Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure

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1 Günter Bärwolff Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure unter Mitarbeit von Gottfried Seifert ELSEVIER SPEKTRUM AKADEMISCHER VERLAG Spekt rum K-/1. AKADEMISCHER VERLAG AKADEMISC

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Logische Grundlagen Grundlagen der Mengenlehre Abbildungen Die natürlichen Zahlen und die vollständige Induktion Ganze, rationale und reelle Zahlen Ungleichungen und Beträge Komplexe Zahlen Aufgaben 54 2 Analysis von Funktionen einer Veränderlichen Begriff der Funktion Eigenschaften von Funktionen Elementare Funktionen Grenzwert und Stetigkeit von Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen Differenzierbarkeit von Funktionen Lineare Approximation und Differential Eigenschaften differenzierbarer Funktionen TAYLORsche Formel und der Satz von TAYLOR Extremalprobleme BANACHscher Fixpunktsatz und NEWTON-Verfahren Kurven im K Integralrechnung Volumen und Oberfläche von Rotationskörpern Parameterintegrale Uneigentliche Integrale Numerische Integration Interpolation Aufgaben Reihen Zahlenreihen Funktionenfolgen Gleichmäßig konvergente Reihen Potenzreihen Operationen mit Potenzreihen Komplexe Potenzreihen, Reihen von exp x, sin x und cos x Numerische Integralberechnung mit Potenzreihen 226 VII

3 VIII INHALTSVERZEICHNIS 3.8 Konstruktion von Reihen FOURIER-Reihen Aufgaben Lineare Algebra Determinanten CRAMERsche Regel Matrizen Lineare Gleichungssysteme und deren Lösung Allgemeine Vektorräume Orthogonalisierungsverfahren nach ERHARD SCHMIDT Eigenwertprobleme Vektorrechnung im M Aufgaben Analysis im R" Eigenschaften von Punktmengen aus dem 1" Abbildungen und Funktionen mehrerer Veränderlicher Kurven im K n Stetigkeit von Abbildungen Partielle Ableitung einer Funktion Ableitungsmatrix und HESSE-Matrix Differenzierbarkeit von Abbildungen Differentiationsregeln und die Richtungsableitung Lineare Approximation Totales Differential TAYLOR-Formel und Mittelwertsatz Satz über implizite Funktionen Extremalaufgaben ohne Nebenbedingungen Extremalaufgaben mit Nebenbedingungen Ausgleichsrechnung NEWTON-Verfahren für Gleichungssysteme Aufgaben Gewöhnliche Differentialgleichungen Einführung Allgemeine Begriffe Allgemeines zu Differentialgleichungen erster Ordnung Differentialgleichungen erster Ordnung mit trennbaren Variablen Spezielle, durch Transformationen lösbare Differentialgleichungen Lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung Anmerkungen zum "Rechnen" mit Differentialgleichungen Numerische Lösungsmethoden Potenzreihen zur Lösung von Differentialgleichungen BESSELsche und LEGENDREsche Differentialgleichungen Nichtlineare Differentialgleichungen 503

4 INHALTSVERZEICHNIS IX 6.12 Aufgaben Vektoranalysis und Kurvenintegrale Die grundlegenden Operatoren der Vektoranalysis Rechenregeln und Eigenschaften der Operatoren der Vektoranalysis Potential und Potentialfeld Skalare Kurvenintegrale Vektorielles Kurvenintegral - Arbeitsintegral Stammfunktion eines Gradientenfeldes Berechnungsmethoden für Stammfunktionen Vektorpotentiale Aufgaben Flächenintegrale, Volumenintegrale und Integralsätze Flächeninhalt ebener Bereiche RlEMANNsches Flächenintegral Flächenintegralberechnung durch Umwandlung in Doppelintegrale Satz von GREEN Transformationsformel für Flächenintegrale Integration über Oberflächen Satz von STOKES Volumen räumlicher Bereiche Normalbereiche und die konkrete Volumenintegralberechnung Transformationsformel für Volumenintegrale Satz von GAUSS Aufgaben Partielle Differentialgleichungen Was ist eine partielle Differentialgleichung? Beispiele von partiellen Differentialgleichungen Separation der Variablen Untersuchung der Wellengleichung Korrektheit von Problemstellungen Aufgaben Funktionentheorie Komplexe Funktionen Differentiation komplexer Funktionen Elementare komplexe Funktionen und Potenzreihen Konforme Abbildungen Integration komplexer Funktionen Reihenentwicklungen komplexer Funktionen Behandlung von Singularitäten und der Residuensatz Berechnung von Integralen mit Hilfe des Residuensatzes Harmonische Funktionen 670

5 X INHALTSVERZEICHNIS Aufgaben Integraltransformationen Definition von Integraltransformationen FOURIER-Transformation Umkehrung der FOURIER-Transformation Eigenschaften der FOURIER-Transformation Anwendung der FOURIER-Transformation auf partielle Differentialgleichungen LAPLACE-Transformation Inverse LAPLACE-Transformation Rechenregeln der LAPLACE-Transformation Praktische Arbeit mit der LAPLACE-Transformation und der Rücktransformation Aufgaben Variationsrechnung und Optimierung Einige mathematische Grundlagen Funktionale auf BANACH-Räumen Variationsprobleme auf linearen Mannigfaltigkeiten Klassische Variationsrechnung Einige Variationsaufgaben Natürliche Randbedingungen und Transversalität Isoperimetrische Variationsprobleme Funktionale mit mehreren Veränderlichen Aufgaben Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufällige Ereignisse Wahrscheinlichkeit zufälliger Ereignisse Zufallsgrößen Zufällige Vektoren Aufgaben Statistik Stichproben Punktschätzung Intervallschätzung Statistische Tests Korrelations- und Regressionsanalyse Aufgaben 850 A Formelkompendium 853 B Literaturhinweise 863 Index 865