Institut für Thermodynamik Prof. Dr. rer. nat. M. Pfitzner Thermodynamik I - Lösung 8. Aufgabe kg Luft (perfektes Gas: κ = 1,4 ; R L = 287 J

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1 Aufgabe 3 0 kg Luft perfektes Gas: κ,4 ; R L 287 J von T 293 K und p 0,96 bar werden auf 0 bar verdichtet. Dies soll. isochor 2. isotherm 3. reversibel adiabat und 4. polytrop mit n,3 geschehen. a Skizzieren Sie die jeweilige Zustandsänderung im p-v-diagramm. b Berechnen sie jeweils allgemein und zahlenmäßig die Endtemperatur T 2, das Endvolumen, die übertragene Wärme Q 2 und die Volumenänerungsarbeit W V,2 Gegeben: Luft als perfektes Gas κ,4 R L 287 J m 0 kg Zustand : T 293 K, p 0,96 bar Zustand 2: T 2? 0 bar a Skizzieren Sie die jeweiligen Zustandsänderungen im p-v-diagramm! p v n const - isochor: n p v const - isotherm: n p v const - isobar: n 0 p v 0 const - isentrop: n κ p v κ const - polytrop: n n p v n const

2 b Berechnen sie jeweils allgemein und zahlenmäßig die Endtemperatur T 2, das Endvolumen, die übertragene Wärme Q 2 und die Volumenänerungsarbeit W V,2! geschlossenes System. isochore Zustandsänderung v const p pv RT ; T R v const p T T 2 0 bar T 2 T 293 K p 0.96 bar 3052,08 K V W V,2 m R T p 0 kg 287 J 293 K 0, Pa 8,759 m 3 p dv 0,da dv 0. HS für ein geschlossenes System: 2 U Q W V,2 c v mt 2 T Q 2 Nebenrechnung: I κ cp c v II c p c v R c p c v κ c v κ R c v R κ Q 2 R κ m T 2 T 287 J,4 9796,4 kj 0 kg 3052, K 2

3 2. isotherme Zustandsänderung p v R T const p v v 2 p v p v p p v v T 293 K T 2 p m v }{{} m 2 v 2 V }{{} 2 V 8,759 m 3 V p 0,96 bar 0 bar 0,84 m 3 W V,2 p V p dv p V dv V p V ln dv V V2 V W V,2 p V ln V p V ln p2 p isotherm, p V m R T spezifisch : w V,2 R T ln v v 2 R T ln p2 p W V,2 0, N 0 bar m 2 8,759 m3 ln 0,96 bar 970,5 kj > 0. Hauptsatz geschlossenes System: Q 2 p V ln V2 V mc v T 2 T }{{} 0 2 U Q 2 +W V,2 Q 2 p V ln p Q 2 +W V,2 W V,2 970,5 kj W V,2 isotherme Wärmezu-/abfuhr 3

4 3. reversibel adiabate Zustandsänderung isentrop R T p p p v κ const p v κ v2 κ v p p v p κ 2 v p κ 2 v2 bzw. p p v 2 p v R T v R T p κ const p p κ Rκ T κ p κ R κ T κ p κ 2 R κ T2 κ v κ p2 p κ κ T T 2 κ κ p κ T2 κ T bzw. T 2 T κ p2 κ p T 2 κ p2 κ T p m R T 2 V W V,2 p dv p V κ κ V p dv V κ p V κ }{{} V κ V 0 bar 293 K 0,96 bar p,4,4 572,33 K κ 8,759 m3 0,96 bar 0 bar [ ] V κ 2 V κ κ V2 p V κ V [ m R T p ] κ κ κ 0 kg 287 J 2004,2 kj > K,4 [ V κ 2 V κ κ 4 ] V κ V κ [ 0.96 ],4 bar,4 0 bar,4,643 m 3

5 . Hauptsatz geschlossenes System: 2 U Q 2 +W 2 Q 2 c v mt 2 T W V,2 0 reversibel adiabate Zustandsänderung! 4. polytrope Zustandsänderung: p v n const ; p V n const analog reversibel adiabat mit Polytropenexponent n p V n V2 n p V n n V pv p p V V n V T 2 T n p2 n p ; V p2 n p T 2 p2 n 0 bar,3 V 8,759 m3,444 m 3 p 0,96 bar n p2 n T p,3 0 bar,3 293 K 0,96 bar 503,9 K W V,2 p dv p V n p V n p V n n p V n V n dv V n dv p V n V n+ n [ n+ V n+ [V n+] V V n+ 2 V n+ ] V2 V V n+ V n+, V n+ ausklammern W V,2 p V n V n Volumenarbeit bei polytroper Zustandsänderung n bzw. mit V n p n n V p2 n p 5

6 W V,2 p V n [ p2 n n p ] polytrope Volumenarbeit Druckverhältnis oder: n p V n V2 n V p W V,2 n n [ p V n V2 n p p V ] V n V n p p V 2 W V,2 n p V polytrope Volumenarbeit mit p V m R T und R c v κ folgt: W V,2 m R n T 2 T m c v κ n T 2 T W V,2 0 kg 287 J,3 200,8 kj > 0 503,9 K 293 K. Hauptsatz geschlossenes System: 2 U Q 2 +W 2 m c v T 2 T reversibel Q 2 m c v T 2 T W V,2 m c v T 2 T mc v κ Q R 2 m c v Q R 2 0 kg 77,5 J m c v T 2 T n κ n T 2 T W V,2 [kj] Q 2 [kj] n isochor n > κ isotherm n < κ rev. ad κ,4 n κ polytro0-503 n,3 n < κ κ n n T 2 T,3,4 503,9 K 293 K 502,7 kj < 0,3 6

7 Aufgabe 32 Bei Normalwetterlage lässt sich für Höhen bis m über NN der Luftdruck mit genügender Genauigkeit mit Hilfe der barometrischen Höhenformel bestimmen: p p 0 e z z 0 mit z Höhenkoordinate; z NN 0 und z m; p 0 pz 0. Weiterhin gilt für ] die Abnahme der Temperatur dt im Höhenintervall dz die Faustformel: bezogen auf NN. dt dz 0,6 00 [ K m a Ermitteln Sie unter Berücksichtigung dieser Ansätze den Luftdruck und die Lufttemperatur auf der Wildspitze Ötztal, 3800 m über NN, wenn die Temperatur auf NN Oberitalien t 0 25 C, der Luftdruck p mbar betragen sollen. b Bestimmen Sie unter der Annahme, dass die Zustandsgleichung der Luft von Oberitalien zur Wildspitze durch eine Polytrope beschrieben werden kann, den entsprechenden Polytropenexponenten. Schätzen Sie den Fehler ab, der sich für diese polytrope Zustandsänderung im Vergleich zur oben genannten Faustformel bei der Bestimmung der 0 C - Grenze ergibt. c Bei Föhnwetterlage im deutschen Alpenvorland steigt die in Oberitalien erwärmte Luft auf, strömt über den Alpenhauptkamm und tritt in Oberbayern als Fallwind in Erscheinung. Ermitteln Sie die Lufttemperatur und den Luftdruck auf dem Gipfel der Wildspitze unter der Annahme, dass bei Föhnwetterlage die Zustandsänderung der Luft beim Aufsteigen als reversibel adiabat angenommen werden kann. Hinweis: Die Luft soll als perfektes Gas mit c p,0 kj und R L 0,287 kj betrachtet werden. a Ermitteln Sie den Luftdruck und die Lufttemperatur auf der Wildspitze, wenn die Temperatur auf NN t 0 25 C, der Luftdruck p mbar betragen sollen. Barometrische Höhenformel: z p W p 0 exp z 0, N 3800 m m 2 exp 7960 m 635,9 mbar Lufttemperatur auf der Wildspitze mit Faustformel: T dt dz 0,6 K 00 m dt dz z 0,6 K 00 m 3800 m 22,8 K 7

8 T W + T 298,5+ 22,8 275,35 K 2,2 C b Bestimmen Sie unter der Annahme, dass die Zustandsgleichung der Luft von Oberitalien zur Wildspitze durch eine Polytrope beschrieben werden kann, den entsprechenden Polytropenexponenten. Schätzen Sie den Fehler ab, der sich für diese polytrope Zustandsänderung im Vergleich zur oben genannten Faustformel bei der Bestimmung der 0 C - Grenze ergibt. Annahme: polytrope Zustandsänderung der Luft T 2 T p2 p n n T W n n pw p 0 n n ln TW T0 ln pw ln ln p0 275,35 K 298,5 K 635,9 mbar 025 mbar ln 0,666 k k n n n n k 0,8334,200 Bestimmung der 0 C - Grenze G. Druck über Polytropengleichung: p T2 T n n p G p 0 TG n n n TG n p G T G p 0 273,5 K 025 mbar 298,5 K 606,07 mbar,2 0,2 2. Höhe bestimmen: 8

9 a Barometrische Höhenformel zg pz G p 0 exp z 0 pzg z G z 0 ln p 0 p0 z 0 ln pz G 025 mbar 7960 m ln 606,07 mbar 482,6 m b Faustformel dt dz 0,6 K 00 m z 00 0,6 T 00 m 25 K 0,6 K 466,7 m z F 466,7 m Alternative Methhode: Extrapolation von Wildspitze 3800 m bei 2,2 C auf 0 C Höhe 3. Fehlerabschätzung: absoluter Fehler: f abs z z G z F 5,9 m relativer Fehler: f rel z z F 5,9 m 466,7 m 0,382 % c Ermitteln Sie die Lufttemperatur und den Luftdruck auf dem Gipfel der Wildspitze unter der Annahme, dass bei Föhnwetterlage die Zustandsänderung der Luft beim Aufsteigen als reversibel adiabat angenommen werden kann. Annahme: reversibel adiabate Zustandsänderung Lufttemperatur:. HS offenes System Q adiabat 2 + k. Vorr. c 2 Ẇ t,2 ṁ 2 h g z 9

10 c c 2 c h g z 2 h g 2 z perfektes Gas h c p T c p 2 T g 2 z 2 T T 2 T g c p z 2 z 9,8 m s J 37,28 K 3800 m T 2 T + T 273,5+25K 37,28 K 260,87 K 2,28 C Luftdruck: p W p 0 TW κ κ cp TW R Formelsammlung: κ cp c v, R c p c v c v c p R κ κ c p c p R c p c p R c p R c p c p c p+r c p R c p R p W cp TW R p 0 260,87 K 025 mbar 298,5 K 643,6 mbar 000 J 287 J 0

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