Ferienkurs Elektrodynamik - Drehmomente, Maxwellgleichungen, Stetigkeiten, Ohm, Induktion, Lenz
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- Stephan Engel
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1 Ferienkurs Elektrodynamik - Drehmomente, Maxwellgleichungen, Stetigkeiten, Ohm, Induktion, Lenz Stephan Huber 19. August Nachtrag zum Drehmoment 1.1 Magnetischer Dipol Ein magnetischer Dipol erfährt in einem B-Feld ein Drehmoment. Bei Betrachtung des obigen Bildes (in diesem steht m für µ) kann man, mit Hilfe der rechten Handregel, schnell einen Ausdruck für das Drehmoment hinschreiben. M = af sinθ e x Die geneigten Seiten tragen nichts bei, da sie lediglich die Leiterschleife dehnen, aber keine Rotation bewirken. Die Seiten parallel zur x-achse hingegen verursachen ein Drehmoment. Für die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem Magnetfeld gilt: womit für das Drehmoment folgt: F = IbB M = IabBsinθ e x = µbsinθ e x = µ B 1
2 1.2 Elektrischer Dipol Beim elektrischen Dipol kommt man für das Drehmoment formal auf das gleiche Ergebnis. M = (r + F + ) + (r F ) = ( d/2) q E + ( d/2) q E = = q d E = p E 2 Zeitunabhängige Maxwellgleichungen Wir haben bereits zwei der Maxwellgleichungen für den zeitunabhängigen Fall hergeleitet: D = ρ frei H = j frei Die Gleichung für die Divergenz des B-Feldes ist ein experimenteller Befund: B = 0 Es fehlt also noch die Gleichung für die Rotation des E-Feldes. Dazu betrachten wir zuerst das Feld und das Potential einer simplen Punktladung q: E P ( r) = q r 4πɛ 0 r 3 = q 1 4πɛ 0 r 2 e r Und versuchen davon das Integral entlang eines Weges γ zu berechnen. (Bemerkung: In Kugelkoordinaten gilt: d γ = dr e r + rdθ e θ + rsinθ dφ e φ ) a b E P ( r) d γ = a b E P (r) dr = q 4πɛ 0 a b 1 r 2 dr = q 4πɛ 0 ( 1 b 1 a ) Das Integral vereinfacht sich so stark, da die beiden Skalarprodukte e r e θ und e r e φ null ergeben. Für einen geschlossenen Weg, also a=b wird dies zu 0. Somit folgt mit Hilfe von Stokes: E P d γ = E P da = 0 E P = 0 2
3 Wir haben hier jedoch nur den einfachsten Fall einer Punktladung betrachtet. Das Feld einer beliebigen Ladungsverteilung kann man nun immer als Summe von Punktladungen betrachten: Was uns schließlich ans Ziel führt: E = E P 1 + E P E = E P 1 + E P = 0 Schließlich, die Zusammenfassung der Maxwellgleichungen für den zeitunabhängigen Fall: D = ρ B = 0 E = 0 H = j 3 Stetigkeiten von Feldern an Grenzflächen 3.1 Das elektrische Feld Wir haben den Ausdruck D = ρ frei für die elektrische Verschiebung hergeleitet. Daraus folgt die Stetigkeit der Normalkomponenten von D für den Fall, dass ρ frei = 0 ist: D dv = Q = D da = D n 1 A D n 2 A Q=0 D n 1 = D n 2 Aus der Rotation des elektrischen Feldes lässt sich die Stetigkeit der Tangential-Komponente von E herleiten: E = 0 E da = E dγ = 0 = E 1 t l E 2 t l E t 1 = E t 2 Dies gilt immer, da E immer 0 ist. 3
4 3.2 Das magnetische Feld Die Stetigkeit der Normalkomponente von B folgt aus der Divergenz: B = 0 B dv = 0 = B da = B 1 n B 2 n B n 1 = B n 2 Dies gilt auch immer, da B hoffentlich immer 0 bleibt. Mit der Rotation von H lässt sich wiederum, für den Fall j frei = 0 die Stetigkeit der Tangential-Komponente bestimmen: H = j frei H da = j frei da = I = H dγ = H t 1 l H t 2 l I=0 H t 1 = H t 2 4 Ohmsches Gesetz Die Stromdichte j ist mit dem E-Feld über die Leitfähigkeit σ verknüpft: j = σ E Für einen nicht idealen Leiter entlang der x-achse mit Querschnittsfläche A gilt dann: I = j x da = AσE x = Aσ Φ x=l = = Aσ U x }{{} L 1 R 5 Induktion U = R I 5.1 Faradaysches Induktionsgesetz Das Faradaysche Induktionsgesetz besagt, dass die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses eine Spannung verursacht. Aus diesem Satz kann man schon den Zusammenhang von Magnetismus und Elektrizität herauslesen. Der magnetische Fluss Φ (bitte nicht mit dem elektrischen Potentiel verwechseln) ist dabei per Definition das Mangetfeld über eine Fläche integriert: Φ = B d A 4
5 Das Induktionsgesetz lautet nun: U ind = E d γ = d dt B d A = d dt Φ Man kann es auch mit Hilfe von Stokes umformen zu: E d γ = E da = d B da dt E = d dt B 5.2 Lenzsche Regel Die Lenzsche Regel besagt, dass ein induzierter Strom ein Magentfeld erzeugt, das der Änderung entgegen wirkt. Wenn man darüber nachdenkt, ist dies aus Gründen der Stabilität auch notwendig. 5.3 Der Maxwellsche Verschiebungsstrom Der Maxwellsche Verschiebungsstrom verallgemeinert das Amperesche Gesetz H dγ = j da für den zeitabhängigen Fall. Die Mathematik hat gezeigt, dass die Divergenz einer Rotation immer Null ist ( ( F ) = 0). Beim Ampereschen Gesetz ( H = j) würde das aber zu einem Widerspruch führen, da man bei der Berechnung der Divergenz auf folgendes Ergebnis käme: ( H) = 0 = j j ist aber im Falle eines zeitabhängigen Stromes ungleich 0!!! Ein sehr anschauliches Beispiel dazu, dass mit dem Ampereschen Gesetz im zeitabhängigen Fall etwas nicht stimmt, ist ein Kondensator, der aufgeladen wird. 5
6 Im obigen Bild haben die beiden Flächen S 1 und S 2 den gleichen Rand δs. Somit ist das Wegintegral um δs, wie im Bild gezeigt ungleich 0. Jedoch ist fließt durch die Fläche S 2 kein Strom, was zu einem Widerspruch führen würde. Diesem Dilemma entkommt man, indem die die Gesamt-Stromdichte j G in zwei Summanden, die sog. freie Stromdichte j frei und die Verschiebungsstromdichte j v, aufgeteilt wird. j G = j frei + j v Zusätzlich verwendet man die Kontinuitätsgleichung ( j v = δ δtρ) und die erste Maxwell-Gleichung (ρ = D) für den Verschiebungsstrom j v. j v = δ δt ρ = δ δt D Schließlich erhält man als korrekte Gleichung für den zeitabhängigen Fall: H = j + δ δt D Und hier, die Zusammenfassung der Maxwellgleichungen für den zeitabhängigen Fall: D = ρ 6
7 E = δ B δt B = 0 H = j + δ D δt 7
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