Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1

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1 Mthemtik für Ingenieure und Nturwissenschftler Bnd Ein Lehr- und Arbeitsbuch für ds Grundstudium Berbeitet von Lothr Ppul. Auflge 4. Tschenbuch. XXIV, 854 S. Softcover ISBN Formt (B x L): 6,8 x 4 cm Gewicht: 44 g Weitere Fchgebiete > Technik > Technik Allgemein > Mthemtik für Ingenieure Zu Inhltsverzeichnis schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fchbuchhndlung beck-shop.de ist spezilisiert uf Fchbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschft. Im Sortiment finden Sie lle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, ebooks, etc.) ller Verlge. Ergänzt wird ds Progrmm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusmmenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr ls 8 Millionen Produkte.

2 45 II Vektorlgebr Grundbegriffe. Definition eines Vektors Unter den in Nturwissenschft und Technik uftretenden Größen kommt den Sklren und Vektoren eine besondere Bedeutung zu. Während mn unter einem Sklr eine Größe versteht, die sich eindeutig durch die Angbe einer Mßzhl und einer Mßeinheit beschreiben lässt, benötigt mn bei einer vektoriellen Größe zusätzlich noch Angben über die Richtung, in der sie wirkt. Definition: Unter Vektoren verstehen wir Größen, die durch Angbe von Mßzhl und Richtung vollständig beschrieben sind. Zu ihrer Kennzeichnung verwenden wir Buchstbensymbole, die mit einem Pfeil versehen werden wie zum Beispiel: Bild II- ~, ~b, ~c, ~r, ~e, ~F, ~M, ~E Ein Vektor ~ ist in symbolischer Form durch einen Pfeil drstellbr (Bild II-). Die Mßzhl der Länge des Pfeils, der die Vektorgröße repräsentiert, heißt Betrg des Vektors und wird durch ds Symbol j ~ j oder gekennzeichnet. Die Pfeilspitze legt die Richtung (Orientierung) des Vektors fest. Durch Betrg und Richtung ist der Vektor eindeutig bestimmt. Anmerkungen () Bei einer physiklisch-technischen Vektorgröße gehört zur vollständigen Beschreibung noch die Angbe der Mßeinheit. Dher verstehen wir unter dem Betrg eines physiklischen Vektors die Angbe von Mßzhl und Einheit. Beispiel: Betrg einer Krft ~F : j ~F j¼f ¼ N () Der Betrg eines Vektors ~ ist stets größer oder gleich Null: j ~ j ¼ () Ein Vektor lässt sich uch eindeutig durch die Angbe von Anfngspunkt P und Endpunkt Q festlegen (Bild II-). Als Vektorsymbol verwendet mn dnn ƒ! PQ. Q PQ P Bild II- L. Ppul, Mthemtik für Ingenieure und Nturwissenschftler Bnd, DOI.7/ _, Springer Fchmedien Wiesbden 4

3 46 II Vektorlgebr Beispiele Sklre: Msse m, Tempertur T, Zeit t, Arbeit W, Widerstnd R, Spnnung U, Mssenträgheitsmoment J Vektoren: Strecke (Weg) ~s, Geschwindigkeit ~v, Beschleunigung ~, Krft ~F, Impuls ~p, Drehmoment ~M, Elektrische Feldstärke ~E, Mgnetische Flussdichte (mgnetische Induktion) ~B In den Anwendungen wird noch zwischen freien, linienflüchtigen und gebundenen Vektoren unterschieden:. Freie Vektoren dürfen beliebig prllel zu sich selbst verschoben werden.. Linienflüchtige Vektoren sind längs ihrer Wirkungslinie beliebig verschiebbr (z. B. Kräfte, die n einem strren Körper ngreifen).. Gebundene Vektoren werden von einem festen Punkt us bgetrgen. Beispiele hierfür sind der Ortsvektor ~r eines ebenen oder räumlichen Punktes, der vom Koordintenursprung us bgetrgen wird, und der elektrische Feldstärkevektor ~E, der jedem Punkt eines elektrischen Feldes zugeordnet wird. Spezielle Vektoren Nullvektor ~: Jeder Vektor vom Betrg Null, j~ j¼, heißt Nullvektor (für ihn lässt sich keine Richtung ngeben, d Anfngs- und Endpunkt zusmmenfllen). Einheitsvektor ~e: Jeder Vektor vom Betrg Eins, j~e j¼, wird ls Einheitsvektor oder Einsvektor bezeichnet. ƒ! Ortsvektor ~r ðpþ ¼OP : Er führt vom Koordintenursprung O zum Punkt P.. Gleichheit von Vektoren Definition: Zwei Vektoren ~ und ~b werden ls gleich betrchtet, ~ ¼ ~b, wenn sie in Betrg und Richtung übereinstimmen (Bild II-). b Bild II- Zum Begriff der Gleichheit zweier Vektoren Vektoren sind demnch gleich, wenn sie durch Prllelverschiebung ineinnder überführbr sind. Diese Art von Vektoren bezeichnet mn ls freie Vektoren. Im weiteren Verluf der Vektorrechnung wollen wir uns usschließlich mit den Eigenschften und den Rechenopertionen dieser Vektorklsse useinndersetzen.

4 Grundbegriffe 47 Beispiel Jeder der in Bild II-4 skizzierten Vektoren ~, ~, ~ und ~ 4 lässt sich durch Prllelverschiebung in den Vektor ~ überführen. Sie werden dher verbredungsgemäß ls gleich ngesehen: ~ ¼ ~ ¼ ~ ¼ ~ 4 ¼ ~. 4 Bild II-4. Prllele, ntiprllele und kollinere Vektoren Definitionen: () Zwei Vektoren ~ und ~b mit gleicher Richtung (Orientierung) heißen zueinnder prllel (Bild II-5). Sie werden durch ds Symbol ~ "" ~b gekennzeichnet. () Besitzen zwei Vektoren ~ und ~b entgegengesetzte Richtung (Orientierung), so werden sie ls zueinnder ntiprllel bezeichnet (Bild II-6). Symbolische Schreibweise: ~ "# ~b Anmerkung Prllele Vektoren werden uch ls gleichsinnig prllel, ntiprllele Vektoren uch ls gegensinnig prllel bezeichnet. b Bild II-5 Prllele Vektoren b Bild II-6 Antiprllele Vektoren

5 48 II Vektorlgebr Vektoren, die zueinnder prllel oder ntiprllel orientiert sind, lssen sich stets durch Prllelverschiebung in eine gemeinsme Linie (Wirkungslinie) bringen und heißen dher uch kolliner. Inverser Vektor oder Gegenvektor Wir betrchten nun einen beliebigen Vektor ~. Den zu ~ ntiprllelen Vektor gleicher Länge bezeichnen wir ls inversen Vektor (uch Gegenvektor gennnt) und kennzeichnen ihn durch ds Symbol ~ (Bild II-7). Der inverse Vektor ~ entsteht lso us ~ durch Richtungsumkehr. Bild II-7 Vektor und Gegenvektor (inverser Vektor) Inverser Vektor oder Gegenvektor (Bild II-7) Der zu einem Vektor ~ gehörende inverse Vektor oder Gegenvektor ~ besitzt den gleichen Betrg wie der Vektor ~, jedoch die entgegengesetzte Richtung. Beispiel F G Eine elstische Schrubenfeder wird durch ein Gewicht ~G belstet und gedehnt (Bild II-8). Im Gleichgewichtszustnd wird die Gewichtskrft ~G durch die Rückstellkrft ~F der Feder kompensiert. Der Vektor ~F ist der zu ~G inverse Vektor, d. h. es gilt ~F ¼ ~G (sog. Kräftegleichgewicht). Bild II-8 Kräftegleichgewicht bei einer belsteten elstischen Schrubenfeder.4 Vektoropertionen Wir beschäftigen uns in diesem Abschnitt mit den elementren Vektoropertionen. Dzu zählen wir: Addition von Vektoren Subtrktion von Vektoren Multipliktion eines Vektors mit einer reellen Zhl (einem Sklr)

6 Grundbegriffe Addition von Vektoren Aus der Mechnik ist beknnt, dss mn zwei m gleichen Mssenpunkt ngreifende Kräfte ~F und ~F zu einer resultierenden Krft ~F R zusmmenfssen knn, die die gleiche physiklische Wirkung erzielt wie die beiden Einzelkräfte zusmmen. Die Resultierende erhält mn dbei durch eine geometrische Konstruktion, die unter der Bezeichnung Prllelogrmmregel (Kräfteprllelogrmm) beknnt ist und in Bild II-9 näher erläutert wird. Diese Regel stellt eine Anwendung einer llgemeinen Vorschrift dr, die us zwei Vektoren ~ und ~b einen neuen Vektor erzeugt, der ls Summenvektor ~s ¼ ~ þ ~b bezeichnet wird. F F R Bild II-9 Kräfteprllelogrmm: ~F R ist die Resultierende us ~F und ~F F Wir definieren die Addition zweier Vektoren wie folgt: Definition: Zwei Vektoren ~ und ~b werden nch der folgenden Vorschrift geometrisch ddiert (Bild II-):. Der Vektor ~b wird prllel zu sich selbst verschoben, bis sein Anfngspunkt in den Endpunkt des Vektors ~ fällt.. Der vom Anfngspunkt des Vektors ~ zum Endpunkt des verschobenen Vektors ~b gerichtete Vektor ist der Summenvektor ~s ¼ ~ þ ~b. b b b s=+b Bild II- Zur geometrischen Addition zweier Vektoren Der Summenvektor ~s ¼ ~ þ ~b lässt sich uch ls gerichtete Digonle in dem us den Vektoren ~ und ~b konstruierten Prllelogrmm nch Bild II- gewinnen.

7 5 II Vektorlgebr b s=+b Bild II- Summenvektor ~s ¼ ~ þ ~b ls gerichtete Digonle im Prllelogrmm Die Addition von Vektoren unterliegt dbei den folgenden Rechenregeln: Kommuttivgesetz ~ þ ~b ¼ ~b þ ~ ðii-þ Assozitivgesetz ~ þ ð~b þ ~c Þ ¼ ð~ þ ~b Þ þ ~c ðii-þ Die Summe us mehr ls zwei Vektoren wird gebildet, indem mn in der beknnten Weise Vektor n Vektor setzt. Dies lässt sich durch Prllelverschiebung stets erreichen. Ds Ergebnis dieser Konstruktion ist ein sog. Vektorpolygon (Bild II-). Der Summenvektor (in den Anwendungen meist Resultierende gennnt) ist derjenige Vektor, der vom Anfngspunkt des ersten Vektors zum Endpunkt des letzten Vektors führt. letzter Vektor Summenvektor. Vektor. Vektor. Vektor Bild II- Zur Konstruktion eines Summenvektors (Vektorpolygon) In Bild II- wird die Addition dreier Kräfte ~F, ~F und ~F, die in einem Mssenpunkt ngreifen, zu einem resultierenden Krftvektor ~F R Schritt für Schritt vollzogen. F F F R F F F F F F F Bild II- Vektorielle Addition dreier Kräfte, die in einem Mssenpunkt ngreifen Ist ds Vektorpolygon in sich geschlossen, so ist der Summenvektor der Nullvektor. In der physiklischen Relität bedeutet dies stets, dss sich die Vektoren in ihrer Wirkung gegenseitig ufheben.

8 Grundbegriffe 5.4. Subtrktion von Vektoren Die Subtrktion zweier Vektoren lässt sich wie bei den reellen Zhlen ls Umkehrung der Addition uffssen und dmit uf die Addition zweier Vektoren zurückführen: Definition: Unter dem Differenzvektor ~d ¼ ~ ~b zweier Vektoren ~ und ~b verstehen wir den Summenvektor us ~ und ~b, wobei ~b der zu ~b inverse Vektor ist: ~d ¼ ~ ~b ¼ ~ þð ~b Þ ðii-þ Anmerkung Der Differenzvektor ~d ¼ ~ ~b ist lso die Summe us dem Vektor ~ und dem Gegenvektor von ~b. Die Konstruktion des Differenzvektors erfolgt dher nch der folgenden Vorschrift: Konstruktion des Differenzvektors ~ d ¼ ~ ~ b (Bild II-4). Der Vektor ~b wird zunächst in seiner Richtung umgekehrt: Dies führt zu dem inversen Vektor ~b.. Dnn wird der Vektor ~b prllel zu sich selbst verschoben, bis sein Anfngspunkt in den Endpunkt des Vektors ~ fällt.. Der vom Anfngspunkt des Vektors ~ zum Endpunkt des Vektors ~b gerichtete Vektor ist der gesuchte Differenzvektor ~d ¼ ~ ~b. b b b b d= b Bild II-4 Zur Subtrktion zweier Vektoren Der Differenzvektor ~d ¼ ~ ~b lässt sich uch mit Hilfe der Prllelogrmmregel konstruieren. In Bild II-5 wird diese geometrische Konstruktion näher erläutert. b d= b Bild II-5 Differenzvektor ~d ¼ ~ ~b ls gerichtete Digonle im Prllelogrmm

9 5 II Vektorlgebr Prllelogrmmregel für die Addition und Subtrktion zweier Vektoren Summenvektor ~s ¼ ~ þ ~b und Differenzvektor ~d ¼ ~ ~b lssen sich geometrisch ls gerichtete Digonlen eines Prllelogrmms konstruieren, ds von den beiden Vektoren ~ und ~b ufgespnnt wird. Die Konstruktion des Summenbzw. Differenzvektors wird in Bild II-6 näher erläutert. b d s ~s ¼ ~ þ ~b ~d ¼ ~ ~b Bild II-6 Zur Prllelogrmmregel.4. Multipliktion eines Vektors mit einem Sklr Definition: Durch Multipliktion eines Vektors ~ mit einer reellen Zhl (einem Sklr) l entsteht ein neuer Vektor ~b ¼ l ~ mit den folgenden Eigenschften (Bild II-7):. Der Betrg von ~b ist ds j l j-fche des Betrges von ~: j ~b j¼jl~ j¼jl jj~ j ðii-4þ. Der Vektor ~b ist prllel oder ntiprllel zu ~ orientiert: l > : ~b "" ~ ðbild II-7 ÞÞ l < : ~b "# ~ ðbild II-7 bþþ Für l ¼ erhält mn den Nullvektor ~. l l ) l > b) l < Bild II-7 Zur Multipliktion eines Vektors ~ mit einem Sklr l

10 Grundbegriffe 5 Anmerkungen () Die Vektoren l ~ und ~ sind kolliner. () Die Multipliktion eines Vektors mit einer negtiven Zhl bewirkt stets eine Richtungsumkehr des Vektors (siehe hierzu Bild II-7 b)). () Die Division eines Vektors ~ durch einen Sklr m 6¼ entspricht einer Multipliktion von ~ mit dem Kehrwert l ¼ =m. Rechenregeln ðl R; m RÞ l ð~ þ ~b Þ¼l~ þ l ~b ðl þ mþ~ ¼ l~ þ m~ ðlmþ~ ¼ l ðm~þ ¼m ðl~þ j l~ j¼jljj~ j ðii-5þ ðii-6þ ðii-7þ ðii-8þ Beispiele () Wir multiplizieren den Vektor ~ der Reihe nch mit den Sklren,,5 und 4 (Bild II-8): ~: ~ "" ~, j ~ j¼ j ~ j¼,5~:,5~ "# ~, j,5~ j¼,5 j ~ j¼,5 4~: 4~ "" ~, j 4~ j¼ 4 j ~ j¼ 4,5 4 Bild II-8 Zur Multipliktion eines Vektors mit einem Sklr () Beispiele us Physik und Technik: () Krft, Msse und Beschleunigung sind durch die Newtonsche Bewegungsgleichung ~F ¼ m ~ miteinnder verknüpft: ~F "" ~ ðwegen m > Þ, j ~F j¼m j ~ j, d: h: F ¼ m (b) Impuls: ~p ¼ m~v (Impuls = Msse ml Geschwindigkeit) ~p "" ~v ðwegen m > Þ, j~p j¼m j~v j, d: h: p ¼ m v

11 54 II Vektorlgebr (c) Ein geldenes Teilchen (Ldung q) erfährt in einem elektrischen Feld der Feldstärke ~E eine Krft ~F ¼ q ~E in Richtung des Feldes (bei positiver Ldung) oder in die dem Feld entgegengesetzte Richtung (bei negtiver Ldung wie etw bei Elektronen): q > : ~F "" ~E, j ~F j¼q j ~E j, d: h: F ¼ qe q < : ~F "# ~E, j ~F j¼jq jj~e j, d: h: F ¼ qe Vektorrechnung in der Ebene Besonders nschulich und übersichtlich ist die Vektorrechnung in der Ebene. Wir beschränken uns dher zunächst us rein didktischen Gründen uf die Drstellung der Vektoren und ihrer Rechenopertionen in der Ebene, wobei ein rechtwinkliges (krtesisches) Koordintensystem zugrundegelegt wird.. Komponentendrstellung eines Vektors Ds Koordintensystem legen wir durch zwei ufeinnder senkrecht stehende Einheitsvektoren ~e x und ~e y fest, die in diesem Zusmmenhng uch ls Bsisvektoren bezeichnet werden (Bild II-9). Sie bestimmen Richtung und Mßstb der Koordintenchsen. y y y P e y e y e x x e x x x Bild II-9 Festlegung eines ebenen rechtwinkligen Koordintensystems durch zwei Einheitsvektoren (Bsisvektoren) Bild II- Zerlegung eines Vektors in Komponenten Wir betrchten nun einen im Nullpunkt ngebundenen Vektor ~. Die Projektionen dieses Vektors uf die beiden Koordintenchsen führen zu den mit ~ x und ~ y bezeichneten Vektoren (Bild II-). Der Vektor ~ ist dnn ls Summenvektor us ~ x und ~ y drstellbr: ~ ¼ ~ x þ ~ y ðii-9þ

12 Vektorrechnung in der Ebene 55 Die durch Projektion entstndenen Vektoren ~ x und ~ y werden ls Vektorkomponenten von ~ bezeichnet. Sie lssen sich durch die Einheitsvektoren ~e x und ~e y wie folgt usdrücken: ~ x ¼ x ~e x, ~ y ¼ y ~e y ðii-þ (~ x und ~e x sind kollinere Vektoren, ebenso ~ y und ~e y ). Für den Vektor ~ erhält mn somit die Drstellung ~ ¼ ~ x þ ~ y ¼ x ~e x þ y ~e y ðii-þ Die sklren Größen x und y sind die sog. Vektorkoordinten von ~. Sie werden uch ls sklre Vektorkomponenten bezeichnet und stimmen mit den Koordinten des Vektorendpunktes P überein, wenn der Vektor (wie hier) vom Nullpunkt us bgetrgen wird ( ~ ist dnn der Ortsvektor von P). Die in Gleichung (II-) ngegebene Zerlegung heißt Komponentendrstellung des Vektors ~. Bei fester Bsis ~e x, ~e y ist der Vektor ~ in umkehrbr eindeutiger Weise durch die Vektorkoordinten x und y bestimmt. Dher schreibt mn verkürzt in symbolischer Form ~ ¼ x ~e x þ y ~e y ¼ x y ðii-þ und bezeichnet ds Symbol x ls Spltenvektor. Auch die Schreibweise in Form y eines Zeilenvektors ð x y Þ ist grundsätzlich möglich. Wir werden jedoch zur Drstellung von Vektoren usschließlich Spltenvektoren verwenden, um Verwechslungen mit Punkten zu vermeiden. Außerdem lssen sich die Rechenopertionen mit Spltenvektoren wesentlich übersichtlicher durchführen, wie wir noch sehen werden. Wir fssen zusmmen: Komponentendrstellung eines Vektors (Bild II-) ~ ¼ ~ x þ ~ y ¼ x ~e x þ y ~e y ¼ x y Dbei bedeuten: ) ~ x ¼ x ~e x Vektorkomponenten von ~ ~ y ¼ y ~e y x, y : Vektorkoordinten (sklre Vektorkomponenten) von ~ x : Spltenvektor y ðii-þ Anmerkung Eine Vektorkoordinte wird dbei positiv gezählt, wenn die Projektion des Vektors ~ uf die entsprechende Koordintenchse in die positive Richtung dieser Achse zeigt.

13 56 II Vektorlgebr Fällt der Projektionsvektor jedoch in die Gegenrichtung, d. h. in die negtive Richtung der Koordintenchse, so ist die entsprechende Vektorkoordinte negtiv. Ist der Vektor ~ durch den Anfngspunkt P ¼ðx ; y Þ und den Endpunkt P ¼ðx ; y Þ gegeben, so lutet seine Komponentendrstellung wie folgt (Bild II-): y =P P P y x ¼ x x P y y ¼ y y x y x x x Bild II- Komponentendrstellung eines durch zwei Punkte festgelegten Vektors (Bild II-) ƒƒƒ! ~ ¼ P P ¼ðx x Þ ~e x þðy y Þ ~e y ¼ x x ðii-4þ y y Dbei bedeuten: ƒƒƒ! P ¼ðx ; y Þ: Anfngspunkt des Vektors ~ ¼ P P ƒƒƒ! P ¼ðx ; y Þ: Endpunkt des Vektors ~ ¼ P P Komponentendrstellung spezieller Vektoren ƒ! Der vom Koordintenursprung zum Punkt P ¼ðx; yþ führende Ortsvektor ~r ðpþ ¼OP besitzt nch Bild II- die Komponentendrstellung ƒ! ~r ðpþ ¼OP ¼ x~e x þ y~e y ¼ x ðii-5þ y y r(p) P=(x;y) y e y e x x x Bild II- Ortsvektor eines Punktes

14 Vektorrechnung in der Ebene 57 Die Komponentendrstellung der Bsisvektoren (Einheitsvektoren) ~e x und ~e y lutet: ~e x ¼ ~e x þ ~e y ¼, ~e y ¼ ~e x þ ~e y ¼ ðii-6þ Der Nullvektor ~ ht die Gestlt ~ ¼ ~e x þ ~e y ¼ ðii-7þ Betrg eines Vektors Den Betrg eines Vektors ~ erhält mn unmittelbr us dem Stz des Pythgors nch Bild II-: Betrg eines Vektors (Bild II-) y y j~ j¼ ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ y ðii-8þ x x Bild II- Gleichheit von Vektoren Zwei Vektoren ~ und ~b sind genu dnn gleich, wenn sie in ihren entsprechenden Vektorkoordinten übereinstimmen: ~ ¼ ~b, x ¼ b x, y ¼ b y ðii-9þ Beispiele () Der Ortsvektor des Punktes P ¼ð6; 8Þ lutet (Bild II-4): ƒ! ~r ðpþ ¼OP ¼ 6~e x þ 8~e y ¼ 6 8 Sein Betrg ist j~r ðpþj ¼ r ðpþ ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6 þ 8 ¼ y r(p) P = (6;8) 8 Bild II-4 6 x

15 58 II Vektorlgebr ƒƒƒ! () Der von P ¼ð; 4Þ nch P ¼ð 4; Þ gerichtete Vektor ~ ¼ P P besitzt die folgende Komponentendrstellung (Bild II-5): x ¼ x x ¼ 4 ¼ 6 y ¼ y y ¼ 4 ¼ ƒƒƒ! ~ ¼ P P ¼ 6~e x ~e y ¼ 6 y P P P P 4 4 x Bild II-5 Sein Betrg ist ƒƒƒ! j ~ j¼jp P j¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð 6Þ þð Þ ¼ p ffiffiffiffiffiffiffi 45 ¼ 6,7. Drstellung der Vektoropertionen.. Multipliktion eines Vektors mit einem Sklr Die Multipliktion eines Vektors ~ mit einer reellen Zhl (einem Sklr) komponentenweise, d.h.jede Vektorkoordinte wird mit l multipliziert. l erfolgt Multipliktion eines Vektors mit einem Sklr Die Multipliktion eines Vektors ~ mit einem Sklr l erfolgt komponentenweise: l~ ¼ l x y ¼ l x l y ðii-þ Anmerkung Umgekehrt gilt: Besitzen die sklren Vektorkomponenten einen gemeinsmen Fktor, so drf dieser vor den Spltenvektor gezogen werden.

16 Vektorrechnung in der Ebene 59 Beispiele () ~ ¼ 4~e x ~e y ¼ 4 Wir multiplizieren diesen Vektor der Reihe nch mit den Sklren l ¼ 6 und l ¼ und erhlten die folgenden Vektoren: 4 4 6~ ¼ 6 ¼ ¼ 4~e x 8~e y ~ ¼ ¼ ¼ 4~e x þ ~e y Dbei gilt: 6~ "" ~ und ~ "# ~ () Zulässige Schreibweisen für einen (ebenen) Krftvektor ~F mit den sklren Vektorkomponenten (Krftkomponenten) F x ¼ 5 N und F y ¼ 6 N sind (die Mßeinheit wird dbei wie ein Sklr behndelt): ~F ¼ð5 NÞ ~e x þð6nþ ~e y ¼ 5 N ¼ 5 N 6N 6.. Addition und Subtrktion von Vektoren Aus Bild II-6 folgt unmittelbr, dss die Addition zweier Vektoren ~ und ~b komponentenweise geschieht: ~ þ ~b ¼ x þ b x ¼ x þ b x ðii-þ y b y y þ b y y +b b b y y + by x x + bx b x y x Bild II-6 Zur komponentenweisen Addition zweier Vektoren

17 6 II Vektorlgebr Dies gilt uch für die Subtrktion zweier Vektoren: ~ ~b ¼ x b x ¼ x þ b x y b y y b y ¼ x b x y b y ðii-þ Addition und Subtrktion zweier Vektoren (Bild II-6) Zwei Vektoren ~ und ~b werden komponentenweise ddiert bzw. subtrhiert: ~ ~b ¼ x b x ¼ x b x ðii-þ y b y y b y Anmerkung Diese Regel gilt sinngemäß uch für endlich viele Vektoren. Beispiele () Mit den Spltenvektoren ~ ¼, ~b ¼ und ~c ¼ soll der 5 Vektor ~s ¼ ~ þ ~b 5~c berechnet werden. Welchen Betrg besitzt dieser Vektor? Lösung: ~s ¼ ~ þ ~b 5~c ¼ ¼ þ þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð 5Þ þð Þ þ 5 5 ¼ p ffiffiffiffiffiffiffi 4 ¼ 5, 5 ¼ 5 ¼ þ 5 j~s j¼ ¼ () Die n einem Mssenpunkt gleichzeitig ngreifenden Kräfte ~F ¼ 4N 5N, N ~F ¼ und ~F N ¼ 4N N können durch die folgende resultierende Krft ~F R ersetzt werden: ~F R ¼ ~F þ ~F þ ~F ¼ ¼ 4N N þ þ 4N ¼ 5N N N ¼ 6N ¼ 6 N 9N 9 4N N þ 4N 5N þ N þ N ¼

18 Vektorrechnung in der Ebene 6 () Schiefer Wurf : Ein Körper wird unter dem Winkel (gemessen gegen die Horizontle) mit einer Geschwindigkeit vom Betrge v bgeworfen (Bild II-7). Wie lutet die Komponentendrstellung des Geschwindigkeitsvektors ~v? Lösung: y v ~v ¼ v x ~e x þ v y ~e y ¼ v x v y v y v v x x Bild II-7 Aus dem rechtwinkligen Dreieck in Bild II-7 folgt unmittelbr: cos ¼ v x v ) v x ¼ v cos sin ¼ v y v ) v y ¼ v sin Dmit besitzt der Geschwindigkeitsvektor ~v die folgende Komponentendrstellung: ~v ¼ v x ¼ v cos cos ¼ v v y v sin sin. Sklrprodukt zweier Vektoren.. Definition und Berechnung eines Sklrproduktes Als weitere Vektoropertion führen wir die sklre Multipliktion zweier Vektoren ein. Sie erzeugt us den Vektoren ~ und ~b einen Sklr, lso eine reelle Zhl, ds sog. Sklrprodukt ~ ~b (gelesen: Punkt b). In den Anwendungen treten Sklrprodukte z. B. im Zusmmenhng mit den folgenden Größen uf: Arbeit einer Krft beim Verschieben einer Msse Spnnung (Potentildifferenz) zwischen zwei Punkten eines elektrischen Feldes Winkelberechnung zwischen zwei Kräften oder in ebenen geometrischen Figuren (z. B. in Dreiecken)

19 6 II Vektorlgebr Ds Sklrprodukt wird wie folgt definiert: Definition: Unter dem Sklrprodukt ~ ~b zweier Vektoren ~ und ~b wird ds Produkt us den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels j verstnden (Bild II-8): ~ ~b ¼j~ jj~b jcos j ¼ b cos j ðii-4þ ð j 8 Þ b f Bild II-8 Zum Begriff des Sklrproduktes zweier Vektoren Anmerkungen () Ds Sklrprodukt ist eine sklre Größe und wird uch ls inneres Produkt der Vektoren ~ und ~b bezeichnet. () Mn bechte, dss der in der Definitionsformel (II-4) des Sklrproduktes uftretende Winkel j stets der kleinere der beiden Winkel ist, den die Vektoren ~ und ~b miteinnder bilden. Rechenregeln für Sklrprodukte Die Sklrproduktbildung ist sowohl kommuttiv ls uch distributiv: Kommuttivgesetz ~ ~b ¼ ~b ~ ðii-5þ Distributivgesetz ~ ð~b þ ~c Þ¼~ ~b þ ~ ~c ðii-6þ Ferner gilt für einen beliebigen reellen Sklr l: l ð~ ~b Þ¼ðl~Þ ~b ¼ ~ ðl ~b Þ ðii-7þ Orthogonle Vektoren Ds Sklrprodukt ~ ~b zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren knn nur verschwinden, wenn cos j ¼, d. h. j ¼ 9 ist. In diesem Fll stehen die Vektoren ufeinnder senkrecht (sog. orthogonle Vektoren, siehe hierzu Bild II-9). b b= Bild II-9 Orthogonle Vektoren

20 Vektorrechnung in der Ebene 6 Orthogonle Vektoren (Bild II-9) Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren ~ und ~b stehen genu dnn ufeinnder senkrecht, sind lso orthogonl, wenn ihr Sklrprodukt verschwindet: ~ ~b ¼, ~? ~b ðii-8þ Die Bedingung der Orthogonlität erfüllen beispielsweise die Einheitsvektoren (Bsisvektoren) ~e x und ~e y : ~e x ~e y ¼ ~e y ~e x ¼ ðii-9þ Ds sklre Produkt eines Vektors ~ mit sich selbst führt zu ~ ~ ¼j~ jj~ jcos ¼j~ jj~ j ¼ j~ j ¼ ðii-þ Der Betrg eines Vektors ~ knn dher us dem Sklrprodukt ~ ~ berechnet werden: p j ~ j¼ ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ~ ~ ðii-þ So erhält mn beispielsweise für die Einheitsvektoren (Bsisvektoren) ~e x und ~e y : ~e x ~e x ¼j~e x j ¼, ~e y ~e y ¼j~e y j ¼ ðii-þ Berechnung eines Sklrproduktes us den sklren Vektorkomponenten (Vektorkoordinten) Ds sklre Produkt zweier Vektoren ~ ¼ x ~e x þ y ~e y und ~b ¼ b x ~e x þ b y ~e y lässt sich uch direkt us den Vektorkoordinten (sklren Vektorkomponenten) der beiden Vektoren wie folgt berechnen (wir verwenden dbei die Rechenregeln (II-6) und (II-7)): ~ ~b ¼ð x ~e x þ y ~e y Þðb x ~e x þ b y ~e y Þ¼ ¼ x b x ð~e x ~e x Þþ x b y ð~e x ~e y Þþ y b x ð~e y ~e x Þþ y b y ð~e y ~e y Þ¼ fflfflffl{zfflfflffl} fflfflffl{zfflfflffl} fflfflffl{zfflfflffl} fflfflffl{zfflfflffl} ¼ x b x þ y b y ðii-þ In der Prxis verwenden wir für die Sklrproduktbildung ds folgende Rechenschem: ~ ~b ¼ x b x ¼ y b x b x þ y b y ðii-4þ y

21 64 II Vektorlgebr Wir fssen diese Ergebnisse wie folgt zusmmen: Berechnung eines Sklrproduktes us den sklren Vektorkomponenten (Vektorkoordinten) der beteiligten Vektoren Ds Sklrprodukt ~ ~b zweier Vektoren ~ und ~b lässt sich us den sklren Vektorkomponenten (Vektorkoordinten) der beiden Vektoren wie folgt berechnen: ~ ~b ¼ x b x ¼ y b x b x þ y b y ðii-5þ y Regel: Komponentenweise Multipliktion, nschließende Addition der Produkte. Die Berechnung eines Sklrproduktes knn somit grundsätzlich uf zwei verschiedene Arten erfolgen: Entweder nch der Definitionsformel (II-4), wenn die Beträge der beiden Vektoren sowie der von ihnen eingeschlossene Winkel beknnt sind oder über die sklren Vektorkomponenten nch Formel (II-5), wenn beide Vektoren ls Spltenvektoren vorliegen: ~ ~b ¼j~ jj~b jcos j ¼ x b x þ y b y ðii-6þ Beispiele () Wir berechnen ds Sklrprodukt der Vektoren ~ ¼ und ~b ¼ : 5 ~ ~b ¼ ¼ ð Þ þ 5 ¼ þ ¼ 7 5 () Die Vektoren ~ ¼ und ~b ¼ sind orthogonl, d. h. sie stehen ufeinnder senkrecht, d ihr sklres Produkt verschwindet: ~ ~b ¼ ¼ ð Þ þ ¼ þ¼.. Winkel zwischen zwei Vektoren Bei der Berechnung des von zwei Vektoren ~ und ~b eingeschlossenen Winkels j wird von der Gleichung (II-6) Gebruch gemcht, die zunächst nch cos j ufgelöst wird: cos j ¼ ~ ~b j ~ jj~b j ¼ q x b x þ y b y q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ y ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b x þ b y ðii-7þ

22 Vektorrechnung in der Ebene 65 Durch Umkehrung ) folgt schließlich: Winkel zwischen zwei Vektoren (Bild II-8) Der von den Vektoren ~ und ~b eingeschlossene Winkel j lässt sich wie folgt berechnen:! ~ ~b j ¼ rccos ð~ 6¼ ~, ~b 6¼ ~ Þ ðii-8þ j~ jj~b j Anmerkung Aus dem Vorzeichen des Sklrproduktes ~ ~b lssen sich bereits Rückschlüsse uf den Winkel j zwischen den Vektoren ~ und ~b ziehen (Bild II-): ~ ~b > ) j < 9 (spitzer Winkel; Bild II-)) ~ ~b ¼ ) j ¼ 9 (rechter Winkel; Bild II-b)) ~ ~b < ) j > 9 (stumpfer Winkel; Bild II-c)) b b b f < 9 f = 9 f > 9 f f f ) ~ ~b > b) ~ ~b ¼ c) ~ ~b < Bild II- Winkel zwischen zwei vom Nullvektor verschiedenen Vektoren Beispiele () Welche Winkel bildet der Vektor ~ ¼ (Bild II-)? mit den beiden Koordintenchsen y e y b e x x Bild II- ) Die Auflösung der Gleichung (II-7) nch dem unbeknnten Winkel j führt uf die Umkehrfunktion der Kosinusfunktion, die ls Arkuskosinusfunktion bezeichnet und im nächsten Kpitel (Kp. III, Abschnitt.) noch usführlich behndelt wird.

23 66 II Vektorlgebr Lösung: Die gesuchten Winkel und b sind nch Bild II- genu die Winkel, die der Vektor ~ mit den beiden Einheitsvektoren ~e x und ~e y einschließt. Sie lssen sich dher über die Sklrprodukte des Vektors ~ mit diesen Einheitsvektoren bestimmen. Es gilt nämlich: ~ ~e x ¼j~ jj~e x jcos ) cos ¼ ~ ~e x j~ jj~e x j ~ ~e y ¼j~ jj~e y jcos b ) cos b ¼ ~ ~e y j~ jj~e y j Wir berechnen zunächst die in diesen Bestimmungsgleichungen für und b uftretenden Sklrprodukte und Beträge: ~ ~e x ¼ j ~ j¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ Dmit erhlten wir: cos ¼ cos b ¼ ¼, ~ ~e y ¼ ¼ ~ ~e x j~ jj~e x j ¼ ~ ~e y j~ jj~e y j ¼ p ffiffiffiffi 5, j~e x j¼j~e y j¼ p ffiffiffiffi ) ¼ rcccos 5 p ffiffiffiffi ) b ¼ rcccos 5 ¼ p ffiffiffiffi ¼ 6,6 5 p ffiffiffiffi ¼ 6,4 5 Kontrolle: Es ist (wie erwrtet) þ b ¼ 9. () Wir interessieren uns für den Winkel j zwischen den Vektoren ~ ¼ 4 und ~b ¼ (siehe Bild II-). y b 4 x Bild II-

24 Vektorrechnung in der Ebene 67 Mit p j ~ j¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 4 þ ¼ ffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 ¼ 5, j ~b j¼ ð Þ þ ~ ~b ¼ 4 ¼ þ 6 ¼ 6 ¼ p ffiffiffiffiffiffiffi erhlten wir nch Formel (II-8) den folgenden Wert:! ~ ~b 6 j ¼ rccos ¼ rccos pffiffiffiffiffiffiffi j ~ j j~b j 5 ¼ ¼ rccos ð,8þ ¼9,4.4 Liner unbhängige Vektoren Aus Abschnitt. ist beknnt: Jeder Vektor ~ ist in eindeutiger Weise ls Linerkombintion der Einheitsvektoren ~e x, ~e y drstellbr: ~ ¼ x ~e x þ y ~e y ðii-9þ (sog. Komponentendrstellung). Die Vektoren ~e x und ~e y bilden dbei eine sog. Bsis der Ebene, erzeugen lso einen -dimensionlen Rum und werden dher folgerichtig ls Bsisvektoren bezeichnet. Grundsätzlich können ls Bsis zwei beliebige (vom Nullvektor verschiedene) Vektoren ~e, ~e gewählt werden, sofern sie (wie ~e x und ~e y ) nicht kolliner sind, lso einen von und 8 verschiedenen Winkel miteinnder einschließen (Bild II-). f ) f = b) f = 8 c) < f < 8 Bild II- ) und b) Kollinere Vektoren c) Nichtkollinere Vektoren Jeder Vektor ~ lässt sich dnn in eindeutiger Weise ls Linerkombintion dieser Bsisvektoren drstellen: ~ ¼ l~e þ m~e ðii-4þ Die reellen Zhlen l und m sind dbei die Vektorkoordinten von ~, bezogen uf die Bsis ~e, ~e (Bild II-4).

25 68 II Vektorlgebr me = le + me e Bild II-4 Drstellung eines Vektors ~ in der Bsis ~e, ~e e le Bsisvektoren sind dbei stets liner unbhängig, d. h. die mit ihnen gebildete linere Vektorgleichung l ~e þ l ~e ¼ ~ ðii-4þ knn nur für l ¼ l ¼ erfüllt werden ). Beispiel Die Vektoren ~e ¼ ~e x ¼ und ~e ¼ sind wie mn us Bild II-5 unmittelbr entnehmen knn nichtkolliner und somit liner unbhängig. y e e x Bild II-5 Liner unbhängige Vektoren ~e, ~e Wir wollen diese Aussge uf rechnerischem Wege bestätigen. Aus der Vektorgleichung l ~e þ l ~e ¼ ~ oder l þ l ¼ erhlten wir ds homogene linere Gleichungssystem l l ¼ l l ¼ oder l þ l ¼ l ¼ mit der trivilen Lösung l ¼ l ¼. Die Vektoren ~e und ~e sind somit liner unbhängig. ) Die Komponentenschreibweise der Vektorgleichung (II-4) führt zu einem homogenen lineren Gleichungssystem, ds nur trivil lösbr ist ðl ¼ l ¼ Þ.

26 Vektorrechnung in der Ebene 69 Der Begriff der Lineren Unbhängigkeit von Vektoren lässt sich uch uf Systeme von k Vektoren usdehnen. Definition: Die k Vektoren ~, ~,..., ~ k der Ebene heißen liner unbhängig, wenn die linere Vektorgleichung l ~ þ l ~ þ... þ l k ~ k ¼ ~ ðii-4þ nur für l ¼ l ¼... ¼ l k ¼ erfüllt werden knn. Verschwinden jedoch nicht lle Koeffizienten in dieser Gleichung, so heißen die k Vektoren liner bhängig. Anmerkungen () Es lässt sich zeigen, dss es in der Ebene mximl zwei liner unbhängige Vektoren gibt (dher stmmt uch die Bezeichnung -dimensionler Rum für die Ebene), mehr ls zwei Vektoren sind immer liner bhängig. () Die k Vektoren sind liner bhängig, wenn sie den Nullvektor oder kollinere Vektoren enthlten oder wenn mindestens einer der Vektoren ls Linerkombintion der übrigen drstellbr ist..5 Ein Anwendungsbeispiel: Resultierende eines ebenen Kräftesystems Wir behndeln ein Problem, ds in der Technischen Mechnik von großer Bedeutung ist: Die vektorielle Addition von mehreren n einem gemeinsmen Mssenpunkt ngreifenden (ebenen) Kräften zu einer resultierenden Krft. Grphische Lösung durch ein Krfteck Es wird ein Kräftepln erstellt: Er enthält die n ngreifenden Krftvektoren ~F, ~F,..., ~F n in einem geeigneten Kräftemßstb ).Von ~F usgehend wird zunächst der Krftvektor ~F prllel zu sich verschoben, bis sein Anfngspunkt in den Endpunkt von ~F fällt. Anschließend verschieben wir ~F prllel zu sich selbst und bringen seinen Anfngspunkt mit dem Endpunkt von ~F zur Deckung. Auf diese Weise wird Krftvektor n Krftvektor gereiht und mn erhält ein sog. Krfteck (uch Kräftepolygon gennnt). Die resultierende Krft ~F R ist der vom Anfngspunkt des Vektors ~F zum Endpunkt des Vektors ~F n gerichtete Vektor (Bild II-6). ) Der Kräftemßstb regelt die Umrechnung von der Längen- in die Krfteinheit, z. B. cm ¼b N.

27 7 II Vektorlgebr F n F n F R F 5 F 4 Bild II-6 Krfteck (Kräftepolygon) F F F Rechnerische Lösung Die resultierende Krft ~F R ist die Vektorsumme us den n Einzelkräften: ~F R ¼ ~F þ ~F þ... þ ~F n ðii-4þ Beispiel Wir bestimmen grphisch und rechnerisch die Resultierende des in Bild II-7 skizzierten Kräftesystems: y F = N F = 5 N 45 5 x Bild II-7 F = 5 N F = N 4 ) Grphische Lösung (Bild II-8) F F 4 F F R F Abgelesene Werte: F R 7 N 6 x Bild II-8

28 Vektorrechnung im -dimensionlen Rum 7 b) Rechnerische Lösung Wir berechnen zunächst nhnd des Bildes II-7 die x- und y-komponenten der vier Einzelkräfte und drus dnn die Resultierende ~F R : ~F : F x ¼ F cos ¼ 5 N cos ¼ 4 N F y ¼ F sin ¼ 5 N sin ¼ 5 N ~F : F x ¼ F cos 5 ¼ N cos 5 ¼, N F y ¼ F sin 5 ¼ N sin 5 ¼, N ~F : F x ¼ F cos ¼ 5 N cos ¼ 4,9 N F y ¼ F sin ¼ 5 N sin ¼ 85,5 N ~F 4 : F 4 x ¼ F 4 cos 45 ¼ N cos 45 ¼ 9, N F 4 y ¼ F 4 sin 45 ¼ N sin 45 ¼ 5,8 N Resultierende Krft ~F R : ~F R ¼ ~F þ ~F þ ~F þ ~F 4 ¼ ¼ 4 N, N 4,9 N þ þ þ 5 N, N 85,5 N cos ¼ ~ F R ~e x j ~F R jj~e x j ¼ 9, N ¼ 5,8 N 79, N 4,8 N Wir können die resultierende Krft ber uch durch ihren Betrg und den in Bild II-8 eingezeichneten Winkel eindeutig festlegen: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p j ~F R j¼ ð79, NÞ þð4,8 NÞ ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 7 67,7 N ¼ 7, N 79, N 4,8 N 7, N ¼ 79, N 7, N ¼,48 ) ¼ rccos,48 ¼ 6, Vektorrechnung im -dimensionlen Rum Nchdem wir uns in Abschnitt eingehend mit den Vektoren der Ebene und ihren Eigenschften beschäftigt hben, gehen wir jetzt zur Drstellung von Vektoren im -dimensionlen Anschuungsrum (im Folgenden kurz ls Rum bezeichnet) über. Hier liegen die Verhältnisse gnz ähnlich. Zur Festlegung eines Vektors benötigt mn jedoch eine weitere Komponente. Die Rechenopertionen unterliegen dbei den bereits us der Ebene beknnten Regeln: Die Multipliktion eines Vektors mit einem Sklr sowie die Addition und Subtrktion von Vektoren erfolgen jeweils komponentenweise. Die Definition des Sklrproduktes zweier Vektoren und die sich drus ergebenden Eigenschften behlten uch im Rum ihre Gültigkeit. Als neue Begriffe werden wir schließlich ds us zwei Vektoren gebildete Vektorprodukt sowie ds us drei Vektoren gebildete gemischte oder Sptprodukt einführen.

29 7 II Vektorlgebr. Komponentendrstellung eines Vektors Wir legen der Betrchtung ein rechtshändiges krtesisches Koordintensystem mit einer x, y- und z-achse zugrunde. Es wird durch drei prweise ufeinnder senkrecht stehende Einheitsvektoren ~e x, ~e y und ~e z festgelegt (Bild II-9) 4). Richtung und Mßstb der Koordintenchsen sind ddurch eindeutig bestimmt. Dher bezeichnet mn die Einheitsvektoren in diesem Zusmmenhng uch ls Bsisvektoren. z z e z z z P e x e y y x y y y x x x Bild II-9 Bsisvektoren eines räumlichen rechtwinkligen Koordintensystems Bild II-4 Zerlegung eines Vektors in drei Komponenten Ein im Nullpunkt ngebundener Vektor ~ ist dnn in der Form ~ ¼ ~ x þ ~ y þ ~ z ðii-44þ drstellbr. Die ls Vektorkomponenten von ~ bezeichneten Vektoren ~ x, ~ y, ~ z sind die Projektionen des Vektors ~ uf die einzelnen Koordintenchsen (Bild II-4). Sie liegen in Richtung oder in Gegenrichtung des jeweiligen Einheitsvektors. Dher gilt: ~ x ¼ x ~e x, ~ y ¼ y ~e y, ~ z ¼ z ~e z ðii-45þ Für den Vektor ~ erhält mn somit die Komponentendrstellung ~ ¼ ~ x þ ~ y þ ~ z ¼ x ~e x þ y ~e y þ z ~e z ðii-46þ Die sklren Größen x, y, z werden ls Vektorkoordinten oder sklre Vektorkomponenten von ~ bezeichnet. Wird der Vektor ~ vom Koordintenursprung us bgetrgen, so stimmen die Vektorkomponenten von ~ mit den Koordinten des Vektorendpunktes P überein (~ ist der Ortsvektor von P). Bei fester Bsis ~e x, ~e y, ~e z ist der Vektor ~ in umkehrbr eindeutiger Weise durch die drei Vektorkoordinten x, y, z bestimmt. 4) Rechtshändiges System (Rechtssystem): Spreizt mn Dumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hnd so, dss sie jeweils einen rechten Winkel miteinnder bilden, dnn zeigen sie der Reihe nch in Richtung der drei Einheitsvektoren und dmit in Richtung der x-, y- und z-achse. Sttt ~e x, ~e y, ~e z sind uch folgende Symbole üblich: ~e, ~e, ~e und ~i, ~j, ~k.

30 Vektorrechnung im -dimensionlen Rum 7 Es genügt dher die Angbe der sklren Komponenten in Form eines Spltenvektors: x ~ ¼ x ~e x þ y ~e y þ z ~e z A ðii-47þ y z Von der ebenflls möglichen Drstellung durch einen Zeilenvektor ð x y z Þ werden wir keinen Gebruch mchen 5Þ. Komponentendrstellung eines Vektors (Bild II-4) ~ ¼ ~ x þ ~ y þ ~ z ¼ x ~e x þ y ~e y þ z ~e z ¼ Dbei bedeuten: 9 ~ x ¼ x ~e x >= ~ y ¼ y ~e y Vektorkomponenten von ~ >; ~ z ¼ z ~e x y z A ðii-48þ x, y, z : Vektorkoordinten (sklre Vektorkomponenten) von ~ y A: Spltenvektor z Sind Anfngspunkt P ¼ðx ; y ; z Þ und Endpunkt P ¼ðx ; y ; z Þ eines Vektors ~ beknnt, so lutet die Komponentendrstellung von ~ ¼ P P wie ƒƒƒ! folgt: Komponentendrstellung eines durch zwei Punkte festgelegten Vektors x x ƒƒƒ! ~ ¼ P P ¼ðx x Þ ~e x þðy y Þ ~e y þðz z Þ ~e z y y A z z Dbei bedeuten: P ¼ðx ; y ; z Þ: ƒƒƒ! Anfngspunkt des Vektors ~ ¼ P P P ¼ðx ; y ; z Þ: ƒƒƒ! Endpunkt des Vektors ~ ¼ P P (II-49) 5) Mit Spltenvektoren lässt sich besonders einfch und übersichtlich rechnen (siehe folgende Abschnitte).

31 74 II Vektorlgebr Komponentendrstellung spezieller Vektoren Der Ortsvektor des Punktes P ¼ðx; y; zþ lutet: x ƒ! ~r ðpþ ¼OP ¼ x~e x þ y~e y þ z~e z y A z ðii-5þ Für die drei Bsisvektoren (Einheitsvektoren) ~e x, ~e y, ~e z erhält mn die folgende Komponentendrstellung: ~e x ¼ ~e x þ ~e y þ ~e z A, ~e y ¼ ~e x þ ~e y þ ~e z A, ~e z ¼ ~e x þ ~e y þ ~e z A ðii-5þ Der Nullvektor ~ besitzt die Komponentendrstellung ~ ¼ ~e x þ ~e y þ ~e z A ðii-5þ Betrg eines Vektors Der Betrg eines Vektors ~ lässt sich nch Bild II-4 us dem rechtwinkligen Dreieck OP P unter (zweimliger) Verwendung des Stzes von Pythgors leicht berechnen: z ƒ! j OP j¼j~ j¼ ƒƒ! j OP j¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ y z y P z y ƒƒ! j P P j ¼ z j ~ j ¼ ƒƒ! ¼jOP j ƒƒ! þjp P j ¼ x x P ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ y þ z ¼ Bild II-4 ¼ x þ y þ z j ~ j¼ ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ y þ z ðii-5þ

32 Vektorrechnung im -dimensionlen Rum 75 Betrg eines Vektors (Bild II-4) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi j~ j¼¼ x þ y þ z ðii-54þ Gleichheit von Vektoren Zwei Vektoren ~ und ~b sind genu dnn gleich, wenn sie in ihren entsprechenden Komponenten übereinstimmen: ~ ¼ ~b, x ¼ b x, y ¼ b y, z ¼ b z ðii-55þ Beispiele () Der Ortsvektor des Punktes P ¼ð; ; Þ lutet: ƒ! ~r ðpþ ¼OP ¼ ~e x ~e y þ ~e z A Sein Betrg ist j~r ðpþj ¼ r ðpþ ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þð Þ þ ¼ p ffiffiffiffiffiffiffi 4 ¼,74 () Wir berechnen die Länge des Vektors ~ ¼ ~e x þ ~e y þ 8~e z : qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ~ A ) j~ j¼ ð Þ þ þ 8 ¼ ffiffiffiffiffi 74 ¼ 8,6 8. Drstellung der Vektoropertionen.. Multipliktion eines Vektors mit einem Sklr Die Multipliktion eines Vektors ~ mit einem Sklr (einer reellen Zhl) l wird wie in der Ebene komponentenweise durchgeführt: Multipliktion eines Vektors mit einem Sklr Die Multipliktion eines Vektors ~ mit einem Sklr l erfolgt komponentenweise: x l x l~ ¼ y A l y A ðii-56þ z l z

33 76 II Vektorlgebr Beispiel Eine Msse von m ¼ 5 kg erfhre durch eine Krft ~F die Beschleunigung ~ A m. Die Komponentendrstellung der einwirkenden Krft lutet dnn: s 4 ~F ¼ m~ ¼ 5kg@ A m s 5 A kg m s 5 A N 4 Normierung eines Vektors ~ sei ein beliebiger vom Nullvektor verschiedener Vektor. Wie lutet der in die gleiche Richtung weisende Einheitsvektor ~e? Wir lösen diese Aufgbe wie folgt: ~ und ~e sind prllele Vektoren: ~ "" ~e. Der Vektor ~ besitzt die Länge j ~ j, der Vektor ~e die Länge. Dher gilt (siehe Bild II-4): ~ ¼j~ j ~e ðii-57þ e ~e ¼ ~ ~ ¼ j ~ j j ~ j ðii-58þ Bild II-4 Normierung eines Vektors Diesen Vorgng bezeichnet mn ls Normierung eines Vektors. Normierung eines Vektors (Bild II-4) Durch Normierung erhält mn us einem vom Nullvektor verschiedenen Vektor ~ einen Einheitsvektor gleicher Richtung. Er lutet wie folgt: ~e ¼ j ~ j ~ ðii-59þ Regel: Die Vektorkoordinten werden durch den Betrg des Vektors dividiert. Beispiel Wir normieren den Vektor ~ A: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi j ~ j¼ þð Þ p þ ¼ ffiffiffiffi 9 ¼ ~ ¼ ~e ) ~e ¼ ~ A ¼ = A =

34 Vektorrechnung im -dimensionlen Rum 77.. Addition und Subtrktion von Vektoren Die Addition und Subtrktion zweier Vektoren ~ und ~b erfolgt (wie in der Ebene) komponentenweise: Addition und Subtrktion zweier Vektoren Zwei Vektoren ~ und ~b werden komponentenweise ddiert bzw. subtrhiert: x b x x b x ~ ~b y b y A y b y A ðii-6þ z b z z b z Beispiele 4 () Wir berechnen mit ~ A, ~b A und ~c A den folgenden Vektor: ~s ¼ 4~ þ ~b 8~c ¼ A A A ¼ þ 9 þ 49 6 A A 8 4 A þ 8 6 þ 4 A 4 A () Wir zeigen, dss die n einem Mssenpunkt gleichzeitig ngreifenden Kräfte 4 ~F A N, ~F 8 A N, 9 5 ~F A N, ~F 4 A N, 4 sich in ihrer physiklischen Wirkung ufheben. Lösung: Die vier Kräfte heben sich gegenseitig uf, wenn die Resultierende den Nullvektor ergibt. Dies ist hier der Fll: ~F R

35 78 II Vektorlgebr ~F R ¼ ~F þ ~F þ ~F þ ~F 4 ¼ 4 A N 8 A N A N þ 9 4 þ 4 þ 5 þ 8 þ þ 9 4 A N A N A N ¼ () Welche Koordinten besitzt der Punkt Q, der die Strecke zwischen den Punkten P ¼ð 4; ; Þ und P ¼ð; ; 4Þ hlbiert (Bild II-4)? P r(p ) PQ Q P P r(q) P r(p ) Bild II-4 ƒƒ! ƒƒƒ! Lösung: Der Vektor P Q ist prllel zum Vektor P P, jedoch nur von hlber Länge: ƒƒ! P Q ¼ P ƒƒƒ! P Aus der Skizze folgt ferner, dss der Ortsvektor ~r ðqþ des gesuchten Punktes Q ƒƒ! ls Vektorsumme us ~r ðp Þ und P Q drstellbr ist: ƒƒ! ~r ðqþ ¼~r ðp ÞþP Q ¼ ~r ðp Þþ P ƒƒƒ! P ƒƒƒ! Wir berechnen zunächst die benötigten Vektoren ~r ðp Þ und P P : x 4 ~r ðp Þ¼@ y A A z x x ð 4Þ 5 ƒƒƒ! P P y y A A A z z 4

36 Vektorrechnung im -dimensionlen Rum 79 Für den Ortsvektor ~r ðqþ erhlten wir dnn: ~r ðqþ ¼~r ðp Þþ 4 P ƒƒƒ! P A þ A ¼ 4,5 4 þ,5,5 A A A A þ Ergebnis: Q ¼ð,5;, 5; Þ.. Sklrprodukt zweier Vektoren.. Definition und Berechnung eines Sklrproduktes Die in Abschnitt. gegebene Definition des sklren Produktes zweier Vektoren lässt sich sinngemäß uch uf räumliche, d. h. -dimensionle Vektoren übertrgen: Definition: Unter dem Sklrprodukt ~ ~b zweier Vektoren ~ und ~b versteht mn den Sklr ~ ~b ¼j~ jj~b jcos j ¼ b cos j ðii-6þ wobei j der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist ( j 8 ; Bild II-44). b f Bild II-44 Zum Begriff des Sklrproduktes zweier Vektoren Rechenregeln für Sklrprodukte Die Sklrproduktbildung ist sowohl kommuttiv ls uch distributiv: Kommuttivgesetz ~ ~b ¼ ~b ~ (II-6) Distributivgesetz ~ ð~b þ ~c Þ¼~ ~b þ ~ ~c (II-6) Ferner gilt für einen beliebigen reellen Sklr l: l ð~ ~b Þ¼ðl~Þ ~b ¼ ~ ðl ~b Þ ðii-64þ

37 8 II Vektorlgebr Orthogonle Vektoren Verschwindet ds sklre Produkt zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren, so bilden sie einen rechten Winkel miteinnder, stehen lso ufeinnder senkrecht (uch die Umkehrung gilt). Solche Vektoren heißen (wie in der Ebene) orthogonl. Orthogonle Vektoren Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren ~ und ~b stehen genu dnn ufeinnder senkrecht, sind lso orthogonl, wenn ihr Sklrprodukt verschwindet: ~ ~b ¼, ~? ~b ðii-65þ Die drei Einheitsvektoren ~e x, ~e y, ~e z bilden eine sog. orthonormierte Bsis, d. h. die Vektoren stehen prweise ufeinnder senkrecht (orthogonle Vektoren) und besitzen jeweils den Betrg Eins (normierte Vektoren): ~e x ~e y ¼ ~e y ~e z ¼ ~e z ~e x ¼ ~e x ~e x ¼ ~e y ~e y ¼ ~e z ~e z ¼ ðii-66þ Für den Sonderfll ~ ¼ ~b erhält mn: ~ ~ ¼j~ jj~ jcos ¼j~ jj~ j ¼ j~ j ¼ ðii-67þ Der Betrg eines Vektors ~ lässt sich dher uch über ds Sklrprodukt ~ ~ berechnen: p j ~ j¼ ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ~ ~ ðii-68þ Berechnung eines Sklrproduktes us den sklren Vektorkomponenten (Vektorkoordinten) Ds Sklrprodukt zweier Vektoren knn uch direkt us den sklren Komponenten der beiden Vektoren bestimmt werden: ~ ~b ¼ð x ~e x þ y ~e y þ z ~e z Þðb x ~e x þ b y ~e y þ b z ~e z Þ¼ ¼ x b x ð~e x ~e x Þþ x b y ð~e x ~e y Þþ x b z ð~e x ~e z Þþ þ y b x ð~e y ~e x Þþ y b y ð~e y ~e y Þþ y b z ð~e y ~e z Þþ þ z b x ð~e z ~e x Þþ z b y ð~e z ~e y Þþ z b z ð~e z ~e z Þ ðii-69þ Die dbei uftretenden Sklrprodukte verschwinden, wenn n ihrer Bildung zwei verschiedene Einheitsvektoren beteiligt sind. In llen nderen Fällen hben die Sklrprodukte den Wert. Dmit reduziert sich die Gleichung (II-69) wie folgt:

38 Vektorrechnung im -dimensionlen Rum 8 ~ ~b ¼ x b x þ x b y þ x b z þ y b x þ y b y þ þ y b z þ z b x þ z b y þ z b z ¼ ¼ x b x þ y b y þ z b z ðii-7þ Wir fssen zusmmen: Berechnung eines Sklrproduktes us den sklren Vektorkomponenten (Vektorkoordinten) der beteiligten Vektoren Ds Sklrprodukt ~ ~b zweier Vektoren ~ und ~b lässt sich us den sklren Vektorkomponenten (Vektorkoordinten) der beiden Vektoren wie folgt berechnen: x b x ~ ~b y b y A ¼ x b x þ y b y þ z b z ðii-7þ z b z Regel: Komponentenweise Multipliktion, nschließende Addition der Produkte. Ds sklre Produkt zweier Vektoren knn somit (wie in der Ebene) uf zwei verschiedene Arten berechnet werden: ~ ~b ¼j~ jj~b jcos j ¼ x b x þ y b y þ z b z ðii-7þ Beispiele () Ds sklre Produkt der Vektoren ~ A und ~b ~ ~b A ¼ 4 8 ¼ A beträgt: () Die Vektoren ~ A und ~b 4 A sind orthogonl, d ihr 5 Sklrprodukt verschwindet: ~ ~b 5 4 A ¼ 6 þ 4 ¼ () Wir beweisen den Stz des Pythgors: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden Kthetenqudrte gleich dem Qudrt der Hypotenuse.

39 8 II Vektorlgebr Beweis: Die beiden Ktheten sowie die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks legen wir in der us Bild II-45 ersichtlichen Weise durch Vektoren fest, wobei gilt: ~ ~ ¼, ~b ~b ¼ b, ~c ~c ¼ c, ~ ~b ¼ ðd nch Vorussetzung ~? ~b Þ c b c b Bild II-45 Zur Herleitung des Stzes des Pythgors Der Hypotenusenvektor ~c ist ferner die Summe der beiden Kthetenvektoren ~ und ~b: ~c ¼ ~ þ ~b Wir bilden nun ds sklre Produkt von ~c mit sich selbst: ~c ~c ¼ð~ þ ~b Þð~ þ ~b Þ¼~ ~ þ ~ ~b þ ~b ~ þ ~b ~b Wegen der Orthogonlität von ~ und ~b ist ~ ~b ¼ ~b ~ ¼ und es folgt: ~c ~c ¼ ~ ~ þ ~b ~b oder c ¼ þ b Dmit ist der Lehrstz des Pythgors bewiesen... Winkel zwischen zwei Vektoren Aus Gleichung (II-7) erhlten wir die folgende wichtige Beziehung für den Winkel j zwischen zwei Vektoren ~ und ~b: cos j ¼ ~ ~b j ~ jj~b j ¼ q x b x þ y b y þ z b q z ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ y þ z ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b x þ b y þ b z ðii-7þ Diese Gleichung lösen wir nch dem gesuchten Winkel j uf und erhlten ds folgende Ergebnis: Winkel zwischen zwei Vektoren (Bild II-44) Der von den Vektoren ~ und ~b eingeschlossene Winkel j lässt sich wie folgt berechnen:! ~ ~b j ¼ rccos ð~ 6¼ ~, ~b 6¼ ~Þ ðii-74þ j~ jj~b j

40 Vektorrechnung im -dimensionlen Rum 8 Beispiel Wir berechnen nch Gleichung (II-7) bzw. (II-74) den Winkel j, den die Vektoren ~ A und ~b A miteinnder einschließen: 4 ~ ~b A ¼ þð Þ þ 4 ¼ þ 8 ¼ 9 4 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p j ~ j¼ þð Þ þ ¼ ffiffiffiffiffiffiffi p 4, j ~b j¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ þ 4 ¼ p ffiffiffiffiffiffiffi cos j ¼ ~ ~b j~ jj~b j ¼ 9 pffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi ¼,549 ) j ¼ rcccos,549 ¼ 58, 4.. Richtungswinkel eines Vektors Ein Vektor ~ ist beknntlich eindeutig durch Betrg und Richtung festgelegt. Die Berechnung des Betrges j ~ j erfolgt dbei nch Gleichung (II-54). Die Richtung des Vektors legen wir durch die Winkel fest, die der Vektor mit den drei Koordintenchsen (d. h. mit den drei Bsisvektoren ~e x, ~e y und ~e z ) bildet. Diese Richtungswinkel kennzeichnen wir der Reihe nch mit, b und g (Bild II-46). Sie lssen sich mit Hilfe des Sklrproduktes us der Beziehung (II-7) bzw. (II-74) berechnen, indem mn dort für ~b der Reihe nch ~e x, ~e y, ~e z setzt. So erhält mn beispielsweise für den Winkel zwischen dem Vektor ~ und der x-achse die folgende Beziehung: cos ¼ ~ ~e x j ~ jj~e x j x y z A j~ j ¼ x þ þ j ~ j ¼ x j~ j ¼ x ðii-75þ z z z g b y y y Bild II-46 Richtungswinkel eines Vektors x x x

41 84 II Vektorlgebr Anloge Gleichungen bestehen für die beiden übrigen Richtungswinkel: cos b ¼ y j ~ j ¼ y, cos g ¼ z j~ j ¼ z ðii-76þ Die Größen cos, cos b und cos g werden ls Richtungskosinus von ~ bezeichnet. Sie genügen der Bedingung cos þ cos b þ cos g ¼ x þ y þ z ¼ x þ y þ z ¼ ¼ ðii-77þ Die drei Richtungswinkel, b und g sind somit voneinnder bhängige Größen. Wir fssen zusmmen: Richtungswinkel zwischen einem Vektor und den Koordintenchsen (Richtungskosinus; Bild II-46) Ein Vektor ~ bildet mit den drei Koordintenchsen der Reihe nch die Winkel, b und g, die ls Richtungswinkel bezeichnet werden. Sie lssen sich us den sklren Vektorkomponenten (Vektorkoordinten) des Vektors ~ wie folgt berechnen: cos ¼ x j~ j, cos b ¼ y j~ j, cos g ¼ z j~ j ðii-78þ Die Richtungswinkel sind jedoch nicht unbhängig voneinnder, sondern über die Beziehung cos þ cos b þ cos g ¼ ðii-79þ miteinnder verknüpft. Sind von einem Vektor ~ Betrg und Richtung (d. h. die drei Richtungswinkel) beknnt, so berechnen sich die Vektorkoordinten nch (II-78) der Reihe wie folgt: x ¼j~ jcos, y ¼j~ jcos b, z ¼j~ jcos g ðii-8þ Beispiele () Wir wollen die Richtungswinkel des Vektors ~ Betrg qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi j ~ j¼ þð Þ þð Þ p ¼ ffiffiffi 9 ¼ A berechnen. Mit dem

42 Vektorrechnung im -dimensionlen Rum 85 folgt unmittelbr us den Gleichungen (II-78): cos ¼ x j~ j ¼ ) ¼ rccos ¼ 48, cos b ¼ y j~ j ¼ ) b ¼ rccos ¼ 9,5 cos g ¼ z j~ j ¼ ) g ¼ rccos ¼,8 Die drei Richtungswinkel des Vektors ~ luten dmit der Reihe nch wie folgt: ¼ 48,, b ¼ 9,5, g ¼,8 () Ein Vektor ~ vom Betrge j ~ j ¼ 5 bilde mit der x- und y-achse jeweils einen Winkel von 6 und mit der z-achse einen spitzen Winkel ð < g < 9 Þ. Wie luten seine sklren Vektorkomponenten? Lösung: Der noch unbeknnte dritte Richtungswinkel g wird us der Beziehung (II-79) berechnet, die wir zunächst nch cos g uflösen: p cos g ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos cos b Es kommt jedoch nur die positive Lösung infrge, d der Winkel g nch Vorussetzung spitz ist und somit cos g > sein muss. Mit ¼ b ¼ 6 erhält mn: p cos g ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos 6 cos 6 ¼ p ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p,5,5 ¼ ffiffiffiffiffiffi,5 ¼,77 ) g ¼ rccos,77 ¼ 45 Die sklren Vektorkomponenten von ~ bestimmen wir nch Gleichung (II.8) wie folgt: x ¼j~ jcos ¼ 5 cos 6 ¼,5 y ¼j~ jcos b ¼ 5 cos 6 ¼,5 z ¼j~ jcos g ¼ 5 cos 45 ¼,54..4 Projektion eines Vektors uf einen zweiten Vektor Ein in der Mechnik häufig wiederkehrendes Problem besteht in der Zerlegung einer Krft in ihre Komponenten. Zum Beispiel bei einer schiefen Ebene: Die Gewichtskrft ~G einer Msse m soll in eine Tngentil- und eine Normlkomponente zerlegt werden. Diese Komponenten erhält mn durch Projektion des Vektors ~G uf die Richtung der schiefen Ebene bzw. uf die dzu senkrechte Richtung (siehe Bild II-47). Sie werden in der Mechnik uch ls Hngbtrieb und Normlkrft bezeichnet.

43 86 II Vektorlgebr H G N Bild II-47 Zerlegung der Gewichtskrft ~G in die Tngentilkomponente ~H ( Hngbtrieb ) und die Normlkomponente ~N ( Normlkrft ) Wir beschäftigen uns jetzt mit der Projektion eines Vektors ~b uf einen zweiten Vektor ~ und setzen dbei zunächst vorus, dss die Vektoren ~ und ~b einen spitzen Winkel miteinnder einschließen (Bild II-48). b f b Bild II-48 Komponente eines Vektors ~b in Richtung eines vorgegebenen Vektors ~ Der durch die Projektion erhltene Vektor wird mit ~b bezeichnet, sein Betrg ist j ~b j¼j~b jcos j wobei j der Winkel zwischen den Vektoren ~b und ~ ist. Aus dem Sklrprodukt ðii-8þ ~ ~b ¼j~ jj~b jcos j fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} j ~b j ¼j~ jj~b j ðii-8þ erhlten wir dnn nch Division durch j~ j den folgenden Ausdruck für j ~b j: j ~b j¼ ~ ~b j~ j Der Vektor ~b ðii-8þ besitzt die gleiche Richtung wie der Vektor ~ und ist somit in der Form ~b ¼j~b j ~e ¼j~b j ~ j~ j ðii-84þ drstellbr, wobei ~e der Einheitsvektor in Richtung von ~ ist (wir erhlten ihn durch Normierung des Vektors ~ ). Unter Berücksichtigung der Beziehung (II-8) wird hierus schließlich!! ~ ~b ¼j~b j j~ j ¼ ~ ~b ~ j~ j j~ j ¼ ~ ~b ~ ~ ~ ¼ j~ j j ~ j ~b j~ j ¼ ¼ð~e ~b Þ ~e ðii-85þ Dieser Vektor wird uch ls Komponente des Vektors ~b in Richtung des Vektor ~ bezeichnet.

44 Vektorrechnung im -dimensionlen Rum 87 Projektion eines Vektors ~ b uf einen zweiten Vektor ~ (Bild II-48) Durch Projektion des Vektors ~b uf den Vektor ~ entsteht der Vektor! ~b ¼ ~ ~b ~ ¼ð~e j ~ j ~b Þ ~e ðii-86þ Er wird ls Komponente des Vektors ~b in Richtung des Vektors ~ bezeichnet. Anmerkungen () Die Vektoren ~b und ~ sind kolliner (prllel, wenn ~ ~b >, ntiprllel, wenn ~ ~b < ist). () Der Projektionsvektor ~b ht die Länge j ~b j¼ j ~ ~b j. j ~ j Beispiele 4 () Wir projizieren den Vektor ~b A uf den Vektor ~ A. Um den 7 4 gesuchten Vektor ~b bestimmen zu können, benötigen wir noch ds Sklrprodukt ~ ~b und den Betrg von ~: 4 ~ ~b A ¼ þ þ 8 ¼ j ~ j ¼ þ þ 4 ¼ 9 þ 6 ¼ 5 ) j~ j¼ 5 Die Komponente des Vektors ~b in Richtung des Vektors ~ lutet dnn nch Formel (II-86) wie folgt:! ~b ¼ ~ ~b ~ j~ j ¼ 4 A A A ,4 () Wir interessieren uns für die Komponente ~F s, die der Krftvektor 4 ~F A N in Richtung des Verschiebungsvektors ~s A m 6 Welchen Betrg ht diese Komponente? besitzt.

45 88 II Vektorlgebr Lösung: Mit ~s ~F ¼ A Nm ¼ð8 þþ Nm ¼ 8 Nm 6 j~s j ¼ð þð Þ þ Þ m ¼ 9m erhlten wir dnn nch Formel (II-86):! ~F s ¼ ~s ~F 8 Nm ~s j~s j 9m A m A N ¼ A N 4 Die Komponente ~F s ht den folgenden Betrg: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p F s ¼j~F s j¼ 4 þð Þ þ 4 N ¼ ffiffiffiffiffi 6 N ¼ 6N..5 Ein Anwendungsbeispiel: Arbeit einer Krft Wird ein Mssenpunkt m durch eine konstnte Krft ~F um die Strecke ~s verschoben, so ist die n ihm verrichtete Arbeit W definitionsgemäß ds sklre Produkt us dem Krftvektor ~F und dem Verschiebungsvektor ~s (Bild II-49): W ¼ ~F ~s ¼j~F jj~s jcos j ¼ F s cos j Die in Richtung des Weges wirkende Krftkomponente ~F s Betrg j ~F s j¼f s ¼j~F jcos j ¼ F cos j ðii-87þ besitzt nch Bild II-49 den ðii-88þ F m f F s m Bild II-49 Zur Definition des Arbeitsbegriffes s s = s Wir können dher die Definitionsgleichung (II-87) für die Arbeit W uch uf die folgende Form bringen: W ¼ ~F ~s ¼ F s cos j ¼ðF cos j fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl} Þ s ¼ F s s ðii-89þ F s Dies ber ist die bereits us der Schulphysik beknnte Formel Arbeit ¼ Krftkomponente in Wegrichtung ml zurückgelegtem Weg!

46 Vektorrechnung im -dimensionlen Rum 89 Beispiel Die konstnte Krft N ~F NA verschiebe einen Mssenpunkt gerdlinig vom 5N Punkt P ¼ðm; 5m;mÞ us in den Punkt P ¼ðm;m;4mÞ (siehe hierzu Bild II-5). Welche Arbeit wird dbei verrichtet? Wie groß ist der Winkel j zwischen dem Krft- und dem Verschiebungsvektor? F r(p ) P f s P Bild II-5 Verschiebung einer Msse längs einer Gerden vom Punkt P us nch P r(p ) Lösung: Der Verschiebungsvektor lutet nch Bild II-5 wie folgt: x x ƒƒƒ! ~s ¼ P P y y A þ 5 A m 6 A m z z 4 Die dbei verrichtete Arbeit beträgt dnn nch Gleichung (II-87): W ¼ ~F ~s 6 A Nm ¼ð þ þ 5Þ Nm ¼ 7 Nm 5 Für die Winkelberechnung benötigen wir noch die Beträge von ~F und ~s: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi j ~F j¼ ð Þ p þ þ 5 N ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9 N j~s j¼ Dnn ber gilt: ~F ~s ffl{zffl} W qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð Þ þ 6 þ m ¼ ¼ W ¼j~F jj~s jcos j ) cos j ¼ ~ F ~s j ~F jj~s j ¼ W j ~F jj~s j ¼ p ffiffiffiffiffiffi 8 m 7 Nm pffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffi ¼,856 ) 9 N 8 m j ¼ rccos,856 ¼ 67,

47 9 II Vektorlgebr.4 Vektorprodukt zweier Vektoren.4. Definition und Berechnung eines Vektorproduktes Neben der Addition und Subtrktion von Vektoren und der Sklrproduktbildung wird in den Anwendungen eine weitere Vektoropertion benötigt, die sog. vektorielle Multipliktion. Sie erzeugt us zwei Vektoren ~ und ~b nch einer bestimmten Vorschrift einen neuen Vektor, der die Bezeichnung Vektorprodukt erhält und durch ds Symbol ~ ~b gekennzeichnet wird (gelesen: Kreuz b). So sind beispielsweise die folgenden physiklischen Größen ls Vektorprodukte drstellbr: Drehmoment ~M einer n einem strren Körper ngreifenden Krft Drehimpuls ~L eines rotierenden Körpers Lorentz-Krft ~F L, die ein Ldungsträger (z. B. ein Elektron) beim Durchgng durch ein Mgnetfeld erfährt Krft uf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Mgnetfeld Ds Vektorprodukt zweier Vektoren ist wie folgt definiert: Definition: Unter dem Vektorprodukt ~c ¼ ~ ~b zweier Vektoren ~ und ~b versteht mn den eindeutig bestimmten Vektor mit den folgenden Eigenschften (Bild II-5):. ~c ist sowohl zu ~ ls uch zu ~b orthogonl: ~c ~ ¼ und ~c ~b ¼ ðii-9þ. Der Betrg von ~c ist gleich dem Produkt us den Beträgen der Vektoren ~ und ~b und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels j: j~c j¼j~ jj~b jsin j ð j 8 Þ ðii-9þ. Die Vektoren ~, ~b, ~c bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System. c=xb b f Bild II-5 Zum Begriff des Vektorsproduktes zweier Vektoren

48 Vektorrechnung im -dimensionlen Rum 9 Anmerkung Ds Vektorprodukt ~ ~b ist im Gegenstz zum Sklrprodukt eine vektorielle Größe und wird uch ls äußeres Produkt oder Kreuzprodukt der Vektoren ~ und ~b bezeichnet. Geometrische Deutung eines Vektorproduktes Für den Flächeninhlt A des von den Vektoren ~ und ~b ufgespnnten Prllelogrmms erhlten wir nch Bild II-5 (gru unterlegte Fläche): A ¼ðGrundlinieÞ ðhöheþ ¼ h ¼ b sin j ¼j~ jj~b jsin j ðii-9þ Dies ber ist genu der Betrg des Vektorproduktes ~ ~b. b sin j ¼ h b b h h ¼ b sin j f Bild II-5 Geometrische Deutung eines Vektorproduktes (Bild II-5) Der Betrg des Vektorproduktes ~ ~b entspricht dem Flächeninhlt des von den Vektoren ~ und ~b ufgespnnten Prllelogrmms. Rechenregeln für Vektorprodukte Distributivgesetze ~ ð~b þ ~c Þ¼~ ~b þ ~ ~c (II-9) ð~ þ ~b Þ~c ¼ ~ ~c þ ~b ~c (II-94) Anti-Kommuttivgesetz ~ ~b ¼ ð~b ~Þ (II-95) Ferner gilt für einen beliebigen reellen Sklr l: l ð~ ~b Þ¼ðl~ Þ~b ¼ ~ ðl ~b Þ ðii-96þ Ds vektorielle Produkt ~ ~b zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren ~ und ~b verschwindet für j ¼ und j ¼ 8. Die Vektoren ~ und ~b sind dnn zueinnder prllel oder ntiprllel, d.h.kolliner.

49 ¼ð y b z z b y Þ ~e x þð z b x x b z Þ ~e y þð x b y y b x Þ ~e z ðii-þ 9 II Vektorlgebr Wir können dmit ds folgende Kriterium für kollinere Vektoren formulieren: Kriterium für kollinere Vektoren Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren ~ und ~b sind genu dnn kolliner, wenn ihr Vektorprodukt verschwindet: ~ ~b ¼ ~, ~ und ~b sind kolliner ðii-97þ Für den Sonderfll ~ ¼ ~b folgt unmittelbr us der Definitionsgleichung (II-9) j ~ ~ j¼j~ jj~ jsin ¼j~ j ¼ ) ~ ~ ¼ ~ ðii-98þ bestehen die folgenden wich- Zwischen den Bsisvektoren (Einheitsvektoren) ~e x, ~e y, ~e z tigen Beziehungen (Bild II-5): e z ~e x ~e x ¼ ~e y ~e y ¼ ~e z ~e z ¼ ~ ðii-99þ e x e y ~e x ~e y ¼ ~e z, ~e y ~e z ¼ ~e x, ~e z ~e x ¼ ~e y ðii-þ Bild II-5 Berechnung eines Vektorproduktes us den sklren Vektorkomponenten (Vektorkoordinten) Die Komponenten des Vektorproduktes ~ ~b lssen sich uch direkt us den sklren Komponenten der Vektoren ~ und ~b berechnen (wir verwenden bei der Herleitung der Formel ds Distributiv- und ds Anti-Kommuttivgesetz sowie die Beziehungen (II-99) und (II-)): ~ ~b ¼ð x ~e x þ y ~e y þ z ~e z Þðb x ~e x þ b y ~e y þ b z ~e z Þ¼ ¼ x b x ð~e x ~e x Þþ x b y ð~e x ~e y Þþ x b z ð~e x ~e z Þþ fflfflfflffl{zfflfflfflffl} fflfflfflffl{zfflfflfflffl} fflfflfflffl{zfflfflfflffl} ~ ~e z ~e y þ y b x ð~e y ~e x Þþ y b y ð~e y ~e y Þþ y b z ð~e y ~e z Þþ fflfflfflffl{zfflfflfflffl} fflfflfflffl{zfflfflfflffl} fflfflfflffl{zfflfflfflffl} ~e z ~ ~e x þ z b x ð~e z ~e x Þþ z b y ð~e z ~e y Þþ z b z ð~e z ~e z Þ¼ fflfflfflffl{zfflfflfflffl} fflfflfflffl{zfflfflfflffl} fflfflfflffl{zfflfflfflffl} ~e y ~e x ~ ¼ x b y ~e z x b z ~e y y b x ~e z þ y b z ~e x þ z b x ~e y z b y ~e x ¼

50 Vektorrechnung im -dimensionlen Rum 9 Unter Verwendung von Spltenvektoren lässt sich diese Formel uch wie folgt schreiben: x b x y b z z b y B C ~ ~b A z b x x b z A ðii-þ y b y z b z x b y y b x Berechnung eines Vektorproduktes us den sklren Vektorkomponenten (Vektorkoordinten) der beteiligten Vektoren Ds Vektorprodukt ~ ~b zweier Vektoren ~ und ~b lässt sich us den sklren Vektorkomponenten (Vektorkoordinten) der beiden Vektoren wie folgt berechnen: x b x y b z z b y B C ~ ~b A z b x x b z A ðii-þ y b y z b z x b y y b x Anmerkung Bei der Berechnung der Komponenten eines Vektorproduktes bechte mn den folgenden x Hinweis: Durch zyklisches Vertuschen der Indizes erhält mn y z us der ersten Komponente die zweite und us dieser schließlich die dritte Komponente: x! y! z! x Determinntendrstellung eines Vektorproduktes Forml lässt sich ein Vektorprodukt ~ ~b uch durch eine dreireihige Determinnte drstellen (sie enthält drei Zeilen und drei Splten und insgesmt 9 Elemente): ~e x ~e y ~e z Bsisvektoren ~ ~b ¼ x y z Koordinten von ~ b x b y b z Koordinten von ~b Wir dürfen die Bsisvektoren und Vektorkoordinten uch spltenweise nordnen: ~e x ~e y ~e z ~e x x b x ~ ~b ¼ x y z ¼ ~e y y b y b x b y b z ~e z z b z ðii-4þ

51 94 II Vektorlgebr Definitionsgemäß besitzt eine dreireihige Determinnte vom llgemeinen Typ D ¼ ðii-5þ den folgenden Wert: D ¼ þ þ ðii-6þ Dieser Wert knn uch nch der Regel von Srrus berechnet werden:. und. Splte werden dbei rechts neben die Determinnte gesetzt, die durch eine Linie miteinnder verbundenen Elemente werden dnn miteinnder multipliziert und ergeben insgesmt sechs Produkte mit je drei Fktoren. Die in dem Schem ngegebenen Vorzeichen bedeuten eine nchträgliche Multipliktion des Produktes mit dem Fktor þ oder. Durch Addition der sechs (vorzeichenbehftenen) Produkte erhält mn schließlich den Wert der Determinnte D. Die formle Ausrechnung der Determinnte (II-4) führt uf ds Vektorprodukt ~ ~b in der Komponentenschreibe ~ ~b ¼ð y b z z b y Þ~e x þð z b x x b z Þ~e y þð x b y y b x Þ~e z Eine usführliche Drstellung der Determinnten erfolgt in Bnd (Kpitel I). Rechenbeispiel für eine Determinnte D ¼ ¼? Berechnung nch der Regel von Srrus: D ¼ 4 þ 4 þ ¼ ¼ 6 þ 8 þ 5 8 ¼

52 Vektorrechnung im -dimensionlen Rum 95 Beispiele () Wir berechnen den Flächeninhlt A des von den beiden Spltenvektoren ~ 5 A und ~b A ufgespnnten Prllelogrmms: ~ ~b 5 A ¼ A ¼j~ ~b j¼ 5 C 4 A ¼ þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð 5Þ þ þ ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6 5 C A ¼ 8,6 () Elektronen, die mit der Geschwindigkeit ~v in ein Mgnetfeld der Flussdichte ~B eintreten, erfhren dort die sog. Lorentz-Krft ~F L ¼ e ð~v ~B Þ : Wie groß ist die Krftwirkung uf ein Elektron mit der Elementrldung e, wenn ~v und ~B die folgenden Komponenten besitzen? ~v A m s, ~B A T A Vs m,,, e ¼,6 9 C Lösung: ~F L ¼ eð~v ~B Þ¼,6 A m C s Vs m, ¼,6 A N ¼,6 A N ¼ ¼,6 9 ð A N ¼, A N 4 () Wir berechnen ds Vektorprodukt der Vektoren ~ A und ~b A mit Hilfe der Determinnte (II-4): ~e x ~e y ~e z ~ ~b ¼

53 96 II Vektorlgebr Nch der Regel von Srrus gilt: ~e x ~e y ~e z ~e x ~e y 4 ~ ~b ¼ ~e x þ ~e y þ ~e z 8~e z 4~e x 5~e y ¼ 4 ¼ 4~e x þ 7~e y 5~e z 7 A 5.4. Anwendungsbeispiele.4.. Drehmoment (Moment einer Krft) Drehmomente sind vektorielle Größen, die bei der Behndlung sttischer Systeme von großer Bedeutung sind. Wir betrchten einen strren Körper in Form einer Kreisscheibe, der um seine Symmetriechse drehbr gelgert ist (Bild II-54). M=r xf F F r P f Q r Q s r P Bild II-54 Zum Begriff des Drehmomentes Bild II-55 Die n einem strren Körper ngreifende Krft ls linienflüchtiger Vektor Eine im Punkt P ngreifende (in der Scheibenebene liegende) Krft ~F erzeugt dnn ein Drehmoment ~M, ds ls Vektorprodukt us dem Ortsvektor ~r und dem Krftvektor ~F in der Form ~M ¼ ~r ~F ðii-7þ drstellbr ist (~r ist der Ortsvektor des Angriffspunktes P). Der Betrg von j ~M j¼m ¼j~r jj~f jsin j ~M ist ðii-8þ

54 Vektorrechnung im -dimensionlen Rum 97 Der Drehmomentvektor liegt in der Drehchse und ist dher so orientiert, dss die drei Vektoren ~r, ~F und ~M in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden. Die physiklische Wirkung von ~M ist die einer Drehung um die in Bild II-54 eingezeichnete Drehchse. Als linienflüchtiger Vektor drf die Krft ~F längs ihrer Wirkungslinie verschoben werden. Bei dieser Verschiebung bleibt jedoch ds Drehmoment ~M unverändert, wie wir jetzt zeigen wollen. Ist ~s der Verschiebungsvektor von P nch Q, so gilt nch Bild II-55 ~r Q ¼ ~r þ ~s Unter Verwendung dieser Beziehung und des Distributivgesetzes für Vektorprodukte erhlten wir für ds Moment der Krft ~F im neuen Angriffspunkt Q den Formelusdruck ~M Q ¼ ~r Q ~F ¼ð~r þ ~sþ ~F ¼ ~r ~F þ~s ~F ¼ ~M þ ~s ~F fflffl{zfflffl} ~M Die Vektoren ~s und ~F sind ber kolliner, ihr Vektorprodukt ~s ~F verschwindet dher: ~s ~F ¼ ~. Wir erhlten schließlich: ~M Q ¼ ~M þ ~s ~F ¼ ~M þ ~ ¼ ~M ðii-9þ Dmit hben wir bewiesen, dss die n einem strren Körper ngreifende Krft einen linienflüchtigen Vektor drstellt. Mit nderen Worten: Ds Moment einer Krft bleibt erhlten, wenn diese längs ihrer Wirkungslinie verschoben wird..4.. Bewegung von Ldungsträgern in einem Mgnetfeld (Lorentz-Krft) Bewegt sich ein geldenes Teilchen mit der Geschwindigkeit ~v durch ein homogenes Mgnetfeld mit der mgnetischen Flussdichte ~B, so erfährt es eine Krft ~F L ¼ q ð~v ~B Þ ðlorentz-krftþ ðii-þ (q: Ldung des Teilchens). Die Krftwirkung erfolgt senkrecht sowohl zur Bewegungsrichtung ls uch zur Richtung des Mgnetfeldes. Hndelt es sich bei den Ldungsträgern um Elektronen (q ¼ e; e: Elementrldung), so ist ~F L ¼ e ð~v ~B Þ Wir untersuchen jetzt ds Verhlten der Elektronen für spezielle Einschusswinkel. () Die Elektronen werden in Feldrichtung (oder in der Gegenrichtung) in ds Mgnetfeld eingeschossen (die Vektoren ~v und ~B sind dnn kolliner): ~F L ¼ eð~v ~B Þ¼~ fflfflffl{zfflfflffl} ~ Sie gehen ungehindert, d. h. kräftefrei durch ds Feld hindurch, d der Geschwindigkeitsvektor ~v und der Flussdichtevektor ~B kollinere Vektoren drstellen und somit ds Vektorprodukt ~v ~B verschwindet (Bild II-56).

55 98 II Vektorlgebr B B e v Bild II-56 Prllel zu einem homogenen Mgnetfeld eintretende Elektronen () Bewegen sich die Elektronen senkrecht zum Mgnetfeld, so wirkt die Lorentz-Krft ls Zentripetlkrft und zwingt die Elektronen uf eine Kreisbhn (die Vektoren ~v, ~B und ~F L stehen in diesem Sonderfll prweise ufeinnder senkrecht; Bild II-57). B B B F L v e e v Bild II-57 Senkrecht in ein homogenes Mgnetfeld eintretende Elektronen werden uf eine Kreisbhn gezwungen Bild II-58 Schrubenlinienförmige Bhn eines Elektrons in einem homogenen Mgnetfeld () Die Elektronen werden unter einem Winkel gegen die Feldrichtung eingeschossen ð < < 8, 6¼ 9 Þ. Die Geschwindigkeitskomponente in Feldrichtung (oder in der Gegenrichtung) bewirkt eine Trnsltion prllel zu den Feldlinien, während gleichzeitig ufgrund der zum Feld senkrechten Geschwindigkeitskomponente eine Kreisbewegung um die Feldlinien usgeführt wird. Die Elektronenbhn ist demnch eine Schrubenlinie (Bild II-58)..5 Sptprodukt (gemischtes Produkt) In den Anwendungen wird häufig ein weiteres, diesml ber us drei Vektoren gebildetes Produkt benötigt, ds ls Sptprodukt oder uch gemischtes Produkt bezeichnet wird. Es ist wie folgt definiert: Definition: Unter dem Sptprodukt ½ ~ ~b ~c Š dreier Vektoren ~, ~b und ~c versteht mn ds sklre Produkt us dem Vektor ~ und dem us den Vektoren ~b und ~c gebildeten Vektorprodukt ~b ~c: ½~ ~b ~c Š¼~ ð~b ~c Þ ðii-þ

56 Vektorrechnung im -dimensionlen Rum 99 Anmerkungen () Ds Sptprodukt ist eine sklre Größe, lso eine reelle Zhl. () Ds Sptprodukt wird uch ls gemischtes Produkt bezeichnet, d bei seiner Bildung beide Multipliktionsrten (sklre und vektorielle Multipliktion) uftreten. () Bilden die Vektoren ~, ~b, ~c in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (Linkssystem), so ist ds us ihnen gebildete Sptprodukt stets positiv (negtiv). Rechenregeln für Sptprodukte () Bei einer zyklischen Vertuschung der drei Vektoren ~, ~b und ~c ändert sich ds Sptprodukt nicht: ½ ~ ~b ~c Š¼½~b ~c ~ Š¼½~c ~ ~b Š ðii-þ () Vertuschen zweier Vektoren bewirkt stets einen Vorzeichenwechsel. Zum Beispiel: ½ ~ ~b ~c Š¼ ½~ ~c ~b Š ð~b und ~c wurden vertuschtþ ðii-þ Geometrische Deutung eines Sptproduktes Die drei Vektoren ~, ~b und ~c spnnen ein sog. Prllelepiped (uch Spt gennnt) uf (Bild II-59) 6Þ. Dem Betrg des Sptproduktes ½~ ~b ~c Š kommt dbei die geometrische Bedeutung des Sptvolumens zu, wie wir jetzt zeigen werden. bxc f h cos j ¼ h j~ j h ¼j~ jcos j h f c A= b xc Bild II-59 Zum Begriff des Sptproduktes b Die us der Elementrmthemtik beknnte Formel V ¼ A h (Volumen ¼ Grundfläche ml Höhe) führt bei Anwendung uf den in Bild II-59 skizzierten Spt zu dem folgenden Ergebnis ðfür j 9 Þ: V ¼ A h ¼j~b ~c jj~ jcos j ¼j~ jj~b ~c jcos j 6Þ Spt: Körper, dessen Oberfläche us sechs Prllelogrmmen besteht, von denen je zwei gegenüberliegende kongruent (deckungsgleich) sind (viele Kristlle hben diese Gestlt, z. B. Klkspt).

57 II Vektorlgebr Für Winkel zwischen 9 und 8 ist cos j durch j cos j j zu ersetzen. Somit gilt: V ¼j~ jj~b ~c jjcos j j Dies ber ist nichts nderes ls der Betrg des Sptproduktes ½ ~ ~b ~c Š¼~ ð~b ~c Þ, d j der Winkel zwischen den Vektoren ~ und ~b ~c ist: V ¼j~ ð~b ~c Þj ¼ j½~ ~b ~c Šj ¼ j~ jj~b ~c jjcos j j ðii-4þ Geometrische Deutung eines Sptproduktes (Bild II-59) Ds Volumen eines von drei Vektoren ~, ~b und ~c ufgespnnten Spts ist gleich dem Betrg des Sptproduktes ½~ ~b ~c Š: V Spt ¼j½~ ~b ~c Šj ¼ j~ ð~b ~c Þj ðii-5þ Berechnung eines Sptproduktes us den sklren Vektorkomponenten (Vektorkoordinten) Øhnlich wie beim Sklr- und Vektorprodukt lässt sich uch ds Sptprodukt us den sklren Vektorkomponenten der beteiligten Vektoren berechnen: Berechnung eines Sptproduktes us den sklren Vektorkomponenten (Vektorkoordinten) der beteiligten Vektoren Ds Sptprodukt oder gemischte Produkt ½ ~ ~b ~c Š dreier Vektoren ~, ~b und ~c lässt sich us den sklren Vektorkomponenten (Vektorkoordinten) der beteiligten Vektoren wie folgt berechnen: ½ ~ ~b ~c Š¼~ ð~b ~c Þ¼ ¼ x ðb y c z b z c y Þþ y ðb z c x b x c z Þþ z ðb x c y b y c x Þ ðii-6þ Anmerkung Ds Sptprodukt ½ ~ ~b ~c Š lässt sich uch ls dreireihige Determinnte drstellen: x y z ½ ~ ~b ~c Š¼~ ð~b ~c Þ¼ b x b y b z ðii-7þ c x c y c z

58 Vektorrechnung im -dimensionlen Rum Komplnre Vektoren Verschwindet ds Sptprodukt ~ ð~b ~c Þ der drei vom Nullvektor verschiedenen Vektoren ~, ~b und ~c, so sind die Vektoren ~ und ~b ~c zueinnder orthogonl und umgekehrt. Dies ber bedeutet, dss der Vektor ~ in der von ~b und ~c ufgespnnten Ebene liegt. Die drei Vektoren liegen dmit in einer gemeinsmen Ebene (sog. komplnre Vektoren, siehe Bild II-6). bxc c Bild II-6 Komplnre Vektoren ~, ~b und ~c (die drei Vektoren liegen in einer Ebene) b Wir können dmit ds folgende Kriterium für komplnre Vektoren formulieren: Kriterium für komplnre Vektoren (Bild II-6) Drei vom Nullvektor verschiedene Vektoren ~, ~b und ~c sind genu dnn komplnr (liegen lso in einer gemeinsmen Ebene), wenn ds us ihnen gebildete Sptprodukt verschwindet: ½ ~ ~b ~c Š ¼, ~, ~b und ~c sind komplnr ðii-8þ Beispiele () Ds us den Vektoren ~ 4 A, ~b ¼ Sptprodukt verschwindet: 4 ½ ~ ~b ~c Š¼ ¼ A und ~c 5 A gebildete Die Berechnung der Determinnte erfolgt dbei nch der Regel von Srrus: ½ ~ ~b ~c Š¼ þ 4 þ ð 4 þ 5 þ Þ ¼ ¼ Die drei Vektoren sind dher komplnr, d. h. sie liegen in einer gemeinsmen Ebene.

59 II Vektorlgebr () Welches Volumen V Spt besitzt der von den drei Vektoren ~ A, ~b 5 A und ~c A 5 ufgespnnte Spt? Lösung: Wir berechnen zunächst ds Sptprodukt 5 ½ ~ ~b ~c Š¼ 5 mit Hilfe der Regel von Srrus: ½ ~ ~b ~c Š¼ 5 ð5 4 Þ ¼5 46 ¼ Ergebnis: V Spt ¼j½~ ~b ~c Šj ¼ j j¼.6 Liner unbhängige Vektoren Räumliche Vektoren hben wir ls Linerkombintionen der drei Einheitsvektoren ~e x, ~e y und ~e z in der Form ~ ¼ x ~e x þ y ~e y þ z ~e z ðii-9þ drgestellt (sog. Komponentendrstellung, siehe Abschnitt.). Die nicht komplnren (d. h. nicht in einer Ebene liegenden) Vektoren ~e x, ~e y und ~e z werden in diesem Zusmmenhng uch ls Bsisvektoren bezeichnet. Sie erzeugen den -dimensionlen Rum R, uch Anschuungsrum gennnt. Als Bsis können dbei grundsätzlich drei beliebige (von Nullvektor verschiedene) Vektoren ~e, ~e, ~e dienen, sofern sie wie die Vektoren ~e x, ~e y, ~e z nicht komplnr sind. Dies ist der Fll, wenn ds Sptprodukt ½~e ~e ~e Š nicht verschwindet. Jeder Vektor ~ des Anschuungsrumes ist dnn ls Linerkombintion dieser Bsisvektoren drstellbr: ~ ¼ l~e þ m~e þ n~e ðii-þ

60 Vektorrechnung im -dimensionlen Rum Die Bsisvektoren sind dbei stets liner unbhängig, d. h. die linere Vektorgleichung l ~e þ l ~e þ l ~e ¼ ~ ðii-þ ist nur für l ¼ l ¼ l ¼ erfüllbr 7). Wie in der Ebene lässt sich uch im -dimensionlen Rum der Begriff der Lineren Unbhängigkeit uf Systeme von k Vektoren ~, ~,..., ~ k übertrgen. Diese k Vektoren werden ls liner unbhängig bezeichnet, wenn die us ihnen gebildete linere Vektorgleichung l ~ þ l ~ þ... þ l k ~ k ¼ ~ ðii-þ nur für verschwindende Koeffizienten erfüllt werden knn ðl ¼, l ¼,..., l k ¼ Þ. Anderenflls heißen die k Vektoren liner bhängig (es ist dnn mindestens ein Koeffizient von Null verschieden). Im -dimensionlen Rum R gibt es mximl drei liner unbhängige Vektoren, mehr ls drei Vektoren sind dgegen stets liner bhängig. Beispiele () Die drei Einheitsvektoren ~e x, ~e y, ~e z sind liner unbhängig, denn ds mit diesen Vektoren gebildete Sptprodukt ist von Null verschieden (wir verwenden die Determinntenschreibweise): ½~e x ~e y ~e z Š¼ ¼ 6¼ (Berechnung nch der Regel von Srrus). () Wir prüfen, ob die drei Krftvektoren ~F A, ~F A, ~F A in einer Ebene liegen, lso komplnr sind (lle Krftkomponenten in der Einheit Newton). Dies wäre genu dnn der Fll, wenn die Krftvektoren liner bhängig sind. 7) Die Vektorgleichung führt zu einem homogenen lineren Gleichungssystem, ds nur trivil lösbr ist, d. h. nur die Lösung l ¼ l ¼ l ¼ besitzt.

61 4 II Vektorlgebr. Lösungsweg Wir berechnen ds Sptprodukt der drei Vektoren: ½ ~F ~F ~F Š¼ ¼ þ ðþ þ Þ ¼ ¼ Folgerung: Ds Sptprodukt verschwindet, die drei Kräfte liegen somit in einer Ebene.. Lösungsweg Wir prüfen, für welche Werte der Koeffizienten l, l, l die Vektorgleichung l ~F þ l ~F þ l ~F ¼ ~ erfüllt ist. Dies führt zu dem folgenden lineren Gleichungssystem: A þ A þ A A Komponentenweise geschrieben: ðiþ l l þ l ¼ ðiiþ l þ l ¼ ) l ¼ l ðiiiþ l þ l ¼ ) l ¼ l Wir setzen die us den Gleichungen (II) und (III) gefundenen Ausdrücke l ¼ l und l ¼ l in die erste Gleichung ein: ðiþ ) l þ l þ l fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} ¼ ) ¼ Diese Gleichung ist lso unbhängig vom Wert des Koeffizienten l immer erfüllt, d. h. l ist ein frei wählbrer Prmeter (wir setzen l ¼ m mit m R). Aus (II) und (III) erhlten wir die übrigen Unbeknnten: l ¼ l ¼ m, l ¼ l ¼ m Die vom reellen Prmeter m bhängende Lösung lutet dmit: l ¼ m, l ¼ m, l ¼ m ðm RÞ Es gibt lso neben der trivilen Lösung l ¼ l ¼ l ¼ ðfür m ¼ Þ noch unendlich viele weitere Lösungen ðfür m 6¼ Þ. Die drei Krftvektoren sind somit liner bhängig und liegen dher in einer Ebene.

62 4 Anwendungen in der Geometrie 5 4 Anwendungen in der Geometrie 4. Vektorielle Drstellung einer Gerden 4.. Punkt-Richtungs-Form einer Gerden Eine Gerde g soll durch den Punkt P mit dem Ortsvektor ~r und prllel zu einem (vorgegebenen) Vektor ~ (Richtungsvektor gennnt) verlufen (Bild II-6). Wie lutet die Gleichung dieser Gerden in vektorieller Form? P r l r( l) P g Bild II-6 Zur Punkt-Richtungs-Form einer Gerden Bezeichnet mn den lufenden Punkt der Gerden mit P, so ist der zugehörige Ortsvektor ~r ðpþ die geometrische (vektorielle) Summe us ~r und P P ƒƒ! : ƒƒ! ~r ðpþ ¼~r þ P P ðii-þ ƒƒ! D die Vektoren P P und ~ kolliner sind (sie liegen beide in der Gerden), gilt ferner ƒƒ! P P ¼ l~ ðii-4þ l ist dbei ein geeigneter reeller Prmeter, d. h. eine bestimmte reelle Zhl. Für den Ortsvektor ~r ðpþ erhält mn dnn unter Verwendung dieser Beziehung ƒƒ! ~r ðpþ ¼~r þ P P ¼ ~r þ l~ ðii-5þ Die Lge des Punktes P uf der Gerden g ist somit eindeutig durch den Prmeter l festgelegt. Wir bringen dies durch die Schreibweise ~r ðpþ ¼~r ðlþ zum Ausdruck. Die gesuchte Gerdengleichung lutet dmit in der vektoriellen Prmeterdrstellung wie folgt:

63 6 II Vektorlgebr Vektorielle Punkt-Richtungs-Form einer Gerden (Bild II-6) ~r ðpþ ¼~r ðlþ ¼~r þ l~ ðii-6þ oder (in der Komponentenschreibweise) x x x x þ l y A y A þ y A y þ l y A z z z z þ l z ðii-7þ Dbei bedeuten: x, y, z: Koordinten des lufenden Punktes P der Gerden x, y, z : Koordinten des vorgegebenen Punktes P der Gerden x, y, z : Sklre Vektorkomponenten des Richtungsvektors ~ der Gerden l: Reeller Prmeter ðl RÞ Für l ¼ erhält mn den Punkt P, für l > werden lle Punkte in Richtung des Richtungsvektors ~ durchlufen, für l < lle Punkte in der Gegenrichtung (jeweils vom Punkte P us betrchtet). Beispiel Wir bestimmen die Gleichung der Gerden g, die durch den Punkt P ¼ð; ; Þ 5 in Richtung des Vektors ~ A verläuft: 5 þ 5 l ~r ðlþ ¼~r þ l~ A þ A þ l A ðl RÞ þ l So gehört beispielsweise zum Prmeterwert l ¼ der folgende Punkt Q: þ 5 8 B C ~r ðqþ ¼~r ðl ¼ Þ ¼@ þ A 4 A ) Q ¼ð8; 4; Þ þ Zum Prmeter l ¼ gehört der Punkt R mit den folgenden Koordinten: 5 ~r ðrþ ¼~r ðl ¼ Þ ¼@ A 4 A ) R ¼ð ; 4; Þ

64 4 Anwendungen in der Geometrie Zwei-Punkte-Form einer Gerden Eine Gerde g soll durch die beiden (voneinnder verschiedenen) Punkte P und P mit den Ortsvektoren ~r und ~r verlufen (Bild II-6). r P r r P r l(r r ) P r( l) g Bild II-6 Zur Zwei-Punkte-Form einer Gerden Die vektorielle Gleichung dieser Gerden erhlten wir durch nloge Ûberlegungen wie im vorngegngenen Abschnitt 4... Der Ortsvektor des lufenden Punktes P der Gerden g ist wiederum ls Summenvektor in der Form ƒƒ! ~r ðpþ ¼~r þ P P ðii-8þ ƒƒ! ƒƒƒ! drstellbr. D die Vektoren P P und P P ¼ ~r ~r kolliner sind, gilt ƒƒ! ƒƒƒ! P P ¼ l P P ¼ l ð~r ~r Þ ðii-9þ und somit ƒƒ! ƒƒƒ! ~r ðpþ ¼~r þ P P ¼ ~r þ l P P ¼ ~r þ l ð~r ~r Þ ðii-þ Dies ist die Prmeterdrstellung einer Gerden durch zwei vorgegebene Punkte P ƒƒƒ! und P in vektorieller Form, wobei der Vektor P P ¼ ~r ~r ls Richtungsvektor ngesehen werden knn. Für ~r ðpþ schreiben wir wieder ~r ðlþ, um die Abhängigkeit vom Prmeter l zum Ausdruck zu bringen. Zusmmenfssend gilt somit: Vektorielle Zwei-Punkte-Form einer Gerden (Bild II-6) ƒƒƒ! ~r ðpþ ¼~r ðlþ ¼~r þ l P P ¼ ~r þ l ð~r ~r Þ oder (in der Komponentenschreibweise) x x x x x þ l ðx x Þ B y A y A þ y y A y þ l ðy y Þ A z z z z z þ l ðz z Þ ðii-þ ðii-þ

65 8 II Vektorlgebr Dbei bedeuten: x, y, z: Koordinten des lufenden Punktes P der Gerden x, y, z Koordinten der vorgegebenen Punkte P und P der Gerden x, y, z l: Reeller Prmeter ðl RÞ Die Punkte P und P gehören zu den Prmeterwerten l ¼ bzw. l ¼. Beispiel Wie lutet die Gleichung der Gerden g durch die beiden Punkte P ¼ð; ; Þ und P ¼ð; ; 4Þ? Lösung: ~r ðlþ ¼~r þ l ð~r ~r A þ A ¼ 4 þ l l þ l C A ðl RÞ Zum Prmeterwert l ¼ beispielsweise gehört demnch der folgende Punkt Q: þ ~r ðqþ ¼~r ðl ¼ Þ ¼@ A A ) Q ¼ð; ; 7Þ þ Abstnd eines Punktes von einer Gerden Gegeben ist eine Gerde g in der vektoriellen Punkt-Richtungs-Form ~r ðlþ ¼~r þ l~ ðii-þ und ein Punkt Q mit dem Ortsvektor ~r Q (Bild II-6). Wir stellen uns die Aufgbe, den (senkrechten) Abstnd d dieses Punktes von der Gerden g zu bestimmen. r P r Q P Q Q d P P r P Bild II-6 Zur Berechnung des Abstndes eines Punktes von einer Gerden g

66 4 Anwendungen in der Geometrie 9 ƒƒƒ! Dzu wählen wir uf der Gerden einen weiteren Punkt P im Abstnd j P P j¼ ƒƒƒ! vom Punkte P. Der Vektor P P ist somit der Einheitsvektor in Richtung des Vektors ~: ƒƒƒ! P P ¼ ~e ¼ ~ j~ j ðii-4þ ƒƒ! Dieser Vektor bildet zusmmen mit dem Vektor P Q ¼ ~r Q ~r ds in Bild II-6 gru unterlegte Prllelogrmm, dessen Höhe der gesuchte Abstnd d des Punktes Q von der Gerden g ist. Für den Flächeninhlt A dieses Prllelogrmms gilt dnn einerseits ƒƒƒ! A ¼ðGrundlinieÞ ðhöheþ ¼jP P jd ¼ d ¼ d ndererseits ƒƒƒ! ƒƒ! ~ A ¼jP P P Q j¼ j~ j ð~r Q ~r Þ ¼ j ~ ð~r Q ~r Þj j~ j ðii-5þ ðii-6þ Durch Gleichsetzen erhält mn schließlich die gewünschte Abstndsformel: d ¼ j ~ ð~r Q ~r Þj j~ j ðii-7þ Wir hlten fest: Abstnd eines Punktes von einer Gerden (II-6) Der Abstnd eines Punktes Q mit dem Ortsvektor ~r Q von einer Gerden g mit der Gleichung ~r ðlþ ¼~r þ l~ lässt sich wie folgt berechnen: d ¼ j ~ ð~r Q ~r Þj j~ j ðii-8þ Anmerkung Ist d ¼, so liegt der Punkt Q uf der Gerden. Beispiel Die Gleichung einer Gerden g lute: ~r ðlþ ¼~r þ l~ A þ 5 A ðl RÞ

67 II Vektorlgebr Wir berechnen den Abstnd d des Punktes Q ¼ð5; ; Þ von dieser Gerden: 5 4 ~ ð~r Q ~r Þ¼@ 5 A 5 A ¼ þ 6 A 4 A 6 4 j ~ ð~r Q ~r Þj ¼ j ~ j¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 5 þ d ¼ j~ ð~r Q ~r Þj j~ j qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð Þ þ 4 þð 4Þ p ¼ ffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffi 8 ¼ pffiffiffiffiffiffiffi ¼ 5, ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffi Abstnd zweier prlleler Gerden Zwei Gerden g und g können folgende Lgen zueinnder hben: g und g fllen zusmmen g und g sind zueinnder prllel g und g schneiden sich in genu einem Punkt g und g sind windschief, d. h. sie verlufen weder prllel noch kommen sie zum Schnitt In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit dem (senkrechten) Abstnd d zweier prlleler Gerden g und g mit den Gleichungen ~r ðl Þ¼~r þ l ~ und ~r ðl Þ¼~r þ l ~ ðii-9þ (l, l R; Bild II-64). Diese Gerden sind genu dnn prllel, wenn ihre Richtungsvektoren ~ und ~ kolliner sind, d. h. ~ ~ ¼ ~ ist. r P r P d g g Bild II-64 Zur Berechnung des Abstndes zweier prlleler Gerden

68 4 Anwendungen in der Geometrie Wir betrchten den uf der Gerden g gelegenen Punkt P mit dem Ortsvektor ~r. Sein senkrechter Abstnd von der Gerden g beträgt dnn nch Formel (II-8): d ¼ j ~ ð~r ~r Þj j ~ j ðii-4þ (Punkt Q ¼ Punkt P und somit ~r Q ¼ ~r ). Dieser Abstnd ist zugleich der gesuchte Abstnd der beiden prllelen Gerden. Wir fssen wie folgt zusmmen: Abstnd zweier prlleler Gerden (Bild II-64) Der Abstnd zweier prlleler Gerden g und g mit den Gleichungen ~r ðl Þ¼~r þ l ~ und ~r ðl Þ¼~r þ l ~ ðii-4þ lässt sich wie folgt berechnen: d ¼ j ~ ð~r ~r Þj j~ j ðii-4þ Anmerkungen () Die Gerden g und g sind genu dnn prllel, wenn ~ ~ ¼ ~ ist. () Ist d ¼, so fllen die beiden Gerden zusmmen. Beispiel Die Gerden g : ~r ðl Þ¼~r þ l ~ A þ A 4 ðl RÞ und g : ~r ðl Þ¼~r þ l ~ ¼ A þ A ðl RÞ sind prllel, d ihre Richtungsvektoren ~ und ~ kollinere Vektoren drstellen: ~ ¼ ~. Wir berechnen jetzt den Abstnd dieser Gerden:

69 II Vektorlgebr 4 ~ ð~r ~r Þ¼@ A A ¼ 4 þ þ A 4 A 4 j ~ ð~r ~r Þj ¼ j ~ j¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ þ d ¼ j~ ð~r ~r Þj j~ j qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 4 þð 4Þ ¼ p ffiffiffiffi ¼ 4 p ffiffiffiffi pffiffiffiffi ¼,7 ¼ p ffiffiffiffiffiffi p ¼ 4 ffiffiffiffi 4..5 Abstnd zweier windschiefer Gerden Wir gehen von zwei windschiefen Gerden g und g mit den Gleichungen ~r ðl Þ¼~r þ l ~ und ~r ðl Þ¼~r þ l ~ ðl, l RÞ ðii-4þ us (die Gerden verlufen somit weder prllel noch kommen sie zum Schnitt, siehe Bild II-65). Ihren Abstnd d bestimmen wir wie folgt: P r g * S g d E P r S g * g E Bild II-65 Zur Berechnung des Abstndes zweier windschiefer Gerden Zunächst wird die Gerde g so prllelverschoben, dss sie mit der Gerden g zum Schnitt kommt (Schnittpunkt S ). Die durch Prllelverschiebung erhltene Ger-

70 4 Anwendungen in der Geometrie de bezeichnen wir mit g *, sie bildet zusmmen mit der Gerden g die (untere) Ebene E in Bild II-65. Jetzt verschieben wir die Gerde g prllel zu sich selbst nch oben, bis sie die Gerde g in S schneidet. Die durch Prllelverschiebung gewonnene Gerde bezeichnen wir mit g *. Die Gerden g und g * bilden die (obere) Ebene E in Bild II-65, die prllel zur Ebene E verläuft. Der Abstnd dieser Prllelebenen ist zugleich der gesuchte Abstnd d der beiden windschiefen Gerden g und g. Auf die Herleitung der Abstndsformel wollen wir verzichten und teilen nur ds Ergebnis mit: Abstnd zweier windschiefer Gerden (Bild II-65) Der Abstnd zweier windschiefer Gerden g und g mit den Gleichungen ~r ðl Þ¼~r þ l ~ und ~r ðl Þ¼~r þ l ~ ðii-44þ lässt sich wie folgt berechnen: d ¼ j½~ ~ ð~r ~r ÞŠj j~ ~ j ðii-45þ Anmerkung Die Gerden g und g sind genu dnn windschief, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: ~ ~ 6¼ ~ und ½~ ~ ð~r ~r ÞŠ 6¼ ðii-46þ Beispiel Gegeben sind zwei Gerden g und g : g g durch P ¼ð; ; Þ mit dem Richtungsvektor ~ ¼ durch P ¼ð; ; Þ mit dem Richtungsvektor ~ A Wir zeigen zunächst, dss es sich um windschiefe Gerden hndelt. ~ ~ A A A A

71 4 II Vektorlgebr ½ ~ ~ ð~r ~r ÞŠ ¼ ð Þ ð Þ ð Þ ¼ ¼ ¼ þ 4 ð þ 4Þ ¼ ¼ 4 Somit gilt: ~ ~ 6¼ ~ und ½~ ~ ð~r ~r ÞŠ 6¼ Die Gerden g und g sind lso nch dem Kriterium (II-46) windschief. Mit qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p j ~ ~ j¼ þ þð Þ ¼ ffiffiffiffi 6 folgt für ihren Abstnd nch Formel (II-45): d ¼ j½~ ~ ð~r ~r ÞŠj j~ ~ j ¼ j 4 pffiffiffiffi j ¼ p 4 ffiffiffiffi ¼, Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Gerden Berechnung des Schnittpunktes (Bild II-66) Den Schnittpunkt S zweier Gerden g und g mit den Gleichungen ~r ðl Þ¼~r þ l ~ und ~r ðl Þ¼~r þ l ~ ðl, l RÞ ðii-47þ bestimmt mn us der Vektorgleichung ~r þ l ~ ¼ ~r þ l ~ ðii-48þ die mn durch Gleichsetzen der Vektoren ~r ðl Þ und ~r ðl Þ erhält 8). Diese Vektorgleichung führt komponentenweise geschrieben zu einem lineren Gleichungssystem mit drei Gleichungen in den beiden Unbeknnten l und l. Die (eindeutige) Lösung dieses Systems liefert die zum Schnittpunkt S gehörigen Prmeterwerte l *, l *. Den Ortsvektor ~r S des Schnittpunktes S erhält mn dnn durch Einsetzen dieser Werte in die Gleichung der Gerden g bzw. g : ~r S ¼ ~r þ l* ~ bzw: ~r S ¼ ~r þ l* ~ ðii-49þ 8) Die beiden Gerden schneiden sich genu dnn in einem Punkt S, wenn die Bedingungen ~ ~ 6¼ ~ und ½~ ~ ð~r ~r ÞŠ ¼ erfüllt sind (siehe hierzu Bild II-66). Die Vektoren ~, ~ und ~r ~r müssen lso komplnr sein, d. h. in einer gemeinsmen Ebene liegen und die Richtungsvektoren ~ und ~ dürfen nicht kolliner sein.

72 P r 4 Anwendungen in der Geometrie 5 g S f P r g Bild II-66 Zur Berechnung des Schnittpunktes und Schnittwinkels zweier Gerden Berechnung des Schnittwinkels (Bild II-66) Definitionsgemäß verstehen wir unter dem Schnittwinkel j zweier Gerden g und g den Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren ~ und ~ (Bild II-66). Für den Schnittwinkel erhlten wir nch Gleichung (II-74): Schnittwinkel zweier Gerden (Bild II-66) Der Schnittwinkel j zweier Gerden g und g mit den Richtungsvektoren ~ und ~ lässt sich wie folgt berechnen: ~ ~ j ¼ rccos ðii-5þ j~ jj~ j Beispiel Gegeben sind die Gerden g : ~r ðl Þ¼~r þ l ~ A þ A ðl RÞ und g : ~r ðl Þ¼~r þ l ~ A þ A ðl RÞ In welchem Punkt S schneiden sich die Gerden, welcher Winkel j wird von ihnen eingeschlossen?

73 6 II Vektorlgebr Lösung: Wir zeigen zunächst, dss die beiden Richtungsvektoren ~ und ~ nicht-kolliner sind: þ ~ ~ A 4 A A 6¼ ~ Sie liegen mit dem Verbindungsvektor ~r ~r in einer Ebene (komplnre Vektoren), d ds Sptprodukt dieser Vektoren verschwindet: ð Þ ½ ~ ~ ð~r ~r ÞŠ ¼ ð Þ ¼ ¼ ð Þ ¼ 4 þ þ þ 4 ¼ Die Gerden g und g schneiden sich lso in einem Punkt. Wir berechnen jetzt ihren Schnittpunkt S und ihren Schnittwinkel j. Berechnung des Schnittpunktes S Aus der Bedingung ~r ðl Þ¼~r ðl Þ folgt die A þ A A þ A In der Komponentenschreibweise erhlten wir þ l ¼ þ l l l ¼ þ l ¼ l oder l þ l ¼ þ l ¼ þ l l l ¼ Dieses linere Gleichungssystem besitzt genu eine Lösung (bitte nchrechnen!): l ¼, l ¼. Der Ortsvektor ~r S des gesuchten Schnittpunktes S lutet dmit: ~r S ¼ ~r ðl ¼ Þ ¼@ A A A ) S ¼ð; ; Þ Zum gleichen Ergebnis kommt mn, wenn mn in die Gleichung der Gerden g für den Prmeter l den Wert einsetzt: ~r S ¼ ~r ðl ¼ Þ ¼@ A þ A A

74 4 Anwendungen in der Geometrie 7 Berechnung des Schnittwinkels j (nch Formel (II-5)) ~ ~ A ¼ þ ¼ p j ~ j¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p þ þ ¼ ffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 6, j~ j¼ þð Þ þ ¼ ffiffiffiffi 6 ~ ~ j ¼ rccos ¼ rccos pffiffiffiffi pffiffiffiffi ¼ rccos ¼ 6 j~ jj~ j Vektorielle Drstellung einer Ebene 4.. Punkt-Richtungs-Form einer Ebene Eine Ebene E soll durch den Punkt P mit dem Ortsvektor ~r und prllel zu zwei nichtkollineren Vektoren ~ und ~b (Richtungsvektoren gennnt) verlufen (Bild II-67) 9). Wie lutet die Gleichung dieser Ebene in vektorieller Form? mb P P P r( lm ; ) b E P l Bild II-67 Zur Punkt-Richtungs-Form einer Ebene r Bezeichnet mn den lufenden Punkt der Ebene mit P, so ist der in der Ebene liegende ƒƒ! Vektor P P die vektorielle Summe us l~ und m ~b: ƒƒ! P P ¼ l~ þ m ~b ðii-5þ l und m sind dbei zwei voneinnder unbhängige reelle Prmeter. Der Ortsvektor von P ist dnn ls Summenvektor ƒƒ! ~r ðpþ ¼~r þ P P ¼ ~r þ l~ þ m ~b ðii-5þ drstellbr. Die Lge des lufenden Punktes P uf der Ebene ist somit eindeutig durch die Prmeter l und m festgelegt. Wir bringen dies durch die Schreibweise ~r ðpþ ¼~r ðl; mþ zum Ausdruck. 9) Wir erinnern: Zwei Vektoren ~ und ~b sind nichtkolliner, wenn ~ b 6¼ ~ ist.

75 8 II Vektorlgebr Die Gleichung der Ebene E lutet dmit in der vektoriellen Prmeterform wie folgt: Vektorielle Punkt-Richtungs-Form einer Ebene (Bild II-67) ~r ðpþ ¼~r ðl; mþ ¼~r þ l~ þ m ~b ðii-5þ oder (in der Komponentenschreibweise) x x x y A A þ A þ z y z y z b x b y b z x þ l x þ m b x C B C A y þ l y þ m b y A z þ l z þ m b z ðii-54þ Dbei bedeuten: x, y, z: Koordinten des lufenden Punktes P der Ebene x, y, z : Koordinten des vorgegebenen Punktes P der Ebene x, y, z Sklre Vektorkomponenten (Vektorkoordinten) der nichtkollineren Richtungsvektoren ~ und ~b der Ebene ð~ ~b 6¼ ~Þ b x, b y, b z l, m: Voneinnder unbhängige reelle Prmeter ðl, m RÞ Anmerkung Ein uf der Ebene E senkrecht stehender Vektor ~n heißt Normlenvektor der Ebene. Einen solchen Vektor erhält mn beispielsweise us den beiden Richtungsvektoren ~ und ~b durch Bildung des Vektorproduktes: ~n ¼ ~ ~b ðii-55þ Beispiel Die Ebene E verläuft durch den Punkt P ¼ð; 5; Þ, ihre Richtungsvektoren sind 5 ~ 5 A und ~b A. Die Gleichung dieser Ebene lutet dnn in der Prmeterform wie folgt: 5 ~r ðl; mþ ¼~r þ l~ þ m ~b 5 A þ 5 A þ A ¼ l 5 m þ l þ 5 m B C 5 A 5 l A m A 5 þ 5 l þ m A ðl, m RÞ l m þ l þ m

76 4 Anwendungen in der Geometrie 9 So gehört z. B. zu dem Prmeterpr l ¼, m ¼ der folgende Punkt Q: þ þ 5 5 ~r ðqþ ¼~r ðl ¼ ; m ¼ Þ ¼ B 5 þ 5 þ A ¼ B A ) þ þ 8 Q ¼ð5; ; 8Þ Der Vektor ~n ¼ ~ ~b ¼ A 5 6 A A 5 steht dbei senkrecht uf der Ebene E (Normlenvektor). 4.. Drei-Punkte-Form einer Ebene Eine Ebene E soll durch drei (voneinnder verschiedene und nicht in einer gemeinsmen Gerden liegende) Punkte P, P und P mit den Ortsvektoren ~r, ~r und ~r verlufen (Bild II-68). P r r r P r( lm ; ) E P r r r r P Bild II-68 Zur Drei-Punkte-Form einer Ebene Die vektorielle Gleichung dieser Ebene erhlten wir durch nloge Ûberlegungen wie im vorngegngenen Abschnitt 4... Der Ortsvektor des lufenden Punktes P der Ebene ist der Summenvektor ƒƒƒ! ƒƒƒ! ~r ðpþ ¼~r þ l P P þ m P P ðii-56þ

77 II Vektorlgebr Ferner ist ƒƒƒ! ƒƒƒ! P P ¼ ~r ~r und P P ¼ ~r ~r ðii-57þ und somit ~r ðpþ ¼~r þ l ð~r ~r Þþm ð~r ~r Þ ðl, m RÞ ðii-58þ Dies ist die Prmeterdrstellung einer Ebene durch drei vorgegebene Punkte P, P und P in vektorieller Form. Für ~r ðpþ schreiben wir wieder ~r ðl; mþ, um zum Ausdruck zu bringen, dss der lufende Punkt P der Ebene durch die beiden Prmeterwerte eindeutig festgelegt ist. Wir fssen zusmmen: Vektorielle Drei-Punkte-Form einer Ebene (Bild II-68) ƒƒƒ! ƒƒƒ! ~r ðpþ ¼~r ðl; mþ ¼~r þ l P P þ m P P ¼ ¼ ~r þ l ð~r ~r Þþmð~r ~r Þ oder (in der Komponentenschreibweise) x x x x x y A y A þ y y A þ y y A ¼ z z z z z z x þ l ðx x Þþmðx x Þ B C y þ l ðy y Þþmðy y Þ A z þ l ðz z Þþmðz z Þ ðii-59þ ðii-6þ Dbei bedeuten: x, y, z: Koordinten des lufenden Punktes P der Ebene 9 x, y, z >= x, y, z >; Koordinten der vorgegebenen Punkte P, P und P der Ebene x, y, z l, m: Voneinnder unbhängige reelle Prmeter ðl, m RÞ Anmerkungen () Die Punkte P, P, P dürfen nicht in einer gemeinsmen Gerden liegen, d. h. es muss die folgende Bedingung erfüllt sein: ð~r ~r Þð~r ~r Þ 6¼ ~ ðii-6þ

78 4 Anwendungen in der Geometrie ƒƒƒ! ƒƒƒ! () Die nichtkollineren Vektoren P P ¼ ~r ~r und P P ¼ ~r ~r können ls Richtungsvektoren der Ebene ufgefsst werden. Der Normlenvektor ~n der Ebene ist dnn wie folgt ls Vektorprodukt drstellbr: ƒƒƒ! ƒƒƒ! ~n ¼ P P P P ¼ð~r ~r Þð~r ~r Þ ðii-6þ Beispiel Gegeben sind drei Punkte P ¼ð; 5; Þ, P ¼ð ; ; 8Þ und P ¼ð; ; Þ. Wie lutet die Gleichung der Ebene durch diese Punkte? Lösung: Die Ortsvektoren der drei Punkte luten: ~r 5 A, ~r A und ~r ¼ A Dmit erhlten wir die folgenden Richtungsvektoren: ƒƒƒ! P P ¼ ~r ~r 5 A 5 A 6 A ƒƒƒ! P P ¼ ~r ~r 5 A 5 A 5 A Sie sind nichtkolliner: ð~r ~r Þð~r ~r Þ¼ 6 þ 6 5 A 8 þ A ¼ 8 5 þ 6 A 6¼ ~ Die Gleichung der Ebene lutet dmit in der vektoriellen Prmeterform wie folgt: ~r ðl; mþ ¼~r þ l ð~r ~r Þþmð~r ~r Þ¼ 5 A þ 6 A þ 5 A ¼ 8 l þ m B 5 6 l 5 m A 8 l þ m ðl, m RÞ

79 II Vektorlgebr 4.. Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor Eine Ebene E soll den Punkt P mit dem Ortsvektor ~r enthlten und senkrecht zu einem Vektor ~n (Normlenvektor gennnt) verlufen (Bild II-69). Ist ~r der Ortsvektor ƒƒ! des lufenden Punktes P der Ebene, so liegt der Vektor P P ¼ ~r ~r in der Ebene und steht somit senkrecht uf dem Normlenvektor ~n. Dies ber bedeutet, dss ds sklre Produkt der Vektoren ~n und ~r ~r verschwindet (orthogonle Vektoren). Die Gleichung der Ebene lutet dher: ~n ð~r ~r Þ¼ oder ~n ~r ¼ ~n ~r ðii-6þ n r r P P E r r Bild II-69 Ebene senkrecht zu einem Normlenvektor Wir fssen zusmmen: Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor (Bild II-69) ~n ð~r ~r Þ¼ ðii-64þ oder (usgeschrieben) n x ðx x Þþn y ðy y Þþn z ðz z Þ¼ ðii-65þ Dbei bedeuten: x, y, z: Koordinten des lufenden Punktes P der Ebene x, y, z : Koordinten des vorgegebenen Punktes P der Ebene n x, n y, n z : Sklre Vektorkomponenten (Vektorkoordinten) des Normlenvektors ~n (steht senkrecht uf der Ebene E) Anmerkung Gleichung (II-64) bzw. (II-65) wird uch ls Koordintendrstellung der Ebene bezeichnet. Ihre llgemeine Form lutet: x þ by þ cz þ d ¼ ð, b, c, d : Reelle KonstntenÞ ðii-66þ

80 4 Anwendungen in der Geometrie Beispiel Die Gleichung der Ebene E durch den Punkt P ¼ð; 5; Þ senkrecht zum Vektor 4 ~n A (Normlenvektor) lutet wie folgt: 5 4 x ~n ð~r ~r Þ¼@ y þ 5 A ¼ 4 ðx Þ þ ðy þ 5Þ þ5 ðz Þ ¼ 5 z 4 x 8 þ y þ þ 5 z 5 ¼ ) 4 x þ y þ 5 z ¼ 4..4 Abstnd eines Punktes von einer Ebene Gegeben ist eine Ebene E mit der Gleichung ~n ð~r ~r Þ¼ und ein Punkt Q mit dem Ortsvektor ~r Q (Bild II-7). Welchen (senkrechten) Abstnd d besitzt dieser Punkt von der Ebene E? b Q P Q r Q Q d n P r Q E Bild II-7 Zur Berechnung des Abstndes eines Punktes von einer Ebene ƒƒ! Wir bestimmen zunächst den Vektor P Q. Er ist ls Differenzvektor in der Form ƒƒ! P Q ¼ ~r Q ~r ðii-67þ drstellbr. Seine Projektion in die Richtung des Normlenvektors ~n ergibt den Vektor ƒƒƒ! P Q ƒƒ! ¼ ~b, der mit dem Vektor Q Q der Länge d übereinstimmt ). Somit gilt ƒƒ! ~b ¼ Q Q mit j ~b j ¼ d ðii-68þ ) Q ist der Fußpunkt des Lotes von Q uf die Ebene E.

81 4 II Vektorlgebr ƒƒ! Andererseits gilt für die Projektion von P Q uf ~n nch Gleichung (II-86): ~b ¼ ~n P ƒƒ!!! Q j ~n j ~n ¼ ~n ð~r Q ~r Þ j~n j ~n ðii-69þ Dieser Vektor besitzt den Betrg j ~b j¼ ~n ð~r Q ~r Þ j~n j ~n ¼ j~n ð~r Q ~r Þj j~n j j ~n j¼ j ~n ð~r Q ~r Þj j ~n j ðii-7þ Somit ist wegen j ~b j¼d: j ~b j¼d ¼ j~n ð~r Q ~r Þj j~n j ðii-7þ der gesuchte Abstnd des Punktes Q von der Ebene E. Wir fssen zusmmen: Abstnd eines Punktes von einer Ebene (Bild II-7) Der Abstnd eines Punktes Q mit dem Ortsvektor ~r Q der Gleichung ~n ð~r ~r Þ¼ beträgt d ¼ j ~n ð~r Q ~r Þj j~n j von einer Ebene E mit ðii-7þ Beispiel Eine Ebene E enthält den Punkt P ¼ð; ; 9Þ, ihr Normlenvektor ist ~n A. 5 Wir berechnen den Abstnd d des Punktes Q ¼ð ; ; Þ von dieser Ebene mit Hilfe der Formel (II-7): ~n ð~r Q ~r Þ¼@ A A ¼ j ~n j¼ ¼ þ ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ þ 5 ¼ p ffiffiffiffiffiffiffi 5 d ¼ j~n ð~r Q ~r Þj j~n j ¼ j pffiffiffiffiffiffi j ¼ p ffiffiffiffiffiffiffi ¼ 5,7 5 5

82 4 Anwendungen in der Geometrie Abstnd einer Gerden von einer Ebene Eine Gerde g und eine Ebene E können folgende Lgen zueinnder hben: g liegt in der Ebene E g und E sind zueinnder prllel g und E schneiden sich in genu einem Punkt Wir setzen in diesem Abschnitt vorus, dss die Gerde g mit der Gleichung ~r ðlþ ¼~r þ l~ prllel zur Ebene E mit der Gleichung ~n ð~r ~r Þ¼ verläuft (Bild II-7). Dies ist genu dnn der Fll, wenn der Richtungsvektor ~ der Gerden senkrecht uf dem Normlenvektor ~n der Ebene steht, d. h. ~n ~ ¼ ist. P g r d d P r n Prllele zuginder Ebene E Bild II-7 Zur Berechnung des Abstndes einer Gerden von einer Ebene E Dnn ht jeder Punkt der Gerden g den gleichen Abstnd d von der Ebene E. Wir wählen uf g den beknnten Punkt P mit dem Ortsvektor ~r. Nch den Ergebnissen des vorngegngenen Abschnitts gilt dnn (Gleichung II-7): Abstnd einer Gerden von einer Ebene (Bild II-7) Der Abstnd einer Gerden g mit der Gleichung ~r ðlþ ¼~r þ l~ von einer zu ihr prllelen Ebene E mit der Gleichung ~n ð~r ~r Þ¼ beträgt d ¼ j ~n ð~r ~r Þj j~n j ðii-7þ Anmerkungen () Gerde und Ebene sind genu dnn zueinnder prllel, wenn ~n ~ ¼ ist. () Ist zusätzlich d ¼, so liegt die Gerde g in der Ebene E.

83 6 II Vektorlgebr Beispiel Wir berechnen den Abstnd d zwischen der Gerden g: P ¼ð; ; Þ, Richtungsvektor ~ 4 A und der (zu ihr prllelen) Ebene E : P ¼ð; 5; Þ, Normlenvektor ~n A Zunächst ber zeigen wir, dss Gerde und Ebene prllel verlufen und die Abstndsformel (II-7) dher uf dieses Beispiel nwendbr ist: ~n ~ 4 A ¼ 4þ6 ¼ ) g jj E Ferner ist ~n ð~r ~r 5 A 4 A ¼ j ~n j¼ ¼ 4 9 ¼ 5 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ þ Aus Gleichung (II-7) folgt dnn ¼ p ffiffiffiffiffiffiffi 4 d ¼ j~n ð~r ~r Þj j~n j ¼ j 5 pffiffiffiffiffiffi j ¼ p 5 ffiffiffiffiffiffiffi ¼ 4, Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Gerden mit einer Ebene Wir setzen in diesem Abschnitt vorus, dss sich die Gerde g mit der Gleichung ~r ðlþ ¼~r þ l~ und die Ebene E mit der Gleichung ~n ð~r ~r Þ¼ in einem Punkt S schneiden (siehe hierzu uch Abschnitt 4..5). Dies ist genu dnn der Fll, wenn ~n ~ 6¼ ist.

84 4 Anwendungen in der Geometrie 7 g r n P r S n S f E Bild II-7 Zur Berechnung des Schnittpunktes und Schnittwinkels einer Gerden mit einer Ebene r P Berechnung des Schnittpunktes (Bild II-7) Der Ortsvektor ~r S des Schnittpunktes S erfüllt dnn sowohl die Gerdengleichung ls uch die Gleichung der Ebene (Bild II-7): ~r S ¼ ~r þ l S ~ und ~n ð~r S ~r Þ¼ ðii-74þ Durch Einsetzen der. Gleichung in die. Gleichung erhlten wir eine Bestimmungsgleichung für den zum Schnittpunkt S gehörigen Prmeter l S : ~n ð~r S ~r Þ¼~n ð~r þ l S ~ ~r Þ¼~n ð~r ~r þ l S ~ Þ¼ Wir lösen diese Gleichung nch l S l S ¼ ~n ð~r ~r Þ ~n ~ ¼ ~n ð~r ~r Þþl S ð~n ~ Þ¼ uf: ¼ ~n ð~r ~r Þ ~n ~ ðii-75þ ðii-76þ Diesen Wert setzen wir in die Gerdengleichung ein und erhlten den Ortsvektor ~r S des Schnittpunktes S: ~r S ¼ ~r þ l S ~ ¼ ~r þ ~n ð~r ~r Þ ~ ðii-77þ ~n ~ Schnittpunkt einer Gerden mit einer Ebene (Bild II-7) Der Ortsvektor des Schnittpunktes S der Gerden g: ~r ðlþ ¼~r þ l~ mit der Ebene E: ~n ð~r ~r Þ¼ lutet: ~r S ¼ ~r þ ~n ð~r ~r Þ ~ ð~n ~ 6¼ ~Þ ðii-78þ ~n ~ Anmerkung Gerde und Ebene schneiden sich genu dnn in einem Punkt S, wenn die Bedingung ~n ~ 6¼ ~ erfüllt ist.

85 8 II Vektorlgebr Berechnung des Schnittwinkels (Bild II-7) Der gesuchte Schnittwinkel j zwischen Gerde und Ebene ist der Neigungswinkel der Gerden gegenüber der Ebene (Bild II-7). Für ihn gilt: j 9. Er hängt mit dem Winkel zwischen dem Richtungsvektor ~ der Gerden und dem Normlenvektor ~n der Ebene wie folgt zusmmen: ¼ 9 þ j oder ¼ 9 j ðii-79þ (bhängig von der Orientierung (Richtung) des Normlenvektors ~n ). Der Winkel lässt sich dbei us dem sklren Produkt der Vektoren ~n und ~ berechnen: cos ¼ ~n ~ j ~n jj~ j ðii-8þ Wegen ¼ 9 j gilt nch dem Additionstheorem der Kosinusfunktion cos ¼ cos ð9 jþ ¼cos 9 cos j sin 9 sin j ¼sin j fflfflffl{zfflfflffl} fflfflffl{zfflfflffl} ðii-8þ Somit ist sin j ¼ ~n ~ j~n jj~ j oder sin j ¼ ~n ~ j~n jj~ j ðii-8þ Bechtet mn noch, dss der Schnittwinkel j im Intervll j 9 dher sin j ist, so erhält mn sin j ¼ j ~n ~ j j~n jj~ j und durch Umkehrung schließlich Þ : j~n ~ j j ¼ rcsin j~n jj~ j liegt und ðii-8þ ðii-84þ Schnittwinkel einer Gerden mit einer Ebene (Bild II-7) Der Schnittwinkel j zwischen einer Gerden mit den Richtungsvektor ~ und einer Ebene mit dem Normlenvektor ~n lässt sich wie folgt berechnen: j~n ~ j j ¼ rcsin ðii-85þ j~n jj~ j Þ Die Arkussinusfunktion ist die Umkehrfunktion der Sinusfunktion (siehe Kp. III, Abschnitt.).

86 4 Anwendungen in der Geometrie 9 Beispiel Gerde g und Ebene E sind wie folgt gegeben: g: P ¼ð; ; 5Þ, Richtungsvektor ~ 4 A E : P ¼ð; 4; Þ, Normlenvektor ~n A Wir berechnen Schnittpunkt S und Schnittwinkel j. Berechnung des Schnittpunktes S nch Formel (II-78) ~n ð~r ~r Þ¼@ 4 A A ¼ 4 ¼ ~n ~ 4 A ¼ 6 þ 4 þ ¼ Wegen ~n ~ ¼ 6¼ schneiden sich Gerde g und Ebene E genu in einem Punkt S. Für den Ortsvektor dieses Schnittpunktes erhlten wir dnn nch Formel (II-78): ~r S ¼ ~r þ ~n ð~r ~r Þ ~ A þ 4 A ¼ ~n ~ 5,5,5 4 A þ A A ) S ¼ð,5; ; 5Þ 5 5 þ 5 Berechnung des Schnittwinkels j nch Formel (II-85) ~n ~ ¼ (wurde bereits weiter oben berechnet) j ~n j¼ j ¼ rcsin qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þð Þ þ ¼ j~n ~ j ¼ rcsin j~n jj~ j p ffiffiffiffi 6, j ~ j¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þð 4Þ þ pffiffiffiffi ¼ rcsin,865 ¼ 54,7 6 5 ¼ 5

87 II Vektorlgebr 4..7 Abstnd zweier prlleler Ebenen Zwei Ebenen E und E können folgende Lgen zueinnder hben: E und E fllen zusmmen E und E sind zueinnder prllel E und E schneiden sich längs einer Gerden Wir setzen in diesem Abschnitt vorus, dss die Ebenen E und E mit den Gleichungen ~n ð~r ~r Þ¼ und ~n ð~r ~r Þ¼ zueinnder prllel sind. Dies ist genu dnn der Fll, wenn die zugehörigen Normlenvektoren ~n und ~n kolliner sind, d. h. ~n ~n ¼ ~ ist (Bild II-7). n P E r d P n Bild II-7 P r E Zur Berechnung des Abstndes zweier prlleler Ebenen Dnn ht jeder Punkt der Ebene E von der Ebene E den gleichen (senkrechten) Abstnd d und umgekehrt. Wir wählen uf der Ebene E den beknnten Punkt P mit dem Ortsvektor ~r. Dieser Punkt ht nch der Abstndsformel (II-7) den folgenden Abstnd von der Ebene E : d ¼ j~n ð~r ~r Þj j~n j ðii-86þ Zusmmenfssend gilt somit: Abstnd zweier prlleler Ebenen (Bild II-7) Der Abstnd zweier zueinnder prlleler Ebenen E : ~n ð~r ~r Þ¼ und E : ~n ð~r ~r Þ¼ lässt sich wie folgt berechnen: d ¼ j ~n ð~r ~r Þj j~n j ðii-87þ

88 4 Anwendungen in der Geometrie Anmerkungen () Die beiden Ebenen sind genu dnn prllel, wenn ~n ~n ¼ ~ ist. () In der Abstndsformel (II-87) drf der Normlenvektor ~n durch den Normlenvektor ~n ersetzt werden. () Ist zusätzlich d ¼, so fllen die beiden Ebenen zusmmen. Beispiel Gegeben sind die folgenden Ebenen: E : P ¼ð7; ; 4Þ, Normlenvektor ~n 4 A E : P ¼ð ; ; 8Þ, Normlenvektor ~n 8 A 4 Die Ebenen sind prllel, d ~n ~n ¼ ~ ist: 6 6 ~n ~n 4 8 A 4 þ 4 A ¼ 4 8 þ A ¼ ~ Wir berechnen nun den Abstnd d der Ebenen nch Formel (II-87). Mit 7 8 ~n ð~r ~r Þ¼@ 4 A 4 A ¼ 8 þ 4 j ~n j¼ ¼ 8 þ 4 ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð Þ þ 4 þ ¼ p ffiffiffiffiffiffi erhlten wir schließlich: d ¼ j ~n ð~r ~r Þj j~n j ¼ p ffiffiffiffiffiffi ¼ 4,6

89 II Vektorlgebr 4..8 Schnittgerde und Schnittwinkel zweier Ebenen Wir setzen in diesem Abschnitt vorus, dss sich die Ebenen E : ~n ð~r ~r Þ¼ und E : ~n ð~r ~r Þ¼ längs einer Gerden g schneiden (Bild II-74). Dies ist genu dnn der Fll, wenn die zugehörigen Normlenvektoren ~n und ~n nichtkolliner sind, d. h. die Bedingung ~n ~n 6¼ ~ erfüllen. E Schnittgerde g n f n E Bild II-74 Zur Berechnung der Schnittgerden und des Schnittwinkels zweier Ebenen g Bestimmung der Schnittgerden (Bild II-74) Für die Gleichung der Schnittgerden g wählen wir den Lösungsnstz ~r ðlþ ¼~r þ l~ ðii-88þ Zu bestimmen sind der Richtungsvektor ~ und der Ortsvektor ~r des uf der Gerden g gelegenen Punktes P. D die Normlenvektoren ~n und ~n der beiden Ebenen jeweils senkrecht uf der Schnittgerden g stehen, lässt sich der Richtungsvektor ~ von g ls Vektorprodukt dieser beiden Vektoren drstellen: ~ ¼ ~n ~n ðii-89þ Den Ortsvektor ~r des uf der Schnittgerden gelegenen (ber noch unbeknnten) Punktes P bestimmen wir wie folgt: P liegt in beiden Ebenen, der zugehörige Ortsvektor ~r erfüllt dher die Gleichungen beider Ebenen: ~n ð~r ~r Þ¼ ðii-9þ ~n ð~r ~r Þ¼ oder (in usgeschriebener Form) n x ðx x Þþn y ðy y Þþn z ðz z Þ¼ n x ðx x Þþn y ðy y Þþn z ðz z Þ¼ ðii-9þ

90 4 Anwendungen in der Geometrie Dies ist ein lineres Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den drei unbeknnten Koordinten x, y und z des Punktes P. Eine der drei Koordinten ist dher frei wählbr. Wir setzen dher zweckmäßigerweise x ¼ und berechnen dnn die beiden übrigen Koordinten us dem lineren Gleichungssystem n x x þ n y ðy y Þþn z ðz z Þ¼ n x x þ n y ðy y Þþn z ðz z Þ¼ ðii-9þ (Gleichungssystem (II-9) für x ¼ ). Dmit sind die Koordinten x, y und z und somit uch der Ortsvektor ~r des uf der Gerden g gelegenen Punktes P eindeutig bestimmt. Wir fssen die Ergebnisse zusmmen: Schnittgerde zweier Ebenen (Bild II-74) Die Gleichung der Schnittgerden g zweier Ebenen E : ~n ð~r ~r Þ¼ und E : ~n ð~r ~r Þ¼ lutet in der Punkt-Richtungs-Form: ~r ðlþ ¼~r þ l~ ðii-9þ Der Richtungsvektor ~ ist dbei ds Vektorprodukt der Normlenvektoren ~n und ~n der beiden Ebenen: ~ ¼ ~n ~n ðii-94þ Der Ortsvektor ~r des (zunächst noch unbeknnten) Punktes P der Schnittgerden lässt sich us dem lineren Gleichungssystem ~n ð~r ~r Þ¼ ~n ð~r ~r Þ¼ ðii-95þ oder (in der usgeschriebenen Form) n x ðx x Þþn y ðy y Þþn z ðz z Þ¼ n x ðx x Þþn y ðy y Þþn z ðz z Þ¼ ðii-96þ bestimmen, wobei eine der drei Koordinten frei wählbr ist (z. B. knn mn x ¼ setzen). Anmerkung Die beiden Ebenen schneiden sich genu dnn längs einer Gerden, wenn ~n ~n 6¼ ~ ist. Berechnung des Schnittwinkels (Bild II-74) Der Schnittwinkel j zweier Ebenen E und E ist der Winkel zwischen den zugehörigen Normlenvektoren ~n und ~n. Nch Gleichung (II-74) gilt somit:

91 4 II Vektorlgebr Schnittwinkel zweier Ebenen (Bild II-74) Der Schnittwinkel j zweier Ebenen E und E mit den Normlenvektoren ~n und ~n lässt sich wie folgt berechnen: ~n ~n j ¼ rccos ðii-97þ j~n jj~n j Beispiel Wir bestimmen Schnittgerde g und Schnittwinkel j der folgenden Ebenen: E : P ¼ð; ; Þ, Normlenvektor ~n 5 A E : P ¼ð; ; Þ, Normlenvektor ~n A Bestimmung der Schnittgerden g Anstz der Schnittgerden in der Punkt-Richtung-Form: ~r ðlþ ¼~r þ l~ Für den Richtungsvektor ~ erhlten wir nch Formel (II-94): þ ~ ¼ ~n ~n 5 A 6 A 8 A 9 Wegen ~n ~n 6¼ ~ ist dmit sichergestellt, dss sich die Ebenen uch ttsächlich schneiden. Der Ortsvektor ~r des (noch unbeknnten) Punktes P der Schnittgerden wird us dem folgenden lineren Gleichungssystem berechnet: x ~n ð~r ~r Þ¼@ 5 y A ¼ x þ 5 y ðz Þ ¼ z x ~n ð~r ~r Þ¼@ y A ¼ x þ y þ z ¼ z

92 Ûbungsufgben 5 Wir setzen x ¼ und ordnen beide Gleichungen: 5 y z ¼ y þ z ¼ Diese Gleichungen werden durch y ¼ 5= und z ¼ 7= gelöst (die untere Gleichung zunächst mit 5 multiplizieren und dnn von der oberen Gleichung subtrhieren). Der Punkt P besitzt demnch die folgenden Koordinten: x ¼, y ¼ 5=, z ¼ 7=. Somit ist ~r ðlþ ¼~r þ l~ ¼ C 5= A þ 8 A ¼ 7= 9 die Gleichung der gesuchten Schnittgerden g. l C 5= 8 l A 7= 9 l ðl RÞ Berechnung des Schnittwinkels j ~n ~n 5 A ¼ þ 5 6 ¼ j ~n j¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 5 þð Þ p ¼ ffiffiffiffiffiffi p 5, j~n j¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ þ ¼ Für den Schnittwinkel j erhlten wir dmit nch Gleichung (II-97): ~n ~n j ¼ rccos ¼ rccos pffiffiffiffiffiffi ¼ rccos,56 ¼ 86,8 j~n jj~n j 5 Ûbungsufgben Zu Abschnitt und ) Gegeben sind die Vektoren ~ A, ~b A und ~c A. 4 Berechnen Sie die sklren Komponenten und die Beträge der us ihnen gebildeten folgenden Vektoren: Þ ~s ¼ ~ 5 ~b þ ~c bþ ~s ¼ ð~b þ 5~c Þþ5 ð~ ~b Þ cþ ~s ¼ 4 ð~ ~b Þþ~c dþ ~s 4 ¼ ð~ ~b Þ ~c 5 ð~b ~c Þ ~

93 6 II Vektorlgebr ) Welche Gegenkrft ~F hebt die vier Einzelkräfte ~F A N, ~F A N, ~F 85 A N, ~F 4 in ihrer physiklischen Wirkung uf? ) Berechnen Sie die Resultierende der in Bild II-75 skizzierten (ebenen) Kräfte nch Betrg und Richtung (Richtungswinkel mit der x-achse). 5 4 A N y z F = 8 N 8 F = N F = N P 6 P 5 P7 P 8 5 F = 4 N 4 4 x x P P P P 4 y Bild II-75 Bild II-76 4) Bestimmen Sie die Ortsvektoren der cht Ecken eines Würfels mit der Kntenlänge gemäß Bild II-76. entgegen- 5) Normieren Sie die folgenden Vektoren: ~ A, ~b ¼ ~e x 4~e y þ 8~e z, ~c A 4 6) Wie lutet der Einheitsvektor ~e, der die zum Vektor ~ 4 A gesetzte Richtung ht? 7) Bestimmen Sie die Koordinten des Punktes Q, der vom Punkte P ¼ð; ; 5Þ in Richtung des Vektors ~ 5 A um Längeneinheiten entfernt liegt. 4

94 Ûbungsufgben 7 8) Wie lutet die Gleichung der durch die Punkte P ¼ð; 5; Þ und P ¼ð; ; 5Þ verlufenden Gerden? Bestimmen Sie die Koordinten der Mitte ƒƒƒ! Q von P P. 9) Liegen die drei Punkte P ¼ð; ; 4Þ, P ¼ð; ; Þ und P ¼ð ; ; Þ in einer Gerden? Wie lutet gegebenenflls die Gleichung dieser Gerden? ) Bilden Sie mit den Vektoren ~ A, ~b ¼ folgenden Sklrprodukte: C A und ~c ¼ 4 Þ ~ ~b bþ ð~ ~b Þð4~c Þ cþ ð~ þ ~b Þð~ ~c Þ 4 C A die ) Welchen Winkel schließen die Vektoren ~ und ~b miteinnder ein? Þ ~ A, ~b 4 A bþ ~ 5 A, ~b A,5 cþ ~ ¼ ~e x ~e y þ 5~e z, ~b ¼ ~e x ~e z ) Zeigen Sie: Die Vektoren ~ und ~b sind zueinnder orthogonl: 4 4 Þ ~ A, ~b 8 A bþ ~ A, ~b A 5 4 ) Beweisen Sie den Kosinusstz c ¼ þ b b cos g (Bild II-77). b C g b A c c B Bild II-77 Zur Herleitung des Kosinusstzes 4) Zeigen Sie: Die Vektoren p = ffiffiffiffi ~e ¼ p = ffiffiffiffi C A, ~e ¼ p = ffiffiffiffi C p = ffiffiffiffi A und ~e A bilden ein orthonormiertes System, d. h. die Vektoren stehen prweise senkrecht ufeinnder und besitzen jeweils die Länge.

95 8 II Vektorlgebr 5) Zeigen Sie: Die drei Vektoren ~ 4 A, ~b A und ~c 6 A bilden ein rechtwinkliges Dreieck. 6) Bestimmen Sie Betrg und Richtung (Richtungswinkel) des Vektors ~: 4 Þ ~ A bþ ~ A cþ ~ 4 A 7) Durch die drei Punkte A ¼ð; 4; Þ, B ¼ð; ; Þ und C ¼ð ; ; Þ werden die Ecken eines Dreiecks festgelegt. Berechnen Sie die Länge der drei Seiten, die Innenwinkel sowie den Flächeninhlt des Dreiecks. 8) Ein Mssenpunkt wird durch die Krft ~F 4 A N gerdlinig von P ¼ðm;m;mÞ nch P ¼ð4m; m; mþ verschoben. Welche Arbeit leistet diese Krft? Welchen Winkel bildet sie mit dem Verschiebungsvektor ~s? 9) Eine Krft vom Betrge F ¼ 85 N verschiebt einen Mssenpunkt gerdlinig um die Strecke s ¼ m und verrichtet dbei die Arbeit W ¼ 6 Nm. Unter welchem Winkel j greift die Krft n? ) Berechnen Sie die Komponente b des Vektors ~b in Richtung des Vektors ~ mit den Komponenten x ¼, y ¼ und z ¼. 5 Þ ~b A bþ ~b 5 A cþ ~b 4 A ) Ein Vektor ~ ist durch Betrg und Richtungswinkel wie folgt festgelegt: j ~ j ¼, ¼, b ¼ 6,9 g 8. Wie luten die Vektorkoordinten von ~? ) Bestimmen Sie die Richtungswinkel, b und g der folgenden Vektoren: 5 Þ ~ A bþ ~ 5 A cþ ~ A 4 8

96 Ûbungsufgben 9 ) Gegeben sind die Vektoren ~ 4 A, ~b ¼ A und ~c A. Berechnen Sie mit ihnen die folgenden Vektorprodukte: Þ ~ ~b bþ ð~ ~b Þð~c Þ cþ ð ~ þ ~c Þð ~b Þ dþ ð~ Þð ~b þ 5~c Þ 4) Bestimmen Sie den Flächeninhlt des von den Vektoren ~ und ~b ufgespnnten Prllelogrmms: 4 Þ ~ A, ~b A bþ ~ 4 A, ~b A 5 5) An einem Hebel greifen die in Bild II-78 skizzierten senkrechten Kräfte n. Wie groß muss eine. Krft ~F sein, die im Abstnd von cm vom Hebelpunkt ngreift, dmit Gleichgewicht besteht? Anleitung: Die Summe ller Drehmomente muss verschwinden. cm 5 cm cm F = 4 N Bild II-78 Zweiseitiger Hebel im Gleichgewicht F=? F = 6 N 6) Wie muss der Prmeter l gewählt werden, dmit die drei Vektoren ~ l A, ~b 4 A und ~c 5 A 4 komplnr sind?

97 4 II Vektorlgebr 7) Zeigen Sie: Die Vektoren ~, ~b und ~c liegen jeweils in einer gemeinsmen Ebene. Þ ~ 4 A, ~b A, ~c A 5 5 bþ ~ A, ~b A, ~c 4 A 8) Bestimmen Sie ds Volumen des von den Vektoren ~ A, ~b 4 A und ~c A 7 8 gebildeten Spts. 9) Zeigen Sie: ð~ ~b Þ~c ¼ð~ ~c Þ ~b ð~b ~c Þ ~ Anleitung: Komponentenweise Ausrechnung uf beiden Seiten. ) Zeigen Sie die linere Unbhängigkeit der folgenden Vektoren: Þ ~ A, ~b 5 A bþ ~ 6 A, ~b A, ~c A 4 ) Zeigen Sie: Die Vektoren sind jeweils liner bhängig. 6 Þ ~ A, ~b A 9 5 bþ ~ A, ~b A, ~c A 5

98 Ûbungsufgben 4 ) Gegeben sind die Vektoren ~ A, ~b ¼ Zeigen Sie: A, ~c A und ~d 5 A ) Die Vektoren ~, ~b und ~c sind liner unbhängig, b) die Vektoren ~, ~b und ~d dgegen liner bhängig. Zu Abschnitt 4 ) Wie lutet die Vektorgleichung der Gerden g durch den Punkt P prllel zum Vektor ~? Welche Punkte der Gerden gehören zu den Prmeterwerten l ¼, l ¼ und l ¼ 5? 5 Þ P ¼ð4; ; Þ, ~ A bþ P ¼ð; ; Þ, ~ A ) Bestimmen Sie die Gleichung der Gerden g durch die Punkte P und P. Welche Punkte ergeben sich für die Prmeterwerte l ¼, l ¼ und l ¼ 5? Þ P ¼ð; ; Þ, P ¼ð6; 5; 8Þ bþ P ¼ð ; ; Þ, P ¼ð; ; 5Þ ) Wie lutet die Gleichung der durch die Punkte P ¼ð; 5; Þ und P ¼ð; ; 5Þ verlufenden Gerden? Bestimmen Sie die Koordinten der Mitte ƒƒƒ! Q des Verbindungsvektors P P. 4) Liegen die drei Punkte P ¼ð; ; 4Þ, P ¼ð; ; Þ und P ¼ð 7; 5; Þ in einer Gerden? Wie lutet gegebenenflls die Gleichung dieser Gerden? 5) Von einer Gerden g ist der Punkt P ¼ð4; ; Þ und der Richtungsvektor ~ A beknnt. Berechnen Sie den Abstnd des Punktes Q ¼ð4; ; Þ von dieser Gerden. 6) P ¼ð; 4; Þ ist ein Punkt der Gerden g, P ¼ð5; ; Þ ein solcher der Gerden g. Beide Gerden verlufen prllel zum Vektor ~ mit den Vektorkoordinten x ¼, y ¼ und z ¼. Welchen Abstnd besitzen diese Gerden voneinnder?

99 4 II Vektorlgebr 7) Von einer Gerden g ist der Punkt P ¼ð; ; 8Þ und der Richtungsvektor ~ mit den folgenden Eigenschften beknnt: j ~ j¼, b ¼ 6, g ¼ 45, mit cos > (, b und g sind die Richtungswinkel). Bestimmen Sie die Gleichung der Gerden. In welchen Punkten schneidet die Gerde die drei Koordintenebenen? 8) Eine Gerde g verläuft durch den Punkt P ¼ð5; ; Þ prllel zu einem Vektor ~ mit den drei Richtungswinkeln ¼, b ¼ 9, g mit cos g <. Wie lutet die Gleichung dieser Gerden? 9) Welche Lge besitzen die folgenden Gerdenpre g, g zueinnder? Bestimmen Sie gegebenenflls Abstnd, Schnittpunkt und Schnittwinkel. Þ g durch die Punkte P ¼ð; 4; 6Þ und P ¼ð ; ; 4Þ g durch die Punkte P ¼ð; 7; Þ und P 4 ¼ð5; 5; 6Þ 5 bþ g : ~r ðl Þ¼~r þ l ~ A þ A ðl RÞ 6 g : ~r ðl Þ¼~r þ l ~ A þ A ðl RÞ 5 9 cþ g durch den Punkt P ¼ð; ; Þ mit dem Richtungsvektor ~ A 5 g durch den Punkt P ¼ð6; ; Þ mit dem Richtungsvektor ~ A ) Zeigen Sie, dss die Gerden g und g mit den folgenden Vektorgleichungen windschief sind und berechnen Sie ihren Abstnd: g : ~r ðl Þ¼~r þ l ~ A þ A ðl RÞ g : ~r ðl Þ¼~r þ l ~ A þ A ðl RÞ ) Die in der x, y-ebene verlufende Gerde g schneidet die beiden Koordintenchsen jeweils bei. Welchen Abstnd besitzt diese Gerde von der z-achse?

100 Ûbungsufgben 4 ) Zeigen Sie, dss sich die Gerden g und g in genu einem Punkt schneiden und bestimmen Sie Schnittpunkt und Schnittwinkel: g durch die Punkte P ¼ð4; ; 8Þ und P ¼ð; 6; Þ g durch die Punkte P ¼ð5; 8; Þ und P 4 ¼ð7; ; Þ ) Wie lutet die Vektorgleichung der Ebene E, die den Punkt P enthält und prllel zu den Vektoren ~ und ~b verläuft? Bestimmen Sie ferner einen Normlenvektor ~n der Ebene. Welche Punkte der Ebene gehören zu den Prmeterwertepren l ¼, m ¼ und l ¼, m ¼? Þ P ¼ð; 5; Þ, ~ A, ~b A bþ P ¼ð6; ; Þ, ~ ¼ C 8 A, ~b ¼ C A 4) Bestimmen Sie die Gleichung der Ebene E durch die drei Punkte P, P und P. Welche Punkte dieser Ebene erhält mn für die Prmeterwertepre l ¼, m ¼ und l ¼, m ¼? Þ P ¼ð; ; Þ, P ¼ð 4; ; Þ, P ¼ð5; 9; Þ bþ P ¼ð5; ; Þ, P ¼ð ; ; Þ, P ¼ð; 5; Þ 5) Liegen die vier Punkte P ¼ð; ; Þ, P ¼ð; ; Þ, P ¼ð4; ; 5Þ und P 4 ¼ð; 4; Þ in einer Ebene? 6) Wie lutet die Gleichung einer Ebene E, die uf den drei Koordintenchsen jeweils die gleiche Strecke bschneidet und ferner den Punkt Q ¼ð; 4; 7Þ enthält? Hinweis: Stellen Sie zunächst die Gleichung der Ebene durch die drei Schnittpunkte mit den Koordintenchsen in Abhängigkeit von der Strecke uf. 4 7) Eine Ebene E verläuft senkrecht zum Vektor ~n A und enthält den Punkt A ¼ð5; 8; Þ. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Ebene. Berechnen Sie ferner die fehlende Koordinte des uf der Ebene gelegenen Punktes B ¼ð; y ¼?; Þ. 8) Ein Normlenvektor ~n einer Ebene E besitzt die drei Richtungswinkel ¼ 6, b ¼ und g mit cos g <. Wie lutet die Gleichung dieser Ebene, wenn diese noch den Punkt P ¼ð; 5; Þ enthält?

101 44 II Vektorlgebr 9) Welche Lge hben Gerde g und Ebene E zueinnder? Bestimmen Sie gegebenenflls Abstnd, Schnittpunkt und Schnittwinkel. Þ g durch den Punkt P ¼ð5; ; Þ mit dem Richtungsvektor ~ A E durch den Punkt P ¼ð; ; 8Þ mit dem Normlenvektor ~n A 5 bþ g: ~r ðlþ ¼~r þ l~ A þ 5 A ðl RÞ 6 E : x ~n ð~r ~r Þ¼@ y A ¼ z cþ g durch die Punkte P ¼ð; ; Þ und P ¼ð5; 6; 8Þ E durch die Punkte P ¼ð; ; Þ, P 4 ¼ð; ; Þ und P 5 ¼ð ; ; Þ ) Eine Gerde g durch die Punkte A ¼ð; ; Þ und B ¼ð5; 4; Þ verläuft senkrecht zu einer Ebene E. Wie lutet die Gleichung der Ebene, wenn diese den Punkt P ¼ð; ; 5Þ enthält? ) Eine Ebene E geht durch den Punkt P ¼ð; ; Þ, ihr Normlenvektor ist ~n A. Bestimmen Sie den noch unbeknnten Prmeter so, dss der Abstnd des Punktes Q ¼ð; ; 5Þ von dieser Ebene d ¼ beträgt. Wie lutet die Gleichung der Prllelebene E durch den Punkt A ¼ð5; ; Þ? ) Eine Ebene E enthält den Punkt P ¼ð; ; 8Þ und verläuft senkrecht zum Vektor ~n 6 A. Zeigen Sie, dss die Gerde g mit der Vektorgleichung 5 4 ~r ðlþ ¼~r þ l~ A þ A ðl RÞ zu dieser Ebene prllel ist. Wie groß ist der Abstnd zwischen Gerde und Ebene?

102 Ûbungsufgben 45 ) Gegeben sind eine Gerde g und eine Ebene E: g: ~r ðlþ ¼~r þ l~ A þ A ðl RÞ E : ~n ð~r ~r Þ¼ ðx Þ þ ðy Þ þ ðz þ Þ ¼ Zeigen Sie, dss Gerde und Ebene sich schneiden und berechnen Sie den Schnittpunkt sowie den Schnittwinkel. 4) Zeigen Sie die Prllelität der beiden Ebenen E und E und berechnen Sie ihren Abstnd: E durch den Punkt P ¼ð; 5; 6Þ mit dem Normlenvektor ~n A E durch den Punkt P ¼ð; 5; Þ mit dem Normlenvektor ~n 9 A 6 5) Bestimmen Sie die Schnittgerde und den Schnittwinkel der beiden Ebenen: x E : ~n ð~r ~r Þ¼@ y 5 A ¼ z 6 x E : ~n ð~r ~r Þ¼@ y 5 A ¼ z

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