Entropie in der Atmosphäre

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1 Entroie in der Atmoshäre Dil.-Physiker Jochen Ebel 9. Aril 2 Inhaltsverzeichnis Grundleende Gleichunen 2. Vorbemerkun Entroie Wärmeehalt Barometrische Höhenformel Weitere Einflußrößen Die Luftbeweun Die Feuchtikeit in der Atmoshäre Entroie der Atmoshäre 4 2. Grundleendes Beisiele Wärmeehalt Zahlenbeisiele 8 3. Konstanten Bezusatmoshäre: 288 K, 22 K isotherme Atmoshäre leiche Entroie isotherme Atmoshäre leicher Wärmeinhalt Höherer reibhauseffekt: 289 K, 27 K isotherme Atmoshäre leiche Entroie isotherme Atmoshäre leicher Wärmeinhalt Atmoshärenverleich Schlußfolerun 5 Verzeichnisse abellenverzeichnis Literaturverzeichniss

2 Grundleende Gleichunen. Vorbemerkun Die Entroie ist eine wichtie Größe der Physik, um - vereinfacht zu saen - zu untersuchen, wie in komlizierteren Fällen netto immer Wärme von warm nach kalt strömt. Das wird durch den II. Hautsatz der hermodynamik beschrieben. Ohne es im Nachfolenden ausdrücklich zu bemerken, sind immer flächenbezoene Größen emeint. Außerdem sind zum leichteren Nachvollziehen der Rechnunen weitehend alle Zwischenschritte der Rechnunen mit aufeführt..2 Entroie Die Mene m eines idealen Gases habe bei einem bestimmten Zustand und einen Entroieehalt S. Die Definition der Entroieänderun lautet bei reversiblen Voränen: ds = dq Ein ideales Gas hat bei konstantem Druck auch eine konstante Wärmekaazität c. Bei einer emeraturänderun ilt deshalb für eine Wärmemene dq: Wird Gleichun 2 in Gleichun einesetzt, wird: Durch Interation wird: dq = m c d 2 ds = m c d = m c d S = S m c Eine adiabatische Druckänderun wird durch folende Beziehun zwischen Entroie und Druck mit dem Isotroenexonenten beschrieben siehe auch Herwi und Kautz, 28, S. 3]: ] S = S m c 5 Besonders deutlich sieht man die Richtikeit dieser Beziehun bei einer adiabtischen Druckänderun z. B. schnelle Vertikalzirkulation in der Atmoshäre. Bei einer adiabatischen Druckänderun ändert sich die Entroie nicht, d.h. die eckie Klammer in Gleichun 5 muß sein. Damit wird: ] 3 4! = für adiabatische Druckänderun 6 Die Lösun von Gleichun 6 lautet: = = 7 Gleichun 7 ist die bekannte adiabatische Beziehun. 2

3 .3 Wärmeehalt Ween der konstanten Wärmekaazität ist die Anabe der eseicherten Wärme sehr einfach:.4 Barometrische Höhenformel Q = m c 8 In der Atmoshäre herrschen unterschiedliche emeraturen und Drücke vor. Fest ist nur die Gesamtmasse der Atmoshäre bzw. der Oberflächendruck. Da die Entroie auf die Masse bezoen ist, wird die barometrische Höhenformel ebraucht, die beschreibt, daß die Druckänderun mit der Höhe aus der Änderun des Gewichts der darüber lieenden Luftmassen mit der Dichte ρ bei der Schwerkraft resultiert in der Umformun ist das Minuszeichen vernachlässit, weil nur der Betra der Masse interessiert: d dh = ρ dm = ρ dh = d 9.5 Weitere Einflußrößen Hautsächlich kämen dafür in Betracht: Die Luftbeweun Die Feuchtikeit in der Atmoshäre.5. Die Luftbeweun Auf die Entroie hat die Luftbeweun kaum Einfluß:. Überäne von ruhender Luft zu beweter Luft komensieren sich weitehend. 2. Bewete Luft hat fast die leiche Entroie wie ruhende Luft. 3. Entroie entsteht beim Abbremsen beweter Luft aber das ist nicht viel. Dazu betrachten wir die Geschwindikeit, die zu K ehört. Das Gleichsetzen von kinetischer Ernerie und Wärme liefert: m 2 v2 = m c 2 v2 = c v 2 = 2 c v = 2 c v = 2 5 Ws k K K v = 44,8 m s = 6 km h Obwohl schon die emeraturänderun mit K schon recht roß ist aber noch klein eenüber den emeraturunterschieden in der Atmoshäre kommen so heftie Stürme mit über 6 km/h Windstärke 2 selten vor. 3

4 Anmerkun: Bei der Leistun von Windrädern ist eine v 3 Abhänikeit eeben. Das resultiert daraus, daß zusätzlich zur v 2 Abhänikeit der Massendurchsatz an Windrädern roortional der Geschwindikeit ist aber hier ist auch die erwärmte Luftmene roortional der Masse..5.2 Die Feuchtikeit in der Atmoshäre Wasserdamf hat zwar eine höhere Entroie als Luft, hat aber nur in anz wenien Bereichen der Atmoshäre einen Anteil X >, siehe Herwi und Kautz, 28, Diaramm S. 33] und kann deshalb außer Betracht bleiben anz abesehen davon, daß die Feuchtikeit in dem feuchtadiabatischen teilweise berücksichtit ist. 2 Entroie der Atmoshäre 2. Grundleendes Aus Gleichun 5 auf Seite 2 eribt sich für einen Massenanteil dm folender Entroieanteil ds ohne exlizite Nennun von S : ds = dm c ] ] = c dm In Gleichun wird nun Gleichun 9 auf der vorherien Seite einesetzt und es eribt sich: ds = c ] d = c ] d 2 Die Gesamtentroie der Atmoshäre eribt sich aus der Interation von Gleichun 2 über den esamten Druckbereich der Atmoshäre: S = c ] d 3 Die Interation über den rechten erm in der eckien Klammer kann sofort auseführt sez. Wärme Herwi und Kautz, 28, S. 3] trockene Luft c =,46 kj k K Wasserdamf c =,863 kj k K abelle : Wärmekaazitäten 4

5 werden siehe Bronstein u. a., 28, S. 3, Formel 465]: ] d = d = x dx = x x x] = lim x x x ] = ] 4 = Der konstante erm c / kann noch mit in die Bezusentroie S einbezoen werden, so daß aus Gleichun 3 auf der vorherien Seite mit einem verändertem S wird nur noch die emeraturfunktion ist interessant: 2.2 Beisiele S = c d 5 Dafür wird die Atmoshäre idealisiert - aber nur weni. Die Atmoshäre ist zweieteilt in rooshäre und Stratoshäre. In der rooshäre wird ein konstanter emeraturradient anenommen, der sehr ut mit Gleichun 7 auf Seite 2 beschrieben wird. Allerdins muß die Oberflächentemeratur nicht unbedint immer betraen, sondern kann beisielsweise einen Wert haben. Damit wird aus Gleichun 7 auf Seite 2: = 6 Über der rooshäre ist die Stratoshäre, die eine einheitliche emeratur S haben soll. Das trifft auch für den rößten eil der Stratoshäre 2 real zu, allerdins steit in der Ozonsitze die emeratur. Da aber diese Ozonsitze druckmäßi klein ist, wird die Entroie nur weni zu klein berechnet. Da diese Ozonsitze sowieso immer auftritt, kann sie näherunsweise in die edachte Bezusentroie S einbezoen sein, der Fehler ist also minimal, wenn mit konstanter emeratur erechnet wird. Wenn und S voreeben sind, ist ween Gleichun 6 auch der rooausendruck bestimmt: S = S = = 7 2 Der Anteil der Stratoshäre an der Gesamtatmoshäre kann in verschieden Größen aneeben werden. Der Höhenverleich ist im reibhaus Zusammenhan unzweckmäßi desween wird der massenmäßie bzw. Druck Anteil enommen. 5

6 Ween der zwei unterschiedlichen emeratuverläufe zerfällt das Interal in Gleichun 5 auf der vorherien Seite in 2 eilinterale: S = c d d 8 In Gleichun 8 werden die emeraturverläufe einesetzt: S = c d d 9 Die Lösun des linken Interals kann ween des konstanten Interanden sofort aneeben werden, im rechten Interal ist der Interand umzuformen: S = c = c = c = c = c = c = c d d / d x dx x x x] / ] ] ] 2 6

7 In Gleichun 2 auf der vorherien Seite wird nun Gleichun 7 auf Seite 5 einesetzt: S = c = c = c = c = c ] ] ] ] ] Wärmeehalt Aus Gleichun 8 auf Seite 3 folt für die Wärmemene in Abweichun von : Mit Gleichun 9 auf Seite 3 wird aus Gleichun 22 dq = c d2 dq = c d = c d 23 Für die anze Wärme ist wieder über den anzen Druckbereich zu interieren: Q = c d = c d 24 Der konstante Anteil wird weelassen und nur der Anteil der veränderlichen emeratur betrachtet: Q = c d 25 7

8 Analo Gleichun 9 auf Seite 6 werden wieder die emeraturen einesetzt: Q = c S d d 26 Die Interationen ereben: Q = c = c S = c / x dx S x S ] ] / ] 27 In Gleichun 27 wird nun Gleichun 7 auf Seite 5 einesetzt: Q = c = c = c S S = c = c ] ] ] 28 3 Zahlenbeisiele 3. Konstanten Bei allen Zahlenbeisielen werden folende Konstanten verwendet: 3 mbar =,3 5 Pa Druck an der Oberfläche c 5 Ws k K Wärmekaazität des idealen Gases ute Näherun der Atmoshäre,9 Adiabatenkoeffizient feuchtadiabatischer Wert der Atmoshäre 9,8 m s 2 Erdbeschleuniun 273 K Wert beliebi, aber dieser Wert ewählt abelle 2: Verwendete Konstanten 8

9 Damit entsteht folende Kombination der Konstanten: c = 5 Ws k K,3 5 Pa 9,8 m =,38 7 Ws s Bezusatmoshäre: 288 K, 22 K Als Bezusatmoshäre wird eine Atmoshäre mit folenden Daten verwendet: 288 K Oberflächentemeratur S 22 K Stratoshärentemeratur abelle 3: Bezusatmoshäre Mit diesen Daten und Gleichun 2 auf Seite 7 wird: S = c ] = 9,39 5 Ws Mit diesen Daten und Gleichun 28 auf der vorherien Seite wird: Q = c 3.2. isotherme Atmoshäre leiche Entroie 3 = 2, Ws 3 Für eine isotherme Atmoshäre muß S = sein und so ewählt werden, daß die Entroie nach Gleichun 3 erhalten bleibt. Dabei sinkt der Wärmeehalt der Atmoshäre: S = = 249,38 K und Q =,86 7 Ws isotherme Atmoshäre leicher Wärmeinhalt Für eine isotherme Atmoshäre muß S = sein, aber so ewählt werden, daß die Wärme nach Gleichun 28 auf der vorherien Seite erhalten bleibt. Dabei steit die Entroie der Atmoshäre: S = = 25,53 K und S = 4,746 4 Ws Höherer reibhauseffekt: 289 K, 27 K Durch einen höheren reibhauseffekt steit die Oberflächentemeratur und ween Erhaltun des Strahlunsleichewicht sinkt die Stratoshärentemeratur. Gewählt wird eine Atmoshäre, wo die Oberflächentemeratur um K erhöht wird. Nach den Beobachtunen und den von Satelliten emessenen Sektralkurven sinkt dabei die Stratoshärentemeratur etwa um das Dreifache, bei einer Oberflächentemeraturänderun um K also um ca. 3 K. Für diese veränderte Atmoshäre wird follich eine Atmoshäre mit folenden Daten verwendet: 9

10 289 K Oberflächentemeratur S 27 K Stratoshärentemeratur abelle 4: Bezusatmoshäre Mit diesen Daten und Gleichun 2 auf Seite 7 wird: S = c ] = 9, Ws 34 Mit diesen Daten und Gleichun 28 auf Seite 8 wird: Q = c 3.3. isotherme Atmoshäre leiche Entroie = 2, Ws 35 Für eine isotherme Atmoshäre muß wieder S = sein und so ewählt werden, daß die Entroie nach Gleichun 3 auf der vorherien Seite erhalten bleibt. Dabei sinkt der Wärmeehalt der Atmoshäre: S = = 249,26 K und Q =,38 7 Ws isotherme Atmoshäre leicher Wärmeinhalt Für eine isotherme Atmoshäre muß wieder S = sein, aber so ewählt werden, daß die Wärme nach Gleichun 28 auf Seite 8 erhalten bleibt. Dabei steit die Entroie der Atmoshäre: S = = 25,53 K und S = 5,274 4 Ws Atmoshärenverleich Größe 288/22 K 289/27 K Differenz S 9,39 5 Ws Ws Ws 9, ,373 K 3 K Q 2, Ws 2, Ws 2,276 4 Ws isotherm-wärme 25,53 K 25,53 K,2 K S 4,746 4 Ws 5,274 4 Ws 5,282 3 Ws isotherm-entroie 249,38 K 249,26 K,2 K Q,86 7 Ws,38 7 Ws,37 6 Ws abelle 5: Atmoshärenverleich

11 4 Schlußfolerun Wie zu erwarten war, widersricht ein erhöhter reibhauseffekt nicht dem II. Hautsatz der hermodynamik. Etwas überraschend für den Autor war es, daß sowohl die Entroie als auch der Wärmeinhalt der Atmoshäre bei erhöhter Oberflächentemeratur abnehmen. Damit sind alle Enerie und Entroie Arumente, mit denen die anebliche Unmölichkeit eines erhöhten reibhauseffektes beründet wird, als eenstandslos bewiesen. Auch interessant: Zur Aufrechterhaltun der niedrien Entroie der Atmoshäre ist der ständie Eneriestrom von der Sonne erforderlich. Ohne diesen Eneriestrom würde die Entroie der Atmoshäre steien, wie abelle 5 auf der vorherien Seite zeit. Auch bei Erhalt des Wärmeinhalts der Atmoshäre würde also bei Wefall der Solarstrahlun die Entroie steien. Allerdins würde sich anschließend die Atmoshäre abkühlen, da der Eneriestrom aus den reibhausasen anhält, die Nachlieferun von Solarenerie aber wefällt. Ween der Abkühlun würde dann auch die Entroie sinken. Der ständie Eneriestrom von der Sonne zur Aufrechterhaltun der niedrien Entroie ist verleichbar mit der Nahrunsaufnahme der Lebewesen. Ohne ständie Enerieaufnahme und Enerieababe können die Lebewesen die zum Leben erforderliche niedrie Entroie nicht halten. Die Fole keiner Enerieaufnahme ist der Eintritt des odes und steiende Entroie. 5 Verzeichnisse abellenverzeichnis Wärmekaazitäten Verwendete Konstanten Bezusatmoshäre Bezusatmoshäre Atmoshärenverleich Literaturverzeichnis Bronstein u. a. 28] Bronstein, I. N. ; Semendajew, A. K. ; Musiol, G. ; Mühli, H.: aschenbuch der Mathematik. 7. Auflae. Frankfurt am Main : Wissenschaftlicher Verla Harri Deutsch GmbH, 28. ISBN Herwi und Kautz 28] Herwi, Heinz ; Kautz, Christian H.: echnische hermodynamik A Z. Hambur : uech Innovation GmbH, 28. htt:// download/lp2.df. ISBN