16. All Pairs Shortest Path (ASPS)

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "16. All Pairs Shortest Path (ASPS)"

Transkript

1 . All Pairs Shortest Path (ASPS) All Pairs Shortest Path (APSP): Eingabe: Gewichteter Graph G=(V,E) Ausgabe: Für jedes Paar von Knoten u,v V die Distanz von u nach v sowie einen kürzesten Weg a b c d e f a b c -3 0 d a b - d 8 c e 7 - f e f 0. All Pairs Shortest Path

2 All Pairs Shortest Path (APSP): Eingabe: Gewichteter Graph G=(V,E) Ausgabe: Für jedes Paar von Knoten u,v V die Distanz von u nach v sowie einen kürzesten Weg a b c d e f a b c -3 0 d a b - d 8 c e 7 - f e f 0. All Pairs Shortest Path

3 Eingabe APSP: Matrix W=(w ), die Graph repräsentiert ij w = ij All Pairs Shortest Path 0, wenn i=j Gewicht der ger. Kante (i,j), wenn i j und (i,j) E, wenn i j und (i,j) E a b c d e f a 0 b 0 b c 0 7 d - 0 e f 0 a - d 8 c e 7 - f. All Pairs Shortest Path 3

4 Eingabe APSP: Matrix W=(w ), die Graph repräsentiert ij w = ij All Pairs Shortest Path 0, wenn i=j Gewicht der ger. Kante (i,j), wenn i j und (i,j) E, wenn i j und (i,j) E a b c d e f a 0 b 0 b c 0 7 d - 0 e f 0 a - d 8 c e 7 - f. All Pairs Shortest Path

5 Eingabe APSP: Matrix W=(w ), die Graph repräsentiert ij w = ij All Pairs Shortest Path Annahme: Keine negativen Zyklen! 0, wenn i=j Gewicht der ger. Kante (i,j), wenn i j und (i,j) E, wenn i j und (i,j) E a b c d e f a 0 b 0 b c 0 7 d - 0 e f 0 a - d 8 c e 7 - f. All Pairs Shortest Path

6 Nummeriere Knoten von bis n= V Betrachte kürzeste i-j-wege, die nur über Knoten bis k laufen k= All Pairs Shortest Path

7 Nummeriere Knoten von bis n= V Betrachte kürzeste i-j-wege, die nur über Knoten bis k laufen k= All Pairs Shortest Path 7

8 Zur Erinnerung: All Pairs Shortest Path Sei G ein Graph ohne negative Zyklen und sei j von i aus erreichbar. Dann gibt es einen kürzesten i-j-weg, der keinen Knoten doppelt benutzt. Wir können also annehmen, dass jeder Knoten in jedem Weg maximal einmal vorkommt Betrachte i-j-weg, der nur über Knoten aus {,,k} läuft: k i j. All Pairs Shortest Path 8

9 Zur Erinnerung: All Pairs Shortest Path Sei G ein Graph ohne negative Zyklen und sei j von i aus erreichbar. Dann gibt es einen kürzesten i-j-weg, der keinen Knoten doppelt benutzt. Wir können also annehmen, dass jeder Knoten in jedem Weg maximal einmal vorkommt Betrachte i-j-weg, der nur über Knoten aus {,,k} läuft: k Knoten k tritt maximal einmal auf i j. All Pairs Shortest Path 9

10 Zur Erinnerung: All Pairs Shortest Path Sei G ein Graph ohne negative Zyklen und sei j von i aus erreichbar. Dann gibt es einen kürzesten i-j-weg, der keinen Knoten doppelt benutzt. Wir können also annehmen, dass jeder Knoten in jedem Weg maximal einmal vorkommt Betrachte i-j-weg, der nur über Knoten aus {,,k} läuft: Weg von u nach k führt nur über Knoten aus {,,k-} k i j. All Pairs Shortest Path 0

11 Zur Erinnerung: All Pairs Shortest Path Sei G ein Graph ohne negative Zyklen und sei j von i aus erreichbar. Dann gibt es einen kürzesten i-j-weg, der keinen Knoten doppelt benutzt. Wir können also annehmen, dass jeder Knoten in jedem Weg maximal einmal vorkommt Betrachte i-j-weg, der nur über Knoten aus {,,k} läuft: Weg von k nach v führt nur über Knoten aus {,,k-} k i j. All Pairs Shortest Path

12 Kürzester i-j-weg über Knoten aus {,,k} ist (a) kürzester i-j-weg über Knoten aus {,,k-} oder (b) kürzester i-k-weg über Knoten aus {,,k-} gefolgt von kürzestem k-j-weg über Knoten aus {,,k-} Fall (b): k i j. All Pairs Shortest Path

13 (k) Sei d ij die Länge eines kürzesten i-j-wegs mit Knoten aus {,,k} (k) d = ij w ij, falls k=0 (k-) (k-) (k-) min ( d, d + d ), falls k ij ik kj (n) (n) ij Matrix D =(d ) enthält die gesuchte Lösung. All Pairs Shortest Path 3

14 Floyd-Warshall(W,n) (0). D W. for k to n do 3. for i to n do. for j to n do. d min(d ij, d ik + d kj ). return D ij (n) (k) (k-) (k-) (k-). All Pairs Shortest Path

15 D (0) 0 D () 3 3. All Pairs Shortest Path

16 D (0) 0 D () All Pairs Shortest Path

17 D (0) 0 D () All Pairs Shortest Path 7

18 D (0) 0 D () All Pairs Shortest Path 8

19 D (0) 0 D () All Pairs Shortest Path 9

20 D (0) 0 D () All Pairs Shortest Path 0

21 D (0) 0 D () All Pairs Shortest Path

22 D () 0 D () All Pairs Shortest Path

23 D () 0 D () All Pairs Shortest Path 3

24 D () 0 D () All Pairs Shortest Path

25 D () 0 D () All Pairs Shortest Path

26 D () 0 D () All Pairs Shortest Path

27 D () 0 D () All Pairs Shortest Path 7

28 D () 0 D () All Pairs Shortest Path 8

29 D () 0 D (3) All Pairs Shortest Path 9

30 D () 0 D (3) All Pairs Shortest Path 30

31 D () 0 D (3) All Pairs Shortest Path 3

32 D () 0 D (3) All Pairs Shortest Path 3

33 D () 0 D (3) All Pairs Shortest Path 33

34 D () 0 D (3) All Pairs Shortest Path 3

35 D (3) 0 D () All Pairs Shortest Path 3

36 D (3) 0 D () All Pairs Shortest Path 3

37 D (3) 0 D () All Pairs Shortest Path 37

38 D (3) 0 D () All Pairs Shortest Path 38

39 D (3) 0 D () All Pairs Shortest Path 39

40 D (3) 0 D () All Pairs Shortest Path 0

41 D () 0 D () All Pairs Shortest Path

42 D () 0 D () All Pairs Shortest Path

43 D () 0 D () All Pairs Shortest Path 3

44 D () 0 D () All Pairs Shortest Path

45 D () 0 D () All Pairs Shortest Path

46 D () 0 D () All Pairs Shortest Path

47 D () 0 D () All Pairs Shortest Path 7

48 D () 0 D () All Pairs Shortest Path 8

49 Satz.: Sei G=(V,E) ein Graph mit nicht-negativen Zyklen. Dann berechnet der Algorithmus von Floyd-Warshall die Entfernung zwischen jedem Knotenpaar in O( V ³) Zeit.. All Pairs Shortest Path 9

50 Aufrechterhalten der kürzesten Wege: Konstruiere Vorgängermatrix Π Dazu konstruiere Sequenz Π,, Π mit Π = Π (k) Π ist Vorgängermatrix zu D (k) π ij ist Vorgänger von Knoten j auf dem kürzesten Weg von Knoten i über Knoten aus {,,k} Die Startmatrix: () (n) (n) (k) (0) π ij = nil, falls i=j oder w ij = i, falls i j und w < ij. All Pairs Shortest Path 0

51 Aufrechterhalten der kürzesten Wege: Konstruiere Vorgängermatrix Π Dazu konstruiere Sequenz Π,, Π mit Π = Π (k) Π ist Vorgängermatrix zu D (k) π ij ist Vorgänger von Knoten j auf dem kürzesten Weg von Knoten i über Knoten aus {,,k} Das Aktualisieren: (k) π ij = π π (k-) ij (k-) kj (k-) () (n) (n) (k), falls d d + d ij, falls d > d + d ij (k-) (k-) ik (k-) ik (k-) kj (k-) kj. All Pairs Shortest Path

52 Teile & Herrsche: Divide & Conquer Problem in Teilprobleme aufteilen Teilprobleme rekursiv lösen Lösung aus Teillösungen zusammensetzen Probleme: Wie setzt man zusammen? [erfordert algorithmisches Geschick und Übung] Laufzeitanalyse (Auflösen der Rekursion) [ist normalerweise nach Standardschema; erfordert ebenfalls Übung] 7. Divide & Conquer

53 Divide & Conquer Teile & Herrsche: Problem in Teilprobleme aufteilen Teilprobleme rekursiv lösen Lösung aus Teillösungen zusammensetzen Algorithmen: Merge Sort Quick Sort 7. Divide & Conquer 3

54 Matrix Multiplikation = 7. Divide & Conquer

55 Matrix Multiplikation = Zeile Spalte: = 9 7. Divide & Conquer

56 Matrix Multiplikation = Zeile Spalte: = 9 7. Divide & Conquer

57 Matrix Multiplikation = Zeile Spalte: = 0 7. Divide & Conquer 7

58 Matrix Multiplikation = 7. Divide & Conquer 8

59 Matrix Multiplikation = 7. Divide & Conquer 9

60 Matrix Multiplikation = 7. Divide & Conquer 0

61 Matrix Multiplikation = 7. Divide & Conquer

62 Matrix Multiplikation = 7. Divide & Conquer

63 Matrix Multiplikation Problem: Berechne das Produkt zweier n n Matrizen Eingabe: Matrizen X,Y Ausgabe: Matrix Z = X Y X x, x, x,3 x, x, x, x,3 x, = x3, x3, x3,3 x3, x, x, x,3 x,, Y y y = y y,, 3, y y y y,, 3, y y y y,3,3 3,3 y y y y,, 3,,,,3, 7. Divide & Conquer 3

64 Matrix Multiplikation MatrixMultiplikation(Array X, Y, n). new array Z[,..,n][,..,n]. for i to n do 3. for j to n do. Z[i][j] 0. for k to n do. Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] 7. return Z 7. Divide & Conquer

65 Matrix Multiplikation MatrixMultiplikation(Array X, Y, n). new array Z[,..,n][,..,n]. for i to n do 3. for j to n do. Z[i][j] 0. for k to n do. Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] 7. return Z 7. Divide & Conquer

66 Matrix Multiplikation MatrixMultiplikation(Array X, Y, n). new array Z[,..,n][,..,n]. for i to n do 3. for j to n do. Z[i][j] 0. for k to n do. Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] 7. return Z 7. Divide & Conquer

67 Matrix Multiplikation MatrixMultiplikation(Array X, Y, n). new array Z[,..,n][,..,n]. for i to n do 3. for j to n do. Z[i][j] 0. for k to n do. Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] 7. return Z 7. Divide & Conquer 7

68 Matrix Multiplikation MatrixMultiplikation(Array X, Y, n). new array Z[,..,n][,..,n]. for i to n do 3. for j to n do. Z[i][j] 0. for k to n do. Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] 7. return Z 7. Divide & Conquer 8

69 Matrix Multiplikation MatrixMultiplikation(Array X, Y, n). new array Z[,..,n][,..,n]. for i to n do 3. for j to n do. Z[i][j] 0. for k to n do. Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] 7. return Z 7. Divide & Conquer 9

70 Matrix Multiplikation MatrixMultiplikation(Array X, Y, n). new array Z[,..,n][,..,n]. for i to n do 3. for j to n do. Z[i][j] 0. for k to n do. Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] 7. return Z 7. Divide & Conquer 70

71 Matrix Multiplikation MatrixMultiplikation(Array X, Y, n). new array Z[,..,n][,..,n]. for i to n do 3. for j to n do. Z[i][j] 0. for k to n do. Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] 7. return Z 7. Divide & Conquer 7

72 Matrix Multiplikation MatrixMultiplikation(Array X, Y, n) Laufzeit:. new array Z[,..,n][,..,n] Θ(n²). for i to n do 3. for j to n do. Z[i][j] 0. for k to n do. Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] 7. return Z 7. Divide & Conquer 7

73 Matrix Multiplikation MatrixMultiplikation(Array X, Y, n) Laufzeit:. new array Z[,..,n][,..,n] Θ(n²). for i to n do Θ(n) 3. for j to n do. Z[i][j] 0. for k to n do. Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] 7. return Z 7. Divide & Conquer 73

74 Matrix Multiplikation MatrixMultiplikation(Array X, Y, n) Laufzeit:. new array Z[,..,n][,..,n] Θ(n²). for i to n do Θ(n) 3. for j to n do Θ(n²). Z[i][j] 0. for k to n do. Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] 7. return Z 7. Divide & Conquer 7

75 Matrix Multiplikation MatrixMultiplikation(Array X, Y, n) Laufzeit:. new array Z[,..,n][,..,n] Θ(n²). for i to n do Θ(n) 3. for j to n do Θ(n²). Z[i][j] 0 Θ(n²). for k to n do. Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] 7. return Z 7. Divide & Conquer 7

76 Matrix Multiplikation MatrixMultiplikation(Array X, Y, n) Laufzeit:. new array Z[,..,n][,..,n] Θ(n²). for i to n do Θ(n) 3. for j to n do Θ(n²). Z[i][j] 0 Θ(n²). for k to n do Θ(n³). Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] 7. return Z 7. Divide & Conquer 7

77 Matrix Multiplikation MatrixMultiplikation(Array X, Y, n) Laufzeit:. new array Z[,..,n][,..,n] Θ(n²). for i to n do Θ(n) 3. for j to n do Θ(n²). Z[i][j] 0 Θ(n²). for k to n do Θ(n³). Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] Θ(n 3 ) 7. return Z 7. Divide & Conquer 77

78 Matrix Multiplikation MatrixMultiplikation(Array X, Y, n) Laufzeit:. new array Z[,..,n][,..,n] Θ(n²). for i to n do Θ(n) 3. for j to n do Θ(n²). Z[i][j] 0 Θ(n²). for k to n do Θ(n³). Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] Θ(n 3 ) 7. return Z Θ() 7. Divide & Conquer 78

79 Matrix Multiplikation MatrixMultiplikation(Array X, Y, n) Laufzeit:. new array Z[,..,n][,..,n] Θ(n²). for i to n do Θ(n) 3. for j to n do Θ(n²). Z[i][j] 0 Θ(n²). for k to n do Θ(n³). Z[i][j] Z[i][j] + X[i][k] Y[k][j] Θ(n 3 ) 7. return Z Θ() Θ(n³) 7. Divide & Conquer 79

80 Teile und Herrsche: Matrix Multiplikation A C B E D G F H = AE + BG AF + CE+ DG CF+ BH DH Aufwand: 8 Multiplikationen von n/ n/ Matrizen Additionen von n/ n/ Matrizen 7. Divide & Conquer 80

81 Teile und Herrsche: Matrix Multiplikation A C B E D G F H = AE + BG AF + CE+ DG CF+ BH DH Aufwand: 8 Multiplikationen von n/ n/ Matrizen Additionen von n/ n/ Matrizen Laufzeit: T(n) = 8 T(n/) + Θ(n²) 7. Divide & Conquer 8

82 Laufzeit: T(n) = 8 T(n/) + k n² a b f(n) Master Theorem: f(n) = k n² Matrix Multiplikation 7. Divide & Conquer 8

83 Laufzeit: T(n) = 8 T(n/) + k n² a b f(n) Master Theorem: f(n) = k n² Matrix Multiplikation log a Fall : Laufzeit Θ(n b ) = Θ(n³) 7. Divide & Conquer 83

84 Laufzeit: T(n) = 8 T(n/) + k n² a b f(n) Master Theorem: f(n) = k n² Matrix Multiplikation log a Fall : Laufzeit Θ(n b ) = Θ(n³) Formaler Beweis durch Induktion!! 7. Divide & Conquer 8

85 Laufzeit: T(n) = 8 T(n/) + k n² a b f(n) Master Theorem: f(n) = k n² Matrix Multiplikation log a Fall : Laufzeit Θ(n b ) = Θ(n³) Formaler Beweis durch Induktion!! Nicht besser als einfacher Algorithmus 7. Divide & Conquer 8

Divide & Conquer. Problem in Teilprobleme aufteilen Teilprobleme rekursiv lösen Lösung aus Teillösungen zusammensetzen

Divide & Conquer. Problem in Teilprobleme aufteilen Teilprobleme rekursiv lösen Lösung aus Teillösungen zusammensetzen Teile & Herrsche: Divide & Conquer Problem in Teilprobleme aufteilen Teilprobleme rekursiv lösen Lösung aus Teillösungen zusammensetzen Probleme: Wie setzt man zusammen? [erfordert algorithmisches Geschick

Mehr

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen?

Entscheidungsbäume. Definition Entscheidungsbaum. Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Entscheidungsbäume Frage: Gibt es einen Sortieralgorithmus mit o(n log n) Vergleichen? Definition Entscheidungsbaum Sei T ein Binärbaum und A = {a 1,..., a n } eine zu sortierenden Menge. T ist ein Entscheidungsbaum

Mehr

Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 10: Lineare Algebra

Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 10: Lineare Algebra Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I Kapitel 10: Lineare Algebra Christian Scheideler WS 2008 19.02.2009 Kapitel 10 1 Überblick Notation Arithmetik auf großen Zahlen (Addition und Multiplikation)

Mehr

Das Briefträgerproblem

Das Briefträgerproblem Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................

Mehr

Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse

Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse Abschnitt: Algorithmendesign und Laufzeitanalyse Definition Divide-and-Conquer Paradigma Divide-and-Conquer Algorithmen verwenden die Strategien 1 Divide: Teile das Problem rekursiv in Subproblem gleicher

Mehr

Datenstrukturen & Algorithmen

Datenstrukturen & Algorithmen Datenstrukturen & Algorithmen Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2010 Übersicht Binäre Suchbäume Einführung und Begriffe Binäre Suchbäume 2 Binäre Suchbäume Datenstruktur für dynamische Mengen

Mehr

Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete

Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen. Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13. Prof. Dr. Sándor Fekete Kapitel 4: Dynamische Datenstrukturen Algorithmen und Datenstrukturen WS 2012/13 Prof. Dr. Sándor Fekete 4.4 Binäre Suche Aufgabenstellung: Rate eine Zahl zwischen 100 und 114! Algorithmus 4.1 INPUT: OUTPUT:

Mehr

Datenstrukturen und Algorithmen. Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität

Datenstrukturen und Algorithmen. Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität Datenstrukturen und Algorithmen Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität 1 Geometrisches Problem: Problem: Nächstes Paar Eingabe: n Punkte in der Ebene Ausgabe: Das Paar q,r mit geringstem Abstand

Mehr

Kürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik

Kürzeste Wege in Graphen. Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Kürzeste Wege in Graphen Maurice Duvigneau Otto-von-Guericke Universität Fakultät für Informatik Gliederung Einleitung Definitionen Algorithmus von Dijkstra Bellmann-Ford Algorithmus Floyd-Warshall Algorithmus

Mehr

S=[n] Menge von Veranstaltungen J S kompatibel mit maximaler Größe J

S=[n] Menge von Veranstaltungen J S kompatibel mit maximaler Größe J Greedy-Strategie Definition Paradigma Greedy Der Greedy-Ansatz verwendet die Strategie 1 Top-down Auswahl: Bestimme in jedem Schritt eine lokal optimale Lösung, so dass man eine global optimale Lösung

Mehr

5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c)

5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c) 5.2 Das All-Pairs-Shortest-Paths-Problem (APSP-Problem) Kürzeste Wege zwischen allen Knoten. Eingabe: Gerichteter Graph G =(V, E, c) mit V = {1,...,n} und E {(v, w) 1 apple v, w apple n, v 6= w}. c : E!

Mehr

Konzepte der Informatik

Konzepte der Informatik Konzepte der Informatik Vorkurs Informatik zum WS 2011/2012 26.09. - 30.09.2011 17.10. - 21.10.2011 Dr. Werner Struckmann / Christoph Peltz Stark angelehnt an Kapitel 1 aus "Abenteuer Informatik" von Jens

Mehr

Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005. Paradigmen im Algorithmenentwurf

Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005. Paradigmen im Algorithmenentwurf Babeș-Bolyai Universität Cluj Napoca Fakultät für Mathematik und Informatik Grundlagen der Programmierung MLG5005 Paradigmen im Algorithmenentwurf Problemlösen Problem definieren Algorithmus entwerfen

Mehr

Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis

Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 2011/12 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 1 / 16 4. Groß-O R. Steuding (HS-RM)

Mehr

t r Lineare Codierung von Binärbbäumen (Wörter über dem Alphabet {, }) Beispiel code( ) = code(, t l, t r ) = code(t l ) code(t r )

t r Lineare Codierung von Binärbbäumen (Wörter über dem Alphabet {, }) Beispiel code( ) = code(, t l, t r ) = code(t l ) code(t r ) Definition B : Menge der binären Bäume, rekursiv definiert durch die Regeln: ist ein binärer Baum sind t l, t r binäre Bäume, so ist auch t =, t l, t r ein binärer Baum nur das, was durch die beiden vorigen

Mehr

Teile und Herrsche Teil 2

Teile und Herrsche Teil 2 Teile und Herrsche Teil 2 binär Suchen und schnell Multiplizieren Markus Fleck Manuel Mauky Hochschule Zittau/Görlitz 19. April 2009 Suchen in langen Listen (0, 1, 2, 7, 8, 9, 9, 13, 13, 14, 14, 14, 16,

Mehr

Anmerkungen zur Übergangsprüfung

Anmerkungen zur Übergangsprüfung DM11 Slide 1 Anmerkungen zur Übergangsprüfung Aufgabeneingrenzung Aufgaben des folgenden Typs werden wegen ihres Schwierigkeitsgrads oder wegen eines ungeeigneten fachlichen Schwerpunkts in der Übergangsprüfung

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012

Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Algorithmen II Vorlesung am 15.11.2012 Kreisbasen, Matroide & Algorithmen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales

Mehr

3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel

3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel 3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen Es gibt zwei Prinzipien für die Konstruktion von minimalen Spannbäumen (Tarjan): blaue Regel rote Regel EADS 3.1 Konstruktion von minimalen Spannbäumen 16/36

Mehr

Programmierkurs Java

Programmierkurs Java Programmierkurs Java Dr. Dietrich Boles Aufgaben zu UE16-Rekursion (Stand 09.12.2011) Aufgabe 1: Implementieren Sie in Java ein Programm, das solange einzelne Zeichen vom Terminal einliest, bis ein #-Zeichen

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 9: Minimale Spannbäume

Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I. Kapitel 9: Minimale Spannbäume Effiziente Algorithmen und Datenstrukturen I Kapitel 9: Minimale Spannbäume Christian Scheideler WS 008 19.0.009 Kapitel 9 1 Minimaler Spannbaum Zentrale Frage: Welche Kanten muss ich nehmen, um mit minimalen

Mehr

Theoretische Grundlagen der Informatik

Theoretische Grundlagen der Informatik Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 12.01.2012 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 12.01.2012 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der Informatik

Mehr

Einführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5)

Einführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5) Einführung 3 Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Univ.-Prof. Dr. Christoph Meinel Hasso-Plattner-Institut Universität Potsdam, Deutschland Hatten den Reduktionsbegriff

Mehr

1. Musterlösung. Problem 1: Average-case-Laufzeit vs. Worst-case-Laufzeit

1. Musterlösung. Problem 1: Average-case-Laufzeit vs. Worst-case-Laufzeit Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 06/07 ITI Wagner Musterlösung Problem : Average-case-Laufzeit vs Worst-case-Laufzeit pt (a) Folgender Algorithmus löst das Problem der

Mehr

Programmieren I. Kapitel 7. Sortieren und Suchen

Programmieren I. Kapitel 7. Sortieren und Suchen Programmieren I Kapitel 7. Sortieren und Suchen Kapitel 7: Sortieren und Suchen Ziel: Varianten der häufigsten Anwendung kennenlernen Ordnung Suchen lineares Suchen Binärsuche oder Bisektionssuche Sortieren

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische

Mehr

Programmierung 2. Dynamische Programmierung. Sebastian Hack. Klaas Boesche. Sommersemester 2012. hack@cs.uni-saarland.de. boesche@cs.uni-saarland.

Programmierung 2. Dynamische Programmierung. Sebastian Hack. Klaas Boesche. Sommersemester 2012. hack@cs.uni-saarland.de. boesche@cs.uni-saarland. 1 Programmierung 2 Dynamische Programmierung Sebastian Hack hack@cs.uni-saarland.de Klaas Boesche boesche@cs.uni-saarland.de Sommersemester 2012 2 Übersicht Stammt aus den Zeiten als mit Programmierung

Mehr

Vorlesung 2 KÜRZESTE WEGE

Vorlesung 2 KÜRZESTE WEGE Vorlesung 2 KÜRZESTE WEGE 34 Kürzeste Wege im Graphen Motivation! Heute:! Kürzeste Wege von einem Knoten (SSSP)! Kürzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren (APSP)! Viele Anwendungen:! Navigationssysteme!

Mehr

4. Relationen. Beschreibung einer binären Relation

4. Relationen. Beschreibung einer binären Relation 4. Relationen Relationen spielen bei Datenbanken eine wichtige Rolle. Die meisten Datenbanksysteme sind relational. 4.1 Binäre Relationen Eine binäre Relation (Beziehung) R zwischen zwei Mengen A und B

Mehr

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!. 040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl

Mehr

Algorithmentheorie. 13 - Maximale Flüsse

Algorithmentheorie. 13 - Maximale Flüsse Algorithmentheorie 3 - Maximale Flüsse Prof. Dr. S. Albers Prof. Dr. Th. Ottmann . Maximale Flüsse in Netzwerken 5 3 4 7 s 0 5 9 5 9 4 3 4 5 0 3 5 5 t 8 8 Netzwerke und Flüsse N = (V,E,c) gerichtetes Netzwerk

Mehr

8 Diskrete Optimierung

8 Diskrete Optimierung 8 Diskrete Optimierung Definition 8.1. Ein Graph G ist ein Paar (V (G), E(G)) besteh aus einer lichen Menge V (G) von Knoten (oder Ecken) und einer Menge E(G) ( ) V (G) 2 von Kanten. Die Ordnung n(g) von

Mehr

6.2 Perfekte Sicherheit

6.2 Perfekte Sicherheit 04 6.2 Perfekte Sicherheit Beweis. H(B AC) + H(A C) = H(ABC) H(AC) + H(AC) H(C) Wegen gilt Einsetzen in die Definition gibt = H(AB C). H(A BC) = H(AB C) H(B C). I(A; B C) = H(A C) H(AB C) + H(B C). Da

Mehr

Wortproblem für kontextfreie Grammatiken

Wortproblem für kontextfreie Grammatiken Wortproblem für kontextfreie Grammatiken G kontextfreie Grammatik. w Σ w L(G)? Wortproblem ist primitiv rekursiv entscheidbar. (schlechte obere Schranke!) Kellerautomat der L(G) akzeptiert Ist dieser effizient?

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen. Große Übung vom 29.10.09 Nils Schweer

Algorithmen und Datenstrukturen. Große Übung vom 29.10.09 Nils Schweer Algorithmen und Datenstrukturen Große Übung vom 29.10.09 Nils Schweer Diese Folien Braucht man nicht abzuschreiben Stehen im Netz unter www.ibr.cs.tu-bs.de/courses/ws0910/aud/index.html Kleine Übungen

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V

Mehr

WS 2008/09. Diskrete Strukturen

WS 2008/09. Diskrete Strukturen WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR INFORMATIK WS 11/12 Einführung in die Informatik II Übungsblatt 2 Univ.-Prof. Dr. Andrey Rybalchenko, M.Sc. Ruslán Ledesma Garza 8.11.2011 Dieses Blatt behandelt

Mehr

Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR)

Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Eine Firma stellt USB-Sticks her. Sie werden in der Fabrik ungeprüft in Packungen zu je 20 Stück verpackt und an Händler ausgeliefert. 1 Ein Händler

Mehr

Aufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung

Aufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung ufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung ) Geben ist die Funktion f(x) = -x + x. a) Wie groß ist die Fläche, die die Kurve von f mit der x-chse einschließt? b) Welche Fläche schließt der Graph

Mehr

4. Übungsblatt zu Mathematik für Informatiker I, WS 2003/04

4. Übungsblatt zu Mathematik für Informatiker I, WS 2003/04 4. Übungsblatt zu Mathematik für Informatiker I, WS 2003/04 JOACHIM VON ZUR GATHEN, OLAF MÜLLER, MICHAEL NÜSKEN Abgabe bis Freitag, 14. November 2003, 11 11 in den jeweils richtigen grünen oder roten Kasten

Mehr

Überblick. Lineares Suchen

Überblick. Lineares Suchen Komplexität Was ist das? Die Komplexität eines Algorithmus sei hierbei die Abschätzung des Aufwandes seiner Realisierung bzw. Berechnung auf einem Computer. Sie wird daher auch rechnerische Komplexität

Mehr

Proseminar Effiziente Algorithmen

Proseminar Effiziente Algorithmen Proseminar Effiziente Algorithmen Kapitel 9: Divide & Conquer und Prof. Dr. Christian Scheideler WS 218 Generische Optimierungsverfahren: Systematische Suche lass nichts aus Divide and Conquer löse das

Mehr

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS)

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS) Dominating Set 59 Literatur Dominating Set Grundlagen 60 Dominating Set (DS) M. V. Marathe, H. Breu, H.B. Hunt III, S. S. Ravi, and D. J. Rosenkrantz: Simple Heuristics for Unit Disk Graphs. Networks 25,

Mehr

Kombinatorische Optimierung

Kombinatorische Optimierung Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke 1 Henning Meyerhenke: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu Vorlesung 1 Programm des

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11

W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) Mathematikgebäude Raum 715 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) W-Rechnung und Statistik

Mehr

Alignment-Verfahren zum Vergleich biologischer Sequenzen

Alignment-Verfahren zum Vergleich biologischer Sequenzen zum Vergleich biologischer Sequenzen Hans-Joachim Böckenhauer Dennis Komm Volkshochschule Zürich. April Ein biologisches Problem Fragestellung Finde eine Methode zum Vergleich von DNA-Molekülen oder Proteinen

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Übungsaufgaben. - Vorgehensweise entsprechend dem Algorithmus der schriftlichen Multiplikation

Übungsaufgaben. - Vorgehensweise entsprechend dem Algorithmus der schriftlichen Multiplikation Übungsaufgaben Anmerkung Allen Beispielen soll noch hinzugefügt sein, dass wertvolle Hinweise, also die Tipps und Tricks die der schnellen maschinellen Multiplikation zu Grunde liegen, neben dem toff zur

Mehr

Information Systems Engineering Seminar

Information Systems Engineering Seminar Information Systems Engineering Seminar Algorithmische Prüfung der Planarität eines Graphen Marcel Stüttgen, 22.10.2012 FH AACHEN UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES 1 Planarität - Definition Ein Graph heißt

Mehr

Constraint-Algorithmen in Kürze - Mit der Lösung zur Path-Consistency-Aufgabe 9

Constraint-Algorithmen in Kürze - Mit der Lösung zur Path-Consistency-Aufgabe 9 Constraint-Algorithmen in Kürze - Mit der Lösung zur Path-Consistency-Aufgabe 9 Prof. Dr. W. Conen Version 1.0c Januar 2009 Genereller Ablauf der Suche Gegeben: Variablen X, Domains D, Constraints R (explizit

Mehr

Zahlen und das Hüten von Geheimnissen (G. Wiese, 23. April 2009)

Zahlen und das Hüten von Geheimnissen (G. Wiese, 23. April 2009) Zahlen und das Hüten von Geheimnissen (G. Wiese, 23. April 2009) Probleme unseres Alltags E-Mails lesen: Niemand außer mir soll meine Mails lesen! Geld abheben mit der EC-Karte: Niemand außer mir soll

Mehr

Simplex-Umformung für Dummies

Simplex-Umformung für Dummies Simplex-Umformung für Dummies Enthält die Zielfunktion einen negativen Koeffizienten? NEIN Optimale Lösung bereits gefunden JA Finde die Optimale Lösung mit dem Simplex-Verfahren! Wähle die Spalte mit

Mehr

Kapitel 6. Komplexität von Algorithmen. Xiaoyi Jiang Informatik I Grundlagen der Programmierung

Kapitel 6. Komplexität von Algorithmen. Xiaoyi Jiang Informatik I Grundlagen der Programmierung Kapitel 6 Komplexität von Algorithmen 1 6.1 Beurteilung von Algorithmen I.d.R. existieren viele Algorithmen, um dieselbe Funktion zu realisieren. Welche Algorithmen sind die besseren? Betrachtung nicht-funktionaler

Mehr

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen. Übersicht. Divide-and-Conquer. Vorlesung 9: Quicksort (K7)

Übersicht. Datenstrukturen und Algorithmen. Übersicht. Divide-and-Conquer. Vorlesung 9: Quicksort (K7) Datenstrukturen und Algorithmen Vorlesung 9: (K7) Joost-Pieter Katoen Lehrstuhl für Informatik 2 Software Modeling and Verification Group http://www-i2.rwth-aachen.de/i2/dsal0/ Algorithmus 8. Mai 200 Joost-Pieter

Mehr

Mathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens

Mathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens Mathematische Grundlagen der Kryptographie 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe Stefan Brandstädter Jennifer Karstens 18. Januar 2005 Inhaltsverzeichnis 1 Ganze Zahlen 1 1.1 Grundlagen............................

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2007 4. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Traversierung Durchlaufen eines Graphen, bei

Mehr

17.1.2014 Einführung in die Programmierung Laborübung bei Korcan Y. Kirkici. 12.Übung 13.1. bis 17.1.2014

17.1.2014 Einführung in die Programmierung Laborübung bei Korcan Y. Kirkici. 12.Übung 13.1. bis 17.1.2014 17.1.2014 Einführung in die Programmierung Laborübung bei Korcan Y. Kirkici 12.Übung 13.1. bis 17.1.2014 1 BEFRAGUNG http://1.bp.blogspot.com/- waaowrew9gc/tuhgqro4u_i/aaaaaaaaaey/3xhl 4Va2SOQ/s1600/crying%2Bmeme.png

Mehr

Theoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10

Theoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10 Theoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10 - Tutorium 6 - Michael Kirsten und Kai Wallisch Sitzung 13 02.02.2010 Inhaltsverzeichnis 1 Formeln zur Berechnung Aufgabe 1 2 Hamming-Distanz Aufgabe 2 3

Mehr

a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert:

a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend

Mehr

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung

Mehr

Einführung in die Programmierung (EPR)

Einführung in die Programmierung (EPR) Goethe-Center for Scientific Computing (G-CSC) Goethe-Universität Frankfurt am Main Einführung in die Programmierung (EPR) (Übung, Wintersemester 2014/2015) Dr. S. Reiter, M. Rupp, Dr. A. Vogel, Dr. K.

Mehr

Lernziele: Ausgleichstechniken für binäre Bäume verstehen und einsetzen können.

Lernziele: Ausgleichstechniken für binäre Bäume verstehen und einsetzen können. 6. Bäume Lernziele 6. Bäume Lernziele: Definition und Eigenschaften binärer Bäume kennen, Traversierungsalgorithmen für binäre Bäume implementieren können, die Bedeutung von Suchbäumen für die effiziente

Mehr

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Proseminar: Das BUCH der Beweise Fridtjof Schulte Steinberg Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin 29.November 2012 1 / 20 Allgemeines Pierre de Fermat

Mehr

Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung!

Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung! Guten Morgen und Willkommen zur Saalübung! 1 Wie gewinnt man ein Spiel? Was ist ein Spiel? 2 Verschiedene Spiele Schach, Tic-Tac-Toe, Go Memory Backgammon Poker Nim, Käsekästchen... 3 Einschränkungen Zwei

Mehr

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als

Mehr

Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume

Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume Kapiteltests zum Leitprogramm Binäre Suchbäume Björn Steffen Timur Erdag überarbeitet von Christina Class Binäre Suchbäume Kapiteltests für das ETH-Leitprogramm Adressaten und Institutionen Das Leitprogramm

Mehr

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen)

4 Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen (gierige Algorithmen) Greedy-Algorithmen werden oft für die exakte oder approximative Lösung von Optimierungsproblemen verwendet. Typischerweise konstruiert ein Greedy-Algorithmus eine

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.

Mehr

1 topologisches Sortieren

1 topologisches Sortieren Wolfgang Hönig / Andreas Ecke WS 09/0 topologisches Sortieren. Überblick. Solange noch Knoten vorhanden: a) Suche Knoten v, zu dem keine Kante führt (Falls nicht vorhanden keine topologische Sortierung

Mehr

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

Datenstrukturen und Algorithmen. Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität

Datenstrukturen und Algorithmen. Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität Datenstrukturen und Algorithmen Christian Sohler FG Algorithmen & Komplexität 1 Klausur Wichtige Hinweise: 2.7.07, Beginn 9 Uhr Bitte spätestens 8:4 Uhr vor Ort sein Sporthalle + Audimax Informationen

Mehr

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) 6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster

Mehr

Stellen Sie bitte den Cursor in die Spalte B2 und rufen die Funktion Sverweis auf. Es öffnet sich folgendes Dialogfenster

Stellen Sie bitte den Cursor in die Spalte B2 und rufen die Funktion Sverweis auf. Es öffnet sich folgendes Dialogfenster Es gibt in Excel unter anderem die so genannten Suchfunktionen / Matrixfunktionen Damit können Sie Werte innerhalb eines bestimmten Bereichs suchen. Als Beispiel möchte ich die Funktion Sverweis zeigen.

Mehr

WS 2013/14. Diskrete Strukturen

WS 2013/14. Diskrete Strukturen WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314

Mehr

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2

Algorithmen und Datenstrukturen 2 Algorithmen und Datenstrukturen 2 Sommersemester 2006 3. Vorlesung Peter F. Stadler Universität Leipzig Institut für Informatik studla@bioinf.uni-leipzig.de Algorithmen für Graphen Fragestellungen: Suche

Mehr

Übungskomplex Felder (1) Eindimensionale Felder Mehrdimensionale Felder

Übungskomplex Felder (1) Eindimensionale Felder Mehrdimensionale Felder Übungskomplex Felder (1) Eindimensionale Felder Mehrdimensionale Felder Hinweise zur Übung Benötigter Vorlesungsstoff Ab diesem Übungskomplex wird die Kenntnis und praktische Beherrschung der Konzepte

Mehr

Übungen 19.01.2012 Programmieren 1 Felix Rohrer. Übungen

Übungen 19.01.2012 Programmieren 1 Felix Rohrer. Übungen Übungen if / else / else if... 2... 2 Aufgabe 2:... 2 Aufgabe 3:... 2 Aufgabe 4:... 2 Aufgabe 5:... 2 Aufgabe 6:... 2 Aufgabe 7:... 3 Aufgabe 8:... 3 Aufgabe 9:... 3 Aufgabe 10:... 3 switch... 4... 4 Aufgabe

Mehr

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie

1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. Bäume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie Gliederung 1. Motivation / Grundlagen 2. Sortierverfahren 3. Elementare Datenstrukturen / Anwendungen 4. äume / Graphen 5. Hashing 6. Algorithmische Geometrie 4/5, olie 1 2014 Prof. Steffen Lange - HDa/bI

Mehr

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante 4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer

Mehr

7 Die Determinante einer Matrix

7 Die Determinante einer Matrix 7 Die Determinante einer Matrix ( ) a11 a Die Determinante einer 2 2 Matrix A = 12 ist erklärt als a 21 a 22 det A := a 11 a 22 a 12 a 21 Es ist S 2 = { id, τ}, τ = (1, 2) und sign (id) = 1, sign (τ) =

Mehr

EINFACHES HAUSHALT- KASSABUCH

EINFACHES HAUSHALT- KASSABUCH EINFACHES HAUSHALT- KASSABUCH Arbeiten mit Excel Wir erstellen ein einfaches Kassabuch zur Führung einer Haushalts- oder Portokasse Roland Liebing, im November 2012 Eine einfache Haushalt-Buchhaltung (Kassabuch)

Mehr

Welches Problem denn? Das Heiratsproblem. Formale Beschreibung. Paarungen

Welches Problem denn? Das Heiratsproblem. Formale Beschreibung. Paarungen Das Heiratsproblem Welches Problem denn? Eine Heirat: ein Problem. Mehrere Heiraten: mehrere Probleme. Viele Heiraten: viele Probleme? Martin Schönhacker (P.S.: Heiraten muss kein Problem sein!) 1 2 Formale

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Einheit 15: Reguläre Ausdrücke und rechtslineare Grammatiken Thomas Worsch Universität Karlsruhe, Fakultät für Informatik Wintersemester 2008/2009 1/25 Was kann man mit endlichen

Mehr

Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/10. 14.

Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/10. 14. Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination Vorlesung Computergestützte Mathematik zur Linearen Algebra Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/0 4. Januar 200 Instabilitäten

Mehr

Kostenmaße. F3 03/04 p.188/395

Kostenmaße. F3 03/04 p.188/395 Kostenmaße Bei der TM nur ein Kostenmaß: Ein Schritt (Konfigurationsübergang) kostet eine Zeiteinheit; eine Bandzelle kostet eine Platzeinheit. Bei der RAM zwei Kostenmaße: uniformes Kostenmaß: (wie oben);

Mehr

Algorithmen & Komplexität

Algorithmen & Komplexität Algorithmen & Komplexität Angelika Steger Institut für Theoretische Informatik steger@inf.ethz.ch Kürzeste Pfade Problem Gegeben Netzwerk: Graph G = (V, E), Gewichtsfunktion w: E N Zwei Knoten: s, t Kantenzug/Weg

Mehr

Beispiel vor dem Beweis:

Beispiel vor dem Beweis: Beispiel vor dem Beweis: Beispiel vor dem Beweis: A = ¼3 6 2 3 11 2½ Beispiel vor dem Beweis: 2½ 2½ ¼3 6 A = 2 3 11 311 E 12 A = 3 6 Beispiel vor dem Beweis: 2½ 2½ ¼3 6 A = 2 3 11 311 E 12 A = 3 6 3 11

Mehr

Informationssysteme Gleitkommazahlen nach dem IEEE-Standard 754. Berechnung von Gleitkommazahlen aus Dezimalzahlen. HSLU T&A Informatik HS10

Informationssysteme Gleitkommazahlen nach dem IEEE-Standard 754. Berechnung von Gleitkommazahlen aus Dezimalzahlen. HSLU T&A Informatik HS10 Informationssysteme Gleitkommazahlen nach dem IEEE-Standard 754 Berechnung von Gleitkommazahlen aus Dezimalzahlen Die wissenschaftliche Darstellung einer Zahl ist wie folgt definiert: n = f * 10 e. f ist

Mehr

EDV-Fortbildung Kombi-Schulung Word-Excel 2010. Modul Excel. Informationen zum Programm. Die Programmoberfläche von Excel

EDV-Fortbildung Kombi-Schulung Word-Excel 2010. Modul Excel. Informationen zum Programm. Die Programmoberfläche von Excel EDV-Fortbildung Kombi-Schulung Word-Excel 2010 Modul Excel Informationen zum Programm Microsoft Excel ist das meistverbreitete Programm zur Tabellenkalkulation. Excel bietet sich für umfangreiche, aber

Mehr

Auswerten mit Excel. Viele Video-Tutorials auf Youtube z.b. http://www.youtube.com/watch?v=vuuky6xxjro

Auswerten mit Excel. Viele Video-Tutorials auf Youtube z.b. http://www.youtube.com/watch?v=vuuky6xxjro Auswerten mit Excel Viele Video-Tutorials auf Youtube z.b. http://www.youtube.com/watch?v=vuuky6xxjro 1. Pivot-Tabellen erstellen: In der Datenmaske in eine beliebige Zelle klicken Registerkarte Einfügen

Mehr

Informationsblatt Induktionsbeweis

Informationsblatt Induktionsbeweis Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln

Mehr

AVL-Bäume Analyse. Theorem Ein AVL-Baum der Höhe h besitzt zwischen F h und 2 h 1 viele Knoten. Definition Wir definieren die nte Fibonaccizahl:

AVL-Bäume Analyse. Theorem Ein AVL-Baum der Höhe h besitzt zwischen F h und 2 h 1 viele Knoten. Definition Wir definieren die nte Fibonaccizahl: AVL-Bäume Analyse (Folie 85, Seite 39 im Skript) Theorem Ein AVL-Baum der Höhe h besitzt zwischen F h und 2 h 1 viele Knoten. Definition Wir definieren die nte Fibonaccizahl: 0 falls n = 0 F n = 1 falls

Mehr

Rente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen

Rente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren Rentenperiode = Zeitabstand zwischen zwei Rentenzahlungen 1 3.2. entenrechnung Definition: ente = laufende Zahlungen, die in regelmäßigen Zeitabschnitten (periodisch) wiederkehren entenperiode = Zeitabstand zwischen zwei entenzahlungen Finanzmathematisch sind

Mehr

Maximizing the Spread of Influence through a Social Network

Maximizing the Spread of Influence through a Social Network 1 / 26 Maximizing the Spread of Influence through a Social Network 19.06.2007 / Thomas Wener TU-Darmstadt Seminar aus Data und Web Mining bei Prof. Fürnkranz 2 / 26 Gliederung Einleitung 1 Einleitung 2

Mehr

19. Dynamic Programming I

19. Dynamic Programming I 495 19. Dynamic Programming I Fibonacci, Längste aufsteigende Teilfolge, längste gemeinsame Teilfolge, Editierdistanz, Matrixkettenmultiplikation, Matrixmultiplikation nach Strassen [Ottman/Widmayer, Kap.

Mehr