MATHEMATIK. Numerische Mathematik. Hans-Görg Roos/Hubert Schwetlick. Das Grundwissen für jedermann. B. G. Teubner Stuttgart Leipzig

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1 MATHEMATIK FÜR INGENIEURE UND NATURWISSENSCHAFTLER Hans-Görg Roos/Hubert Schwetlick Numerische Mathematik Das Grundwissen für jedermann B. G. Teubner Stuttgart Leipzig

2 Begründer dieses Lehrwerkes: Prof. Dr. Otfried Beyer, Prof. Dr. Horst Erfurth, Prof. Dr. Otto Greuel, Prof. Dr. Horst Kadner, Prof. Dr. Karl Manteuffel, Prof. Dr. Günter Zeidler Autoren: Prof. Dr. Hans-Görg Roos Prof. Dr. Hubert Schwetlick Technische Universität Dresden Gedruckt auf chlorfrei gebleichtem Papier Die Deutsche Bibliothek CIP-Einheitsaufnahme Roos, Hans-Görg: Numerische Mathematik : das Grundwissen für jedermann / von Hans-Görg Roos und Hubert Schwetlick. - Stuttgart ; Leipzig : Teubner, 1999 (Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler) ISBN Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigunge, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. c 1999 B. G. Teubner Stuttgart Leipzig Printed in Germany Druck und Bindung: Druckhaus Thomas Müntzer GmbH, Bad Langensalza Umschlaggestaltung: E. Kretschmer, Leipzig

3 Vorwort Durch die stürmische Entwicklung von Computern und Software hat sich in den letzten Jahren die Komplexitätsgrenze lösbarer Probleme immer weiter hinausgeschoben: in vielen Bereichen der Industrie wie Luft- und Raumfahrt, Chemie und Elektronik, aber auch in den Biowissenschaften, der Umwelttechnologie oder der Klimaforschung gab es signifikante Fortschritte durch die Computersimulation entsprechender mathematischer Modelle. Für den Anwender ist dabei die Numerische Mathematik ein entscheidendes Bindeglied zwischen dem letztlich in der Sprache der Mathematik formulierten Modell und dem Computer. Die Numerische Mathematik entwickelt und analysiert die zur Lösung eines Problems benötigten Algorithmen. Dem objektiv wachsenden Interesse von Naturwissenschaftlern und Ingenieuren an Grundkenntnissen der Numerischen Mathematik steht die Tatsache gegenüber, daß sich die mathematische Ausbildung von Naturwissenschaftlern und Ingenieuren an deutschen Universitäten oft auf die klassischen Gebiete wie lineare Algebra, Analysis, Stochastik beschränkt. Das Ziel dieses Buches ist es, Naturwissenschaftlern und Ingenieuren mit geringen mathematischen Vorkenntnissen eine leicht lesbare, kurze Einführung in aktuelle numerische Verfahren zur Verfügung zu stellen, die vielleicht Appetit auf mehr macht. Dazu gibt es Hinweise auf vertiefende Literatur und existierende Software. Diesem Buch liegen verschiedene Vorlesungen zugrunde, die beide Autoren in den letzten Jahren an der Technischen Universität Dresden gehalten haben. Die Stoffauswahl entsprechend der Kapitel Ziele und Grundprinzipien der Numerischen Mathematik Direkte Verfahren für lineare Gleichungssysteme Iterationsverfahren für Gleichungssysteme Eigenwertprobleme Interpolation und Approximation Numerische Differentiation und Integration Anfangswertaufgaben Randwertaufgaben ist natürlich subjektiv, widerspiegelt aber andererseits die Teilgebiete der Numerischen Mathematik, die wir für besonders wichtig halten. Im Unterschied zu vielen anderen Einführungen in die Numerische Mathematik werden die wichtigen Differentialgleichungsprobleme nicht ausgegrenzt, sondern auf etwa

4 6 Vorwort 80 Seiten ausführlich behandelt. Viel Wert haben wir darauf gelegt, die grundlegenden Zusammenhänge elementar zu erläutern. Eine Rezeptsammlung hingegen ist dieses Buch trotz seiner Kürze nicht. Entsprechend dem Umfang findet der Leser auch keine ausgefeilten Programme. Man findet aber einige grundlegende Algorithmen in einer an MATLAB orientierten Sprache, ferner in jedem Kapitel Hinweise auf verfügbare Software, Programmbibliotheken und Algorithmensammlungen. Eine Besonderheit der Numerischen Mathematik besteht darin, daß man durch das Durcharbeiten z. B. dieses Buches mit Papier und Bleistift allein noch kein Gefühl für manche Eigenarten numerischer Algorithmen bekommt. Neben dem Nachdenken über die eingestreuten Übungsaufgaben sollte sich der Lernende unbedingt durch eigene Computerexperimente Erfahrungen über z.b. das Verhalten von instabilen Algorithmen aneignen oder optimale Algorithmen mit uneffektiven vergleichen. Lösungen und Lösungshinweise zu den Aufgaben kann der interessierte Leser unter finden. Für die Unterstützung bei der Erarbeitung der L A TEX-Version des Manuskriptes danken wir Frau Gisela Terno, desweiteren Dr. Torsten Schütze für seine Arbeit bei der Gesamtgestaltung des L A TEX-Layouts einschließlich aller Abbildungen. Dr. Peter Seifert und Dipl.-Math. Ralf Lösche haben uns bei der Realisierung der numerischen Beispiele unterstützt. Konstruktive Änderungsvorschläge zu den ersten fünf Kapiteln gehen auf Prof. Dr. Jochen W. Schmidt zurück. Dipl.-Math. Georg Seltmann hat das gesamte Manuskript sorgfältig durchgesehen. Ihnen allen sei an dieser Stelle ebenfalls gedankt. Letztlich gilt Herrn Jürgen Weiß vom Teubner-Verlag unser Dank für die freundliche Zusammenarbeit. Dresden, Juli 1999 Hans-Görg Roos Hubert Schwetlick

5 Inhaltsverzeichnis Bezeichnungen 10 1 Ziele und Grundprinzipien der Numerischen Mathematik Modell, Algorithmus, Computerexperiment Grundprinzipien der Algorithmisierung Direkte Verfahren für lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus Die Grundform des Gaußschen Algorithmus Pivotisierung Gaußscher Algorithmus als LU-Faktorisierung Direkte LU-Faktorisierungen und spezielle Matrizen Störungstheorie, Fehlerabschätzung, iterative Verbesserung Lineare Quadratmittelprobleme Normalgleichungsverfahren Orthogonalisierungsverfahren Hinweise auf Software Übungsaufgaben Iterationsverfahren für Gleichungssysteme Gewöhnliches Iterationsverfahren und Kontraktionssatz Stationäre Einschrittverfahren für lineare Gleichungssysteme Allgemeine Konvergenzaussagen Basisiterationen: Jacobi, Gauß-Seidel und SOR Richardson-Iteration und Vorkonditionierung Krylov-Teilraum-Verfahren Symmetrische positiv definite Systeme: CG Unsymmetrische Systeme: CGNR, CGNE und GMRES Verfahren für nichtlineare Gleichungssysteme Lineare Konvergenz und das Ostrowski-Theorem Überlineare Konvergenz und Newton-Verfahren Globalisierung Hinweise auf Software Übungsaufgaben

6 8 Inhaltsverzeichnis 4 Eigenwertprobleme Transformationsverfahren Teilraumiterationsverfahren Hinweise auf Software Übungsaufgaben Interpolation und Approximation Interpolation Interpolation mit Polynomen Interpolation mit Splines Approximation Diskrete Quadratmittelapproximation Weitere Approximationsprinzipien Hinweise auf Software und ein Ausblick: Mehrdimensionale Interpolation und Approximation Übungsaufgaben Numerische Differentiation und Integration Differenzenformeln zur Differentiation Zusammengesetzte Quadraturformeln Erhöhung der Konvergenzordnung durch Extrapolation Gauß-Formeln und verwandte optimale Quadraturformeln Übungsaufgaben Anfangswertaufgaben Explizite Einschrittverfahren Eine Analyse des Euler-Verfahrens Runge-Kutta-Verfahren höherer Ordnung Konsistenz und Stabilität Schrittweitensteuerung Mehrschrittverfahren Stabilität von Mehrschrittverfahren Startwerte und Prädiktor-Korrektor-Verfahren A-Stabilität und steife Systeme A-Stabilität Steife Systeme Hinweise auf Software und ein Ausblick: Algebro-Differentialgleichungen Übungsaufgaben

7 Inhaltsverzeichnis 9 8 Randwertaufgaben Eine Einführung in die grundlegenden Diskretisierungstechniken Spline-Kollokation Die Methode der finiten Elemente Der Ausgangspunkt der Methode Beispiele von finiten Elementen und die Generierung des diskreten Problems Grundwissen zum Konvergenzverhalten Erweiterungen des Grundkonzeptes Adaptive FEM Das Mehrgitterprinzip Raum und Zeit Eindimensionale Wärmeleitung Die Linienmethode Hinweise auf Software Übungsaufgaben Literaturverzeichnis 211 Sachwortverzeichnis 217

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