Begleitdokument zum Chinese Remainder Theorem - Applet

Transkript

1 Begleitdokument zum Chinese Remainder Theorem - Applet für die Lehrperson 1. Einleitung 1.1 Der chinesische Restsatz Der chinesische Restsatz besagt folgendes: Gegeben seien positive ganze Zahlen n 1,..., n r, welche paarweise relativ prim sind. Dann hat das Gleichungssystem x a 1 (mod n 1 ) Μ x a (mod ) r n r eine ganzzahlige Lösung x, welche eindeutig ist modulo (n 1... n r ). Dabei sind a 1,..., a r beliebige ganze Zahlen. Beispiel: Das Gleichungssystem x x x 2 (mod 3 (mod 2 (mod 3) 5 ) 7 ) ist für x = 23 erfüllt. Diese Lösung ist die einzige modulo Ziel des Chinese Remainder Theorem - Applets Das Applet visualisiert den chinesischen Restsatz für zwei Gleichungen, resp. zwei Moduli (r = 2). Der Benutzer kann selber zwei Moduli n 1 und n 2 wählen und sowohl für verschiedene Gleichungssysteme die entsprechende Lösung wie auch umgekehrt für eine Zahl x ihr Abbild (mod n 1, mod n 2 ) bestimmen. Mit dieser einfachen Lernumgebung werden die wesentlichen Aspekte des Theorems veranschaulicht. Das Theorem kann an verschiedenen Beispielen überprüft werden und der Benutzer erfährt auch, weshalb die Moduli relativ prim sein müssen. 1

2 2. Anwendung des Applets 2.1 Aufbau des Applets Das Applet besteht aus fünf vertikal angeordneten Bereichen. Bereich 1: Der oberste Bereich dient der Eingabe zweier Moduli n 1 und n 2. Bereich 2: Bereich 3: Bereich 4: Bereich 5: Dieser Bereich stellt die Zahlen von 0 bis (n 1 n 2-1) dar. Hier befinden sich die wichtigsten Elemente zur Steuerung der Lernumgebung. Dieser Bereich stellt die Zahlen mod n 1 und mod n 2 dar. Im folgenden wird dieser Bereich teilweise mit CRT-Raum bezeichnet. Der unterste Bereich schliesslich ist reserviert für das Werkzeug ( Tool ). 2

3 2.2 Abbildungen in den CRT-Raum In diesem Modus soll der Benutzer für eine Zahl mod (n 1 n 2 ) die Entsprechung (mod n 1, mod n 2 ) finden. Dazu ist wie folgt vorzugehen: 1. Eingabe der Moduli (hier z.b. 8 und 6) und dann Klick auf Apply. Die Moduli müssen dabei nicht relativ prim sein. 2. Klick auf den Pfeil nach unten (falls nicht schon aktiviert). 3. Nun wird eine Zahl aus Bereich 2 durch Klicken angewählt (hier z.b. die Zahl 19 ). 4. Als nächstes muss die entsprechende Zahl (mod n 1, mod n 2 ) gefunden werden. Dazu wird auf ein Element in Bereich 4 geklickt. Wenn sich die beiden Elemente entsprechen, blinken sie zweimal grün auf und die Zahl aus Bereich 2 wird abgehakt und unten eingetragen. Andernfalls blinken die beiden Elemente rot auf, und der Benutzer muss seine Berechnungen nochmals überprüfen. 3

4 2.3 Lösen von Kongruenzsystemen In diesem Modus soll der Benutzer für eine Zahl, deren Wert (mod n 1, mod n 2 ) er kennt, eine entsprechende Zahl mod (n 1 n 2 ) finden. Dies entspricht dem Lösen eines Gleichungssystems bestehend aus zwei Kongruenzen. Aufbauend auf obigem Beispiel ist wie folgt vorzugehen: 1. Klick auf den Pfeil nach oben. 2. Wählen einer Zahl aus Bereich 4, z.b. (2, 4). 3. Nun muss die entsprechende Zahl in Bereich 2 gefunden werden. Bei korrekter Abbildung blinken die beiden Elemente wieder grün, und die Zahl in Bereich 2 wird abgehakt. 4

5 2.4 Das Werkzeug Zum Lösen von Gleichungssystemen steht dem Benutzer ein Hilfsmittel zur Verfügung. Angenommen der Benutzer möchte folgendes Gleichungssystem lösen: x x 4 (mod 3 (mod 6 ) 5) Er kann dazu zwei Faktoren s und t suchen, für die gilt: 4 + 6s = 3 + 5t Durch Anklicken von Use Tool erscheint im Bereich 5 eine Hilfe, um genau diese beiden Faktoren zu bestimmen. Die Zahl zwischen den gelben resp. grünen Buttons entspricht dabei s resp. t. Kann man die beiden Läufer zum Überlagern bringen, hat man eine Lösung für das Gleichungssystem gefunden. In unserem Beispiel ist das für s=4, t=5 der Fall. Die Lösung lautet also x=28. Nun kann das gefundene x wie normal in Bereich 2 angeklickt werden. 5

6 2.5 Clear und Solution Der Button Clear setzt alle gefundenen Lösungen zurück. Ein Klick auf den Solution -Button zeigt alle Entsprechungen an: 2.6 Animation mehrer Lösungen Im Falle nicht relativ primer Moduli haben gewisse Gleichungssysteme mehrere Lösungen im Bereich 0 bis n 1 n 2-1, andere dafür gar keine. Das Applet stellt mehrere Lösungen durch ein zeitliches Nacheinander animiert dar. Untenstehende Abbildung zeigt anhand der Lösung für die Moduli 8 und 6 die beiden Screenshots, welche sich ca. jede Sekunde abwechseln. Der Benutzer hat über die Steuerungselemente die Möglichkeit, die Animation zu stoppen und wieder zu starten. 6

7 3. Vorschläge für Aufgaben Das Applet eignet sich gut zum selbstständigen Experimentieren mit den verschiedenen Eigenschaften des Chinese Remainder Theorem. Die Lehrperson kann aber auch konkrete Aufgaben vorgeben, welche die Schülerinnen dann mit Hilfe des Applets zu lösen haben. In diesem Kapitel werden ein paar Anregungen für mögliche Aufgabentypen gegeben. 3.1 Relativ prime Moduli Ein erster Typ von Aufgaben übt das modulare Rechnen und veranschaulicht den chinesischen Restsatz in seiner ursprünglichen Form. Dabei werden nur relativ prime Moduli verwendet. Die folgenden drei Beispiele können als Grundlage dienen. Aufgabentyp 1 Berechne 19 mod 8 und 19 mod 7. Kontrolliere Dein Ergebnis, indem Du das entsprechende Element im CRT-Raum anklickst. Aufgabentyp 2 Finde ein ganzzahliges x<15, welches das folgende Gleichungssystem erfüllt: x 2 (mod 5) x 1 (mod3) Verwende dabei das Werkzeug, und versuche zu verstehen, wie es funktioniert. Aufgabentyp 3 Bei dieser Aufgabe kann der Schüler anhand eines Beispiels verifizieren, dass für relativ prime Moduli tatsächlich jedes Gleichungssystem von Kongruenzen eine eindeutige Lösung hat. a) Gebe die Moduli 5 und 3 ein und bilde dann die Zahlen von 0 bis 14 der Reihe nach in den CRT-Raum ab. Wo erscheint jeweils die nachfolgende Zahl bezüglich der vorhergehenden? Beschreibe das Prinzip kurz. b) Bleiben gewisse Felder im CRT-Raum leer? Gibt es Doppelbelegungen? 7

8 Lösung 3 a) Die Zahlen kommen der Diagonale entlang zu liegen, wobei sie an den Rändern jeweils zyklisch am anderen Ende wieder hineinkommen ( modular ). Das sieht man auch dem Farbverlauf des Screenshots der Lösung an: b) Jede Zahl von 0 bis 14 hat ihren eigenen Platz im CRT-Raum. 3.2 Nicht relativ prime Moduli Eine andere Kategorie von Aufgaben geht der Frage nach, weshalb im chinesischen Restsatz nur relativ prime Moduli zugelassen sind. Die Schülerin erkennt, was passiert, wenn diese Voraussetzung verletzt wird. Aufgabentyp 1 Bilde für die Modulo-Paare (3,5), (2,6) und (4,5) jeweils einige Zahlen in den CRT-Raum ab (oder in die entgegengesetzte Richtung). a) Bei welchen dieser Modulo-Paare kommen nie zwei Zahlen auf das gleiche Feld im CRT-Raum zu liegen? b) Finde die schwächste Anforderung an die beiden Moduli, damit nie zwei Zahlen auf das gleiche Feld zu liegen kommen. Findest Du mit diesen Modulo-Paaren noch keine Gesetzmässigkeit, dann nehme eigene Modulo- Paare hinzu! Lösung 1 a) Bei (3,5) und (4,5) kommen nie zwei Zahlen auf das gleiche Feld zu liegen. b) Die schwächste Anforderung ist, dass die beiden Moduli relativ prim sind. 8

9 Aufgabentyp 2 Benutze das Modulo-Paar (4,4) und beginne die Zahlen von 0 bis 15 der Reihe nach abzubilden. a) Welche Zahl ist die erste, die auf ein bereits besetztes Feld zu liegen kommt? b) Wie lautet das Resultat allgemein bei zwei Moduli n 1 und n 2? Lösung 2 Die Zahl 4 kommt auf das gleiche Feld zu liegen wie die Zahl 0. Allgemein ist die Abbildung nur eindeutig bis zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen der beiden Moduli. Aufgabentyp 3 Benutze das Modulo-Paar (8,6). Welche Zahl(en) werden auf das gleiche Feld abgebildet wie die Zahl 2? Tipp: Benutze das Tool! Lösung 3 Der Schüler kann hier einfach die 2 abbilden und dann für dieses Element das Tool öffnen. Jede Kollision der Läufer wird auf das selbe Element abgebildet. Hier ist das neben der Zahl 2 nur noch für die Zahl 26 der Fall: 9

10 3.3 Entdeckungen mit dem CRT-Applet Dieser Typ Aufgaben richtet sich an fortgeschrittenere Schülerinnen. Das ganze CRT-Applet dient dabei nur noch als Werkzeug, um gewisse Vermutungen schnell zu testen. Dabei wird meistens direkt der "Solution"- Button benutzt, um sich die Lösungsbilder verschiedener Modulo-Paare anzusehen. Aufgabentyp 1 Wie viele Elemente aus dem Bereich 0 bis (n 1 n 2-1) werden allgemein auf das gleiche Element (mod n 1, mod n 2 ) abgebildet? Tipp: Probiere verschiedene Modulo-Paare aus und lasse Dir jeweils die Lösung anzeigen. Lösung 1 (n 1 n 2-1) / lcm(n 1,n 2 ), wobei lcm(.,.) das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen ist. Aufgabentyp 2 Welche Elemente kommen bei einem allgemeinen Modulo-Paar (n 1, n 2 ) auf das gleiche Feld zu liegen wie eine gegebene Zahl i? Überprüfe Deine Vermutung, in dem Du für einige Modulo-Paare jeweils ein Element wählst und mit dem Tool alle seine Kollisionspartner bestimmst. Lösung 2 Alle Zahlen {i+k lcm(n 1,n 2 ) (k 0) (-1 < i+k lcm(n 1,n 2 ) < n 1 n 2 )} kommen auf das selbe Feld wie i zu liegen. 10

11 4. Literaturhinweise Eine sehr ausführliche Einführung in den chinesischen Restsatz mit einem historischem Überblick und vielen Anwendungen gibt das folgende Buch: Chinese Remainder Theorem Applications in Computing, Coding, Cryptography (1996) von C. Ding, D. Pei & A. Salomaa; Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific. SwissEduc bietet im Bereich der Modulararithmetik weitere Materialien für den Unterricht an. Speziell hinzuweisen ist auf die Werkstatt Modular- Multiplikation ( 11