Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg Rapp

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1 Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg Algebra, Geometrie, Differentialrechnung, Integralrechnung, Vektorrechnung, Komplexe Rechnung von Heinz Rapp 1. Auflage Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg Rapp schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG Thematische Gliederung: Mathematik für Ingenieure Mathematik für Ingenieure Springer Vieweg Wiesbaden 2012 Verlag C.H. Beck im Internet: ISBN

2 VII Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen Zahlen ZahlendarsteIlung auf der Zahlengeraden Mengen Aufzählende Mengenschreibweise Beschreibende Mengenschreibweise Mengendiagramme Beziehungen zwischen Mengen {Mengen relationen) Mengenverknüpfungen (Mengenoperationen) Intervallschreibweisen Symbole der Logik Rechnen mit Termen Grundrechenarten mit Termen Addition und Subtraktion (Rechnen mit Klammertermen) Klammern in Klammern Multiplikation und Division Multiplikation mit negativen Zahlen Multiplikation mit Null (Nullprodukt) Multiplikation mit Summentermen Binomische Formeln Quotienten aus positiven und negativen Zahlen Rechnen mit Bruchtermen Lineare Gleichungen Äquivalenz von Aussageformen Lösungsverfahren für lineare Gleichungen Einfache lineare Gleichungen Bruchgleichungen Gleichungen mit Formvariablen Verhältnisgleichungen (Proportionen) Textliche Gleichungen Allgemeine textliche Gleichungen Mischungsaufgaben Bewegungsaufgaben Behälteraufgaben Arbeitsaufgaben Funktionen 1. Grades Der Funktionsbegriff Darstellung von Funktionen... 57

3 VIII Inhaltsverzeichnis 4.3 Funktionsdarstellung im Koordinatensystem Das rechtwinklige Koordinatensystem Das Polarkoordinatensystem Lineare Funktionen der Technik Die lineare Funktion mit der Funktionsgleichung y = mx Die Funktion 1. Grades mit der Funktionsgleichung y = mx + b Graphische Darstellung linearer Zusammenhänge Systeme linearer Gleichungen Graphisches Lösungsverfahren von Gleichungssystemen Rechnerische Lösungsverfahren von Gleichungssystemen Das Gleichselzungsverfahren Das Einsetzungsverfahren Das Additionsverfahren Das Determinantenverfahren Gleichungssysteme mit Bruchtermen Lösungsverfahren für Gleichungssysteme mit drei und mehr Variablen Textaufgaben mit zwei Variablen Mischungsaufgaben Bewegungsaufgaben Behälteraufgaben Potenzen Potenzbegriff Potenzgeselze Addition und Subtraktion von Potenzen Multiplikation von Potenzen Division von Potenzen Potenzieren von Potenzen Erweiterung des Potenzbegriffes auf a', a O und Potenzen mit negativen ganzen Hochzahlen Besondere Potenzen (Zehnerpotenzen) Potenzen von Binomen Wurzeln Wurzel begriff Quadratwurzeln Der allgemeine Wurzelbegriff Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Hochzahlen Rechnen mit Wurzel- und Potenzlermen Quadratische Gleichungen Rechnerische Lösung quadratischer Gleichungen Reinquadratische Gleichungen Gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied (Defektquadratische Gleichungen) Gemischtquadratische Gleichungen Lösbarkeit quadratischer Gleichungen, Diskriminante Koeffizientenregel von Vieta

4 Inhallsverzeichnis IX 8.4 Biquadratische Gleichungen Quadratische Gleichungssysteme mit zwei Variablen Textaussagen, die auf quadratische Gleichungen führen Wurzelgleichungen Wurzelgleichungen mit einer Variablen Wurzelgleichungen mit zwei Variablen Ungleichungen Aquivalenzumformungen bei Ungleichungen Einfache lineare Ungleichungen Bruchungleichungen Lineare Ungleichungssysteme Lineares Optimieren Quadratische Funktionen Einfache quadratische Grundfunktionen..... Die Grundfunktion mit der Funktionsgleichung y =.; Die allgemeine quadratische Funktion mit der Funktionsgleichung y = a.j + bx + c Die Scheitelform der quadratischen Funktionsgleichung Aufstellen von Funktionsgleichungen aus Vorgaben Graphische Lösung quadratischer Gleichungen Potenzfunktionen Die Funktionen x I--) x" (y = x", n e 111) Achsensymmetrische Parabeln (n gerade) PunkIsymmetrische Parabeln (n ungerade) Die Funktionen x I--)x-" (y=x-n,n e 111) PunkIsymmetrische Hyperbeln (n ungerade) Achsensymmetrische Hyperbeln (n gerade) Wurzelfunktionen Quadralwurzelfunktionen Wurzelfunktionen höherer Ordnung Exponentialfunktionen Die allgemeine Exponentialfunktion Die e-funktion Logarithmen Logarithmenbegriff Logarithmensysteme Natürliche Logarithmen Zehnerlogarithmen Logarithmengesetze

5 x Inhaltsverzeichnis 18 Logarithmusfunktionen Die allgemeine Logarithmusfunktion Die natürliche Logarithmusfunktion Exponentialgleichungen Analytische Geometrie Länge und Steigung von Strecken Teilpunkte von Strecken Mittelpunkte von Strecken Beliebiger Teilpunkt T einer Strecke Geradengleichungen Punkt-Steigungs-Form Zwei-Punkte-Form Achsenabschnittsform HESSE-Form der Geradengleichung Winkel zwischen Geraden Winkel zwischen Gerade und x-achse (Steigung und Steigungswinkel) Schnillwinkel zweier Geraden Orthogonale Geraden Kreisgleichungen Mittelpunktsgleichung eines Kreises Allgemeine Kreisgleichung Kreis und Gerade Parabeln und Hyperbeln Brennpunkteigenschaflen der Parabel Brennpunkteigenschaflen der Hyperbel Koordinatensystem mit logarithmischer Teilung Trigonometrie 22 Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck Seitenverhältnisse als Winkelfunktionen Definition der Winkelfunktionen Längen- und Winkel berechnungen Die Sinusfunktion Die Kosinusfunktion Die Tangens- und Kolangensfunktion Vermischte Aufgaben Zusammenhang zwischen den Winkelfunktionen Winkelfunktionen beliebiger Winkel Die Graphen der Winkelfunktionen Die Schaubilder der Sinus- und Kosinusfunktion Die allgemeine Sinusfunktion und ihre graphische Darstellung Die Schaubilder der Tangens- und Kolangensfunktion Trigonometrische Gleichungen

6 Inhaltsverzeichnis XI 23 Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck Sinussatz Kosinussatz Flächenberechnung des schiefwinkligen Dreiecks Additionstheoreme Funktionen der doppelten und halben Winkel Flächensätze am rechtwinkligen Dreieck Satz des Pythagoras Kathetensatz (Satz des Euklid) Höhensatz Ähnlichkeit Strahlensätze Streckenteilung und Mittelwerte Stetige Teilung (Goldener Schnitt) Flächenberechnung Geradlinig begrenzte Flächen Kreisförmig begrenzte Flächen Volumenberechnung Prismatische Körper Pyramidenförmige und kegelförmige Körper Pyramide und Pyramidenstumpf Kegel und Kegelstumpf Kugelförmige Körper Vollkugel Kugelabschnitt (Kugelsegment) Kugelschicht Kugelausschnitt (Kugelsektor) Schiefe Körper Satz des Cavalieri Simpson'sche Regel Oberflächen und Volumina von Rotationskörpern Guldin'sche Regel Differentialrechnung 29 Grenzwerte Grenzwerte von Zahlenfolgen Grenzwerte von Funktionen Grenzwerte für x --> Xo Grenzwerte für x -+ + '" und x -+ - '" Rechenregeln für Grenzwerte

7 XII Inhallsverzeichnis 30 Stetigkeit von Funktionen Differentiation elementarer Funktionen (Steigungsberechnung bei Funktionsgraphen) Differenzenquotient und Differentialquotient Ableitung von Polenzfunktionen Allgemeine Ableitungsregeln Ableitung elementarer Funktionen (übersicht) Höhere Ableitungen Horner-8chema und Nullslellen ganzrationaler Funktionen Polynomdivision Homer-Schema Das Newton'sche Näherungsverfahren Anwendung der Differentialrechnung bei ganzrationalen Funktionen Kurvendiskussion Funktionssynthese Exlremwertaufgaben Gebrochenrationale Funktionen Trigonometrische Funktionen Ableitungen Funktionsuntersuchung trigonometrischer Funktionen Funktionssynthese trigonometrischer Funktionen Logarithmus- und Exponentialfunktionen Ableitungen Ableitung der Logarithmusfunktionen vony=lgxundy=lnx Ableitung der Exponentialfunktionen y = a X und y = e' Funktionsuntersuchung von Exponentialfunktionen Funktionssynthese von Exponentialfunktionen Integralrechnung 38 Der Begriff des Integrals Die Flächeninhallsfunktion Stammfunktionen (= unbestimmte Integrale) Grundintegrale elementarer Funktionen Das bestimmte Integral als Fläche Die Fläche als Grenzwert

8 Inhaltsverzeichnis XIII 39 Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung Flächen zwischen Funktionsgraph und x-achse Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen Das bestimmte Integral als Volumen (Volumen von Rotationskörpern) Rotationssymmetrie zur x-achse Rotationssymmetrie zur y-achse Vektorrechnung - Analytische Geometrie auf Vektorbasis 41 Punkte und Vektoren Definition eines Vektors Ortsvektoren Betrag eines Vektors Vektoren im Raum Vektor-Addition Vektor-Subtraktion Anwendungsbeispiele Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar (S-Multiplikation) Lineare Abhängigkeit von Vektoren Geraden im Raum Vektorielle Geradengleichungen Punkt-Richtungs-Gleichung Zwei-Punkte-Gleichung Darstellung von Geraden Räumliche Darstellung im Koordinatensystem Projektion einer Geraden auf die Koordinalenebenen Spurpunkte von Geraden Spezielle Geraden Schnittpunkt zweier Geraden Vektorielle Darstellung von Ebenen Paramelerdarstellung einer Ebene Punkt-Richtungs-Gleichung Drei-Punkte-Gleichung Koordinatengleichung der Ebene Achsenabschnittsgleichung Zeichnerische Darstellung von Ebenen Spurgeraden von Ebenen Zeichnen einer Ebene

9 XIV Inhaltsverzeichnis Produkte von Vektoren 44 Das Skalarprodukt Winkel zwischen Vektoren Definition des Skalarproduktes Anwendungen des Skalarproduktes Winkel eines räumlichen Dreiecks Schnittwinkel von Geraden Das Vektorprodukt Definition des Vektorproduktes Anwendungen des Vektorproduktes Das Spatprodukt Definition des Spalproduktes Anwendungen des Spatproduktes Normalenformen der Ebenengleichung Punkt-Normalengleichung der Ebene Hesse'sche Normalengleichung der Ebene Abstandsberechnungen Abstand eines Punktes von einer Ebene Abstand einer Ebene vom Ursprung Abstand paralleler Ebenen Abstand eines Punktes von einer Geraden Abstand windschiefer Geraden Schnittwinkel Schnittwinkel von Gerade und Ebene Schnittwinkel zweier Ebenen Schnittwinkel zweier Geraden Umrechnung von Ebenengleichungen Inzidenz von Geraden und Ebenen Schnittgerade zweier Ebenen Schnittpunkt von Geraden und Ebenen Parallelität und Inzidenz von Ebenen Parallelität und Inzidenz von Geraden

10 Inhaltsverzeichnis Komplexe Zahlen und Funktionen 52 Grundbegriffe der komplexen Rechnung Imaginäre Zahlen Komplexe Zahlen C Gauß'sche Zahlenebene Graphische Darstellung komplexer Zahlen Darstellungsformen komplexer Zahlen Komplexe Zahlen in Komponentenform (algebraische oder kartesische Form) Komplexe Zahlen in Polarform Trigonometrische Form Komplexe Zahlen in Exponentialform Komplexe Arithmetik Rechenoperationen in der Komponentenform Addition und Subtraktion komplexer Zahlen Multiplikation und Division komplexer Zahlen Rechenoperationen in der Polarform Multiplikation in der trigonometrischen Form Division in der trigonometrischen Form Potenzieren in der Exponentialform Radizieren in der Exponentialform Logarithmieren in der Exponentialform Anwendungen der komplexen Rechnung Komplexe Funktionen Symbolische Darstellung von Schwingungen Harmonische Schwingungen in komplexer Darstellung Komplexe Widerstände Ortskurven Inversion einer Ortskurve Ergebnisse Sachwortverzeichnis