Analysis of Cliquet Options for Index-Linked Life Insurance

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1 Analysis of Cliquet Options for Index-Linked Life Insurance Zusammenfassung der Masterarbeit an der Universität Ulm Martin Fuchs Alternative (zu) Garantien in der Lebensversicherung, so lautet das Jahresmotto 2013 der deutschen Gesellschaft für Versicherungs- und Finanzmathematik e.v. (DGVFM), der Vereinigung für die in der Finanzdienstleistungsbranche tätigen Mathematiker. Eben diese Branche befindet sich aktuell in einem Umfeld starker Veränderungen. Zum einen führen die zunehmenden regulatorischen Anforderungen zu einer veränderten Herangehensweise an die Unternehmenssteuerung, mit einer stärkeren Fokussierung auf die aggregierte Risikobetrachtung. Ebenso birgt das anhaltend niedrige Zinsniveau Risiken für die Branche. Insbesondere im Bereich der Lebensversicherungen, die ihren Kunden langlaufende Garantien aussprechen, ist dies von besonderer Bedeutung. So befinden sich die Versicherungsunternehmen nach mehrmaligem Absenken des Höchstrechnungszinses für die klassischen Vorsorgeprodukte auf der Suche nach Alternativen zu eben diesen. Diese sollten sowohl aus Risikosicht günstig für die Unternehmen sein, als auch den Kunden ein attraktives Renditepotenzial bieten. Eine mögliche Lösung zeigen seit Mitte diesen Jahres zwei große deutsche Lebensversicherer auf, welche klassische Produkte ohne Garantieverzinsung, sondern ausschließlich mit Kapitalerhalt, anbieten. Durch die stetige Absenkung der garantierten Leistungen in der klassischen Lebensversicherung rücken auch zunehmend die in der Finanzkrise in Verruf geratenen fonds- bzw. indexgebundenen Garantieprodukte wieder stärker in den Fokus der Kunden. In der vorliegenden Arbeit wurde eine indexgebundene Option mit Garantieleistung, die Cliquet Option, untersucht. Diese lässt sich durch folgendes Auszahlungsprofil zum Laufzeitende charakterisieren: ( ( )) 1

2 wobei. Hierbei bezeichnet die monatliche Rendite des Underlying, bzw. den globalen (jährlichen)/ lokalen (monatlichen) Cap bzw. Floor und das Notional. In der Praxis sind insbesondere Parameterkonstellationen mit Garantiecharakter von Interesse, bei welchen der globale Floor die Verluste beschränkt bzw. eine sichere Verzinsung garantiert. Für diese Garantie gibt der Kunde in der Regel einen Teil seiner Renditechancen auf, da die Gesamtrendite durch den globalen Cap begrenzt wird. Auf Basis der Cliquet Option bieten aktuell mehrere deutsche Versicherungsunternehmen Vorsorgeprodukte an. Diese Unternehmen legen das von den Kunden eingezahlte Kapital im Deckungsstock an und erwerben mit den hiermit erwirtschafteten Erträgen die entsprechenden Optionen over-the-counter direkt bei Investmentbanken. Der Einsatz solcher Optionen in der Produktgestaltung setzt ein tiefgehendes Verständnis für den Preisbildungsprozess, die Preissensitivitäten sowie die Variabilität des Auszahlungsprofils der Option voraus. In der vorliegenden Arbeit wurden diese Punkte untersucht und anhand der Ergebnisse Vorschläge für zukünftige Weiterentwicklungsprozesse aufgezeigt. Um der Pfadabhängigkeit der Cliquet Option gerecht zu werden wurden fünf verschiedene Kapitalmarktmodelle zur Optionspreisermittlung herangezogen. Bei der Auswahl der Modelle wurde darauf geachtet, verschiedene Pfadeigenschaften abzudecken. So wurden neben dem klassischen Black-Scholes-Modell ein stochastisches Volatilitätsmodell sowie mehrere Sprungmodelle verwendet. Einen wesentlichen Teil einer formal korrekten Preisermittlung für eine Option stellt die Kalibrierung der Marktmodelle an reale Optionspreise dar. Hierbei sind die Parameter der Marktmodelle die Lösung eines nichtlinearen Optimierungsproblems, wobei sich die Ergebnisse oft instabil verhalten. Durch eine geeignete Wahl des Optimierungsproblems wurde dies jedoch in der Arbeit gelöst. Da eine analytische Preisermittlung der Cliquet Option nur für einzelne Kapitalmarktmodelle möglich ist, wurde in der Arbeit ein stabiler Monte- Carlo-Ansatz zur Optionspreisbestimmung verwendet. Für die am Markt gängigen Parameterkonstellationen der Cliquet Option waren starke Preisschwankungen zu beobachten. Ursächlich hierfür war insbesondere das unstetige Auszahlungsprofil, durch welches die verschiedenen Pfadeigenschaften explizit hervorgehoben wurden. In Abbildung 1 zeigen wir exemplarisch das für die Preisermittlung verwendete 2

3 Auszahlungsprofil der Cliquet Option mit Kapitalerhalt für das Heston- Modell, d.h.. Abbildung 1: Auszahlungsprofil der Cliquet Option mit Kapitalerhalt im Heston-Modell. Die Analyse der Preissensitivitäten wurde mit Hilfe von sogenannten Höhenlinien vollzogen. Der Preis ergibt sich hierbei in Abhängigkeit von zwei Optionsparametern. Identische Preisniveaus befinden sich auf derselben Höhenlinie. In Abbildung 2 sehen wir exemplarisch Höhenlinien für zwei verschiedene Kapitalmarktmodelle. Als variable Parameter wurden hier der globale Floor sowie der lokale Cap verwendet. Neben den verschiedenen Preisniveaus für die beiden Modelle erkennt man in dem unterschiedlichen Krümmungsverhalten der beiden Höhenlinien die abweichende Sensitivitätsstruktur bezüglich der beiden betrachteten Parameter. Abbildung 2: Höhenlinien für das Heston-Modell (links) und das Black-Scholes-Modell (rechts). Die in der Arbeit eingeführten Höhenlinien sind eine wichtige Unterstützung für das Produktdesign bzw. das Variantenmanagement. Zu einem vorgegebenen Kostenbudget kann man so individuell für 3

4 einzelne Kundengruppen separate Parameterkonstellationen ermitteln, welche das jeweilige kundenspezifische Risikoprofil berücksichtigen. Um Aussagen über mögliche Kundenrenditen treffen zu können, wurde ein Chance-Risiko-Profil für das Heston-Modell aufgestellt. Für dessen Ermittlung war eine Transformation des, den Kapitalmarktmodellen zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsmaßes nötig. Dies wurde mit in der Standardliteratur gängigen Methoden vollzogen. In Abbildung 3 sieht man das Chance-Risiko-Profil für die Cliquet Option mit einer gängigen Parameterkonstellation. Abbildung 3: Chance-Risiko-Profil im Heston-Modell. Wie zuvor zeichnet sich das Profil durch eine große Einseitigkeit im Auszahlungsprofil aus. Diese Einseitigkeit birgt insbesondere für aufeinanderfolgende Jahren, in welcher die Option mehrmalig out-of-themoney endet, ein hohes Kündigungspotenzial aus Kundensicht und somit ein unternehmerisches Risiko für das Versicherungsunternehmen. Um diese Probleme im Produktmanagement zu berücksichtigen wurden mehrere Modifikationen der Standard Cliquet Option untersucht, welche bei ähnlichem Preisniveau alle eine geringere Einseitigkeit im Auszahlungsprofil aufweisen. Besonders vielversprechend erschien uns hierbei eine Modifikation, in welcher ein proportionaler Anteil der positiven monatlichen Renditen des Underlying als Auszahlung zum Jahresende garantiert wird. In Abbildung 4 sehen wir das Chance-Risiko- Profil einer solchen Modifikation im Heston-Modell mit einem proportionalen Faktor von 10%. Mittels der vorgestellten Höhenlinien wurden zu einem vorgegebenen Preisniveau sowohl für die Standard Cliquet Option als auch für die Modifikation verschiedene Parameterkonstellationen ermittelt. Ein besonderes Augenmerk lag 4

5 hierbei auf Varianten, in welchen sich die Parameter der Standard- Option von den Parametern der Modifikation in einer Ausprägung unterschieden (z.b. ). Abbildung 4: Chance-Risiko-Profil der Cliquet-Modifikation im Heston-Modell. Abschließend wollen wir auf das große Potenzial der Cliquet Option für weitere Produktentwicklungsprozesse hinweisen. Durch eine geeignete Parameterwahl lässt sich eine große Anzahl an verschiedenen Risikoprofilen, wie z.b. eine nahezu klassische Lebensversicherung mit einem hohen globalen Floor oder ein risikoreicheres Produkt, bei welchem auch ein Verlust möglich ist, darstellen. In der Praxis werden diese kundenindividuellen Produkte bis jetzt noch nicht eingesetzt. 5

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