Berechnung von Formfaktoren

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Jesko Straub
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1 Berechnung von Formfaktoren Oliver Deussen Formfaktorberechnung 1

2 Formfaktor ist eine Funktion in Abhängigkeit der Geometrie ist unabhängig von reflektierenden oder emittierenden Eigenschaften (ρ) der Oberflächen ist abhängig von Abstand und Orientierung zweier Elemente, (sowie der Sichtbarkeit zwischen diesen Elementen!) Bezeichnung: F ij : Anteil Licht, das von A i ausgehend A j trifft Oliver Deussen Formfaktorberechnung 2

3 Darstellung als zweifaches Flächen-Integral: F ij = 1 A i A i Aj cos θ cos θ π r 2 V ij da j da i Oliver Deussen Formfaktorberechnung 3

4 Darstellung als zweifaches Fläche-Raum-Integral: F ij = 1 A i dω j = cos θ j da j A i Ω r 2 cos θ i π V ij dω j da i Oliver Deussen Formfaktorberechnung 4

5 Darstellung als zweifaches Randintegral (Anwendung des Stockes schen Satzes, das Flächenintegral wird in diesem Fall zu einem Randintegral) F ij = 1 2π A i C i C j ln r dx i dx j + ln r dy i dy j + ln r dz i dz j Oliver Deussen Formfaktorberechnung 5

6 Generelle Berechnungsmethoden Oliver Deussen Formfaktorberechnung 6

7 Analytische Methoden für einfache Elemente (Element-Element) und für differentielle Flächen vollständige Sichtbarkeit wird vorausgesetzt 1. Differentielle Fläche auf Kreis Oliver Deussen Formfaktorberechnung 7

8 2. Differentielle Fläche auf Polygon (kommt häufig vor) F dai A j = 1 2π n i=1 β i cos α i Oliver Deussen Formfaktorberechnung 8

9 3. Formfaktor zwischen parallelen Rechtecken F ij = { [ 2 (1 + X 2 )(1 + Y 2 ] 1/2 ) ln πxy 1 + X 2 + Y 2 +Y ( ) 1 + X2 tan 1 Y X tan 1 X Y tan 1 Y } 1 + X 2 Oliver Deussen Formfaktorberechnung 9

10 4. Formfaktor zwischen senkrechten Rechtecken F ij = 1 πw ln [ { W tan 1 1 W + H tan 1 1 H H 2 + W 2 tan 1 1 H 2 +W 2 1+W 2 +H 2 (1+W 2 )(W 2 +H 2 ) (1+H 2 )(W 2 +H 2 ) ( (1+W 2 )(1+H 2 ) W 2 (1+W 2 +H 2 ) ) W 2 ( H 2 (1+H 2 +H 2 ) ) ]} H 2 Oliver Deussen Formfaktorberechnung 10

11 Algebraische Gesetze für Formfaktoren Oliver Deussen Formfaktorberechnung 11

12 Numerische Berechnung von Formfaktoren Gaußsche Quadratur: H = X h(x) dx Ĥ = n k=1 ω k h(x k ) mit: ω k : Gewichte, x k : Stützstellen Formfaktorberechnung (Zweifach-Integral): hierbei Stützpunkte entweder Punktpaare (x k, x k ) (R2 R 2 ) (im Falle von Fläche-Fläche Integralen) oder Punkt-Vektorpaare (x k, ω) (R 2 S 2 ) (für Fläche-Raum-Integrale) Oliver Deussen Formfaktorberechnung 12

13 beide Formen der Integrale haben dasselbe äußere Integral, daher: 1. Wähle Punkte x i auf A i 2. Werte das innere Integral da j für jeden Punkt aus oft wird nur ein Punkt x i verwendet F ij = 1 A i A i Ω G iω dω da i Ω G iω dω für Stützpunkt x i ansonsten: Normalisierte Summe von Punten x i Oliver Deussen Formfaktorberechnung 13

14 Wie kann über Hemisphäre gesampelt werden? Geometrischer Kern des Integrals: G iω = cos θ i π V ij wobei V ij = { 0 Punkt xi sieht Fläche A j nicht 1 sonst aufwändig: Sichtbarkeitsbestimmung FF von Element i zu allen anderen Elementen wird benötigt Sichtbarkeitsberechnung einmal durchführen FF entstehen durch Aufsummieren differentieller Formfaktoren (F ik wird verändert, wenn k das Element ist, das in Richtung d ω von da gesehen wird) Sampling der Hemisphäre erzeugt eine Zeile in K Oliver Deussen Formfaktorberechnung 14

15 Nusselt-Analogie Formfaktor von da i auf Element A j ist proportional zur Fläche der Doppelprojektion auf die Kreisscheibe Oliver Deussen Formfaktorberechnung 15

16 Fläche auf Einheits-Hemisphäre entspricht Raumwinkel (d ω cos θ j r 2 ) Projektion auf Grundfläche entspricht cos θ i (π durch Kreisfläche) cos θ i π cos θ j r 2 hierbei sind: cos θ i π cos θ j r 2 : G iω ohne Sichtbarkeit : äußerer Term Oliver Deussen Formfaktorberechnung 16

17 Hemicube-Verfahren Ersetze Kreis durch Würfel mit kleinen Zellen Sichtbarkeit bestimmen (über Z-Buffer und ID-Buffer), Oliver Deussen Formfaktorberechnung 17

18 für jedes x i für alle Seitenflächen Sichtbarkeit bestimmen Hardware einsetzbar Berechnung des Formfaktors: F ij = Cosinusterm Anzahl Pixel für Fläche A j Gesamtzahl Pixel pro Schritt werden alle F ij ermittelt Problem: Aliasing (Sampling-Probleme) Oliver Deussen Formfaktorberechnung 18

19 Sillions Verbesserung statt Würfel nur noch eine Fläche (Single plane method) Ersetze Z-Buffer durch Algorithmus von Warnock flexibler, geringere Aliasprobleme Elemente am Horizont werden übergangen (nicht so schlimm, sie tragen wenig zur Gesamthelligkeit bei) Oliver Deussen Formfaktorberechnung 19

20 Monte-Carlo-Raytracing reverse Nusselt-Analogie flexibel wichtige Teile werden genauer gesampelt Oliver Deussen Formfaktorberechnung 20

21 Flächensampling Hemispherensampling dann effizient, wenn FF von einzelnem Punkt zu allen Flächen berechnet werden muß oftmals: FF von einem Elementpaar muß bestimmt werden F dai A j = cos θ i cos θ j A j π r 2 V ij da j zwei Möglichkeiten: Monte-Carlo Integration oder Subdivision Monte-Carlo-Integration: bestimme Punkte auf A j und sammle FF-Teile auf Oliver Deussen Formfaktorberechnung 21

22 Oliver Deussen Formfaktorberechnung 22

23 Flächen-Unterteilung (Subdivision) 1. Möglichkeit: uniforme Unterteilung, einfache Formel für Teilflächen F dai A j = wird approximiert durch: cos θ i cos θ j A j π r 2 V ij da j F dai A j m k=1 cos θi k π (r k ) 2 cos θk j V (da i, A k j ) A k j immer noch Aliasing-Probleme Oliver Deussen Formfaktorberechnung 23

24 2. Möglichkeit: adaptive Unterteilung Fläche wird unterteilt, wenn Änderung pro Fläche zu groß bei hohen Gradienten wird öfter unterteilt höhere Genauigkeit Oliver Deussen Formfaktorberechnung 24

25 Oliver Deussen Formfaktorberechnung 25

26 Monte-carlo Fläche-Fläche Quadratur Erweiterung der bisherigen da i A j Methoden auf A i A j Oliver Deussen Formfaktorberechnung 26

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