n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 =

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "n (n + 1) = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Induktionsschritt: Angenommen die Gleichung gilt für n N. Dann folgt: 1 2 = 2 ="

Transkript

1 Aufgabe 1: (6 Pukte) Zeige Sie für alle N die Formel: ( + 1) = ( + 1)( + 2). 3 Lösug: Beweis durch vollstädige Iduktio. Iduktiosafag: Für = 1 gilt: 1 2 = 2 = 1(1 + 1)(1 + 2) 3 Iduktiosschritt: Ageomme die Gleichug gilt für N. Da folgt: ( + 1) ( + 2) = ( + 1) + ( + 1) ( + 2) I.V. ( + 1)( + 2) = + ( + 1) ( + 2) 3 ( + 1)( + 2) ( + 1)(( + 1) + 1)(( + 1) + 2) = ( + 3) = 3 3

2 Aufgabe 2: (6 Pukte) Gegebe sei die Mege M := { q Q q > 0 ud q 2 < 2 }. Etscheide Sie, ob M ei Supremum ud/oder ei Ifimum hat ud bestimme Sie dieses, falls es existiert. Die Atwort ist geau zu begrüde. Lösug: Es ist z.b. 1 M, so dass M. Behauptug: if(m) = 0. Zumächst ist ach Defiitio vo M q > 0 für alle q M, so dass 0 eie utere Schrake vo M ist, also if(m) existiert ud if(m) 0. Wäre if(m) > 0, so wähle N, > 1/ if(m). Da ist 1/ < if(m). Adrerseits ist 1/ M, da 1/ Q ud (1/) 2 = 1/ 2 < 1 < 2 ist. Somit wäre if(m) keie utere Schrake vo M, was umöglich ist. Also ist if(m) = 0. Behauptug: sup(m) = 2. Ist q M, so ist q 2 < 2 ud damit q < 2, da q > 0 ud x x eie streg mootoe Fuktio auf [0, ) ist. Daher ist M ach obe beschräkt, so dass sup(m) existiert, ud sup(m) 2. Wäre sup(m) < 2, so gäbe es ei q ( sup(m), 2 ) Q, da der Schitt vo Q mit jedem icht-leere offee Itervall icht leer ist. Wege q < 2 ist da q 2 < 2 ud q Q, also q M, was aber im Widerspruch zu q > sup(m) steht. Daraus folgt die Behauptug.

3 Aufgabe 3: (12 Pukte: je Aufgabeteil 4 Pukte) Sid die folgede Aussage für eie reelle Folge (a ) N wahr oder falsch? Gebe Sie jeweils etweder eie Beweis oder ei Gegebeispiel mit eier geaue Begrüdug. a) Ist lim a = ud lim a =, so hat a keie Häufugspukt i R. b) Ist lim a < lim a, so ist (a ) N keie Cauchyfolge. c) Ist ( a ) N streg mooto falled, so kovergiert =1 ( 1) a. Lösug: a) Die Aussage ist falsch. Gegebeispiel: falls 0 mod 3 a := falls 1 mod 3 0 falls 2 mod 3 Da ist lim k a 3k = lim k 3k = ud daher lim a =. Zudem ist lim k a 3k+1 = lim k (3k + 1) = ud daher lim a =. Schliesslich ist lim k a 3k+2 = lim k 0 = 0 ud daher ist 0 ei Häufugspukt dieser Folge. b) Die Aussage ist wahr. Ist (a ) N eie Cauchyfolge, so ist (a ) N koverget. I diesem Fall ist lim a = lim a. Daraus folgt: Falls lim a < lim a, so ka (a ) N keie Cauchyfolge sei. c) Die Aussage ist falsch. Gegebeispiel: a = Da ist a > 0, also a = a, ud (a ) = ( a ) ist streg mooto falled. Wäre (( 1) a ) N eie Nullfolge, so wäre auch ( ( 1) a ) N = (a ) N eie Nullfolge. Allerdigs ist lim a = 1, so dass ( 1) a keie Nullfolge ist. Deshalb divergiert =1 ( 1) a ach dem Nullfolgekriterium..

4 Aufgabe 4: (10 Pukte: a) 4 Pukte, b) 6 Pukte) Gegebe sei die Potezreihe =1 (3 + 4i) z a) Bestimme Sie de Kovergezradius dieser Potezreihe. b) Bestimme Sie alle z C, für die diese Potezreihe kovergiert ud alle, für die diese Potezreihe divergiert. Lösug: a) Die Koeffizietefolge der Potezreihe ist a = = 5. (3 + 4i) ud daher a = Es gilt: lim a = lim 5 = lim 5 Somit ergibt sich für de Kovergezradius ρ: = 1 5. ρ = 1 lim a = 5. b) Da ρ = 5, kovergiert die Potezreihe für alle z C mit z < 5 ud divergiert für alle z C mit z > 5. Ist z = 5, so ist (3 + 4i) z = 5 5 =. ( ) Daher ist (3 + 4i) z keie Nullfolge, so dass die Reihe ach dem Nullfolgekriterium divergiert für alle z mit z = N 5. Isgesamt folgt also: Die Potezreihe kovergiert für z < 5 ud divergiert für z 5.

5 Aufgabe 5: (9 Pukte: je Aufgabeteil 3 Pukte) Sei (a ) N eie reelle oder komplexe Folge. Etscheide Sie, welche der folgede Aussage zutreffe. Gebe Sie etweder eie Beweis der Aussage oder ei Gegebeispiel mit eier geaue Begrüdug. a) Falls die Reihe =1 a kovergiert, da kovergiert auch =1 a2. b) Falls die Reihe =1 a2 kovergiert, da kovergiert auch =1 a. c) Falls die Reihe =1 a absolut kovergiert, da kovergiert auch =1 a2. Lösug: a) Die Aussage ist falsch. Sei a := ( 1) =1 a kovergiert ach dem Leibiz-Kriterium. =1 a2 = 1 =1 ist die harmoische Reihe, welche divergiert. b) Diese Aussage ist auch falsch. Sei a := 1. Da kovergiert =1 a2 = 1 =1, währed 2 =1 a wieder die harmoische Reihe ist, welche divergiert. c) Diese Aussage ist wahr. Sei =1 a eie absolut kovergete Reihe. Da kovergiert ( a ) gege 0 ach dem Nullfolgekriterium. Wähle 0 N so, dass a < 1 für alle 0 ist. Für diese gilt auch a 2 < a. Daher folgt ach dem Majoratekriterium, dass = 0 a 2 kovergiert. Da kovergiert aber auch a 2 = =0 0 1 =0 da die erste dieser Summe edlich ist. a 2 + = 0 a 2, Nach dem absolute Kovergezkriterium kovergiert da auch =0 a2. (Bemerkug: Da auch komplexe Folge zugelasse sid, muss a 2 icht ubedigt 0 sei.)

6 Aufgabe 6: (12 Pukte: je Aufgabeteile 3 Pukte) Bestimme Sie, ob die gegebee Reihe bedigt kovergiere, absolut kovergiere oder divergiere. Die Atwort ist zu begrüde. a) 1 k=1 k. k b) ( 1) k k k=1 2k + 1. c) ( ) k 2 k= i d) ( 1) k k k=1 2k 2 1. Lösug: a) Wir verwede das Wurzelkriterium: Also kovergiert die Reihe absolut. lim k a k = lim k 1 k k = lim 1 k = 0 < 1. b) Wir verwede das Nullfolgekriterium: lim ( 1) k k 2k + 1 = lim k 2k + 1 = lim /k = ( ) ( 1) k k Also ist keie Nullfolge ud somit divergiert die Reihe. 2k + 1 k N c) Es gilt: i = i = 2 < Also ist dies eie geometrische Reihe der Form k=0 qk mit q = i ud daher q < 1. Somit kovergiert diese Reihe. (Alterativ köte ma auch das Wurzelkriterium verwede).

7 d) Wir verwede das Leibizkriterium für alterierede Summe. Die Summe ist k offesichtlich alteriered, daher ist zu überprüfe, dass für a k := 2k 2 1 gilt: (a k ) k N ist mooto falled, lim a k = 0. Für die erste Behauptug reche wir: k + 1 a k+1 a k = 2(k + 1) 2 1 k 2k 2 1 = (k + 1)(2k2 1) k(2(k + 1) 2 1) (2(k + 1) 2 1)(2k 2 1) = 2k3 k + 2k 2 1 k(2k 2 + 4k + 1) (2(k + 1) 2 1)(2k 2 1) 2k 2 2k 1 = (2(k + 1) 2 1)(2k 2 1) < 0 Ausserdem ist lim k 2k 2 1 = lim 1 2k 1/k = 0 Somit kovergiert die Reihe ach dem Leibizkriterium. Allerdigs ist ( 1) k a k 1 k = k 2k k k = 2 k 2 (2 1/k 2 ) 1 2 (0, ). Nach dem Quotietevergleichskriterium hat daher k=1 ( 1)k a k das gleiche Kovergezverhalte wie die harmoische Reihe 1 k=1, ist also diverget. k Also ist die Reihe k=1 ( 1)k a k koverget, aber icht absolut koverget, also ist sie bedigt koverget.

8 Aufgabe 7: (9 Pukte: je Aufgabeteil 3 Pukte) Sei f : R R gegebe durch f(x) := x x. a) Bestimme Sie alle Pukte, i dee f differezierbar ist ud die Ableitug i diese Pukte. b) Zeige Sie, dass f streg mooto steiged ist. c) Gebe Sie die Umkehrfuktio f 1 a ud bestimme Sie alle Pukte, i dee f 1 differezierbar ist. Lösug: a) Es gilt: für x > 0 ist f(x) = x 2 ud daher f (x) = 2x. für x < 0 ist f(x) = x 2 ud daher f (x) = 2x. für x = 0 gilt also f (0) = 0. f (0) = lim x 0 f(x) f(0) x 0 = lim x 0 x x 0 x = lim x 0 x = 0, Also ist f i jedem Pukt differezierbar, ud es gilt f (x) = 2 x. b) Nach a) ist f (x) = 2 x 0, also ist f mooto steiged. Falls f icht streg mooto steiged wäre, so gäbe es x 0 < x 1 mit f(x 0 ) = f(x 1 ). Nach dem Satz vo Rolle gäbe es da ei ξ (x 0, x 1 ) mit f (ξ) = 0. Da 0 der eizige kritische Pukt ist, muss also ξ = 0 sei ud daher x 0 < 0 < x 1. Da ist allerdigs f(x 0 ) < 0 ud f(x 1 ) > 0, was der Aahme f(x 0 ) = f(x 1 ) widerspricht. c) Wir müsse die Gleichug ach y auflöse. f(x) = y Ist y 0, so setze wir x := y. Da ist f(x) = f( y) = y y = y. Also ist f 1 (y) = y für alle y 0. Ist y < 0, so setze wir x := y. Da ist f(x) = f( y) = y y = y 2 = y. Also ist f 1 (y) = y für y < 0.

9 Isgesamt habe wir also: f 1 (y) = { y für y 0 y für y < 0. (A dieser Formel sieht ma bereits, dass f 1 differezierbar ist für alle y 0.) Nach dem Satz über die Ableitug der Umkehrfuktio folgt: f 1 ist differezierbar i y geau da, we f (f 1 (y)) 0. Da f (x) = 2 x ist dies der Fall geau da, we f 1 (y) 0, also geau da, we y f(0) = 0 ist. Also ist f 1 differezierbar für alle y f 1 (0) = 0.

10 Aufgabe 8: (9 Pukte: je Aufgabeteil 3 Pukte) Welche der folgede Aussage sid für jede zweimal differezierbare, streg kovexe Fuktio f : R R wahr? Gebe Sie etweder eie Beweis oder ei Gegebeispiel mit eier geaue Begrüdug. a) f ist eie streg mooto steigede Fuktio ud f (x) > 0 für alle x. b) f hat kei lokales Maximum. c) f hat höchstes zwei Nullstelle. Lösug: a) Die Aussage ist falsch. Gegebeispiel: f(x) := x 4. Der erste Teil ist zwar richtig, de ach eiem Satz aus der Vorlesug gilt: Ist f differezierbar so ist f streg kovex geau da, we f streg mooto steigt. Allerdigs ist bei dem Gegebeispiel f (x) = 4x 3 streg mooto steiged, so dass f streg kovex ist. Aber f (x) = 12x 2 ud somit f (0) = 0. b) Die Aussage ist wahr. 1. Lösug: Falls x 0 ei lokales Maximum wäre, so wäre x 0 ei kritischer Pukt, d.h. f (x 0 ) = 0. Ausserdem müsste gelte: f(x 0 + h) f(x 0 ) für alle h > 0 hireiched klei. Nach dem Mittelwertsatz müsste es daher ei ξ (x 0, x 0 +h) gebe mit f (ξ) = f(x 0 + h) f(x 0 ) = f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 + h) x 0 h 0. Aber ξ > x 0, so dass f (ξ) > f (x 0 ) = 0, da f streg kovex ud deshalb f streg mooto steiged ist. Dies ist der gewüschte Widerspruch. 2. Lösug: Falls x 0 ei lokales Maximum wäre, so wäre f(x 0 + h) f(x 0 ) für alle h mit h hireiched klei. Setze x := x 0 h ud y := x 0 + h ud t := 1/2 (0, 1). Nach der Defiitio der strikte Kovexität muss gelte f(x + t(y x)) < f(x) + t (f(y) f(x)), also f(x 0 h + 1/2((x 0 + h) (x 0 h)) }{{} =x 0 ) < f(x) + 1/2(f(y) f(x)) Also folgt f(x 0 ) < f(x 0 ), was ei Widerspruch ist. f(x 0 ) < 1 2 f(x 0 h) + 1 }{{} 2 f(x 0 + h) f(x }{{} 0 ). f(x 0 ) f(x 0 ) (Bemerkug: Es reicht icht zu argumetiere, dass bei eiem Maximum f (x 0 ) 0 sei muss, de ach a) ist f (x 0 ) = 0 für eie streg kovexe Fuktio möglich.)

11 c) Die Aussage ist wahr. Ageomme f hätte drei verschiedee Nullstelle x 0 < x 1 < x Lösug Nach dem Satz vo Rolle gäbe es Zwischestelle ξ 1 (x 0, x 1 ) ud ξ 2 (x 1, x 2 ) mit f (ξ 1 ) = f(ξ 2 ) = 0. Aber ξ 1 < ξ 2 ud f (ξ 1 ) = f(ξ 2 )(= 0) bedeutet, dass f icht streg mooto steiged ist. Dies ist ei Widerspruch, da f streg kovex ist. 2. Lösug Nach der Defiitio der strikte Kovexität gilt für alle t (0, 1): f(x 0 + t(x 1 x 0 )) < f(x 0 ) +t(f(x }{{} 1 ) f(x }{{} 0 )) = 0 }{{} =0 =0 =0 f(x 1 + t(x 2 x 1 )) < f(x 1 ) +t(f(x }{{} 2 ) f(x }{{} 1 )) = 0 }{{} =0 =0 =0 Die Pukte der Form x 0 + t(x 1 x 0 ) für t (0, 1) bilde das Itervall (x 0, x 1 ), so dass f(x) < 0 für alle x (x 0, x 1 ) ud aalog f(x) < 0 für alle x (x 1, x 2 ). Aber da gilt für kleies h > 0: x := x 1 h (x 0, x 1 ), y := x 1 + h (x 1, x 2 ), also f(x + 1/2(y x) ) < }{{} =x f(x) (f(y) f(x)) = 1 2 f(x) }{{} also 0 = f(x 1 ) < 0, was ei Widerspruch ist. < f(y) < 0, }{{} <0

12 Aufgabe 9: (12 Pukte: a) ud b) jeweils 3 Pukte, c) 6 Pukte) Es sei f : R R gegebe durch ( ) 1 x f(x) := 2 si für x 0, x 0 für x = 0. a) Bereche Sie die Ableitug f (x) für x 0. b) Etscheide Sie, ob f i 0 differezierbar ist ud bestimme Sie ggf. die Ableitug f (0). c) Etscheide Sie, ob f stetig differezierbar ist. Lösug: a) Nach der Produkt- ud Ketteregel gilt für x 0: ( ) ( ) 1 1 f (x) = 2x si + x 2 cos ( 1x ) x x ( ) ( ) = 2x si cos. x x b) Es gilt: Also folgt: lim f(x) f(0) x 2 si ( 1 x 0 x 0 = lim x) 0 x 0 x ( = lim x 1 x 0 x) si lim x = 0. x 0 }{{} 1 f f(x) f(0) (0) = lim x 0 x 0 so dass f auch i 0 differezierbar ist. = 0, c) f ist icht stetig differezierbar, da f icht stetig i 0 ist. Sost müsste ämtlich gelte: lim x 0 f (x) = f (0) = 0, ud daher z.b. ( ) 1 lim f = 0, π da 1/π 0. Aber Eisetze i die Formel vo f ergibt ( ) 1 f = 2 π π si(π) cos(π) = ( 1), }{{}}{{} =0 =( 1) ud diese Folge divergiert. (Isbesodere exististiert lim x 0 f (x) icht).

13 Aufgabe 10: (15 Pukte: Teil a) 2 P, Teil c) 1 P, Teile b), d), e) jeweils 4 P) Es sei f : (, 1/3) R gegebe durch f(x) := l(1 3x). a) Bereche Sie f (x). b) Bestimme Sie f () (x) für alle N. c) Bestimme Sie die Taylorreihe T (x) vo f im Etwicklugspukt x 0 = 0. d) Zeige Sie: Es gibt ei δ > 0, so dass für alle x mit x < δ gilt: T (x) = f(x). e) Bestimme Sie alle x R, für die die Taylorreihe T (x) kovergiert. Lösug: a) Es gilt ach der Ketteregel: f (x) = 1 1 3x ( 3) = 3 1 3x. b) Behauptug: Für N gilt: f () ( 1)! 3 (x) = (1 3x). Beweis durch vollstädige Iduktio: Iduktiosafag: Für = 1 ist dies gerade die Formel vo a) Iduktiosschluss: Falls die Formel für ei N gilt, so folgt: ( ) f (+1) (x) = (f () ) (x) I.V. ( 1)! 3 = (1 3x) = ( 1)! 3 ((1 3x) ) = ( 1)! 3 ( )(1 3x) 1 ( 3) =! ) 1)! 3+1 = (( (1 3x) +1 (1 3x) +1 c) Es gilt: f(0) = l(1 3 0) = l(1) = 0. Nach Teil b) gilt f () (0) = ( 1)! 3 für 1. Also ergibt die Formel für die Taylorreihe: T (x) = f () (0) (x 0)! =0 = ( 1)! 3 x 3 =! x. =1 d) Sei ε (0, 1/3). Da gilt für alle x ( ε, ε): f () (x) = 1)! 3 ( (1 3x) =1 ( 1)! 3 ( 1)! 3 = (1 3x) (1 3ε)! ( ) ε Es gilt also f () (x)!c, für alle x ( ε, ε) mit C := 3/(1 3ε). Nach eiem Satz aus der Vorlesug kovergiert somit T (x) gege f(x) für alle x mit x < δ, wobei δ = mi{ε, C 1 } = mi{ε, 1/3 ε}.

14 e) Für de Kovergezradius ρ bereche wir: 3 lim = lim 3 = 3, ud somit ρ = 1 3. Somit kovergiert T (x) für alle x ( 1/3, 1/3) ud divergiert für alle x > 1/3 ud x < 1/3. Für x = 1/3 habe wir T (1/3) = 3 1 =1 3 = 1 =1, ud dies ist (bis auf das Vorzeiche) die Harmoische Reihe, also diverget. Für x = 1/3 habe wir T ( 1/3) = 3 1 =1 ( 3) = ( 1) =1. Dies ist die alterierede harmoische Reihe ud kovergiert ach dem Leibitzkriterium. Somit kovergiert die Taylorreihe geau für x [ 1/3, 1/3).

n=1 b n, deren Summe n=1 (a n + b n ) eine konvergente Reihe ist. Die Aussage ist WAHR, ein mögliches Beispiel sind die divergenten Reihen 1

n=1 b n, deren Summe n=1 (a n + b n ) eine konvergente Reihe ist. Die Aussage ist WAHR, ein mögliches Beispiel sind die divergenten Reihen 1 ANALYSIS WS 08/09 Vorlesug: Prof. Dr. P. Ullrich Übuge: Dr. I. Kharif/ Dr. M. Steihauer 9. ÜBUNGSBLATT- LÖSUNGSHINWEISE/Ergebisse Die folgede Bearbeituge sid - zum Teil - keie ausführliche Musterlösuge,

Mehr

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10. 3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.000, 1 3 Folge, Reihe, Grezwerte 3.1 Zahlefolge Defiitio: Eie

Mehr

Probeklausur zur Analysis I WS 11/12 Prof. Dr. G. Wang Dr. A. Magni. Beginn: 8:15 Uhr. Name:...Vorname:... Matr.Nr.:...Studiengang:...

Probeklausur zur Analysis I WS 11/12 Prof. Dr. G. Wang Dr. A. Magni. Beginn: 8:15 Uhr. Name:...Vorname:... Matr.Nr.:...Studiengang:... Probeklausur zur Aalysis I WS / Prof. Dr. G. Wag 3.. Dr. A. Magi Begi: 8:5 Uhr Ede: Name:..........................Vorame:............................ Matr.Nr.:........................Studiegag:.........................

Mehr

8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen 8. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 36: Bestimme Sie alle z C, für die die folgede Potezreihe kovergiere: z z a, b! +, c z +. = = Lösug 36: Wir bezeiche de Kovergezradius mit r. a Wir wede das Quotietekriterium

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2

Übungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2 F. Hafer, T. Baldauf c Techische Uiversität Müche Übuge zum Feriekurs Aalysis, Vorlesug Witersemester 06/07. Richtig oder Falsch? Sid folgede Aussage richtig oder falsch? Korrigiere bzw. ergäze Sie falsche

Mehr

Analysis I für M, LaG/M, Ph 8.Übungsblatt

Analysis I für M, LaG/M, Ph 8.Übungsblatt Aalysis I für M, LaG/M, Ph 8Übugsblatt Fachbereich Mathematik Sommersemester 200 Dr Robert Haller-Ditelma 0206200 David Bücher Christia Bradeburg Gruppeübug Aufgabe G (Kovergezkriterie/Kovergezradie) (a)

Mehr

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 8

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 8 Mathematisches Istitut der Uiversität Müche Prof Dr Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 8 032203 Übuge zur Aalysis für Iformatiker ud Statistiker Lösug zu Blatt 8 Aufgabe 8 [8 Pukte] (a) Für alle N sei = (+) Wir

Mehr

Analysis I - Zweite Klausur

Analysis I - Zweite Klausur Aalysis I - Zweite Klausur Witersemester 2004-2005 Vorame: Name: Aufgabe Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6 Aufgabe 7 Aufgabe 8 Aufgabe 9 Summe Aufgabe 4 Pukte Bestimme Sie (mit Beweis)

Mehr

5. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

5. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen 5. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 2: Bestimme Sie alle Häufugspukte der komplexe) Folge mit de Glieder a) a = ) 5 + 7 + 2 ) b) b = i Lösug 2: a) Die Folge a ) zerfällt vollstädig i die beide Teilfolge

Mehr

Analysis Übungen Hausaufgaben für 4. April

Analysis Übungen Hausaufgaben für 4. April Aalysis Übuge Hausaufgabe für 4. April Reihe sg 1. AN 8.2. c), AN 8.9. a). 2. Beweise die otwedige Bedigug für die Kovergez eier Reihe: we a koverget ist, da lim a = 0. (I der Praxis: we lim a 0, da ist

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt UNIVERSITÄT KARLSRUHE Istitut für Aalysis HDoz. Dr. P. C. Kustma Dipl.-Math. M. Uhl WS 2008/09 Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum 4. Übugsblatt

Mehr

Lösungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2 Wintersemester 2014/2015

Lösungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2 Wintersemester 2014/2015 Lösuge zum Feriekurs Aalysis, Vorlesug Witersemester 04/05 Fabia Hafer, Thomas Baldauf I Richtig oder Falsch Sid folgede Aussage richtig oder falsch? Korrigiere bzw. ergäze Sie falsche Aussage. Gebe Sie

Mehr

Musterlösungen zur Klausur Analysis I Verständnisteil

Musterlösungen zur Klausur Analysis I Verständnisteil WS 2008/2009 Prof. Dr. Scheider Musterlösuge zur Klausur Aalysis I Verstädisteil 04.02.2009. a A ist ach Defiitio abzählbar, falls A edlich ist, oder falls carda = cardn gilt. b Ei Pukt x A ist ei ierer

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004 Lösuge zu Aufgabeblatt 7

Mehr

Lösungen 7.Übungsblatt

Lösungen 7.Übungsblatt Karlsruher Istitut für Techologie (KIT) WS 20/202 Istitut für Aalysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog Dipl.-Math.tech. Raier Madel Lösuge 7.Übugsblatt Aufgabe 25 (K) Bestimme Sie de Kovergezradius der folgede

Mehr

Kurvendiskussion. Sei c R. Skizzieren Sie den Graphen von f(x) = 1 + x e 2x.

Kurvendiskussion. Sei c R. Skizzieren Sie den Graphen von f(x) = 1 + x e 2x. Kurvediskussio Vorzeigeaufgabe: Sei c R. Skizziere Sie de Graphe vo fx) = + x e x. HS4 Probeprüfug Aufgabe 5 Bestimme Sie das Miimum ud das Maximum der Fuktio fx) = x 3 + 3x x + 0 auf dem Itervall [ 3,

Mehr

Aufgaben zur Analysis I

Aufgaben zur Analysis I Aufgabe zur Aalysis I Es werde folgede Theme behadelt:. Logik, Iduktio, Mege, Abbilduge 2. Supremum, Ifimum 3. Folge, Fuktioefolge 4. Reihe, Potezreihe 5. Mootoie ud Stetigkeit 6. Differetialrechug 7.

Mehr

4 Konvergenz von Folgen

4 Konvergenz von Folgen 4 Kovergez vo Folge Defiitio 4.. Sei M eie Mege. Ist 0 Z ud für jedes Z mit 0 ei a M gegebe, so et ma die Abbildug { Z; 0 } M, a eie Folge i M. Abkürzed schreibt ma für eie solche Abbildug auch a ) 0 oder

Mehr

Analysis I. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

Analysis I. 5. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching Aalysis I 5. Übugsstude Steve Battilaa steveb@studet.ethz.ch battilaa.uk/teachig March 9, 07 Erierug Satz. Quotietekriterium (bei!,,...) Das Quotietekriterium zeigt absolute Kovergez. lim a +

Mehr

4. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

4. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen 4. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 6: Bestimme Sie alle Häufugspukte der Folge mit de Folgeglieder a) a 2 + cosπ), b) b i) i j, ud gebe Sie jeweils eie Teilfolge a, die gege diese Häufugspukte kovergiert.

Mehr

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung

6. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen + Selbsttest-Auflösung 6. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge + Selbsttest-Auflösug Aufgabe 6: Utersuche Sie die Folge, dere Glieder ute für N agegebe sid, auf Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez bzw. Beschräktheit, Mootoie ud Kovergez

Mehr

1. Man zeige, daß (IR n, d i ), i = 1, 2, metrische Räume sind, wenn für x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) IR n die Abstandsfunktionen durch

1. Man zeige, daß (IR n, d i ), i = 1, 2, metrische Räume sind, wenn für x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) IR n die Abstandsfunktionen durch Ma zeige, daß IR, d i ), i,, metrische Räume sid, we für x x,, x ), y y,, y ) IR die Abstadsfuktioe durch d x, y) x y, d x, y) x y ), d x, y) max x y gegebe sid Lösug: Ma muß für alle drei Fuktio d i x,

Mehr

Grenzwertberechnungen

Grenzwertberechnungen Katosschule Solothur Grezwertberechuge Grezwertberechuge Grezwertberechuge bei Folge ud Reihe Folge sid Fuktioe; die Begriffe beschräkt ud mooto trete daher auch bei Folge auf. Isbesodere habe sie eie

Mehr

( 1) n 1 n n n + 1. n=1

( 1) n 1 n n n + 1. n=1 Prof. Dr. L. Schwachhöfer Dr. J. Horst Fakultät Mathematik TU Dortmud Musterlösug zum 6. Übugsblatt zur Höhere Mathematik I P/ET/AI/IT/IKT/MP) WS 20/2 Aufgabe mittels Zeige Sie die Kovergez der Reihe )

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 7. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 7. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Istitut für Aalysis Dr. A. Müller-Rettkowski Dr. T. Gauss WS 00/ Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge

Mehr

Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion. Musterlösung

Technische Universität München Ferienkurs Analysis 1 Hannah Schamoni Folgen, Reihen, Potenzreihen, Exponentialfunktion. Musterlösung Feriekurs Seite Techische Uiversität Müche Feriekurs Aalysis Haah Schamoi Folge, Reihe, Potezreihe, Expoetialfuktio Musterlösug 0.0.0. Folge I Utersuche Sie die Folge a N auf Kovergez bzw. Divergez ud

Mehr

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug:

Mehr

Ubungen zur Analysis 1. Prof. Dr. Kohnen. Dr. O. Delzeith

Ubungen zur Analysis 1. Prof. Dr. Kohnen. Dr. O. Delzeith Ubuge zur Aalysis 1 Prof. Dr. Kohe Dr. O. Delzeith SS 1996 1. Beweise Sie uter Beutzug der i der Vorlesug geate vier Axiome fur N : Sid m; ; p; q 2 N ud gilt m > sowie p > q, so gilt mp > q. (3 Pukte)

Mehr

Analysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr

Analysis I Lösungsvorschläge zum 3. Übungsblatt Abgabe: Bis Donnerstag, den , um 11:30 Uhr Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Lars Machiek Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 206/207 03..206 Aalysis I Lösugsvorschläge zum 3. Übugsblatt Abgabe:

Mehr

ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 2010 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS

ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT121/MAT131 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 2010 PROF. DR. CAMILLO DE LELLIS ÜBUNGSBLATT 4 LÖSUNGEN MAT/MAT3 ANALYSIS I HERBSTSEMESTER 00 PROF. DR. AMILLO DE LELLIS Aufgabe. Etscheide Sie für folgede Folge (wobei N \ {0}), ob diese koverget sid, ud bereche sie gegebeefalls ihre

Mehr

Aufgaben und Lösungen Weihnachtsgeschenke zur Vorlesung Analysis I

Aufgaben und Lösungen Weihnachtsgeschenke zur Vorlesung Analysis I Aufgabe ud Lösuge Weihachtsgescheke zur Vorlesug Aalysis I Der Witersemester 008/009 Übug am 4.., 5..008 sowie 0.0.009 Aufgabe. Folge Aufgabe Ma bestimme, ob die Folge (a ) mit a = + 3 + 4 kovergiert ud

Mehr

Reihen. Konvergenz. Folgen besonderer Art sind unendliche Summen. a k = a 1 + a 2 +..

Reihen. Konvergenz. Folgen besonderer Art sind unendliche Summen. a k = a 1 + a 2 +.. 6 Reihe Folge besoderer Art sid uedliche Summe a k = a + a 2 +... reeller oder komplexer Zahle, dee wir bereits i eiige Beispiele des Abschitts 5.4 begeget sid. Da ma icht sämtliche Glieder eier Folge

Mehr

13. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik

13. Übungsblatt zur Vorlesung Mathematik I für Informatik Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Thomas Streicher Dr. Sve Herrma Dipl.-Math. Susae Pape 3. Übugsblatt zur Vorlesug Mathematik I für Iformatik Witersemester 009/00 6./7. Jauar 00 Gruppeübug Aufgabe G (Reihe)

Mehr

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz LGÖ Ks VMa Schuljahr 6/7 Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 5 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele

Mehr

Analysis 1 für Informatiker und Statistiker Beispielslösungen, Woche 13

Analysis 1 für Informatiker und Statistiker Beispielslösungen, Woche 13 Mathematisches Istitut der LMU WS 016/17 Prof. Dr. S. Morozov Olie am: Dr. H. Hogreve 1. 01. 017 Aalysis 1 für Iformatiker ud Statistiker Beispielslösuge, Woche 1 1.1 (a Um festzustelle, ob die utestehede

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. R. Köig Dr. M. Prähofer Zetralübug TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik Z8.. Kriterie für strege Mootoie Mathematik für Physiker 2 (Aalysis ) MA9202 Witersem. 207/8 Lösugsblatt 8

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr Christoph Schmoeger Dipl-Math Sebastia Schwarz WS 4/5 45 Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zur Übugsklausur Aufgabe

Mehr

Klausur Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik

Klausur Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie KIT) Istitut für Aalysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patric Breuig SS 3.9.3 Klausur Höhere Mathemati I für die Fachrichtug Physi Aufgabe 4+3+3) Pute) a) Sei a ) N eie reelle

Mehr

Index. Majorante, 24 Minorante, 23. Partialsumme, 17

Index. Majorante, 24 Minorante, 23. Partialsumme, 17 Folge, Reihe Idex Kovergezkriterie Hauptkriterium, Leibiz-Kriterium, Majoratekriterium, 4 Mioratekriterium, otwediges Kriterium, 0 Quotietekriterium, teleskopierede Summe, Wurzelkriterium, Majorate, 4

Mehr

Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Folge zu definieren. Die zwei häufigsten Methoden

Es gibt verschiedene Möglichkeiten eine Folge zu definieren. Die zwei häufigsten Methoden Folge ud Reihe Folge Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle N = {0, 1,,...} i die Mege der (zumidest i de meiste Fälle) reelle Zahle R. I diesem Fall ka ma sich eie Folge als Pukte i eiem Koordiatesystem

Mehr

n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n)

n gerade 0 n ungerade (c) x n = a 1 n, a R + (d) x 1 := 2, x n+1 = 2 + x n (e) x n = (f) x n = exp(exp(n)) (g) x n = sin(n) Übugsaufgabe Aalysis I Aufgabe. Beweise oder widerlege Sie: a Jede i R kovergete Folge ist beschräkt. b Es gibt Cauchy-Folge im R, die icht kovergiere. c Beschräkte Folge sid koverget. d Folge mit eiem

Mehr

Kapitel 6 Differenzierbarkeit

Kapitel 6 Differenzierbarkeit Kapitel 6 Differezierbarkeit Ihalt 6.1 6.1Die Defiitio 6.2 6.2Die Eigeschafte 6.3 6.3Extremwerte Seite 2 Was heißt differezierbar? Differezierbare Fuktioe sid sid glatte Fuktioe. Wir Wir beschreibe diese

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof Dr R Köig Dr M Prähofer Zetralübug TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik Mathematik für Physiker (Aalysis ) MA90 Witersem 07/8 Lösugsblatt 4 http://www-m5matumde/allgemeies/ma90 07W (007)

Mehr

KAPITEL 8. Zahlenreihen. 8.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen

KAPITEL 8. Zahlenreihen. 8.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen KAPITEL 8 Zahlereihe 8. Geometrische Reihe................................. 53 8.2 Kovergezkriterie................................. 54 8.3 Absolut kovergete Reihe............................ 64 Lerziele

Mehr

Resultate: Vertauschbarkeit von Grenzprozessen, Konvergenzverhalten von Potenzreihen

Resultate: Vertauschbarkeit von Grenzprozessen, Konvergenzverhalten von Potenzreihen 26 Gleichmäßige Kovergez ud Potezreihe 129 26 Gleichmäßige Kovergez ud Potezreihe Lerziele: Kozepte: Puktweise ud gleichmäßige Kovergez Resultate: Vertauschbarkeit vo Grezprozesse, Kovergezverhalte vo

Mehr

$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $

$Id: reihen.tex,v /06/14 13:59:06 hk Exp $ Mathematik für Iformatiker B, SS 202 Doerstag 4.6 $Id: reihe.tex,v.9 202/06/4 3:59:06 hk Exp $ 7 Reihe 7.4 Kovergezkriterie für Reihe 7.4. Alterierede Reihe Wir hatte gesehe das die harmoische Reihe divergiert,

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 1

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 1 Techische Uiversität Müche Zetrum Mathematik Mathematik (Elektrotechik) Prof. Dr. Ausch Taraz Dr. Michael Ritter Übugsblatt Hausaufgabe Aufgabe. Bestimme Sie de Kovergezbereich M der folgede Reihe für

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 7..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 5. Übugsblatt Aufgabe

Mehr

KAPITEL 3. Zahlenreihen. 3.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen... 80

KAPITEL 3. Zahlenreihen. 3.1 Geometrische Reihe Konvergenzkriterien Absolut konvergente Reihen... 80 KAPITEL 3 Zahlereihe 3. Geometrische Reihe......................... 7 3.2 Kovergezkriterie......................... 72 3.3 Absolut kovergete Reihe.................... 80 Lerziele 3 Eigeschafte der geometrische

Mehr

Analysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übungsblatt

Analysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übungsblatt Aalysis I für M, LaG/M, Ph 4.Übugsblatt Fachbereich Mathematik Sommersemester 200 Dr. Robert Haller-Ditelma 05.05.200 David Bücher Christia Bradeburg Gruppeübug Aufgabe G (Kovergez vo Folge) Beweise Sie:

Mehr

D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler. Musterlösung 2

D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler. Musterlösung 2 D-MATH Topologie FS 15 Theo Bühler Musterlösug 2 1. a) Per Defiitio ist A = {x : x berührt A}. I der Vorlesug wurde die Formel (X A) = ( A ) c gezeigt, also A = ( X A ) c. Daher ist A = A A = A (A ) c

Mehr

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I

Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Aufgabe ud Lösuge Ausarbeitug der Übugsstude zur Vorlesug Aalysis I Witersemester 2008/2009 Übug am 09.2.2008 Übug 8 Eileitug Es soll och eimal auf die agebotee Sprechstude higewiese werde, sowie auf mögliche

Mehr

5.7. Aufgaben zu Folgen

5.7. Aufgaben zu Folgen 5.7. Aufgabe zu Folge Aufgabe : Lieares ud beschräktes Wachstum Aus eiem Quadrat mit der Seiteläge dm gehe auf die rechts agedeutete Weise eue Figure hervor. Die im -te Schritt agefügte Quadrate sid jeweils

Mehr

2 Konvergenz von Folgen

2 Konvergenz von Folgen Kovergez vo Folge. Eifache Eigeschafte Defiitio.. Eie Abbildug A : N C heißt Folge. Ma schreibt a statt A) für N ud a ) oder a ) statt A. We a R N, so heißt a ) reelle Folge. Defiitio.. Seie a ) eie Folge

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 5. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 5. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Istitut für Aalysis Dr A Müller-Rettkowski Dr T Gauss WS 00/ Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum

Mehr

Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 2

Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 2 Aalysis I Ei Lerbuch für de safte Wechsel vo der Schule zur Ui Lösuge der Übugsaufgabe vo Kapitel zu... Ma zeige: Jede Teilfolge eier Umordug eier Folge ka als Umordug eier Teilfolge geschriebe werde.

Mehr

Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 1. Übung

Lösungsvorschlag zu den Hausaufgaben der 1. Übung FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK Prof. Dr. Patrizio Neff Christia Thiel 4.04.04 Lösugsvorschlag zu de Hausaufgabe der. Übug Aufgabe : (6 Pukte Bereche Sie für die Fuktio f : R R, f( : ep( a der Stelle 0 0 das Taylorpolyom

Mehr

Übung 2 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel. Besprechung der Lösungen: 1. Oktober 2018 in den Übungsstunden

Übung 2 (für Pharma/Geo/Bio) Uni Basel. Besprechung der Lösungen: 1. Oktober 2018 in den Übungsstunden Mathematik I für Naturwisseschafte Dr. Christie Zehrt 7.09.18 Übug (für Pharma/Geo/Bio) Ui Basel Besprechug der Lösuge: 1. Oktober 018 i de Übugsstude Aufgabe 1 Sid die folgede Abbilduge f : X Y umkehrbar?

Mehr

Analysis I. Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2014/2015. Vorlesung 20. Konvexe Funktionen

Analysis I. Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2014/2015. Vorlesung 20. Konvexe Funktionen Prof. Dr. H. Breer Osabrück WS 2014/2015 Aalysis I Vorlesug 20 Kovexe Fuktioe Eie kovexe Teilmege. Eie ichtkovexe Teilmege. Defiitio 20.1. Eie Teilmege T R heißt kovex, we mit je zwei Pukte P, Q T auch

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zetrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Iformatiker II (Sommersemester 004) Aufgabe 7. Ubeschräktes

Mehr

3. Taylorformel und Taylorreihen

3. Taylorformel und Taylorreihen Prof Dr Siegfried Echterhoff Aalysis Vorlesug SS 9 3 Taylorformel ud Taylorreihe Sei I R ei Itervall ud sei f : I R eie Fuktio Ziel: Wolle utersuche, wa sich die Fuktio f i eier Umgebug vo eiem Pukt I

Mehr

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz

Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz Zusammefassug Folge ud Kovergez Ihaltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 8 Defiitioe ud Beispiele für Folge Defiitio Eie

Mehr

Analysis I. Carsten Schütt WS 2010/11

Analysis I. Carsten Schütt WS 2010/11 . Falls Christa Purzelbäume schlägt, da isst Bruo Torte. Christa ist geau da übel, we Ato Likör trikt ud Christa Purzelbäume schlägt. Falls Christa übel ist, da ist Bruo besorgt ud isst Torte. Etweder

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 12. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 12. Übungsblatt UNIVERSITÄT KARLSRUHE Istitut für Aalysis HDoz. Dr. P. C. Kustma Dipl.-Math. M. Uhl WS 8/9 Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum. Übugsblatt

Mehr

Repetitorium Analysis 1 für Physiker WS08/09 Montag - Folgen und Reihen Musterlösung

Repetitorium Analysis 1 für Physiker WS08/09 Montag - Folgen und Reihen Musterlösung Repetitorium Aalysis für Physier WS08/09 Motag - Folge ud Reihe Musterlösug. Verstädisfrage Thomas Blasi a Sid folgede Aussage richtig oder falsch: Jede overgete Folge hat eie Grezwert. Richtig. i Der

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastia Schwarz WS 04/05 0..04 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 4. Übugsblatt

Mehr

Übungen zur Infinitesimalrechnung 2, H.-C. Im Hof 19. März Blatt 4. Abgabe: 26. März 2010, Nachmittag. e x2 dx + e x2 dx = 2 e x2 dx

Übungen zur Infinitesimalrechnung 2, H.-C. Im Hof 19. März Blatt 4. Abgabe: 26. März 2010, Nachmittag. e x2 dx + e x2 dx = 2 e x2 dx Übuge zur Ifiitesimalrechug, H.-C. Im Hof 9. März Blatt 4 Abgabe: 6. März, Nachmittag Aufgabe. Zeige e x dx π. Beweis. Wir bemerke als erstes, dass e x dx e x dx + e x dx e x dx formal sieht ma dies per

Mehr

Übungsaufgaben zu Analysis 1 Lösungen von Blatt XII vom sin(nx) n sin(x). sin(ax) a sin(x) z = re iϕ = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) z n = w

Übungsaufgaben zu Analysis 1 Lösungen von Blatt XII vom sin(nx) n sin(x). sin(ax) a sin(x) z = re iϕ = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) z n = w Prof. Dr. Moritz Kaßma Fakultät für Mathematik Witersemester 04/05 Uiversität Bielefeld Übugsaufgabe zu Aalysis Lösuge vo Blatt XII vom 5.0.5 Aufgabe XII. 3 Pukte) Beweise Sie, dass für alle R ud N die

Mehr

Klausur zur Analysis II

Klausur zur Analysis II Uiversität Würzburg Mathematisches Istitut Prof Jör Steudig SS 007 807007 Klausur zur Aalysis II Aufgabe Die Mege M R 3 sei gegebe durch Zeit: 7:45-9:45 M := { x, y, z R 3 expx + y + z = } a Ist M abgeschlosse?

Mehr

Karlsruher Institut für Technologie (KIT) WS 2012/13 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning

Karlsruher Institut für Technologie (KIT) WS 2012/13 Institut für Analysis Prof. Dr. Tobias Lamm Dr. Patrick Breuning Karlsruher Istitut für Techologie KIT) WS 0/3 Istitut für Aalysis 030 Prof Dr Tobias Lamm Dr Patrick Breuig Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Physik 8 Übugsblatt Aufgabe Bereche Sie die Ableituge

Mehr

Scheinklausur Analysis 1 WS 2007 /

Scheinklausur Analysis 1 WS 2007 / Scheiklausur Aalysis 1 WS 2007 / 2008 08.02.2008 Es gibt 11 Aufgabe ud 1 Zusatzaufgabe. Die jeweilige Puktzahl steht am like Rad. Die Gesamtpuktzahl ist 40 Pukte plus 4 Zusatzpukte. Zum Bestehe der Klausur

Mehr

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Michael Hott, M. Sc. WS 05/06 04..05 Höhere Mathematik für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zum 6. Übugsblatt Aufgabe

Mehr

Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen. Reihen reeller Zahlen

Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen. Reihen reeller Zahlen Höhere Mathematik für techische Studiegäge Vorereitugsaufgae für die Üuge Reihe reeller Zahle. Utersuche Sie die folgede Reihe mit Hilfe geeigeter Kovergezkriterie otwediges Kovergezkriterium, Quotiete-,

Mehr

Modulabschlussprüfung Analysis Musterlösung

Modulabschlussprüfung Analysis Musterlösung Bergische Uiversität Wuppertal Fachbereich C Mathematik ud Naturwisseschafte Prof. Dr. N. Shcherbia SoSe 204 Modulabschlussprüfug Aalysis 2.07.204 Musterlösug. Utersuche Sie folgede Reihe auf Kovergez

Mehr

1 Übungszettel. Beispiel 1.1. Beweisen Sie den binomischen Lehrsatz, d.h. für alle a, b 2 R, n 2 N gilt. (a + b) n = a k b n k. k

1 Übungszettel. Beispiel 1.1. Beweisen Sie den binomischen Lehrsatz, d.h. für alle a, b 2 R, n 2 N gilt. (a + b) n = a k b n k. k 1 Übugszettel Beispiel 1.1. Beweise Sie de biomische Lehrsatz, d.h. für alle a, b 2 R, 2 N gilt (a + b) =! X a k b k. k HINWEIS: Berücksichtige Sie, dass für alle,k 2 N mit 1 k gilt k=0!!! + 1 = +. k k

Mehr

Reelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37

Reelle Folgen. Definition. Eine reelle Folge ist eine Abbildung f : N R. liefert ( 7 9, 37 Reelle Folge Der Begriff der Folge ist ei grudlegeder Baustei der Aalysis, weil damit u.a. Grezprozesse defiiert werde köe. Er beschreibt de Sachverhalt eier Abfolge vo Elemete, wobei die Reihefolge bzw.

Mehr

3. Anwendungen der Differentialrechnung

3. Anwendungen der Differentialrechnung Talorsche Formel ud Mittelwertsatz 4 Aweduge der Differetialrechug Talorsche Formel ud Mittelwertsatz Die Gleichug der Tagete = f ( ( a die Kurve = f( im Pukt (, liefert eie grobe Näherug für die Fuktio

Mehr

D-ITET Analysis I HS 2018 Prof. Alessandra Iozzi. Musterlösung 6. und berechnen. = lim. = lim. n n. = lim

D-ITET Analysis I HS 2018 Prof. Alessandra Iozzi. Musterlösung 6. und berechnen. = lim. = lim. n n. = lim D-ITET Aalysis I HS 2018 Prof. Alessadra Iozzi Musterlösug 6 1. a) Wir setze a := 1 (3+1) 4 ud bereche a a +1 = 1. ( 3( + 1) + 1 1 3 + 1 3 + 4 3 + 1 ( 3 + 4 ) 4 3 + 1 Der Limes existiert isbesodere ud

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik. Lösungsvorschläge zum 5. Übungsblatt

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik. Lösungsvorschläge zum 5. Übungsblatt Istitut für Aalsis WS206/7 PD Dr Peer Christia Kustma 8206 Dipl-Math Leoid Chaicheets Johaa Richter, MSc Tobias Schmid, MSc Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Phsik Lösugsvorschläge zum 5 Übugsblatt

Mehr

6 Grenzwerte von Zahlenfolgen

6 Grenzwerte von Zahlenfolgen 6 Grezwerte vo Zahlefolge Ei zetraler Begriff der Aalysis ist der des Grezwertes. Wir begie mit der Betrachtug vo Grezwerte vo Zahlefolge. 6. Zahlefolge 6.. Grudbegriffe Defiitio 6... Eie Fuktio f : Z

Mehr

Reihen. Folgen besonderer Art sind unendliche Summen. a k = a 1 + a

Reihen. Folgen besonderer Art sind unendliche Summen. a k = a 1 + a 6 Reihe Folge besoderer Art sid uedliche Summe a k = a + a 2 +... reeller oder komplexer Zahle, dee wir bereits i eiige Beispiele des Abschitts 5-d begeget sid. Da ma icht sämtliche Glieder eier Folge

Mehr

Kapitel 9. Aufgaben. Verständnisfragen

Kapitel 9. Aufgaben. Verständnisfragen Kapitel 9 Aufgabe Verstädisfrage Aufgabe 9. Hadelt es sich bei de folgede für z C defiierte Reihe um Potezreihe? Falls ja, wie lautet die Koeffizietefolge ud wie der Etwicklugspukt? a c 3! j0 x! j x j

Mehr

Kapitel 2 Differentialrechnung in einer Variablen. 2.1 Folgen und Grenzwerte

Kapitel 2 Differentialrechnung in einer Variablen. 2.1 Folgen und Grenzwerte Kapitel 2 Differetialrechug i eier Variable 2. Folge ud Grezwerte 2.. Defiitio Eie Folge ist eie Zuordug N R, a, geschriebe als Liste (a,a 2,...) oder i der Form (a ) N. Hier sid ei paar Beispiele: 2,4,6,8,...

Mehr

Lösungen zur Nachklausur zur Analysis einer Variablen F. Merkl

Lösungen zur Nachklausur zur Analysis einer Variablen F. Merkl Lösuge zur Nachlausur zur Aalysis eier Variable F. Merl 3.4.7. Die folgede Teilaufgabe baue teilweise aufeiader auf. Sie dürfe die Ergebisse vorhergeheder Teilaufgabe auch da verwede, we Sie diese icht

Mehr

Kapitel 3 Folgen von reellen Zahlen

Kapitel 3 Folgen von reellen Zahlen Wolter/Dah: Aalysis Idividuell 4 Kapitel 3 Folge vo reelle Zahle Wir befasse us i diesem Abschitt mit Zahlefolge, die u.a. zur Eiführug ud 3/0/0 Behadlug des für die Aalysis äußerst wichtige Grezwertbegriffes

Mehr

Musterlösung der Klausur. Analysis I WS 2012/13

Musterlösung der Klausur. Analysis I WS 2012/13 Musterlösug der Klausur Aalysis I WS 202/3 Aufgabe (C) Die Folge ( ) 2N 2 R N sei durch : (2 + 32 )( + 2) 2 3 + 2 2 gegebe Ma utersuche mittels der Recheregel für Kovergez, ob ( ) 2N kovergiert ud bereche

Mehr

Folgen und Reihen. Inhaltsverzeichnis. A. Mentzendorff Geändert: August 2008

Folgen und Reihen. Inhaltsverzeichnis. A. Mentzendorff Geändert: August 2008 A. Metzedorff Geädert: August 008 Folge ud Reihe Ihaltsverzeichis Folge. Der Folgebegriff.................................... Arithmetische ud geometrische Folge......................3 Mootoe ud beschräkte

Mehr

( 1) n a n. a n 10. n=1 a n konvergiert, dann gilt lim a n = 0. ( 1) n+1

( 1) n a n. a n 10. n=1 a n konvergiert, dann gilt lim a n = 0. ( 1) n+1 Kapitel 8 Aufgabe Verstädisfrage Aufgabe 8. Ist es möglich, eie divergete Reihe der Form a zu kostruiere, wobei alle a > 0 sid ud a 0 gilt. Beispiel oder Gegebeweis agebe. Aufgabe 8. Gegebe ist eie Folge

Mehr

Dirichlet-Reihen II. 1 Konvergenzeigenschaften von Dirichlet-Reihen

Dirichlet-Reihen II. 1 Konvergenzeigenschaften von Dirichlet-Reihen Vortrag zum Semiar zur Fuktioetheorie, 7.2.2007 Holger Witermayr I diesem Vortrag werde wir Kovergezeigeschafte vo Dirichlet-Reihe erarbeite ud eie Vergleich zu Potezreihe ziehe. Ei weiteres Ziel dieses

Mehr

Tutorium Mathematik I, M Lösungen

Tutorium Mathematik I, M Lösungen Tutorium Mathematik I, M Lösuge 16. November 2012 *Aufgabe 1. Ma utersuche die folgede Reihe auf Kovergez (a) ( 1) (1 ) (b) ( ) 2 +1 (c) (!) 3 10 (3)! (d) (e) (f) 2 +3 3 2 +1 3 ( 2 +1) 2 + 3 ( 2 +3) (g)

Mehr

Kompaktheit und gleichgradige Stetigkeit. 1 Einführung in die Kompaktheit in C 0

Kompaktheit und gleichgradige Stetigkeit. 1 Einführung in die Kompaktheit in C 0 Kompaktheit ud gleichgradige Stetigkeit Vortrag zum Prosemiar zur Aalysis, 14.06.2010 Mao Wiescherma Matthias Klupsch Dieser Vortrag beschäftigt sich mit Kompaktheit vo Teilräume vom Raum der stetige Abbilduge

Mehr

Analysis II Sommer 2016 Prof. Dr. George Marinescu / Dr. Frank Lapp Übung

Analysis II Sommer 2016 Prof. Dr. George Marinescu / Dr. Frank Lapp Übung Aalysis II Sommer 06 Prof Dr George Mariescu / Dr Frak Lapp Übug Zuallererst sollt ihr die zusätzliche Übug utze um Lösuge vo Aufgabe zu bespreche, zu dere Besprechug ihr i de Übuge davor icht gekomme

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 9

Aufgaben zu Kapitel 9 Aufgabe zu Kapitel 9 Aufgabe zu Kapitel 9 Verstädisfrage Aufgabe 9. Hadelt es sich bei de folgede für z C defiierte Reihe um Potezreihe? Falls ja, wie lautet die Koeffizietefolge ud wie der Etwicklugspukt?

Mehr

Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien

Zahlenfolgen und Konvergenzkriterien www.mathematik-etz.de Copyright, Page of 7 Zahlefolge ud Kovergezkriterie Defiitio: (Zahle-Folge, Grezwert) Eie Folge ist eie Abbildug der atürliche Zahle i die Mege A. Es ist also im Fall A: ; f: mit

Mehr

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik

Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik Karlsruher Istitut für Techologie Istitut für Aalysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastia Schwarz SS 5 7.9.5 Höhere Mathematik I für die Fachrichtug Physik Lösugsvorschläge zur Bachelor-Modulprüfug

Mehr

α : { n Z n l } n a n IR

α : { n Z n l } n a n IR 1 KAPITEL VI. ZAHLENFOLGEN UND REIHEN 1) REELLE ZAHLENFOLGEN: i) Jede Abbildug α : IN a IR heiÿt 'reelle Zahlefolge' bzw. 'Folge i IR'. Ma otiert diese i der Form α = a ) IN = a ) =0 = a 0, a 1, a 2,...)

Mehr

Musterlösung zu Blatt 8 der Vorlesung Analysis I WS08/09

Musterlösung zu Blatt 8 der Vorlesung Analysis I WS08/09 Musterlösug zu Blatt 8 der Vorlesug Aalysis I WS08/09 Schriftliche Aufgabe Aufgabe. Voraussetzuge: Für alle N setze a : +2 ud b : ( 2. [Amerkug: I der Aufgabestellug heiÿe die Reihe beide gleich. Es steht

Mehr

Kleingruppen zur Service-Veranstaltung Mathematik I fu r Ingenieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS12/13 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk,

Kleingruppen zur Service-Veranstaltung Mathematik I fu r Ingenieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS12/13 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, Musterlo suge zu Blatt 0 Kleigruppe zur Service-Verastaltug Mathematik I fu r Igeieure bei Prof. Dr. G. Herbort im WS/3 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, 9.. Theme: Kovergez vo Folge Aufgabe P (i) Sei a : k kk.

Mehr

4. Reihen Definitionen

4. Reihen Definitionen 4. Reihe 4.1. Defiitioe Addiere wir die Glieder eier reelle Zahlefolge (a k ), so heißt diese Summe S (uedliche) (Zahle-) Reihe S (Folge: Fuktio über N; Reihe: 1 Zahl): S := a 1 + a 2 + a 3 +... := Σ a

Mehr

Übungen zu Einführung in die Analysis, WS 2014

Übungen zu Einführung in die Analysis, WS 2014 Übuge zu Eiführug i die Aalysis, WS 2014 Ulisse Stefaelli 19. Jauar 2015 1 Wiederholug 1. Seie p, q ud r Aussage. Zeige Sie, dass dei Aussage Tautologie sid. p ( p q), (b) ( p q) ( p q), [ ((p ) ( ) ]

Mehr