Einführung in die Algebra - ein paar Hinweise zur Prüfungsvorbereitung

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1 Einführung in die Algebra - ein paar Hinweise zur Prüfungsvorbereitung Ihre Vorbereitung auf die mündliche Prüfung sollte in mehreren Schritten verlaufen: Definitionen und Sätze Die wichtigen Definitionen und Sätze aus der Vorlesung sollten Sie auswendig können, da direkt danach gefragt wird. Es kann durchaus sinnvoll sein, Definitionen und Sätze wie Vokabeln zu lernen (also alles aus der Vorlesungsmitschrift auf Karteikarten herausschreiben usw.). Wichtig ist, Definitionen und Sätze vollständig und präzise zu lernen - durch Weglassen einzelner Voraussetzungen werden die meisten Statements falsch oder sinnlos. Zum Beispiel ist die Frage Was ist eine Faktorgruppe? durch Das ist G durch H. nicht beantwortet (denn es ist nicht klar was G und H für Objekte sein sollen, was G/H überhaupt sein soll, und wieso dies eine Gruppe ist). Eine vollständige Antwort wäre z.b. Sei G eine Gruppe und H in G ein Normalteiler, das bedeutet ghg 1 = H für alle g aus G. Dann definiert man G/H als die Menge der Äquivalenzklassen nach der Äquivalenzrelation g g falls (g ) 1 g in H liegt. Auf G/H hat man eine wohldefinierte Gruppenstruktur durch gh g H := (gg )H. Fragen nach Definitionen sollten auch nie mit einem Beispiel beantwortet werden, sondern eben immer mit der allgemeinen Definition (auf obige Frage ist Zum Beispiel Z/nZ keine Antwort). Fragen nach Sätzen können sowohl ganz direkt sein, z.b. Was besagt der Chinesische Restesatz, als auch eher indirekt im Zusammenhang mit der Theorie, z.b. Welche Zusammenhänge gibt es zwischen den Begriffen prim und irreduzibel?. Eine optimale Antwort wäre Die Begriff prim und irreduzibel sind für Elemente in nullteilerfreien Ringen definiert. Prime Elemente sind immer irreduzibel. In faktoriellen Ringen, also zum Beispiel in Hauptidealringen, sind die Begriffe äquivalent nach einem Satz aus der Vorlesung. Im Allgemeinen aber nicht, ein Beispiel ist das irreduzible Element 2 in Z[ 5], denn 2 teilt 6 gleich (1 + 5)(1 5), aber keinen der Faktoren, ist also nicht prim. Beispiele und Techniken Sie sollten für alle in der Vorlesung behandelten Themen einen gewissen Beispielvorrat kennen. Für jede Eigenschaft einer Gruppe/eines Rings/einer Körpererweiterung, die definiert wurde, sollten sie mindestens ein Beispiel bzw. eine Beispielklasse und ein 1

2 Gegenbeispiel kennen. Für jede Voraussetzung in einem Satz aus der Vorlesung sollten Sie sich ein Gegenbeispiel überlegen, warum der Satz ohne diese Voraussetzung nicht mehr gilt. Sie sollten die konkreten Rechentechniken, die in der Vorlesung und den Übungen benutzt wurden, beherrschen, also z.b.: das Rechnen in Restklassengruppen und Permutationsgruppen, das Arbeiten mit den Sylowsätzen, das Rechnen in Restklassenringen, die Arbeit mit Irreduzibilitätskriterien, die Berechnung von Minimalpolynomen und Zerfällkörpern, sowie die Berechnung einiger typischer Galoisgruppen. Zusammenhang und Beweise Im nächsten Schritt sollten Sie sich den Aufbau der Vorlesung im Großen klar machen. Welche Sätze sind für das weitere Vorgehen relevant? Welche haben unmittelbare konkrete Anwendungen? Welche werden an entscheidenen Stellen im weiteren Aufbau der Theorie bzw. in Beweisen benötigt (dafür kann es sinnvoll sein, ein Gerüst der einzelnen Kapitel knapp schriftlich zusammenzufassen)? Welche Rolle spielte welcher Abschnitt für das große Ziel der Vorlesung, nämlich den Beweis der Nichtauflösbarkeit allgemeiner Gleichungen vom Grad 5? Sie sollten außerdem Beweisskizzen zu den wichtigsten Sätzen kennen. Einige Sätze haben kurze, aber für die Theorie typische Beweistechniken, nach denen gefragt wird. Typische Beispiele sind: Homomorphiesatz für Gruppen, Klassifikation der zyklischen Gruppen, Satz von Lagrange, Charakterisierung primer und maximaler Ideale durch ihre Faktorringe, Euklidische Ringe sind Hauptidealringe, prime Elemente sind irreduzibel, Reduktionskriterium, Beschreibung einfacher Körpererweiterungen K(a), Kroneckerkonstruktion. Die Prüfung selbst dauert 30 Minuten und findet im Raum F unter Anwesenheit von Prüfer, Beisitzer bzw. Beisitzerin (der/die das Protokoll führt) und Kandidat bzw. Kandidatin statt. Die Prüfung verläuft als Prüfungsgespräch, d.h. es gibt keine vorher festgelegte Liste von Fragen. Im Lauf der Prüfung werden sowohl alle Abschnitte der Vorlesung (Gruppentheorie, Ringtheorie, Körpertheorie, Galoistheorie) als auch verschiedene Kompetenzen, wie z.b. Reproduktion von gelernten Definitionen und Sätzen, Anwendung der Theorie auf konkrete (Rechen-)Beispiele, Diskussion von Beispielklassen und Gegenbeispielen, Einordnung von Definitionen und Sätzen in den Aufbau der Theorie, Herleitung von Beweisskizzen, geprüft. Die Prüfung 2

3 wird stets mit einer grundlegenden Frage aus der Gruppentheorie starten, wie z.b. Was ist eine Gruppe?, Was ist eine Untergruppe einer Gruppe?, Was sind Nebenklassen in Gruppen?, Was ist eine Faktorgruppe?. Nach Ablauf der Prüfung werden Sie kurz herausgebeten, nach wenigen Minuten Wartezeit wird Ihnen die Note mit Begründung mitgeteilt. Sie können die Fragen sowohl mündlich als auch schriftlich beantworten, eine Mischung aus beidem ist am sinnvollsten (rein mündliche Beantwortung ist, besonders bei längeren Formeln, Definitionen oder Notationen sehr schwierig; rein schriftliche Beantwortung ergibt kein Prüfungsgespräch auch das (präzise) Sprechen über Mathematik ist eine Kompetenz, die in der Prüfung getestet wird). Im Gegensatz zu einer Klausur können Sie in einer mündlichen Prüfung gerne nachfragen, wenn Ihnen die Frage nicht ganz klar ist, oder wenn Sie etwas Hilfestellung brauchen. Sollte Ihre Antwort nicht richtig sein, bekommen Sie sofort Rückmeldung, und das Gespräch wird als nächstes darum gehen, den Fehler zu klären. Sollte Ihre Antwort nicht ausführlich oder präzise genug sein, wird es ein oder mehrere Nachfragen zur Präzisierung geben (die Prüfung wird aber nie zu lange bei einem Thema steckenbleiben, das Ihnen offensichtlich nicht liegt). Sie dürfen auch gerne versuchen, die Richtung des Prüfungsgesprächs mitzugestalten (z.b. Zu den Sylowsätzen dürfen Sie mich nicht so genau fragen, aber ich kann Ihnen etwas zu auflösbaren Gruppen erzählen, Den Beweis habe ich nicht gelernt, aber ich kann Ihnen zwei Beispiele dazu sagen ) oder auch mal bei einen Thema passen. Allerdings gibt es einige für die Vorlesung zentrale Themen, bei denen das nicht möglich ist (siehe unten). Vage Fragen (z.b. Wozu ist der algebraische Abschluss gut?, Was fanden Sie in der Ringtheorie am interessantesten? ) sind eine Einladung an Sie, für einen Abschnitt der Prüfung Ihr Wissen aus diesen Bereichen (Definitionen, Sätze, Beispiele, Beweisskizzen, Aufbau der Theorie) nach eigenem Geschmack strukturiert darzustellen. Einige Themen sind für die Algebra so grundlegend, dass ihr Verständnis (zumindest in einem gewissen Umfang) für das Bestehen der Prüfung unerlässlich sind. Dies betrifft besonders: Verständnis der Begriffe Gruppe, Ring, Körpererweiterung, das Verständnis des Konzept von Restklassenmengen und Faktorstrukturen (Faktorgruppen und Faktorringe). Sie müssen z.b. wissen und in der Prüfung erklären können, dass die Elemente von G/H die Form gh 3

4 haben; dabei ist gh eine Teilmenge von G (nämlich gerade eine Äquivalenzklasse bezüglich einer Äquivalenzrelation). Ferner müssen Sie das Rechnen in Z/nZ beherrschen, Verständnis des Begriffs Homomorphismus, Formulierung und Verständnis von Homomorphiesätzen (machen Sie sich beim Lernen einmal klar, wie oft diese in Beweisen benutzt wurden), das Konzept eines Ideals in einem Ring, die Begriffe prim und irreduzibel in Ringen, Verständnis des Begriffs der Charakteristik eines Körpers und der Auswirkungen auf die Struktur eines Körpers, einfache Körpererweiterungen K K(a), grundlegendes Verständnis des Zusammenhangs zwischen Polynomgleichungen und Körpererweiterungen. Unabdingbar für das Bestehen der Prüfung ist auch die Fähigkeit, präzise mathematisch formulieren zu können. Ein Beispiel: auf die Frage Was ist eine Gruppe? ist die Antwort G ist eine Gruppe, wenn g h assoziativ, mit neutralem und inversen Elementen ist in vielerlei Hinsicht falsch bzw. sehr unpräzise. Zu allererst ist eine Gruppe eine Menge (mit einer Verknüpfung ), in obiger Antwort wird aber überhaupt nicht gesagt, was G als mathematisches Objekt sein soll (es könnte also z.b. die Nachfrage kommen was ist G? Ist es eine Zahl? Eine Menge? Eine Abbildung? Ein Element einer Menge? ). Als nächstes wird eine Eigenschaft von G definiert durch Benutzung von g und h, die aber überhaupt noch nicht vorkamen. Man muss also sagen, was g und h sein sollen, nämlich Elemente von G (hier käme also die Nachfrage: was sind denn g und h? Wie können Sie eine Eigenschaft von G definieren durch eine Eigenschaft von g, wenn g noch nicht definiert ist? ) Ferner muss gesagt werden, dass G dadurch zu einer Gruppe wird, das etwas für alle g und h aus G gilt (Nachfrage: Muss das für ganz spezielle g und h gelten? für bestimmte? für beliebige? ). Nächster Fehler: g h ist das Ergebnis einer Multiplikation, also wieder ein Element aus G. Als solches kann es nicht assoziativ sein. Was an einer Gruppe assoziativ ist, ist die Abbildung : G G G (Nachfrage: Was ist g h? Ist es ein Element aus G? Was bedeutet es für ein Element aus G, assoziativ zu sein? ). Eine 4

5 gute Antwort wäre daher: Eine Gruppe ist eine Menge G, zusammen mit einer Verknüpfung : G G G, die folgende Eigenschaften erfüllt:.... Besonders ist zu beachten: durch präzises Formulieren erspart man sich viele Nachfragen (die aber nötig sind, um das Gesagte zu präzisieren). 5