Proportionalitätszuordnungen Benzinmenge in Abhängigkeit von dem Preis: Proportionale Zuordnungen Wenn eine Größe verdoppelt wird, führt dies zur Verdoppelung der Anderen Die Zuordnungsvorschrift

Mehr

Grundwissen Mathematik Klasse 8. Beispiel: m= 2,50 1 = 5,00. Gleichung: y=2,50 x. Beispiel: c=1,5 160=2,5 96=3 80=6 40=240.

Grundwissen Mathematik Klasse 8. Beispiel: m= 2,50 1 = 5,00. Gleichung: y=2,50 x. Beispiel: c=1,5 160=2,5 96=3 80=6 40=240. I. Funktionen 1. Direkt proportionale Zuordnungen Grundwissen Mathematik Klasse x und y sind direkt proportional, wenn zum n fachen Wert für x der n fache Wert für y gehört, die Wertepaare quotientengleich

Mehr

CJT-Gymnasium Lauf Grundwissen (& Aufgaben) Jahrgangsstufe 8 (7/2007)

CJT-Gymnasium Lauf Grundwissen (& Aufgaben) Jahrgangsstufe 8 (7/2007) CJT-Gmnsium Lu Grundwissen (& Augben) Jhrgngsstue 8 (7/007) Wissen / Können. Kreis Für einen Kreis mit Rdius r gilt: Umng: U = π r Flächeninhlt: A = π r π 3, 4 heißt Kreiszhl. 7. Zuordnungen Eine Zuordnung

Mehr

Bruchterme und gebrochen rationale Funktionen ================================================================== Der Quotient zweier Terme

Bruchterme und gebrochen rationale Funktionen ================================================================== Der Quotient zweier Terme Bruchterme und gebrochen rtionle Funktionen Der Quotient zweier Terme Es ist ist 3 : 4 3 und. 4 : 3 4 3 4 Dehnt mn die Bruchschreibweise uf Terme us, dnn erhält mn sog. Bruchteme. ² ( + ) : (3 + 4) + 3

Mehr

Teilbarkeitsregeln. 6.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 6. Teilbarkeit durch 2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Endziffer gerade ist.

Teilbarkeitsregeln. 6.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 6. Teilbarkeit durch 2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Endziffer gerade ist. 6.1 Grundwissen Mthemtik Algebr Klsse 6 Teilbrkeitsregeln Definition und Regeln Teilbrkeit durch 2: Eine Zhl ist durch 2 teilbr, wenn die Endziffer gerde ist. Teilbrkeit durch 3: Eine Zhl ist durch 3 teilbr,

Mehr

8.1 Proportionalität. 8.2 Funktionen Proportionale Zuordnungen Funktion. P = x y ist der Vorrat von 6000g.

8.1 Proportionalität. 8.2 Funktionen Proportionale Zuordnungen Funktion. P = x y ist der Vorrat von 6000g. Gmnasium bei St. Anna, Augsburg Seite Grundwissen 8. Klasse 8. Proportionalität 8.. Proportionale Zuordnungen Gehört bei einer Zuordnung zweier Größen zu einem Vielfachen der einen Größe das gleiche Vielfache

Mehr

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................

Mehr

1.1 Direkte Proportionalität

1.1 Direkte Proportionalität Beziehungen zwischen Größen. Direkte Proportionalität Bei einer direkten Proportionalität wird dem doppelten, dreifachen,...wert der einen Größe x der doppelte, dreifache,... Wert der anderen Größe y zugeordnet.

Mehr

Grundwissen Mathematik 8.Jahrgangsstufe G8

Grundwissen Mathematik 8.Jahrgangsstufe G8 Grundwissen Mathematik 8.Jahrgangsstufe G8 Funktionale Zusammenhänge Direkte Proportionalität Entspricht bei zwei einander zugeordneten Größen und y dem -, -, -, k-fachen der einen Größe das -, -, -, k-fache

Mehr

GRUNDWISSEN MATHEMATIK. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard

GRUNDWISSEN MATHEMATIK. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard GRUNDWISSEN MATHEMATIK 8 Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing J O H A N N E S - N E P

Mehr

R. Brinkmann Seite Brüche, Terme und lineare Funktionen zur Vorbereitung einer Klassenarbeit. b)

R. Brinkmann  Seite Brüche, Terme und lineare Funktionen zur Vorbereitung einer Klassenarbeit. b) R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 9.09.0 Lösungen Linere Funktionen VBKA I Brüche, Terme und linere Funktionen zur Vorbereitung einer Klssenrbeit E E ) + = 8 0 0 ) 5 5 = 6 b) 7 9 = 8 7 56 b) 5 :

Mehr

Grundwissen Mathematik 8.Klasse Gymnasium SOB. Darstellung im Koordinatensystem: Der Kreisumfang ist direkt proportional zu seinem Radius.

Grundwissen Mathematik 8.Klasse Gymnasium SOB. Darstellung im Koordinatensystem: Der Kreisumfang ist direkt proportional zu seinem Radius. Gymso 1 Grundwissen Mthemtik 8.Klsse Gymnsium SOB 1.Funktionle Zusmmenhänge 1.1.Proportionlität Ändern sih ei einer Zuordnung die eiden Größen im gleihen Verhältnis, so spriht mn von einer direkten Proportionlität.

Mehr

Direkte Proportionalität

Direkte Proportionalität M 8.1 Direkte Proportionalität Zwei einander zugeordnete Größen und sind (direkt) proportional, wenn zum -fachen Wert von der -fache Wert von gehört. der Quotient = für alle Wertepaare gleich ist. (= Proportionaliätsfaktor

Mehr

Grundwissen Mathematik 9

Grundwissen Mathematik 9 Grundwissen Mthemtik 9 Die binomischen Formeln ( + b) + b + b ( - b) - b + b ( + b) ( - b) - b Insbesondere benutzt mn die binomischen Formeln um Summen und Differenzen in Produkte umzuwndeln Die Qudrtwurzel

Mehr

Der Kreissektor (Kreisausschnitt) Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel ϕ : Bogenlänge: b Sektor. Flächeinhalt:: ASektor

Der Kreissektor (Kreisausschnitt) Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel ϕ : Bogenlänge: b Sektor. Flächeinhalt:: ASektor Grundwissen Mthemtik 0.Klsse 0 / Die Kugel Volumen der Kugel: Oberfläche der Kugel: V O Kugel Kugel 4 πr 4πr Der Kreissektor (Kreisusschnitt) Kreissektors mit dem Mittelpunktswinkel ϕ : ϕ Bogenlänge: b

Mehr

1. Funktionale Zusammenhänge

1. Funktionale Zusammenhänge 1. Funktionale Zusammenhänge Proportionalität Grundwissen 8 Eigenschaften direkt proportionaler Größen x und y: zum n-fachen Wert von x gehört der n-fache Wert von y die Wertepaare (x ; y) sind quotientengleich,

Mehr

Direkte Proportionalität

Direkte Proportionalität M 8.1 Direkte Proportionalität Zwei einander zugeordnete Größen und sind (direkt) proportional, wenn zum -fachen Wert von der -fache Wert von gehört. der Quotient für alle Wertepaare gleich ist. ( Proportionaliätsfaktor

Mehr

Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen

Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen Mthemtik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen von Stefn Gärtner (Gr) Stefn Gärtner -00 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Inhlt Inhltsverzeichnis Seite Grundwissen Ws ist ein Bruch? Rtionle Zhlen Q Erweitern

Mehr

Analysis mit dem Voyage 1

Analysis mit dem Voyage 1 Anlysis mit dem Voyge 1 1. Kurvendiskussion Gegeben ist die Funktionschr Den Nenner erhält mn mit Hilfe der Funktion getdenom. Zeros liefert die Nullstellen des Nenners und dmit die Werte, die us dem Definitionsbereich

Mehr

Grundwissen. Die Menge der reellen Zahlen 0 =0. Beispiele

Grundwissen. Die Menge der reellen Zahlen 0 =0. Beispiele Grundwissen Klsse 9 Die Menge der reellen Zhlen Die Umkehrung des Qudrierens wird für nicht negtive Zhlen ls Ziehen der Wurzel oder Rdizieren ezeichnet. Die Qudrtwurzel us (kurz: Wurzel us ) ist dei die

Mehr

Grundwissen Mathematik Klasse 9 Übungsaufgaben

Grundwissen Mathematik Klasse 9 Übungsaufgaben Grundwissen Mthemtik Klsse 9 Übungsufgben Rechnen mit Wurzeln:. Rdiziere so weit wie möglich! 7 8 b c d) e) ( b ) f) b c ( ) g) b b. Berechne! ( 8 8 )( 7 ) 7 9 9. Mche den Nenner rtionl und vereinfche

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 www.mthe-ufgben.com Abiturprüfung Mthemtik 013 (Bden-Württemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe 1 1.1 Die Funktion f ist gegeben durch π f( x) = + sin x ; x. Ds Schubild von f ist K. 1.1.1 (8 Punkte)

Mehr

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen Qudrtische Funktionen Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Drstellungsform von qudrtischen Funktionen, nhnd der viele geometrische Eigenschften des Funktionsgrphen bgelesen werden können. Abbildung

Mehr

Fachschaft Mathematik am Gymnasium Donauwörth

Fachschaft Mathematik am Gymnasium Donauwörth Algebr 7: Zusmmenfssen gleichrtiger Terne: ) 5x 7x 3 3x + 5x +8 b) 3u 9v [(3u 8w) (u + 9v)] c) Distributivgesetz: ) -0,4c (,5 3 c 0, c 3 ) b) 7u 5 3u (u 3) 5 (u 4u + ) Ausmultiplizieren von Klmmern: )

Mehr

2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )

2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in ) . Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = 3 Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren.

Mehr

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem

Mehr

1 Kurvendiskussion /40

1 Kurvendiskussion /40 009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Kurvendiskussion /0 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung: f ( ) 0 6 = ; mit.. Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte von f im Unendlichen.

Mehr

3. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner

3. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner 3. Mthemtik-Schulrbeit für die 5. Klsse Autor: Gottfried Gurtner Arbeitszeit: 75 Minuten Lernstoff: Mthemtische Grundkompetenzen: AG.1 Einfche Terme und Formeln ufstellen, umformen und im Kontext deuten

Mehr

Bruchterme I. Definitionsmenge eines Bruchterms

Bruchterme I. Definitionsmenge eines Bruchterms Bruchterme I Definitionsmenge eines Bruchterms Alle zulässigen Einsetzungen in einen Bruchterm ilden die Definitionsmenge D. Einsetzungen, für die der Nenner Null wird, gehören nicht zur Definitionsmenge.

Mehr

Rechenregeln. Bezeichnung Regel Bemerkung/Beispiel. Der Betrag einer Zahl ist stets ein positiver Wert. Strichrechnungen

Rechenregeln. Bezeichnung Regel Bemerkung/Beispiel. Der Betrag einer Zahl ist stets ein positiver Wert. Strichrechnungen 1 Rechenregeln Betrg einer Zhl Subtrktion Kommuttivität der Addition (Vertuschungsgesetz) Assozitivgesetz der Addition (Verbindungsgesetz) Vorzeichenregeln Vorzeichen vor Klmmern Definition der Multipliktion

Mehr

Direkte Proportionalität. Zwei einander zugeordnete Größen und sind (direkt) proportional, wenn

Direkte Proportionalität. Zwei einander zugeordnete Größen und sind (direkt) proportional, wenn M 8.1 Direkte Proportionalität Zwei einander zugeordnete Größen und sind (direkt) proportional, wenn zum -fachen Wert von der -fache Wert von gehört. der Quotient für alle Wertepaare gleich ist. ( Quotientengleichheit

Mehr

Grundwissen Klasse 10

Grundwissen Klasse 10 Grundwissen Klsse 0 I. Funktionen. Potenzfunktionen und gnzrtionle Funktionen (Mthehelfer : S.56-57) - Grphen von Potenzfunktionen mit gnzzhligen Eponenten zeichnen - Grphen von gnzrtionlen Funktionen

Mehr

Grundwissen. 8. Jahrgangsstufe. Mathematik

Grundwissen. 8. Jahrgangsstufe. Mathematik Grundwissen 8. Jahrgangsstufe Mathematik Grundwissen Mathematik 8. Jahrgangsstufe Seite 1 1 Proportionalität 1.1 Direkte Proportionalität Eigenschaften: y Quotientengleichheit Bei kommt immer das Gleiche

Mehr

Direkt und indirekt proportionale Größen

Direkt und indirekt proportionale Größen 8.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 8 Direkt und indirekt proportionale Größen Direkte Proportionalität x und y sind direkt proportional, wenn zum doppelten, dreifachen,, n-fachen Wert für x der

Mehr

Lösungen Quadratische Gleichungen. x = x x = Also probieren wir es 3 4 = 12. x + + = Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf:

Lösungen Quadratische Gleichungen. x = x x = Also probieren wir es 3 4 = 12. x + + = Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf: Aufgbe : ) Lösen Sie die folgenden Gleichungen nch uf: = kein Problem einfch die Wurel iehen und ds ± nicht vergessen.. = = ±, b) + 5 = 0 Hier hben wir bei jedem Ausdruck ein, lso können wir usklmmern:

Mehr

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren Vektoren In nderen Bereichen der Nturwissenschften treten Größen uf, die nicht nur durch eine Zhlenngbe drgestellt werden können, wie Krft, die Geschwindigkeit. Zur vollständigen Beschreibung z.b. der

Mehr

Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III

Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III Grundwissen m Ende der Jhrgngsstufe 9 Whlpflichtfächergruppe II / III Funktionsbegriff Gerdengleichungen ufstellen und zu gegebenen Gleichungen die Grphen der Gerden zeichnen Ssteme linerer Gleichungen

Mehr

Gebrochenrationale Funktionen (Einführung)

Gebrochenrationale Funktionen (Einführung) Gebrochenrtionle Funktionen (Einführung) Ac Eine gebrochenrtionle Funktion R ist von der Form R(x) P(x) und Q(x) gnzrtionle Funktionen n-ten Grdes sind. P(x) Q(x), wobei Im Allgemeinen ht eine gebrochenrtionle

Mehr

1. Funktionen. 1.3 Steigung von Funktionsgraphen

1. Funktionen. 1.3 Steigung von Funktionsgraphen Klasse 8 Algebra.3 Steigung von Funktionsgraphen. Funktionen y Ist jedem Element einer Menge A genau ein E- lement einer Menge B zugeordnet, so nennt man die Zuordnung eindeutig. 3 5 6 8 Dies ist eine

Mehr

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2

Mathe Warm-Up, Teil 1 1 2 Mthe Wrm-Up, Teil 1 1 2 HEUTE: 1. Elementre Rechenopertionen: Brüche, Potenzen, Logrithmus, Wurzeln 2. Summen- und Produktzeichen 3. Gleichungen/Ungleichungen 1 orientiert sich n den Kpiteln 3,4,6,8 des

Mehr

Heinz Klaus Strick: Mathematik ist schön, Springer-Verlag, ISBN:

Heinz Klaus Strick: Mathematik ist schön, Springer-Verlag, ISBN: Heinz Klus Strick: Mthemtik ist schön, Springer-Verlg, ISBN: 978--66-79-9 Hinweise zu den nregungen zum Nchdenken und für eigene Untersuchungen zu 8.: zu 8.: Wenn die Dreiteilung des weißen Rechtecks durch

Mehr

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090

Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090 OvTG Guting, Grundwissen Mthemtik 5. Klsse 1. Ntürliche Zhlen Dezimlsystem Mn nennt die Zhlen, die mn zum Zählen verwendet, 10963 = 1 10000+ 0 1000+ 9 100+ 6 10 + 3 1 ntürliche Zhlen. Der Stellenwert der

Mehr

Ein Kluger denkt so viel, dass er keine Zeit zum Reden hat. Ein Dummer redet so viel, dass er keine Zeit zum Denken hat. (Anonym)

Ein Kluger denkt so viel, dass er keine Zeit zum Reden hat. Ein Dummer redet so viel, dass er keine Zeit zum Denken hat. (Anonym) Ein Kluger dent so viel, dss er eine Zeit zum Reden ht. Ein Dummer redet so viel, dss er eine Zeit zum Denen ht. (Anonym) 6 Gnzrtionle Funtionen 6 Gnzrtionle Funtionen Wir wollen nun uch Funtionen betrchten,

Mehr

KOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Erkläre elementar, insbesondere ohne den Hauptsatz zu verwenden, weshalb das Ergebnis die quadratische Funktion

KOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Erkläre elementar, insbesondere ohne den Hauptsatz zu verwenden, weshalb das Ergebnis die quadratische Funktion KOMPETENZHEFT ZUM INTEGRIEREN, II. Aufgbenstellungen Aufgbe.. Wir untersuchen den Flächeninhlt unter der lineren Funktion f(t) = t + im Intervll [; x]. Kurz: F (x) = x f(t) dt Erkläre elementr, insbesondere

Mehr

{ } Menge der natürlichen Zahlen { } Menge der natürlichen Zahlen mit Null { } Menge der ganzen Zahlen

{ } Menge der natürlichen Zahlen { } Menge der natürlichen Zahlen mit Null { } Menge der ganzen Zahlen Themen Ntürliche und gnze gerde Eigenschften Besonderheiten - Beispiele { } Menge der ntürlichen { } Menge der ntürlichen mit Null { } Menge der gnzen IN = 1;2;3;4;... IN 0 = 0;1;2;3;4;... Z =...; 3; 2;

Mehr

Grundwissen. 8. Jahrgangsstufe. Mathematik

Grundwissen. 8. Jahrgangsstufe. Mathematik Grundwissen 8. Jahrgangsstufe Mathematik Grundwissen Mathematik 8. Jahrgangsstufe Seite 1 1 Proportionalität 1.1 Direkte Proportionalität Eigenschaften: y Quotientengleichheit Bei kommt immer das Gleiche

Mehr

BRÜCKENKURS MATHEMATIK

BRÜCKENKURS MATHEMATIK Brückenkurs Linere Gleichungssysteme - Prof. r. M. Ludwig BRÜCKENKURS MATHEMATIK LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Schwerpunkte: Modellbildung Lösungsmethoden Geometrische Interprettion Prof. r. hbil. M. Ludwig

Mehr

BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER

BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER Ds Distributivgesetz. Die binomischen Formeln sind im wesentlichen Vrinten des Distributivgesetzes. Dieses kennen wir schon; es besgt, dss () (b + = b + c und ( + b)c

Mehr

1 Grundlagen der Mathematik Lösen Sie die nachfolgenden grundlegenden Aufgaben.

1 Grundlagen der Mathematik Lösen Sie die nachfolgenden grundlegenden Aufgaben. ALGEBRA GRUNDRECHENARTEN MULTIPLIZIEREN Grundlgen der Mthemtik Lösen Sie die nchfolgenden grundlegenden Aufgben. Beweisen Sie durch Ausrechnung, dss b ) b ist! ( Wichtige mthemtische Regeln: 0 = 0 = 0

Mehr

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 4.1

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 4.1 . Dr. Jürgen Roth Fchbereich 6: Abteilung Didktik der Mthemtik Elemente der Algebr . Inhltsverzeichnis Elemente der Algebr & Argumenttionsgrundlgen, Gleichungen und Gleichungssysteme Qudrtische und Gleichungen

Mehr

/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH

/LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH /LQHDUH*OHLFKXQJVV\VWHPH (für Grund- und Leistungskurse Mthemtik) 6W55DLQHU0DUWLQ(KUHQE UJ*\PQDVLXP)RUFKKHLP Nch dem Studium dieses Skripts sollten folgende Begriffe eknnt sein: Linere Gleichung; homogene

Mehr

M 8.1. Direkte Proportionalität. Wann heißen zwei Größen (direkt) proportional? Ananas kosten. Bestimme den Proportionalitätsfaktor.

M 8.1. Direkte Proportionalität. Wann heißen zwei Größen (direkt) proportional? Ananas kosten. Bestimme den Proportionalitätsfaktor. M 8.1 Direkte Proportionalität Wann heißen zwei Größen (direkt) proportional? Ananas kosten Wie viel kosten Ananas? Bestimme den Proportionalitätsfaktor. Zeichne den Graphen der Zuordnung. M 8.2 Indirekte

Mehr

Grundwissen Mathematik 7I

Grundwissen Mathematik 7I Winkel m Kreis Grundwissen themtik 7I Rndwinkelstz Der Winkel heißt ittelpunktswinkel über der Sehne []. Die Winkel n sind die Rndwinkel über der Sehne []. lle Rndwinkel über einer Sehne eines Kreises

Mehr

Herleitung der Strasse für quadratische Räder

Herleitung der Strasse für quadratische Räder Herleitung der Strsse für qudrtische Räder P = P( P / y P ) sei der Berührungspunkt des Rdes mit der Strsse bzw mit der gesuchten Kurve P = P ( / y ) sei der Mittelpunkt der entsprechenden Qudrtseite des

Mehr

4.5 Integralrechnung II. Inhaltsverzeichnis

4.5 Integralrechnung II. Inhaltsverzeichnis 4.5 Integrlrechnung II Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 22.02.2010 Theorie und Übungen 2 Wir hben im ersten Skript beobchtet, dss ein Zusmmenhng besteht zwischen der Formel für die Fläche A 0b und der

Mehr

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt

Mehr

Grundsätzliche Voraussetzungen für die Fachoberschule ab Klasse 11 im Fach Mathematik

Grundsätzliche Voraussetzungen für die Fachoberschule ab Klasse 11 im Fach Mathematik Grundsätzliche Vorussetzungen für die Fchoberschule b Klsse im Fch Mthemtik Zum Eintritt in die Fchoberschule ist der mittlere Bildungsbschluss Vorussetzung. Ds heißt, im Fch Mthemtik werden die, bis zur

Mehr

Flächenberechnung. Aufgabe 1:

Flächenberechnung. Aufgabe 1: Flächenerechnung Aufge : Berechnen Sie den Flächeninhlt zwischen dem Funktionsgrphen und der -Achse in den Grenzen von is von: ) f() = ) f() = - Skizzieren Sie die Funktionsgrphen und schrffieren Sie die

Mehr

Funktionen. Kapitel 6. Reelle Funktion. Graph einer Funktion. Beispiel. Beispiel. Zeichnen eines Graphen. Bijektivität

Funktionen. Kapitel 6. Reelle Funktion. Graph einer Funktion. Beispiel. Beispiel. Zeichnen eines Graphen. Bijektivität Reelle Funktion Kpitel 6 Funktionen Reelle Funktionen sind Abbildungen, in denen sowohl die Definitionsmenge ls uch die Wertemenge Teilmengen von R üblicherweise Intervlle) sind. Bei reellen Funktionen

Mehr

Analytischen Geometrie in vektorieller Darstellung

Analytischen Geometrie in vektorieller Darstellung Anltische Geometrie Anltischen Geometrie in vektorieller Drstellung Anltische Geometrie Gerden Punkt-Richtungs-Form () Mit Hilfe von Vektoren lssen sich geometrische Ojekte wie Gerden und Eenen eschreien

Mehr

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist,

Wurzeln. bestimmen. Dann braucht man Wurzeln. Treffender müsste man von Quadratwurzeln sprechen. 1. Bei Quadraten, deren Fläche eine Quadratzahl ist, Seitenlängen von Qudrten lssen sich mnchml sehr leicht und mnchml etws schwerer Wurzeln bestimmen. Dnn brucht mn Wurzeln. Treffender müsste mn von Qudrtwurzeln sprechen. Sie stehen in enger Beziehung zu

Mehr

Differenzial- und Integralrechnung III

Differenzial- und Integralrechnung III Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in

Mehr

Grundwissen Mathematik Klasse 8

Grundwissen Mathematik Klasse 8 Grundwissen Mathematik Klasse 8 1. Funktionen allgemein (Mathehelfer 2: S.47) Erstellen einer Wertetabelle bei gegebener Funktionsgleichung Zeichnen des Funktionsgraphen Ablesen von Wertepaaren ( x / f(x)

Mehr

Exponential- und Logarithmusfunktion

Exponential- und Logarithmusfunktion Mthemtik I und II für Ingenieure (IAM) Version.3/..003.0.5 Eponentil- und Logrithmusfunktion Definition.0.0: Sei +, dnn ist die llgemeine Form einer Eponentilfunktion f: + gegeben durch die Funktionsgleichung

Mehr

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2 Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 4 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes

Mehr

Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion

Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Eponentilfunktionen mit Beispielen 2 D) Aufgben Ep.fkt. mit Musterlösungen 6 E) Logrithmusfunktionen

Mehr

Anforderungsniveau Prüfungsteil Sachgebiet digitales Hilfsmittel erhöht B Analysis CAS

Anforderungsniveau Prüfungsteil Sachgebiet digitales Hilfsmittel erhöht B Analysis CAS Gemeinsme Abiturufgbenpools der Länder Aufgbensmmlung Aufgbe für ds Fch Mthemtik Kurzbeschreibung Anforderungsniveu Prüfungsteil Schgebiet digitles Hilfsmittel erhöht B Anlysis CAS 1 Aufgbe 1 Gegeben ist

Mehr

Darstellung von Ebenen

Darstellung von Ebenen Drstellung von Ebenen. Ebenengleichung in Prmeterform: Sei E eine Ebene. Dnn lässt sich die Ebene drstellen durch eine Gleichung der Form p u x = p + r v u + s v (r, s R). p u v Der Vektor p heißt Stützvektor

Mehr

mathphys-online LINEARE FUNKTIONEN

mathphys-online LINEARE FUNKTIONEN LINEARE FUNKTIONEN Inhltsverzeichnis Kpitel Inhlt Seite Zuordnungsvorschrift, Funktionsgrph Schnittpunkte it den Koordintenchsen Schnittpunkt von Gerden Gerdenschren, Interprettion der Preter. Ds Gerdenbüschel.

Mehr

Der Gauß - Algorithmus

Der Gauß - Algorithmus R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 7..9 Der Guß - Algorithmus Der Algorithmus von Guss ist ds universelle Verfhren zur Lösung beliebiger linerer Gleichungssysteme. Einführungsbeispiel: 7x+ x 5x = Drei

Mehr

Ich kann LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren lösen.

Ich kann LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren lösen. Klsse 9c Mthemtik Vorbereitung zur Klssenrbeit Nr. m.1.017 Themen: Reelle Zhlen, Qudrtwurzeln LGS mit drei Unbeknnten Checkliste Ws ich lles können soll Ich knn LGS mit drei Gleichungen und drei Unbeknnten

Mehr

Mathematik schriftlich

Mathematik schriftlich WS KV Chur Abschlussprüfungen 00 für die Berufsmtur kufmännische Richtung Mthemtik schriftlich LÖSUNGEN Kndidtennummer Nme Vornme Dtum der Prüfung Bewertung mögliche erteilte Punkte Punkte. Aufgbe 0. Aufgbe

Mehr

Grundwissen Jahrgangsstufe 8

Grundwissen Jahrgangsstufe 8 Grundwissen Jahrgangsstufe 8 GM 8. Direkt proportionale und indirekt proportionale Größen DIREKT PROPORTIONALE GRÖSSEN Definition Zwei Größen und y heißen zueinander direkt proportional, wenn sie quotientengleich

Mehr

Grundwissen l Klasse 5

Grundwissen l Klasse 5 Grundwissen l Klsse 5 1 Zhlenmengen und Punktmengen {1; 2; 3; 4; 5; 6;... } Die Menge der ntürlichen Zhlen. 0 {0; 1; 2; 3; 4; 5;... } Die Menge der ntürlichen Zhlen mit Null. M {; ; C;... } Die Menge der

Mehr

Grundwissen Jahrgangsstufe 9

Grundwissen Jahrgangsstufe 9 Grundwissen Jhrgngsstufe 9 GM 9. Qudrtwurzeln und die Menge der reellen Zhlen QUADRATWURZELN Unter der Qudrtwurzel us einer Zhl (kurz: Wurzel us, Schreibweise ) versteht mn diejenige nichtnegtive Zhl,

Mehr

Grundwissen Mathematik 10. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele

Grundwissen Mathematik 10. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele Themen Eigenschften Besonderheiten - Beispiele Kreis beknnt us Klsse 8: U Kreis = 2 π r A Kreis = r 2 π Kreissektor Bogenlänge b Flächeninhlt Kreissektor: Die Länge b des Kreisbogens und der Flächeninhlt

Mehr

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei

Mehr

2.5 Algebra. 1 Faktorisieren Terme faktorisieren (-1) ausklammern Terme mit Klammern faktorisieren... 3

2.5 Algebra. 1 Faktorisieren Terme faktorisieren (-1) ausklammern Terme mit Klammern faktorisieren... 3 2.5 Algebr Inhltsverzeichnis Fktorisieren 2. Terme fktorisieren...................................... 2.2 (-) usklmmern....................................... 2.3 Terme mit Klmmern fktorisieren..............................

Mehr

Übungsblatt Gleichungssysteme Klasse 8

Übungsblatt Gleichungssysteme Klasse 8 Üungsltt Gleichungsssteme Klsse 8 Auge : Berechne die Lösungen des Gleichungspres: I II 7 Kontrolliere durch Einseten. Auge : Löse dem Additionsverhren: I 7-6 II 9 Auge : Gegeen ist olgendes linere Gleichungssstem

Mehr

I. Zahlen. II. Funktionen. Direkt proportionale Zuordnungen. Indirekt proportionale Zuordnungen. Funktion. Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 8 ---

I. Zahlen. II. Funktionen. Direkt proportionale Zuordnungen. Indirekt proportionale Zuordnungen. Funktion. Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 8 --- Grundwissen Mthemtik Jhrgngsstufe 8 I. Zhlen --- II. Funktionen Direkt proportionle Zuordnungen x und y sind direkt proportionl zueinnder, wenn... zum n-fhen Wert von x der n-fhe Wert von y gehört die

Mehr

2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken

2 Berechnung von Flächeninhalten unter Kurvenstücken Übungsmteril 1 Berechnung von Flächeninhlten unter Kurvenstücken.1 Annäherung durch Rechtecke Um die Fläche zu berechnen, die zwischen dem Funktionsgrphen einer Funktion und der -Achse eingeschlossen wird,

Mehr

Es berechnet die Fläche zwischen Kurve und x-achse.

Es berechnet die Fläche zwischen Kurve und x-achse. 1. Welche Idee steckt hinter dem Integrl? 2. Welche geometrische Bedeutung ht ds Integrl? 3. Wie erechnet mn ein Integrl? Aufsummieren unendlich vieler infinitesiml kleiner Beiträge, die lle die Form eines

Mehr

Tag der Mathematik 2011

Tag der Mathematik 2011 Zentrum für Mthemtik Tg der Mthemtik 0 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mthemtische Hürden Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden.

Mehr

Quadratische Gleichungen und Funktionen

Quadratische Gleichungen und Funktionen Qudrtische Gleichungen und Funktionen Bei einer udrtischen Gleichung kommt die Unbeknnte Vrible mindestens einml in der.potenz vor, ber in keiner höheren Potenz. b c udrtischer Anteil linerer Anteil konstnter

Mehr

Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt

Mathematik 1 für Bauwesen 14. Übungsblatt Mthemtik für Buwesen Übungsbltt Fchbereich Mthemtik Wintersemester 0/0 Dr Ivn Izmestiev 8/900 Dr Vince Bárány, M Sc Juli Plehnert Gruppenübung Aufgbe G () Berechnen Sie ds Volumen des Rottionskörpers,

Mehr

a = c d b Matheunterricht: Gesucht ist x. Physikunterricht Gesucht ist t: s = vt + s0 -s0 s - s0 = vt :v = t 3 = 4x = 4x :4 0,5 = x

a = c d b Matheunterricht: Gesucht ist x. Physikunterricht Gesucht ist t: s = vt + s0 -s0 s - s0 = vt :v = t 3 = 4x = 4x :4 0,5 = x Bltt 1: Hilfe zur Umformung von Gleichungen mit vielen Vriblen Im Mthemtikunterricht hben Sie gelernt, wie mn Gleichungen mit einer Vriblen umformt, um diese Vrible uszurechnen. Meistens hieß sie. In Physik

Mehr

Algebra-Training. Theorie & Aufgaben. Serie 3. Bruchrechnen. Theorie: Katharina Lapadula. Aufgaben: Bernhard Marugg. VSGYM / Volksschule Gymnasium

Algebra-Training. Theorie & Aufgaben. Serie 3. Bruchrechnen. Theorie: Katharina Lapadula. Aufgaben: Bernhard Marugg. VSGYM / Volksschule Gymnasium Algebr-Trining Theorie & Aufgben Serie Bruchrechnen Theorie: Kthrin Lpdul Aufgben: Bernhrd Mrugg VSGYM / Volksschule Gymnsium Liebe Schülerin, lieber Schüler Der Leitspruch «Übung mcht den Meister» gilt

Mehr

Kapitel 1 : Mathematische Grundlagen und Stöchiometrie

Kapitel 1 : Mathematische Grundlagen und Stöchiometrie pitel : Mthemtische Grundlgen und Stöchiometrie Elementre Rechenumformungen. Dreistzrechnung : Immer dnn, wenn zwei Meßgrößen zueinnder proportionl bzw. indirekt proportionl (d.h. die eine proportionl

Mehr

1. Stegreifaufgabe aus der Physik Lösungshinweise

1. Stegreifaufgabe aus der Physik Lösungshinweise . Stegreifufgbe us der Physik Lösungshinweise Gruppe A Aufgbe Ds.Newtonsche Gesetz lässt sich zum Beispiel so formulieren: Wirkt uf einen Körper keine Krft (oder ist die Summe ller Kräfte null) so bleibt

Mehr

Begriffe: Addition Subtraktion Multiplikation Division. Summe Differenz Produkt Quotient a + b a b a b a : b

Begriffe: Addition Subtraktion Multiplikation Division. Summe Differenz Produkt Quotient a + b a b a b a : b Grundlgen 0.0. Zhlbereiche ntürliche Zhlen: N = {0; ; 2;...} (nch DIN 547) N = N \ {0} gnze Zhlen: Z = {... 2; ; 0; ; 2;...} rtionle Zhlen: Q = { p p, q Z, q 0} q Q besteht us llen Bruchzhlen. reelle Zhlen:

Mehr

Grundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben

Grundkurs Mathematik. Einführung in die Integralrechnung. Lösungen und Ergebnisse zu den Aufgaben Seite Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse Gr Stefn Gärtner Grundkurs Mthemtik Einführung in die Integrlrechnung Lösungen und Ergenisse zu den Aufgen Von llen Wissenschftlern können

Mehr

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 5.1

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 5.1 .1 Dr. Jürgen Roth Fchbereich 6: Abteilung Didktik der Mthemtik Elemente der Algebr . Inhltsverzeichnis Elemente der Algebr & Argumenttionsgrundlgen, Gleichungen und Gleichungssysteme Qudrtische und Gleichungen

Mehr

Aufgaben: 1. Gib eine Gleichung der Ebene E an, die durch A in Richtung von u und v verläuft.

Aufgaben: 1. Gib eine Gleichung der Ebene E an, die durch A in Richtung von u und v verläuft. Prmeergleichung und Koordinenform einer Ebene Prmeergleichung und Koordinenform einer Ebene Die Lge einer Ebene E im Rum is durch drei Größen eindeuig fesgeleg: X. Einen Punk A, durch den die Ebene verläuf..

Mehr

Grundlagen der Integralrechnung

Grundlagen der Integralrechnung Grundlgen der Integrlrechnung W. Kippels 0. April 2014 Inhltsverzeichnis 1 Ds unbestimmte Integrl 2 2 Ds bestimmte Integrl 4 Beispielufgben 7.1 Beispielufgbe 1............................... 7.2 Beispielufgbe

Mehr

3. Ganzrationale Funktionen

3. Ganzrationale Funktionen 3. Gnzrtionle Funktionen ) Definitionen und Beispiele Definition: Eine gnzrtionle Funktion n-ten Grdes ht ls Definitionsterm ein Polynom n-ten Grdes, d.h. y = f() = n n n-1 n-1 1 0. n 0, i ( i = 1, n)

Mehr

Reader. für den Einsatz in der Wiederholungsphase im Mathematikunterricht der Jahrgangsstufe 11

Reader. für den Einsatz in der Wiederholungsphase im Mathematikunterricht der Jahrgangsstufe 11 Reder für den Einstz in der Wiederholungsphse im Mthemtikunterricht der Jhrgngsstufe Anhng zur schriftlichen Husrbeit zur Zweiten Sttsprüfung für ds Lehrmt n öffentlichen Schulen von Andres Rschke Vorwort

Mehr

7. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 9 Saison 1967/1968 Aufgaben und Lösungen

7. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 9 Saison 1967/1968 Aufgaben und Lösungen 7. Mthemtik Olympide. Stufe (Kreisolympide) Klsse 9 Sison 1967/1968 Aufgben und Lösungen 1 OJM 7. Mthemtik-Olympide. Stufe (Kreisolympide) Klsse 9 Aufgben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und Nebenrechnungen

Mehr