1.4 Homomorphismen und Isomorphismen

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1 Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, Homomorphismen und Isomorphismen Definition Es seien (G, ) und (H, ) zwei Gruppen. Eine Abbildung ϕ : G H heißt (Gruppen-)Homomorphismus, falls für alle x, y G gilt ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y). Wir schreiben auch ϕ : (G, ) (H, ). Die Homomorphismen sind also genau die strukturverträglichen Abbildungen: es ist gleichgültig, ob man zwei Elemente erst in G verknüpft und dann abbildet, oder erst die Abbildung anwendet und dann die Bilder in H verknüpft. Beispiele (Gruppenhomomorphismen) (1) ϕ : Z G, ϕ(z) = a z für eine Gruppe G und ein festes Element a G. (2) exp : (R, +) (R >0, ) die Exponentialfunktion. (3) det : GL n (K) K die Determinanten-Funktion, dabei n N, K ein Körper, K = K {0} bzgl. der Multiplikation. (4) sgn : S n {±1} die Signum-Funktion, dabei n N, S n die symmetrische Gruppe vom Grad n. (5) G G, x x m bzw. x m.x, dabei (G, ) bzw. (G, +) eine abelsche Gruppe und m Z. (6) Jede lineare Abbildung zwischen Vektorräumen ist insbesondere ein Homomorphismus der unterliegenden abelschen Gruppen. Der folgende Satz hält zwei unverzichtbare Eigenschaften von strukturverträglichen Abbildungen fest; wenn man ihn nicht beweisen könnte, würde man diese beiden Eigenschaften bei der Definition eines Homomorphismus zusätzlich fordern. Satz Es seien (G, ) und (H, ) Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H und ϕ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: a) ϕ(e G ) = e H, b) ϕ(x) 1 = ϕ(x 1 ) für alle x G. Beweis: zu a): Das Element e := ϕ(e G ) erfüllt die Gleichung e e = e, denn e e = ϕ(e G ) ϕ(e G ) = ϕ(e G e G ) = ϕ(e G ) = e. Andererseits ist auch e e H = e. Aus der Kürzungsregel in Gruppen folgt e = e H. zu b): Zu zeigen ist, dass ϕ(x 1 ) das Inverse von ϕ(x) ist. Hierzu muss es die Gleichungen ϕ(x) ϕ(x 1 ) = e H = ϕ(x 1 ) ϕ(x) erfüllen. Es ist aber in der Tat

2 Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, ϕ(x 1 ) ϕ(x) = ϕ(x 1 x) = ϕ(e G ) = e H nach Teil a), entsprechend auch die andere Gleichung. Der nächste Satz besagt, etwas pauschal zusammengefasst, dass eine strukturverträgliche Abbildung sich bezüglich Unterstrukturen vernünftig verhält. Satz Es seien (G, ) und (H, ) Gruppen und ϕ : G H ein Homomorphismus. a) Für jede Untergruppe A G ist das Bild ϕ(a) = {ϕ(x) x A} eine Untergruppe von H. b) Für jede Untergruppe B H ist das Urbild ϕ 1 (B) = {x G ϕ(x) B} eine Untergruppe von G. c) Insbesondere ist der Kern von ϕ eine Untergruppe. Ker ϕ := {x G ϕ(x) = e H } d) ϕ ist injektiv genau dann, wenn der Kern trivial ist: Ker ϕ = {e G }. Die entsprechenden Sachverhalte für Vektorräume, lineare Abbildungen und Teilräume sind sicher vertraut. Die letzte Aussage ist eine Variante der bekannten Tatsache, dass eine lineare Abbildung genau dann injektiv ist, wenn ihr Kern nur aus der Null besteht. Der Kern eines Gruppenhomomorphismus ist übrigens keine beliebige Untergruppe, sondern ein sogenannter Normalteiler, siehe unten Satz und Definition Beispiel zu a): Wenn wir den Homomorphismus x m.x aus 1.4.1, Beispiel (5) benutzen und speziell G = Z nehmen, so sehen wir erneut, dass die Vielfachenmenge mz eine Untergruppe von Z ist (das war Beispiel (4) zu Definition ). Allgemeiner bilden in einer (multiplikativ geschriebenen) abelschen Gruppe die m-ten Potenzen für festes m eine Untergruppe. Beispiele zu c): Der Kern des Homomorphismus ϕ a aus 1.4.1, Beispiel (1), wird unten im Satz wieder auftauchen. Der Kern der Determinantenfunktion ist die sogenannte spezielle lineare Gruppe SL n (K). Der Kern der Signumfunktion ist die Gruppe Alt n der geraden Permutationen, die sogenannte alternierende Gruppe. Definition a) Ein Isomorphismus einer Gruppe (G, ) auf eine Gruppe (H, ) ist ein bijektiver Homomorphismus ϕ : G H. Falls (G, ) = (H, ) ist, spricht man von einem Automorphismus dieser Gruppe.

3 Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, b) Zwei Gruppen (G, ) und (H, ) heißen isomorph, falls ein Isomorphismus von (G, ) auf (H, ) existiert. Beispiele (Gruppenisomorphismen) Wir sehen die Beispiele unter auf Isomorphie durch und fügen noch einige hinzu. (1) Für eine glatte Antwort benötigen wir einen Vorgriff auf Kapitel 2.1: ϕ a ist surjektiv genau dann, wenn G nur aus den Potenzen von a besteht, d.h. wenn G zyklisch ist und a ein erzeugendem Element. (Spätere Bezeichnung hierfür: a = G.) ϕ a ist injektiv genau dann, wenn a unendliche Ordnung hat (siehe die später folgende Definition 2.1.6). (2) Die Exponentialfunktion ist ein Isomorphismus. (3) Die Determinantenfunktion ist immer surjektiv, ein Isomorphismus nur für n = 1. (4) Die Signumfunktion sgn : S n {±1} ist surjektiv für n 2 und bijektiv für n = 2. (5) Sei G abelsch und zusätzlich endlich, sei m N. Wir werden im nächsten Abschnitt sehen (Übungsaufgabe), dass das Potenzieren x x m bijektiv ist, also ein Automorphismus von G, falls m teilerfremd zur Anzahl der Elemente G von G ist. (6) Wenn G eine beliebige Gruppe ist und g G, so ist die Abbildung i g : G G, x gxg 1 ein Automorphismus von G. Diese Automorphismen heißen innere Automorphismen und werden in Kapitel 2 weiter untersucht. Von Interesse ist dieser Begriff nur bei nicht-abelschen Gruppen, denn in einer abelschen Gruppe G ist immer i g = id G. Die Bildung gxg 1 ist für quadratische Matrizen (mit anderen Bezeichnungen, etwa SAS 1 ) vertraut; Stichwort Basiswechsel und Ähnlichkeit von Matrizen. Die folgenden Beispiele haben einen etwas anderen Akzent. Sie handeln von der Frage, ob zwei konkret gegebene Gruppen isomorph sind. Wenn im folgenden von Z m als Gruppe gesprochen wird, ist immer + m die Verknüpfung. Beispiele (Isomorphe Gruppen) (1) Die Untergruppe {±1} von (R, ) ist isomorph zu Z 2 ; jede Gruppe mit zwei Elemente ist hierzu isomorph. (2) In der symmetrischen Gruppe G = S 4 ist V 4 := {id, (12)(34), (14)(23), (13)(24)} eine Untergruppe, die sog. Klein sche Vierergruppe. Sie ist isomorph zu Z 2 Z 2.

4 Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, (3) Die Gruppe (Z 4, + 4 ) ist isomorph zur multiplikativen Gruppe (Z 5, 5) mit Z 5 = {1, 2, 3, 4}. (Beachte, dass in dieser Menge tatsächlich jedes Element ein Inverses bzgl. der Multiplikation hat; dieses verallgemeinert sich auf beliebige Primzahlen statt 5.) Ein Isomorphismus ist gegeben durch n 2 n, n {0, 1, 2, 3}. Die Homorphieeigenschaft gilt in allgemeinerem Rahmen und folgt aus den Potenzgesetzen. (4) Die Gruppe Z 4 ist nicht isomorph zu Z 2 Z 2. (5) Jede Gruppe mit 4 Elementen ist isomorph zu Z 2 Z 2 oder Z 4 (Übung). (6) Es sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K. Dann ist die Gruppe GL(V ) isomorph zur Matrizengruppe GL n (K). Ein Isomorphimsus ist gegeben durch F MB B (F), wobei B eine beliebig gewählte Basis von V ist und, wie in der Linearen Algebra, MB B (F) die Darstellungsmatrix von F bezüglich B. Der folgende Satz stellt zwei naheliegende allgemeine Eigenschaften von Homorphismen und Isomorphismen fest. Satz a) Es seien ϕ : G H und ψ : H K Gruppenhomomorphismen. Dann ist auch ψ ϕ : G K ein Homomorphismus. b) Es sei ϕ : G H ein Gruppenisomorphismus. Dann ist auch ϕ 1 : H G ein Isomorphismus. Beweis: Teil a) ergibt sich unmittelbar durch einfaches Nachrechnen: (ψ ϕ)(xy) = ψ(ϕ(xy)) = ψ(ϕ(x)ϕ(y)) = ψ(ϕ(x))ψ(ϕ(y)) = (ψ ϕ)(x)(ψ ϕ)(y). Für Teil b) reicht es, die Homomorphieeigenschaft zu zeigen. Seien dazu y, y H gegeben. Es existieren x, x G mit ϕ(x) = y und ϕ(x ) = y. Somit ergibt sich ϕ 1 (yy ) = ϕ 1 (ϕ(x)ϕ(x )) = ϕ 1 (ϕ(xx )) = xx = ϕ 1 (y)ϕ 1 (y ). Der nächste Satz stellt formale Eigenschaften der Isomorphierelation zwischen Gruppen fest. Satz Isomorphie G = H von Gruppen ist eine Äquivalenzrelation: Für je drei Gruppen G, H, K gilt G = G Reflexivität G = H = H = G Symmetrie G = H = K = G = K Transitivität Dieses ist eine leichte Folgerung aus dem vorigen Satz; die Symmetrie kommt von Teil b) und die Transitivität von Teil a). Sobald man den Begriff eines Ringes hat, den wir ausführlich im folgenden Abschnitt wiederholen, ist klar, dass und wie sich die Begriffe Homomorphismus,

5 Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, Isomorphismus und Isomorphie sowie die meisten der obigen Resultate auf Ringe übertragen. Explizit werden wir dieses im späteren Hauptkapitel über Ringe aufschreiben; an dieser Stelle soll jedoch im Vorgriff eine einfache aber wichtige Isomorphie festgehalten werden, die an den vorigen Abschnitt über modulare Arithmetik anschließt. Es geht um die Menge Z m = {0, 1,..., m 1} und die hierauf definierte Reste- Addition und -Multiplikation modulo m. Man wird nie direkt nachrechnen, dass (Z m, + m, m) alle Eigenschaften eines Ringes besitzt: die Assoziativgesetze und das Distributivgesetz sind nicht so leicht direkt aus der Definition abzuleiten (Fallunterscheidungen). Auf der anderen Seite war es überhaupt kein Problem, die Ringeigenschaften von (Z/mZ,, ) zu zeigen. (Die Arbeit steckte hier in der Vorbereitung der Definition der Verknüpfung.) Nun sieht man sehr leicht, dass die bijektive Abbildung Z m Z/mZ, r [r] m verknüpfungstreu ist: [x + m y] m = [x + y] m = [x] m + [y] m, [x m y] m = [x y] m = [x] m [y] m. Somit übertragen sich alle Rechnungen zum Beweis der Assoziativ- und Distributivgesetze sofort von (Z/mZ,, ) auf (Z m, + m, m). Das heißt, die Ringeigenschaften von (Z m, + m, m) folgen aus denen von (Z/mZ,, ). Wir können das Prinzip wie folgt formulieren: Bemerkung Seien (R, +, ) und (S,, ) zwei Mengen mit jeweils zwei Verknüpfungen und ϕ : R S bijektiv und verknüpfungstreu. Wenn eins der beiden Objekte (R, +, ) und (S,, ) ein Ring ist, dann ist es auch das andere. Wir merken noch an, dass das Entsprechende natürlich auch für Gruppen gilt. Folgerung Für jede natürliche Zahl m ist (Z m, + m, m) ein Ring und isomorph zu dem Ring (Z/mZ,, ). Ein Isomorphismus ist durch die bijektive Abbildung r [r] m gegeben.