Einführung in die Algebra - ein paar Hinweise zur Prüfungsvorbereitung

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Einführung in die Algebra - ein paar Hinweise zur Prüfungsvorbereitung"

Transkript

1 Einführung in die Algebra - ein paar Hinweise zur Prüfungsvorbereitung Ihre Vorbereitung auf die mündliche Prüfung sollte in mehreren Schritten verlaufen: Definitionen und Sätze Die wichtigen Definitionen und Sätze aus der Vorlesung sollten Sie auswendig können, da direkt danach gefragt wird. Es kann durchaus sinnvoll sein, Definitionen und Sätze wie Vokabeln zu lernen (also alles aus der Vorlesungsmitschrift auf Karteikarten herausschreiben usw.). Wichtig ist, Definitionen und Sätze vollständig und präzise zu lernen - durch Weglassen einzelner Voraussetzungen werden die meisten Statements falsch oder sinnlos. Zum Beispiel ist die Frage Was ist eine Faktorgruppe? durch Das ist G durch H. nicht beantwortet (denn es ist nicht klar was G und H für Objekte sein sollen, was G/H überhaupt sein soll, und wieso dies eine Gruppe ist). Eine vollständige Antwort wäre z.b. Sei G eine Gruppe und H in G ein Normalteiler, das bedeutet ghg 1 = H für alle g aus G. Dann definiert man G/H als die Menge der Äquivalenzklassen nach der Äquivalenzrelation g g falls (g ) 1 g in H liegt. Auf G/H hat man eine wohldefinierte Gruppenstruktur durch gh g H := (gg )H. Fragen nach Definitionen sollten auch nie mit einem Beispiel beantwortet werden, sondern eben immer mit der allgemeinen Definition (auf obige Frage ist Zum Beispiel Z/nZ keine Antwort). Fragen nach Sätzen können sowohl ganz direkt sein, z.b. Was besagt der Chinesische Restesatz, als auch eher indirekt im Zusammenhang mit der Theorie, z.b. Welche Zusammenhänge gibt es zwischen den Begriffen prim und irreduzibel?. Eine optimale Antwort wäre Die Begriff prim und irreduzibel sind für Elemente in nullteilerfreien Ringen definiert. Prime Elemente sind immer irreduzibel. In faktoriellen Ringen, also zum Beispiel in Hauptidealringen, sind die Begriffe äquivalent nach einem Satz aus der Vorlesung. Im Allgemeinen aber nicht, ein Beispiel ist das irreduzible Element 2 in Z[ 5], denn 2 teilt 6 gleich (1 + 5)(1 5), aber keinen der Faktoren, ist also nicht prim. Beispiele und Techniken Sie sollten für alle in der Vorlesung behandelten Themen einen gewissen Beispielvorrat kennen. Für jede Eigenschaft einer Gruppe/eines Rings/einer Körpererweiterung, die definiert wurde, sollten sie mindestens ein Beispiel bzw. eine Beispielklasse und ein 1

2 Gegenbeispiel kennen. Für jede Voraussetzung in einem Satz aus der Vorlesung sollten Sie sich ein Gegenbeispiel überlegen, warum der Satz ohne diese Voraussetzung nicht mehr gilt. Sie sollten die konkreten Rechentechniken, die in der Vorlesung und den Übungen benutzt wurden, beherrschen, also z.b.: das Rechnen in Restklassengruppen und Permutationsgruppen, das Arbeiten mit den Sylowsätzen, das Rechnen in Restklassenringen, die Arbeit mit Irreduzibilitätskriterien, die Berechnung von Minimalpolynomen und Zerfällkörpern, sowie die Berechnung einiger typischer Galoisgruppen. Zusammenhang und Beweise Im nächsten Schritt sollten Sie sich den Aufbau der Vorlesung im Großen klar machen. Welche Sätze sind für das weitere Vorgehen relevant? Welche haben unmittelbare konkrete Anwendungen? Welche werden an entscheidenen Stellen im weiteren Aufbau der Theorie bzw. in Beweisen benötigt (dafür kann es sinnvoll sein, ein Gerüst der einzelnen Kapitel knapp schriftlich zusammenzufassen)? Welche Rolle spielte welcher Abschnitt für das große Ziel der Vorlesung, nämlich den Beweis der Nichtauflösbarkeit allgemeiner Gleichungen vom Grad 5? Sie sollten außerdem Beweisskizzen zu den wichtigsten Sätzen kennen. Einige Sätze haben kurze, aber für die Theorie typische Beweistechniken, nach denen gefragt wird. Typische Beispiele sind: Homomorphiesatz für Gruppen, Klassifikation der zyklischen Gruppen, Satz von Lagrange, Charakterisierung primer und maximaler Ideale durch ihre Faktorringe, Euklidische Ringe sind Hauptidealringe, prime Elemente sind irreduzibel, Reduktionskriterium, Beschreibung einfacher Körpererweiterungen K(a), Kroneckerkonstruktion. Die Prüfung selbst dauert 30 Minuten und findet im Raum F unter Anwesenheit von Prüfer, Beisitzer bzw. Beisitzerin (der/die das Protokoll führt) und Kandidat bzw. Kandidatin statt. Die Prüfung verläuft als Prüfungsgespräch, d.h. es gibt keine vorher festgelegte Liste von Fragen. Im Lauf der Prüfung werden sowohl alle Abschnitte der Vorlesung (Gruppentheorie, Ringtheorie, Körpertheorie, Galoistheorie) als auch verschiedene Kompetenzen, wie z.b. Reproduktion von gelernten Definitionen und Sätzen, Anwendung der Theorie auf konkrete (Rechen-)Beispiele, Diskussion von Beispielklassen und Gegenbeispielen, Einordnung von Definitionen und Sätzen in den Aufbau der Theorie, Herleitung von Beweisskizzen, geprüft. Die Prüfung 2

3 wird stets mit einer grundlegenden Frage aus der Gruppentheorie starten, wie z.b. Was ist eine Gruppe?, Was ist eine Untergruppe einer Gruppe?, Was sind Nebenklassen in Gruppen?, Was ist eine Faktorgruppe?. Nach Ablauf der Prüfung werden Sie kurz herausgebeten, nach wenigen Minuten Wartezeit wird Ihnen die Note mit Begründung mitgeteilt. Sie können die Fragen sowohl mündlich als auch schriftlich beantworten, eine Mischung aus beidem ist am sinnvollsten (rein mündliche Beantwortung ist, besonders bei längeren Formeln, Definitionen oder Notationen sehr schwierig; rein schriftliche Beantwortung ergibt kein Prüfungsgespräch auch das (präzise) Sprechen über Mathematik ist eine Kompetenz, die in der Prüfung getestet wird). Im Gegensatz zu einer Klausur können Sie in einer mündlichen Prüfung gerne nachfragen, wenn Ihnen die Frage nicht ganz klar ist, oder wenn Sie etwas Hilfestellung brauchen. Sollte Ihre Antwort nicht richtig sein, bekommen Sie sofort Rückmeldung, und das Gespräch wird als nächstes darum gehen, den Fehler zu klären. Sollte Ihre Antwort nicht ausführlich oder präzise genug sein, wird es ein oder mehrere Nachfragen zur Präzisierung geben (die Prüfung wird aber nie zu lange bei einem Thema steckenbleiben, das Ihnen offensichtlich nicht liegt). Sie dürfen auch gerne versuchen, die Richtung des Prüfungsgesprächs mitzugestalten (z.b. Zu den Sylowsätzen dürfen Sie mich nicht so genau fragen, aber ich kann Ihnen etwas zu auflösbaren Gruppen erzählen, Den Beweis habe ich nicht gelernt, aber ich kann Ihnen zwei Beispiele dazu sagen ) oder auch mal bei einen Thema passen. Allerdings gibt es einige für die Vorlesung zentrale Themen, bei denen das nicht möglich ist (siehe unten). Vage Fragen (z.b. Wozu ist der algebraische Abschluss gut?, Was fanden Sie in der Ringtheorie am interessantesten? ) sind eine Einladung an Sie, für einen Abschnitt der Prüfung Ihr Wissen aus diesen Bereichen (Definitionen, Sätze, Beispiele, Beweisskizzen, Aufbau der Theorie) nach eigenem Geschmack strukturiert darzustellen. Einige Themen sind für die Algebra so grundlegend, dass ihr Verständnis (zumindest in einem gewissen Umfang) für das Bestehen der Prüfung unerlässlich sind. Dies betrifft besonders: Verständnis der Begriffe Gruppe, Ring, Körpererweiterung, das Verständnis des Konzept von Restklassenmengen und Faktorstrukturen (Faktorgruppen und Faktorringe). Sie müssen z.b. wissen und in der Prüfung erklären können, dass die Elemente von G/H die Form gh 3

4 haben; dabei ist gh eine Teilmenge von G (nämlich gerade eine Äquivalenzklasse bezüglich einer Äquivalenzrelation). Ferner müssen Sie das Rechnen in Z/nZ beherrschen, Verständnis des Begriffs Homomorphismus, Formulierung und Verständnis von Homomorphiesätzen (machen Sie sich beim Lernen einmal klar, wie oft diese in Beweisen benutzt wurden), das Konzept eines Ideals in einem Ring, die Begriffe prim und irreduzibel in Ringen, Verständnis des Begriffs der Charakteristik eines Körpers und der Auswirkungen auf die Struktur eines Körpers, einfache Körpererweiterungen K K(a), grundlegendes Verständnis des Zusammenhangs zwischen Polynomgleichungen und Körpererweiterungen. Unabdingbar für das Bestehen der Prüfung ist auch die Fähigkeit, präzise mathematisch formulieren zu können. Ein Beispiel: auf die Frage Was ist eine Gruppe? ist die Antwort G ist eine Gruppe, wenn g h assoziativ, mit neutralem und inversen Elementen ist in vielerlei Hinsicht falsch bzw. sehr unpräzise. Zu allererst ist eine Gruppe eine Menge (mit einer Verknüpfung ), in obiger Antwort wird aber überhaupt nicht gesagt, was G als mathematisches Objekt sein soll (es könnte also z.b. die Nachfrage kommen was ist G? Ist es eine Zahl? Eine Menge? Eine Abbildung? Ein Element einer Menge? ). Als nächstes wird eine Eigenschaft von G definiert durch Benutzung von g und h, die aber überhaupt noch nicht vorkamen. Man muss also sagen, was g und h sein sollen, nämlich Elemente von G (hier käme also die Nachfrage: was sind denn g und h? Wie können Sie eine Eigenschaft von G definieren durch eine Eigenschaft von g, wenn g noch nicht definiert ist? ) Ferner muss gesagt werden, dass G dadurch zu einer Gruppe wird, das etwas für alle g und h aus G gilt (Nachfrage: Muss das für ganz spezielle g und h gelten? für bestimmte? für beliebige? ). Nächster Fehler: g h ist das Ergebnis einer Multiplikation, also wieder ein Element aus G. Als solches kann es nicht assoziativ sein. Was an einer Gruppe assoziativ ist, ist die Abbildung : G G G (Nachfrage: Was ist g h? Ist es ein Element aus G? Was bedeutet es für ein Element aus G, assoziativ zu sein? ). Eine 4

5 gute Antwort wäre daher: Eine Gruppe ist eine Menge G, zusammen mit einer Verknüpfung : G G G, die folgende Eigenschaften erfüllt:.... Besonders ist zu beachten: durch präzises Formulieren erspart man sich viele Nachfragen (die aber nötig sind, um das Gesagte zu präzisieren). 5

Leseprobe. Rolf Socher. Algebra für Informatiker. Mit Anwendungen in der Kryptografie und Codierungstheorie. ISBN (Buch):

Leseprobe. Rolf Socher. Algebra für Informatiker. Mit Anwendungen in der Kryptografie und Codierungstheorie. ISBN (Buch): Leseprobe Rolf Socher Algebra für Informatiker Mit Anwendungen in der Kryptografie und Codierungstheorie ISBN (Buch): 978-3-446-43257-4 ISBN (E-Book): 978-3-446-43312-0 Weitere Informationen oder Bestellungen

Mehr

Algebra Zusammenfassung

Algebra Zusammenfassung Algebra Zusammenfassung Dr. Urs Hartl WS 02/03 Einleitung: Auflösen von Polynomgleichungen Der Name Algebra ist arabischen Ursprungs und bedeutete Rechnen mit Gleichungen und Lösen derselben. In der Algebra

Mehr

Algebra I. Zwischenprüfung. 19. Februar 2016

Algebra I. Zwischenprüfung. 19. Februar 2016 Name: Vorname: Studiengang: Legi-Nr.: Algebra I D-MATH, HS 2015 Prof. Richard Pink Algebra I Zwischenprüfung Wichtig: 19. Februar 2016 Die Prüfung dauert 120 Minuten. Bitte legen Sie Ihre Legi (Studierendenausweis)

Mehr

Die Ringe Z n. Invertierbare Elemente ( Einheiten ) für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n

Die Ringe Z n. Invertierbare Elemente ( Einheiten ) für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n Definitionen Die Ringe Z n für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: Beispiel n = 15 + n : Z n Z n Z n : (a, b) (a + b) mod n n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n 9 + 15 11 = 5 9 15 11 = 9

Mehr

Definition 153 Sei n eine fest gewählte ganze Zahl 0. Für jedes l Z heißt die Menge

Definition 153 Sei n eine fest gewählte ganze Zahl 0. Für jedes l Z heißt die Menge 3.6 Restklassen in Polynomringen 3.6.1 Einführung und Definitionen Der Begriff der Restklasse stammt ursprünglich aus der Teilbarkeitslehre in Z; (Z = Z, +, ist ein kommutativer Ring). Definition 153 Sei

Mehr

Elemente der Algebra

Elemente der Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2015 Elemente der Algebra Vorlesung 1 Der Gruppenbegriff Definition 1.1. Eine Verknüpfung auf einer Menge M ist eine Abbildung : M M M, (x,y) (x,y) = x y. Statt (x,y)

Mehr

5. Äquivalenzrelationen

5. Äquivalenzrelationen 5. Äquivalenzrelationen 35 5. Äquivalenzrelationen Wenn man eine große und komplizierte Menge (bzw. Gruppe) untersuchen will, so kann es sinnvoll sein, zunächst kleinere, einfachere Mengen (bzw. Gruppen)

Mehr

für alle a, b, x, y R.

für alle a, b, x, y R. Algebra I 13. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 33 1.5 Ringe Definition 1.5.1 Ein Ring ist eine Menge R zusammen mit zwei Verknüpfungen + und, genannt Addition und Multiplikation, für die folgendes

Mehr

Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik

Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik Vorlesung Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik.1 Gruppentheorie WiewirinVorlesung2gesehenhaben,hatdieMengeZmitderAdditiongewisse Eigenschaften. Wir fassen nun bestimmte Eigenschaften zusammen und

Mehr

Einführung in Algebra und Zahlentheorie Lösungsvorschläge zur Klausur vom Aufgabe 1 (6 Punkte)

Einführung in Algebra und Zahlentheorie Lösungsvorschläge zur Klausur vom Aufgabe 1 (6 Punkte) Aufgabe 1 (6 Punkte) Einführung in Algebra und Zahlentheorie svorschläge zur Klausur vom 23.09.2016 a) Bestimmen Sie das multiplikativ inverse Element zu 22 in Z/61Z. b) Finden Sie ein x Z mit folgenden

Mehr

Diskrete Strukturen. Restklassenringe WS 2013/2014. Vorlesung vom 24. Jänner 2014

Diskrete Strukturen. Restklassenringe WS 2013/2014. Vorlesung vom 24. Jänner 2014 Diskrete Strukturen WS 2013/2014 Vorlesung vom 24. Jänner 2014 Thomas Vetterlein Institut für Wissensbasierte Mathematische Systeme Johannes-Kepler-Universität Linz 10.1 Die Modulo-n-Relation Definition

Mehr

2 Gruppen, Ringe, Körper, Algebren

2 Gruppen, Ringe, Körper, Algebren 2 Gruppen, Ringe, Körper, Algebren 2.1 Gruppen Definition 2.1. Sei G eine Menge, 1 G G, sowie : G G G eine Abbildung (statt (g,h) schreiben wir meistens g h und nennen eine binäre Verknüpfung). Wir nennen

Mehr

Probeklausur. Algebra SS Bearbeitungszeit: 120 Minuten

Probeklausur. Algebra SS Bearbeitungszeit: 120 Minuten Prof. Dr. Bernd Siebert Probeklausur Algebra SS 2014 Bearbeitungszeit: 120 Minuten Nachname: Vorname: Matrikelnr: Es dürfen alle Vorlesungsunterlagen inklusive Übungsaufgaben und Lösungen verwendet werden.

Mehr

Algebra I Klausur 2. Ich gestatte die Veröffentlichung meines Klausurergebnisses unter Angabe meiner Matrikelnummer

Algebra I Klausur 2. Ich gestatte die Veröffentlichung meines Klausurergebnisses unter Angabe meiner Matrikelnummer Technische Universität Berlin Wintersemester 2014/2015 Prof. Dr. Martin Henk 17. April 2015 Algebra I Klausur 2 Name: Vorname: Matrikelnummer: Aufgabe: 1 2 3 4 5 6 Σ Note Maximale Punktzahl: 10 6 7 6 6

Mehr

Probeklausur zur Algebra I

Probeklausur zur Algebra I Probeklausur zur Algebra I Prof. Dr. S. Bosch/C. Löh Februar 2008 Name: Matrikelnummer: ZIV-Kennung: Vorname: Studiengang: Übungsleiter: Diese Klausur besteht aus 8 Seiten (die ersten beiden Seiten sind

Mehr

Ringe und Körper. Das Homomorphieprinzip für Ringe

Ringe und Körper. Das Homomorphieprinzip für Ringe Ringe und Körper Das Homomorphieprinzip für Ringe Wir beginnen mit einem Beispiel. R = Z/m Z sei die Faktorgruppe von Z nach der Untergruppe m Z, m IN. Für m = 0 ist der kanonische Homomorphismus Z Z/m

Mehr

UNTERLAGEN ZUR TEILBARKEIT IN KOMMUTATIVEN RINGEN

UNTERLAGEN ZUR TEILBARKEIT IN KOMMUTATIVEN RINGEN UNTERLAGEN ZUR TEILBARKEIT IN KOMMUTATIVEN RINGEN VORLESUNG KOMMUTATIVE ALGEBRA, SOMMERSEMESTER 2007 1. Definitionen Ein kommutativer Ring mit Eins R ist ein Integritätsbereich, wenn er zumindest zwei

Mehr

Halbgruppen, Gruppen, Ringe

Halbgruppen, Gruppen, Ringe Halbgruppen-1 Elementare Zahlentheorie Einige Bezeichnungen Halbgruppen, Gruppen, Ringe Die Menge N 0 der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, Die Menge N = N 1 der von Null verschiedenen natürlichen Zahlen Die

Mehr

Lösungen zur Algebra-Klausur vom Es sei G eine Gruppe, die von je einem Element der Ordnung 7, 11 und 13 erzeugt wird.

Lösungen zur Algebra-Klausur vom Es sei G eine Gruppe, die von je einem Element der Ordnung 7, 11 und 13 erzeugt wird. Aufgabe 1 Lösungen zur Algebra-Klausur vom 3.4.9 Es sei G eine Gruppe, die von je einem Element der Ordnung 7, 11 und 13 erzeugt wird. a) Zeigen Sie, dass es keine transitive Operation von G auf einer

Mehr

Klausur vom Algebra I. Rolf Farnsteiner

Klausur vom Algebra I. Rolf Farnsteiner Klausur vom 31.03.2010 Algebra I Rolf Farnsteiner Lösungen Daiva Pučinskaitė Aufgabe 1. Sei p R ein Primideal eines Integritätsbereichs R. Beweisen Sie folgende Aussagen: (1 S := R \ p ist eine multiplikativ

Mehr

Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen

Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen Wir nehmen an, daß der Körper der rationalen Zahlen bekannt ist. Genauer wollen wir annehmen: Gegeben ist eine Menge Q zusammen mit zwei Verknüpfungen

Mehr

Klausur zur Algebra und Zahlentheorie für Lehramt Gymnasium

Klausur zur Algebra und Zahlentheorie für Lehramt Gymnasium Technische Universität Dortmund Sommersemester 2012 Fakultät für Mathematik 23.07.2012 Klausur zur Algebra und Zahlentheorie für Lehramt Gymnasium Name: Vorname: Matrikelnummer: Studiengang: Wichtige Informationen:

Mehr

3 Allgemeine Algebren

3 Allgemeine Algebren Grundlagen der Mathematik für Informatiker 1 3 Allgemeine Algebren Definition 3.1 Für eine Menge A nennen wir eine n-stellige Funktion ω : A n A eine n-äre algebraische Operation. Bemerkung zum Fall n

Mehr

Konstruktion der reellen Zahlen

Konstruktion der reellen Zahlen Konstruktion der reellen Zahlen Zur Wiederholung: Eine Menge K (mit mindestens zwei Elementen) heißt Körper, wenn für beliebige Elemente x, y K eindeutig eine Summe x+y K und ein Produkt x y K definiert

Mehr

Zusatztutorium, 25.01.2013

Zusatztutorium, 25.01.2013 Zusatztutorium, 25.01.2013 David Müßig muessig[at]mi.fu-berlin.de http://page.mi.fu-berlin.de/def/tutorium/ WiSe 12/13 1 Der Homomorphiesatz Der Homomorphiesatz scheint für viele eine Art rotes Tuch zu

Mehr

Michael Artin. Algebra. Aus dem Englischen übersetzt von Annette A'Campo. Birkhäuser Verlag Basel Boston Berlin

Michael Artin. Algebra. Aus dem Englischen übersetzt von Annette A'Campo. Birkhäuser Verlag Basel Boston Berlin Michael Artin Algebra Aus dem Englischen übersetzt von Annette A'Campo Birkhäuser Verlag Basel Boston Berlin INHALTSVERZEICHNIS Vorwort Hinweise viii x Kapitel 1 MATRIZEN 1 1. Matrizenkalkül 1 2. Zeilenreduktion

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 2 Beispiele für Gruppen Aus der Vorlesung Mathematik I sind schon viele kommutative Gruppen bekannt. Zunächst gibt es die additiven

Mehr

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 4: Zahlentheorie

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 4: Zahlentheorie Prof. Dr. Sebastian Iwanowski DM4 Folie 1 Referenzen zum Nacharbeiten: Diskrete Mathematik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 4: Zahlentheorie Beutelspacher 5 Lang 7, Biggs 20, 22, 23 (jeweils teilweise,

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 23 Die Gradformel Satz 1. Seien K L und L M endliche Körperweiterungen. Dann ist auch K M eine endliche Körpererweiterung und

Mehr

= k 0+k 0 ( ). Wir addieren (0 k) zu den Seiten der Gleichung ( ): 0 = k 0.

= k 0+k 0 ( ). Wir addieren (0 k) zu den Seiten der Gleichung ( ): 0 = k 0. Def 4 Eine Menge K mit zwei Abbildungen + : K K K und : K K K (heißen Addition und Multiplikation; wir werden a b bzw a+b statt (a,b), +(a,b) schreiben) ist ein kommutativer Ring, falls: (R1) (K, +) ist

Mehr

3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich.

3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich. 3.5 Ringe und Körper Gehen wir noch mal zu den ganzen Zahlen zurück. Wir wissen: (Z, + ist eine Gruppe, es gibt aber als Verknüpfung noch die Multiplikation, es gibt ein neutrales Element bezüglich, es

Mehr

Klausur zur Vorlesung

Klausur zur Vorlesung Institut für Algebra und Geometrie 06. September 011 Klausur zur Vorlesung Aufgabe 1 (5 Punkte) Sei G eine Gruppe und X G eine beliebige Teilmenge von G. X := X N G a) Zeigen Sie, dass X der kleinste Normalteiler

Mehr

1.4 Homomorphismen und Isomorphismen

1.4 Homomorphismen und Isomorphismen Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 28 1.4 Homomorphismen und Isomorphismen Definition 1.4.1 Es seien (G, ) und (H, ) zwei Gruppen. Eine Abbildung ϕ : G H heißt (Gruppen-)Homomorphismus,

Mehr

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe Kapitel 4 Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform 4.1 Euklidische Ringe Die Ringe der ganzen Zahlen, Z, sowie Polynomringe über Körpern, K[X], wobei K ein Körper ist, haben die folgenden Gemeinsamheiten:

Mehr

Universität Zürich HS , Vorlesung #3

Universität Zürich HS , Vorlesung #3 Algebraic Number Theory P. Habegger Universität Zürich HS 2010 6.10.2010, Vorlesung #3 1.4 Diskriminante Die primitivste Invariante eines Zahlkörpers ist sein Grad. Die Diskriminante eines Zahlkörpers

Mehr

1.5 Restklassen, Äquivalenzrelationen und Isomorphie

1.5 Restklassen, Äquivalenzrelationen und Isomorphie Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 39 1.5 Restklassen, Äquivalenzrelationen und Isomorphie In diesem Abschnitt wird zunächst der mathematische Begriff einer Relation kurz und informell eingeführt.

Mehr

1 Der Ring der ganzen Zahlen

1 Der Ring der ganzen Zahlen 1 Der Ring der ganzen Zahlen Letztendlich wird die Addition und Multiplikation in endlichen Körpern auf die Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen zurückgeführt. Deswegen müssen wir die an sich

Mehr

Algebra und Diskrete Mathematik, PS3. Sommersemester Prüfungsfragen

Algebra und Diskrete Mathematik, PS3. Sommersemester Prüfungsfragen Algebra und Diskrete Mathematik, PS3 Sommersemester 2016 Prüfungsfragen Erläutern Sie die Sätze über die Division mit Rest für ganze Zahlen und für Polynome (mit Koeffizienten in einem Körper). Wodurch

Mehr

Wiederholungsblatt zur Gruppentheorie

Wiederholungsblatt zur Gruppentheorie Wiederholungsblatt zur Gruppentheorie von Christian Elsholtz, TU Clausthal, WS 1999/2000 Um Ihnen zu helfen, die Gruppentheorie zu wiederholen, stelle ich hier einige wichtige Beispiele und einige Lösungen

Mehr

Übungsblatt 12: Abschluss

Übungsblatt 12: Abschluss Übungsblatt 1: Abschluss 1. PRIMITIVE ELEMENTE V 1.1. (a) Sei E K eine endliche Galoiserweiterung. Zeigen Sie (mit Hilfe der Galoiskorrespondenz), dass für α E die beiden Aussagen äquivalent sind: (i)

Mehr

Frage 8.3. Wozu dienen Beweise im Rahmen einer mathematischen (Lehramts-)Ausbildung?

Frage 8.3. Wozu dienen Beweise im Rahmen einer mathematischen (Lehramts-)Ausbildung? 8 Grundsätzliches zu Beweisen Frage 8.3. Wozu dienen Beweise im Rahmen einer mathematischen (Lehramts-)Ausbildung? ˆ Mathematik besteht nicht (nur) aus dem Anwenden auswendig gelernter Schemata. Stattdessen

Mehr

FU Berlin: WiSe (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5. Aufgabe 18. Aufgabe 20. (siehe Musterlösung Zettel 4)

FU Berlin: WiSe (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5. Aufgabe 18. Aufgabe 20. (siehe Musterlösung Zettel 4) FU Berlin: WiSe 13-14 (Analysis 1 - Lehr.) Übungsaufgaben Zettel 5 Aufgabe 18 (siehe Musterlösung Zettel 4) Aufgabe 20 In der Menge R der reellen Zahlen sei die Relation 2 R 2 definiert durch: x 2 y :

Mehr

5. Gruppen, Ringe, Körper

5. Gruppen, Ringe, Körper 5. Gruppen, Ringe, Körper 5.1. Gruppen Die Gruppentheorie, als mathematische Disziplin im 19. Jahrhundert entstanden, ist ein Wegbereiter der modernen Mathematik. Beispielsweise folgt die Gruppe, die aus

Mehr

1 Anmerkungen zu Wohldefiniertheit

1 Anmerkungen zu Wohldefiniertheit 1 Anmerkungen zu Wohldefiniertheit Wohldefiniertheit muss bewiesen werden, wenn von vornherin nicht klar ist, ob eine angegebene Zuordnungsvorschrift eine Abbildung definiert. Hier gibt es zwei typische

Mehr

Gruppentheorie und Symmetrie in der Chemie

Gruppentheorie und Symmetrie in der Chemie Gruppentheorie und Symmetrie in der Chemie Martin Schütz Institut für theoretische Chemie, Universität Stuttgart Pfaffenwaldring 55, D-70569 Stuttgart Stuttgart, 26. April 2002 Mathematische Definition

Mehr

Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist?

Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) Wie kann man beweisen, dass (H, )

Mehr

Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 4 (WS 2015/16) 1. Abgabetermin: Donnerstag, 19. November.

Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 4 (WS 2015/16) 1. Abgabetermin: Donnerstag, 19. November. Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 4 (WS 2015/16) 1 Abgabetermin: Donnerstag, 19. November http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/a1 Erinnerungen an die Vorlesung: Im Folgenden werden manchmal einige

Mehr

Automaten und Coinduktion

Automaten und Coinduktion Philipps-Univestität Marburg Fachbereich Mathematik und Informatik Seminar: Konzepte von Programmiersprachen Abgabedatum 02.12.03 Betreuer: Prof. Dr. H. P. Gumm Referentin: Olga Andriyenko Automaten und

Mehr

1 Der Ring der ganzen Zahlen

1 Der Ring der ganzen Zahlen 1 Der Ring der ganzen Zahlen Letztendlich wird die Addition und Multiplikation in endlichen Körpern auf die Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen zurückgeführt. Deswegen müssen wir die an sich

Mehr

Man schreibt auch a b statt a + ( b). Beispiel A = {0,1,2,3} als abelsche Gruppe

Man schreibt auch a b statt a + ( b). Beispiel A = {0,1,2,3} als abelsche Gruppe 9 Wichtige Sätze und Definitionen zu 3: Gruppen, Ringe und Körper aus der Vorlesung: LV-NR 150 239 Veranstaltung Diskrete Mathematik II, 4.0 std Dozent Holtkamp, R. 3.1 a) (A, ) sei Monoid mit neutralem

Mehr

2.2 Konstruktion der rationalen Zahlen

2.2 Konstruktion der rationalen Zahlen 2.2 Konstruktion der rationalen Zahlen Wie wir in Satz 2.6 gesehen haben, kann man die Gleichung a + x = b in Z jetzt immer lösen, allerdings die Gleichung a x = b im allgemeinen immer noch nicht. Wir

Mehr

Algebra. Professor Walter Gubler

Algebra. Professor Walter Gubler Algebra Professor Walter Gubler 29. April 2010 2 Inhaltsverzeichnis I Algebra I 11 I Gruppentheorie 13 I.1 Gruppen................................... 13 I.1.1 Denition einer Gruppe.......................

Mehr

Von den rationalen zu den reellen Zahlen

Von den rationalen zu den reellen Zahlen Skript zur Schülerwoche 016, zweiter Tag: Von den rationalen zu den reellen Zahlen Dr. Mira Schedensack 1. September 016 1 Einführung Dieser Vorlesung geht von der Menge der rationalen Zahlen aus und definiert

Mehr

Algebraische Kurven. Holger Grzeschik

Algebraische Kurven. Holger Grzeschik Algebraische Kurven Holger Grzeschik 29.04.2004 Inhaltsübersicht 1.Einführung in die Theorie algebraischer Kurven 2.Mathematische Wiederholung Gruppen, Ringe, Körper 3.Allgemeine affine Kurven 4.Singuläre

Mehr

1 Modulare Arithmetik

1 Modulare Arithmetik $Id: modul.tex,v 1.11 2012/04/16 19:15:39 hk Exp $ $Id: gruppen.tex,v 1.11 2012/04/17 10:30:56 hk Exp $ 1 Modulare Arithmetik 1.3 Restklassen Wir waren gerade damit beschäftigt eine Beispiele zum Rechnen

Mehr

Skript und Übungen Teil II

Skript und Übungen Teil II Vorkurs Mathematik Herbst 2009 M. Carl E. Bönecke Skript und Übungen Teil II Das erste Semester wiederholt die Schulmathematik in einer neuen axiomatischen Sprache; es ähnelt damit dem nachträglichen Erlernen

Mehr

In einem faktoriellen Ring A existieren der größte gemeinsame Teiler ggt und das kleinste gemeinsame Vielfache kgv: Mit 0 a = λ i I pn i

In einem faktoriellen Ring A existieren der größte gemeinsame Teiler ggt und das kleinste gemeinsame Vielfache kgv: Mit 0 a = λ i I pn i 2 Faktorielle Ringe In Folgenden seien alle Ringe stets Integritätsbereiche. Hier nun einige aus der Algebra 1 bekannte Definitionen und Fakten für einen Integritätsbereich A. x A heißt irreduzibel falls

Mehr

1 Axiomatische Charakterisierung der reellen. 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen. 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale

1 Axiomatische Charakterisierung der reellen. 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen. 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Kapitel I Reelle Zahlen 1 Axiomatische Charakterisierung der reellen Zahlen R 2 Angeordnete Körper 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Zahlen

Mehr

KAPITEL 1: ENDLICHE KÖRPER 1 ALLGEMEINES 2 GLEICHUNGEN ÜBER EINEM ENDLICHEN KÖRPER

KAPITEL 1: ENDLICHE KÖRPER 1 ALLGEMEINES 2 GLEICHUNGEN ÜBER EINEM ENDLICHEN KÖRPER RUPRECHT-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG MATHEMATISCHES INSTITUT SEMINAR: QUADRATISCHE FORMEN ÜBER DEN RATIONALEN ZAHLEN SOMMERSEMESTER 2007 DOZENT: PROF. DR. KAY WINGBERG ASSISTENT: JOHANNES BARTELS KAPITEL

Mehr

Ringe. Kapitel Einheiten

Ringe. Kapitel Einheiten Kapitel 8 Ringe Die zahlreichen Analogien zwischen Matrizenringen und Endomorphismenringen (beides sind zugleich auch Vektorräume) legen es nahe, allgemeinere ringtheoretische Grundlagen bereitzustellen,

Mehr

Stefan Ruzika. 24. April 2016

Stefan Ruzika. 24. April 2016 Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 2: Körper 24. April 2016 1 / 21 Gliederung 1 1 Schulstoff 2 Körper Definition eines Körpers

Mehr

Seminar. Der Ring O K der ganzen Zahlen über einem Zahlenkörper K. Armin Hecht, Sabine Naewe

Seminar. Der Ring O K der ganzen Zahlen über einem Zahlenkörper K. Armin Hecht, Sabine Naewe Universität Paderborn SS 2007 Warburger Str. 100 33098 Paderborn Seminar Der Ring O K der ganzen Zahlen über einem Zahlenkörper K Armin Hecht, Sabine Naewe 04.Dezember 2007 Inhaltsverzeichnis 7 Der Ring

Mehr

Übungen zur Diskreten Mathematik I Blatt 6

Übungen zur Diskreten Mathematik I Blatt 6 1 Blatt 6 Aufgabe 19 Es sei M := {n N : n 2} und R := {(n, m) M M : n teilt m}. a) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation auf M ist. b) Überprüfen Sie, ob R eine totale Ordnung auf M ist. c) Zeigen Sie,

Mehr

Algebraische Strukturen

Algebraische Strukturen Peter Hellekalek Algebraische Strukturen Skriptum 28. Jänner 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Gruppen.................................................. 5 1.1 Definitionen...........................................

Mehr

1.2 Eigenschaften der ganzen Zahlen

1.2 Eigenschaften der ganzen Zahlen Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 13 1.2 Eigenschaften der ganzen Zahlen Dieser Abschnitt handelt von den gewöhlichen ganzen Zahlen Z und ihren Verknüpfungen plus und mal. Man kann die natürlichen

Mehr

Kongruenzen und Restklassenringe. 2. Kongruenzen und Restklassenringe

Kongruenzen und Restklassenringe. 2. Kongruenzen und Restklassenringe 2. Kongruenzen und Restklassenringe Kongruenzen Definition: Wir sagen a ist kongruent zu b modulo m schreiben a b mod m, wenn m die Differenz b-a te Beispiel: Es gilt 2 19 mod 21, 10 0 mod 2. Reflexivität:

Mehr

Algebra. Patrik Hubschmid. 8. Oktober 2013

Algebra. Patrik Hubschmid. 8. Oktober 2013 Algebra Patrik Hubschmid 8. Oktober 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Fortführung der Gruppentheorie 7 1.1 Sylowsätze.................................... 7 3 Vorwort Dieses Skript zur Vorlesung Algebra im Wintersemester

Mehr

reflexiv, symmetrisch, asymmetrisch, antisymmetrisch, transitiv, linaer konnex Kommutator, Kommutatorgrupe, Normalreihe, auflösbare Gruppe

reflexiv, symmetrisch, asymmetrisch, antisymmetrisch, transitiv, linaer konnex Kommutator, Kommutatorgrupe, Normalreihe, auflösbare Gruppe 1 Lernliste 1.1 Relationen reflexiv, symmetrisch, asymmetrisch, antisymmetrisch, transitiv, linaer konnex Äquivalenzrelation, Kongruenzrelation Klasseneinteilung Hauptsatz über Äquivalenzrelationen Jede

Mehr

1.3 Gruppen. Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau,

1.3 Gruppen. Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 18 1.3 Gruppen Der Begriff der Gruppe ordnet sich in gewisser Weise dem allgemeineren Konzept der Verknüpfung (auf einer Menge) unter. So ist zum Beispiel

Mehr

5. Galoisgruppen. 5. Galoisgruppen 45

5. Galoisgruppen. 5. Galoisgruppen 45 5. Galoisgruppen 45 5. Galoisgruppen Nach dem Studium von Zerfällungskörpern im letzten Kapitel wollen wir nun wieder zu unseren Problemen aus der Einleitung zurückkehren. Dazu erinnern wir uns zunächst

Mehr

Kongruenz modulo g definiert auf K[x] eine Äquivalenzrelation g : h g f h f ist durch g teilbar, und [f] g ist die Äquivalenzklasse von f.

Kongruenz modulo g definiert auf K[x] eine Äquivalenzrelation g : h g f h f ist durch g teilbar, und [f] g ist die Äquivalenzklasse von f. 3 Kongruenz modulo g definiert auf K[x] eine Äquivalenzrelation g : h g f h f ist durch g teilbar, und [f] g ist die Äquivalenzklasse von f 4 Auf der Menge aller Restklassen [f] g kann man Addition und

Mehr

Vollständigkeit; Überabzählbarkeit und dichte Mengen) Als typisches Beispiel für die reellen Zahlen dient die kontinuierlich ablaufende Zeit.

Vollständigkeit; Überabzählbarkeit und dichte Mengen) Als typisches Beispiel für die reellen Zahlen dient die kontinuierlich ablaufende Zeit. Kapitel 4 Reelle Zahlen 4.1 Die reellen Zahlen (Schranken von Mengen; Axiomatik; Anordnung; Vollständigkeit; Überabzählbarkeit und dichte Mengen) Als typisches Beispiel für die reellen Zahlen dient die

Mehr

D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2016 Prof. Manfred Einsiedler Philipp Wirth. Lösung 3

D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2016 Prof. Manfred Einsiedler Philipp Wirth. Lösung 3 D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analsis I HS 016 Prof Manfred Einsiedler Philipp Wirth Lösung 3 Diese Woche werden nur Lösungen zu den Aufgaben 4, 5 und 6 zur Verfügung gestellt 4 a Nach Folgerung (i aus den Axiomen

Mehr

Konstruktion der reellen Zahlen 1 von Philipp Bischo

Konstruktion der reellen Zahlen 1 von Philipp Bischo Konstruktion der reellen Zahlen 1 von Philipp Bischo 1.Motivation 3 1.1. Konstruktion von R im allgemeine 3 2.Voraussetzung 3 2.1Die Menge Q zusammen mit den beiden Verknüpfungen 3 2.2Die Rationalen Zahlen

Mehr

Mathematisches Institut SS 2010 Heinrich-Heine-Universität Prof. Dr. Stefan Schröer. Algebra. Blatt 1. ω = u + v,

Mathematisches Institut SS 2010 Heinrich-Heine-Universität Prof. Dr. Stefan Schröer. Algebra. Blatt 1. ω = u + v, Blatt 1 Aufgabe 1. Sei z = re iϕ C eine komplexe Zahl mit r, ϕ R, und n 1. Geben Sie alle ω C mit ω n = z in Polarkoordinaten an. Aufgabe 2. Sei X 3 + px + q C[X] ein kubisches Polynom. Dessen drei Nullstellen

Mehr

24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN

24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN 24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN x 2 = 0+x 2 = ( a+a)+x 2 = a+(a+x 2 ) = a+(a+x 1 ) = ( a+a)+x 1 = x 1. Daraus folgt dann, wegen x 1 = x 2 die Eindeutigkeit. Im zweiten Fall kann man für a 0 schreiben

Mehr

1 Vorbereitung: Potenzen 2. 2 Einstieg und typische Probleme 3

1 Vorbereitung: Potenzen 2. 2 Einstieg und typische Probleme 3 Das vorliegende Skript beschäftigt sich mit dem Thema Rechnen mit Kongruenzen. Das Skript entsteht entlang einer Unterrichtsreihe in der Mathematischen Schülergesellschaft (MSG) im Jahr 2013. Die vorliegende

Mehr

Lösungen - Serie 2 zu den Übungsaufgaben zur Vorlesung Algebraische Zahlentheorie

Lösungen - Serie 2 zu den Übungsaufgaben zur Vorlesung Algebraische Zahlentheorie Lösungen - Serie zu den Übungsaufgaben zur Vorlesung Algebraische Zahlentheorie Aufgabe : Berechnen Sie für die folgenden Elemente x in einer Körpererweiterung L K die Norm Nm L K (x) und die Spur T r

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Lineare Algebra und analytische Geometrie I Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2015/2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 3 Gruppen In der linearen Algebra wird im Allgemeinen ein Grundkörper K zugrunde gelegt, über den sich

Mehr

Körper- und Galoistheorie

Körper- und Galoistheorie Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2011 Körper- und Galoistheorie Vorlesung 17 Kummererweiterungen Ernst Eduard Kummer (1810-1893) Wir haben in der letzten Vorlesung gesehen, dass sich einige Eigenschaften

Mehr

3.4 Erweiterungen von Ringen und Körpern

3.4 Erweiterungen von Ringen und Körpern Algebra I c Rudolf Scharlau, 2002 2010 145 3.4 Erweiterungen von Ringen und Körpern In diesem Abschnitt werden Erweiterungen von Ringen (etwas vereinfacht gesagt: Oberringe), insbesondere Erweiterungen

Mehr

Grundlagen der Mathematik

Grundlagen der Mathematik Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Grundlagen der Mathematik Lösungsskizzen 2 Präsenzaufgaben (P2) Wir betrachten drei Teilmengen der natürlichen Zahlen: - A = {n

Mehr

Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie

Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Wintersemester 2014/15 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax

Mehr

2.2 Nebenklassen, Normalteiler und Faktorgruppen

2.2 Nebenklassen, Normalteiler und Faktorgruppen Algebra I c Rudolf Scharlau, 2002 2012 61 2.2 Nebenklassen, Normalteiler und Faktorgruppen Bei der Konstruktion der Restklassengruppe Z/mZ hatten wir auf der Gruppe Z mit Hilfe einer Untergruppe mz eine

Mehr

Konstruktion und Struktur endlicher Körper

Konstruktion und Struktur endlicher Körper Université du Luxembourg Faculté des Sciences, de la Technologie et de la Communication Bachelorarbeit Konstruktion und Struktur endlicher Körper Hoeltgen Laurent Luxemburg den 28. Mai 2008 Betreuer: Prof.

Mehr

11. Übung zur Vorlesung. Zahlentheorie. im Wintersemester 2015/16

11. Übung zur Vorlesung. Zahlentheorie. im Wintersemester 2015/16 11. Übung zur Vorlesung Aufgabe 41. Zeige, dass das Polynom (X 2 13)(X 2 17)(X 2 13 17) Z[X] modulo jeder natürlichen Zahl n N eine Nullstelle hat, aber keine Nullstelle in Z besitzt. Aufgabe 42. Sei p

Mehr

1 Algebraische Strukturen

1 Algebraische Strukturen Prof. Dr. Rolf Socher, FB Technik 1 1 Algebraische Strukturen In der Mathematik beschäftigt man sich oft mit Mengen, auf denen bestimmte Operationen definiert sind. Es kommt oft vor, dass diese Operationen

Mehr

2.5 Diskrete Bewegungsgruppen I: die Punktgruppe,

2.5 Diskrete Bewegungsgruppen I: die Punktgruppe, Diskrete Geometrie (Version 3) 20. November 2011 c Rudolf Scharlau 133 2.5 Diskrete Bewegungsgruppen I: die Punktgruppe, Friesgruppen In diesem Abschnitt ist wie bisher ein euklidischer (Vektor-)Raum E

Mehr

Gruppentheorie Eine Zusammenfassung

Gruppentheorie Eine Zusammenfassung Gruppentheorie Eine Zusammenfassung Stephan Tornier ETH Zürich FS 09 21. Mai 2009 Zusammenfassung In diesem Skript sind grundlegende Definitionen und Aussagen der Gruppentheorie zusammengefasst. basierend

Mehr

5 Grundlagen der Zahlentheorie

5 Grundlagen der Zahlentheorie 5 Grundlagen der Zahlentheorie 1 Primfaktorzerlegung Seienm, n N + := {k N k > 0} Man schreibt n n, gesprochen m teilt n oder m ist ein Teiler von n, wenn es eine positive natürliche Zahl k gibt mit mk

Mehr

PRÜFUNG AUS ALGEBRA UND DISKRETE MATHEMATIK F. INF. U. WINF.

PRÜFUNG AUS ALGEBRA UND DISKRETE MATHEMATIK F. INF. U. WINF. Zuname: Vorname: Matrikelnummer: PRÜFUNG AUS ALGEBRA UND DISKRETE MATHEMATIK F. INF. U. WINF. (GITTENBERGER) Wien, am 5. Februar 2013 (Ab hier freilassen!) Arbeitszeit: 100 Minuten 1) 2) 3) 4) 5) 1)(8

Mehr

Einführung Gruppen, Beispiele, Konjugationsklassen

Einführung Gruppen, Beispiele, Konjugationsklassen Einführung Gruppen, eispiele, Konjugationsklassen Fabian Rühle 21.10.2015 Inhaltsverzeichnis 1 Definition von Gruppen und einfache eispiele 1 2 Die zyklische Gruppe n 2 3 Die Diedergruppe D n 3 4 Die Permutationsgruppe

Mehr

Kongruenz ist Äquivalenzrelation

Kongruenz ist Äquivalenzrelation Kongruenz ist Äquivalenzrelation Lemma Kongruenz ist Äquivalenzrelation Die Kongruenz modulo n ist eine Äquivalenzrelation auf Z. D.h. für alle a, b, c Z gilt 1 Reflexivität: a a mod n 2 Symmetrie: a b

Mehr

1 Zahlentheorie. 1.1 Kongruenzen

1 Zahlentheorie. 1.1 Kongruenzen 3 Zahlentheorie. Kongruenzen Der letzte Abschnitt zeigte, daß es sinnvoll ist, mit großen Zahlen möglichst einfach rechnen zu können. Oft kommt es nicht darauf, an eine Zahl im Detail zu kennen, sondern

Mehr

Inhalt der Vorlesung Elemente der Algebra und Zahlentheorie Prof. Dr. Arno Fehm TU Dresden SS Grundlegende Definitionen (Wiederholung)

Inhalt der Vorlesung Elemente der Algebra und Zahlentheorie Prof. Dr. Arno Fehm TU Dresden SS Grundlegende Definitionen (Wiederholung) Inhalt der Vorlesung Elemente der Algebra und Zahlentheorie Prof. Dr. Arno Fehm TU Dresden SS217 Kapitel II. Ringe 1 Grundlegende Definitionen (Wiederholung) 1.1 Definition (Ring). Ein Ring ist ein Tripel

Mehr

11. Primfaktorzerlegungen

11. Primfaktorzerlegungen 78 Andreas Gathmann 11 Primfaktorzerlegungen Euch ist sicher aus der Schule bekannt, dass sich jede positive ganze Zahl a als Produkt a = p 1 p n von Primzahlen schreiben lässt, und dass diese Darstellung

Mehr

3 Topologische Gruppen

3 Topologische Gruppen $Id: topgr.tex,v 1.2 2010/05/26 19:47:48 hk Exp hk $ 3 Topologische Gruppen Als letztes Beispiel eines topologischen Raums hatten wir die Zariski-Topologie auf dem C n betrachtet, in der die abgeschlossenen

Mehr

Formale Grundlagen 2008W. Vorlesung im 2008S Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz

Formale Grundlagen 2008W. Vorlesung im 2008S  Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Formale Grundlagen Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2008S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Inhalt Definition Sei A eine Menge und ɛ A A A eine zweistellige

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen) WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16

Mehr

Lineare Algebra 6. Übungsblatt

Lineare Algebra 6. Übungsblatt Lineare Algebra 6. Übungsblatt Fachbereich Mathematik M. Schneider 16.05.01 Konstantin Pertschik, Daniel Körnlein Gruppenübung Aufgabe G19 Berechnen Sie das inverse Element bzgl. Multiplikation in der

Mehr