Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 10. Übungsblatt. < 0 für alle t > 1. tan(x) tan(0) x 0

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1 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann WS 03/4 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 0. Übungsblatt Aufgabe 37 Beweisen Sie die nachfolgenden Aussagen. a) Es gilt tan() < für alle (0, π 4 ). b) Man hat log(t) t + t < 0 für alle t >. c) Ist t (0, ) \ {}, so gilt log(t) < t. d) Für alle (, ) gilt arc. zu a): Sie (0, π ) beliebig. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung (angewendet 4 auf tan) eistiert ein ξ (0, ) (0, π) mit 4 tan() tan() tan(0) 0 tan (ξ) + tan (ξ). Da tan auf (0, π) streng monoton wächst und strikt positiv ist und zudem tan( π) gilt, 4 hat man + tan (ξ) < + tan ( π tan() ). Also erhalten wir < bzw. (wegen > 0) 4 tan() <. zu b): Wir betrachten die differenzierbare Funktion f : [, ) R; t log(t) t + t mit f (t) t. Es sei t >. Dann eistiert nach dem Mittelwertsatz der t t 3 Differentialrechnung ein s (, t) mit f(t) t f(t) f() t f (s) s s s 3 s s s 3 ( s ) s 3 woraus wegen t > 0 die Ungleichung f(t) < 0 folgt, was präzise die Behauptung ist. zu c): Es sei t (0, ) \ {}. Dann sichert der Mittelwertsatz der Differentialrechnung (angewendet auf log) die Eistenz einer Zahl s, die echt zwischen t und liegt, d.h. mit s (min{, t}, ma{, t}), sodass log(t) t log(t) log() t log (s) s < 0,

2 gilt. Ist t >, so gilt log(t) < und wir erhalten < bzw. log(t) < t (beachte: s t t > 0). Gilt hingegen t <, so erhalten wir log(t) >, was > bzw. log(t) < t s t (beachte: t < 0) impliziert. zu d): Für 0 ist nichts zu zeigen. Sei darum (, )\{0}. Gemäß dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung eistiert ein ξ zwischen 0 und mit arc arc arcsin(0) 0 arcsin (ξ) ξ. Da ξ zwischen 0 und liegt, gilt in jedem Falle ξ < und daher auch ξ <, woraus < ξ folgt. Damit erhalten wir arc arc Des Weiteren gilt wegen < die Äquivalenz ξ + 0 ( ) 0 und die letzte Ungleichung ist korrekt. Damit folgt insgesamt arc. wie behauptet.

3 Aufgabe 38 Beweisen Sie die nachfolgenden Aussagen. a) Es seien a < b reelle Zahlen und f : [a, b] R eine differenzierbare Funktion mit beschränkter Ableitung. Dann ist f Lipschitz-stetig. b) Es seien α, β R und n N. Zeigen Sie, dass das Polynom P () n + α + β höchstens zwei Nullstellen besitzt, falls n gerade ist, und höchstens drei Nullstellen, falls n ungerade ist. (Hinweis: Mittelwertsatz der Differentialrechnung.) zu a): Es sei M eine Schranke für f. Ferner seien < y aus [a, b]. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung liefert ein ξ (, y) mit f() f(y) ( y)f (ξ). Damit folgt jedoch f() f(y) y f (ξ) M y. Folglich ist f Lipschitz-stetig. zu b): Wir behandeln zunächst den Fall, dass n gerade ist, und machen die Annahme, dass P mindestens drei Nullstellen, sagen wir < < 3, habe. Der Mittelwertsatz der Differentialrechung garantiert dann für j {, } die Eistenz einer Zahl ξ j ( j, j+ ) mit 0 P ( j ) P ( j+ ) P (ξ j )( j j+ ) also mit P (ξ j ) 0. Wegen ξ < < ξ muss also P mindestens zwei Nullstellen besitzen. Da jedoch n ungerade ist, folgt aus P () n n + α, dass P nur die Nullstelle ( α n falsch und P besitzt höchstens zwei Nullstellen. ) n besitzt. Folglich war unsere Annahme Jetzt sei n ungerade. Wir treffen nun die Annahme, dass P mindestens vier Nullstellen, sagen wir < < 3 < 4, habe. Der Mittelwertsatz der Differentialrechung garantiert dann für j {,, 3} die Eistenz einer Zahl ξ j ( j, j+ ) mit 0 P ( j ) P ( j+ ) P (ξ j )( j j+ ) also mit P (ξ j ) 0. Wegen ξ < < ξ < 3 < ξ 3 muss also P mindestens drei Nullstellen besitzen. Aus P () n n + α n ( n n) α folgt, dass jede dieser besagten drei Nullstellen auch eine Nullstelle des Polynoms n α ist. Dieses Polynom hat aber, n da n gerade ist, nach dem bereits Gezeigten allenfalls zwei Nullstellen. Also war unsere Annahme falsch und wir erhalten, dass P höchstens drei Nullstellen besitzen kann.

4 Aufgabe 39 Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte: a) lim 0 + cos(), b) lim 0 e ( ), c) lim log ( + ), d) lim 0 log(++ ), e) lim 0 cos()+e +e 4 3. zu a): Wegen ( + cos()) sin () + cos() liefert der Satz von de l Hospital lim 0 + cos(). zu b): Aus ( ) e ( ) sin () e( ) ( ) cos() folgt mit Hilfe des Satzes von de l Hospital lim 0 e ( ) 0. zu c): Wegen ( ( )) log + ( ) + ( ) liefert der Satz von de l Hospital lim log ( + zu d): Aus + ) lim log(+ ). (log( + + ) ) ( ) ( + ) ++ + ( + + ) ( + + ) ( + + ) 0 folgt mit Hilfe des Satzes von de l Hospital lim 0 log(++ ). zu e): Wegen ( cos() + e + e 4) ( 3 ) + e e 3

5 und wegen ( + e e ) (3 ) cos() + e + e 6 und wegen ( cos() + e + e ) (6) + e e cos()+e liefert ein dreimaliges Anwenden der Regel von de l Hospital, dass lim +e gilt.

6 Aufgabe 40 Beweisen Sie die folgenden Aussagen. a) Es gilt lim ± π tan() ± sowie tan(( π, π )) R. b) Die Funktion arctan : R ( π, π ) ist differenzierbar mit arctan () + für alle R. c) Die Reihe f() : n+ ( )n n+ konvergiert genau für [, ]. d) Für alle (, ) ist f aus Teil a) differenzierbar mit f () +. e) Es gilt arctan() n+ ( )n n+ zu a): Wegen sin( π) gilt > cos() > 0 für (0, π Dies impliziert lim π tan(). für alle [, ]. ), dass tan() cos() > für (0, π) nahe bei π. Hieraus folgt wegen > 0 für (0, π) nahe bei π gilt. cos() Analog erhält man auch lim π + tan() : Wegen sin( π) gilt < für ( π, 0) nahe bei π. Hieraus folgt wegen cos() > 0 für ( π, 0), dass tan() < < 0 für ( π, 0) nahe bei π gilt. Dies impliziert lim cos() cos() π + tan(). Mit Hilfe des Zwischenwertsatzes und der beiden berechneten Grenzwerte folgt (wegen der Stetigkeit von tan) sofort tan(( π, π )) R. zu b): Aus der Vorlesung ist bereits bekannt, dass tan differenzierbar ist mit tan () + tan () > 0 für ( π, π ). Nach dem Satz über die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion ist arctan daher in jedem Punkt y R differenzierbar und mit : arctan(y) gilt arctan (y) arctan (tan()) für alle y R. zu c): Wegen tan () + tan () + tan (arctan(y)) + y n n+ ( )n n + n n + n liefert das Wurzelkriterium, dass die Potenzreihe für < konvergiert und für > divergiert. Für gilt n+ und die Reihe konvergiert dann nach dem Leibnizkriterium. zu d): Dass f auf (, ) differenzierbar ist, ist klar nach dem Satz über die Differenzierbarkeit von Potenzreihen und eben dieser Satz liefert zudem f () für alle (, ). ( ) n n (n + ) n + ( ) n ( ) +

7 zu e): Nach Teil b) und d) eistiert eine Konstante c R derart, dass arctan() ( ) n n+ n + + c f() + c für alle (, ) gilt. Wegen arctan(0) 0 f(0) folgt c 0; es gilt mithin in der Tat arctan() n+ ( )n für alle (, ). Da die Reihe n+ n+ ( )n auch für n+ konvergiert, liefern der Abel sche Grenzwertsatz und das bereits Gezeigte ( ) n (±)n+ n + lim ± Folglich gilt arctan() n+ ( )n n+ ( ) n n+ n + lim arctan() arctan(±). ± für alle [, ].

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