(algebraische) Strukturen Abschnitt Eigenschaften von zweistelligen Operationen. Beispiel: Boolesche Algebren. Strukturtypen: Beispiele

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1 Kap 1: Grundegriffe Funktionen Eigenschaften von zweistelligen Operationen für 2-stellige Operation : A A A a, a (infixe Notation) assoziativ, falls für alle a,, c A: (a ) c = a ( c). kommutativ, falls für alle a, A: a = a. neutrales Element: e A neutrales Element für gdw für alle a A: a e = e a = a. inverse Elemente (zgl. mit neutralem Element e): a A inverses Element zu a A, falls a a = a a = e. Beispiel Konkatenation: assoziativ, neutrales Element ε, w ε hat kein inverses Element Kap 1: Grundegriffe Strukturen (algeraische) Strukturen Aschnitt Struktur = Konstanten, Trägermenge mit ausgezeichneten Operationen, Relationen typische Beispiele: Standardstrukturen der Algera (N, +, 0), (N, +,, <, 0, 1), (Z, +,, 0, 1),... Graphen (Transitionssysteme) Wortmonoide Boolesche Algeren später: Wortstrukturen, relationale Datenanken, u.v.a.m. FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 25/1 FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 26/1 Kap 1: Grundegriffe Strukturen Strukturtypen: Beispiele Graphen (Transitionssysteme) als relationale Strukturen (V, E) mit Knotenmenge V, Kantenrelation E E V V eine 2-stellige Relation (a, ) E zu deuten als a E Monoide als algeraische Strukturen Monoid: assoziative 2-stellige Operation mit neutralem Element Beispiel Wort-Monoid das Wort-Monoid ( Σ,, ε ) üer Σ, Konkatenation, als 2-stellige Operation ε, das leere Wort, als Konstante FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 27/1 Kap 1: Grundegriffe Strukturen Beispiel: Boolesche Algeren Axiome für Boolesche Algera (B,, +,, 0, 1): BA1: + und assoziativ und kommutativ. Für alle x, y, z: (x + y) + z = x + (y + z) BA2: + und distriutiv. (x y) z = x (y z) Für alle x, y, z: x (y + z) = (x y) + (x z) x + (y z) = (x + y) (x + z) BA3: 0 und 1 als neutrale Elemente. Für alle x: x 1 = x x + 0 = x BA4: Komplement. x + y = y + x x y = y x 0 1 und für alle x: x x = 0 x + x = 1 Beispiele: ( P(M),,,,, M ) ( ) für M ; B,,,, 0, 1 FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 28/1

2 Kap 1: Grundegriffe Homomorphismen Homomorphismen Aschnitt strukturerhaltende Aildungen zw. Strukturen desselen Typs z.b. für Strukturen (A, A, e A ) und (B, B, e B ) mit einer zweistelligen Operation und einer Konstanten e } F : A B Homomorphismus, falls a f (a) (i) F (e A ) = e B (verträglich mit Konstante e) (ii) F (a 1 A a 2 ) = F (a 1 ) B F (a 2 ) (verträglich mit Operation ) F e A F A A e B B B B F FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 29/1 A B F A Kap 1: Grundegriffe Homomorphismen Homomorphismen: Beispiele (1) h : Σ N w w Homomorphismus von (Σ,, ε) nach (N, +, 0). (2) ˆf : Σ 1 Σ 2 w = a 1... a n a 1... a n woei a i = f (a i ) für eine vorgeg. Funktion f : Σ 1 Σ 2 Homomorphismus von (Σ 1,, ε) nach (Σ 2,, ε). (3) analog zu (2), zu f : Σ 1 Σ 2 : ersetze a Σ 1 durch ein Wort f (a) Σ 2. Bemerkung: ˆf in (2) und (3) eindeutig estimmt durch f und die Forderung, dass ˆf : (Σ 1,, ε) hom (Σ 2,, ε) und dass ˆf Fortsetzung von f ist: ˆf (a) := f (a) f.a. a Σ 1. FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 30/1 Kap 1: Grundegriffe Homomorphismen Isomorphie Isomorphismen Isomorphismus: ijektiver Homomorphismus, dessen Umkehrung auch ein Homomorphismus ist. Beispiel Für eine Bijektion f : Σ 1 Σ 2 a f (a) =: a ist ˆf : Σ 1 Σ 2 w = a 1... a n a 1... a n ein Isomorphismus zwischen (Σ 1,, ε) und (Σ 2,, ε). Kap 1: Grundegriffe Aussagenlogik elementare Beweistechniken Aschnitt 1.2 teilweise Vorgriff auf Teil II (Logik) primäres Anliegen hier: normierte Verknüpfung von Aussagen, Aussagenlogik (AL) mathematische Präzision für Quantoren, Quantorenlogik Beweistechniken/-muster, insesondere: Induktionseweise Präzision des Ausdrucks / Strenge des Argumentierens mathematische Grunddisziplin für den Werkzeugkasten Schreiweise: ˆf : (Σ 1,, ε) (Σ 2,, ε) Beoachtung: (Σ 1,, ε) (Σ 2,, ε) gdw. Σ 1 = Σ 2 FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 31/1 FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 32/1

3 Kap 1: Grundegriffe Aussagenlogik aussagenlogische Junktoren Aschnitt normierte Wahrheitswerte für aussagenlogische Operationen Wahrheitswerte (wahr zw. falsch; 1 zw. 0) zusammengesetzter Aussagen als Funktion der Wahrheitswerte der Teilaussagen und : B B B oder : B B B Negation : B B Kap 1: Grundegriffe Aussagenlogik weitere aussagenlogische Verknüpfungen ageleitete Junktoren, z.b. Implikation : B B B Biimplikation : B B B 0 1 sodass (p q) ( p) q (p q) (p q) (( p) ( q)) (p q) (q p) vgl. Boolesche Algera (B,,,, 0, 1) FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 33/1 FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 34/1 Kap 1: Grundegriffe Aussagenlogik aussagenlogische Äquivalenzen und Schlussregeln Kontraposition: eweise A B üer B A (p q) (( q) ( p)) Indirekter Beweis/Widerspruchseweis: p ( p 0) eweise A üer ( A) unmöglich Biimplikation/Äquivalenz: (p q) ( (p q) (q p) ) eweise A B üer A B und B A Implikationsketten: eweise A B z.b. üer A C und C B (Zwischenehauptungen) Kap 1: Grundegriffe Quantoren Quantoren: All- und Existenzaussagen Aschnitt ( n N)A(n) für die Allaussage für alle n N gilt A(n) ( n N)A(n) für die Existenzaussage A(n) gilt für mindestens ein n N Negationen von Allaussagen sind äquivalent zu Existenzaussagen und umgekehrt. Beispiel ( alle Schnurze eissen ) es git mindestens einen Schnurz, der nicht eisst eachte: alle Schnurze eissen ist wahr,wenn es keine Schnurze git! wichtig: Allaussagen kann man durch ein Gegeneispiel widerlegen, aer nicht durch Beispiele eweisen! FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 35/1 FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 36/1

4 Kap 1: Grundegriffe Induktion Induktionseweise Aschnitt Kap 1: Grundegriffe Induktion Beispiel: Induktionseweis üer N Beispiel Prinzip der vollständigen Induktion üer N: eweise die Allaussage ( n N)A(n) anhand von (i) Induktionsanfang: A(0). (ii) Induktionsschritt: für alle n N gilt: A(n) A(n +1) Rechtfertigung: für jedes feste n ergit sich aus (ii) eine Implikationskette A(0) A(1) A(2)... A(n 1) A(n) A(n): n Scheien lassen sich in 2 n 1 Schritten gemäß der Regeln umschichten, und nicht in weniger Schritten Induktionsanfang: A(0) Induktionsschritt: für alle n N gilt: A(n) A(n + 1) FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 37/1 FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 38/1 Kap 1: Grundegriffe Induktion Induktionsprinzipien für andere Bereiche Beispiel etrachte Menge M der Terme mit 2-st. Fktn und Konst. c als Menge von Wörtern üer Σ = {, c, (, )}, M Σ M = {c, c c, c (c c),..., (c c) ( c (c c) ),...} systematische Erzeugung aller t M: ausgehend vom Startelement c M mit Operation F : M M M (t 1 ) (t 2 ) für t 1, t 2 c c (t F (t 1, t 2 ) := 2 ) für t 1 = c, t 2 c (t 1 ) c für t 1 c, t 2 = c c c für t 1 = t 2 = c Kap 1: Grundegriffe Induktion Induktionsprinzipien für andere Bereiche M werde, ausgehend von M 0 M, durch Operationen F F erzeugt; dann lässt sich eweisen anhand von ( x M) A(x) (i) Induktionsanfang: A(x) gilt für alle x M 0. (ii) Induktionsschritt(e) für F F (n-stellig): aus A(x i ) für i = 1,..., n folgt, dass auch A(F (x 1,..., x n )). Beweise damit z.b.: ( t M) ( t c = t + 1 ) FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 39/1 FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 40/1

5 Kap 1: Grundegriffe Induktion Induktionsprinzipien für andere Bereiche Beispiele Bereich M M 0 M erzeugende Operationen N {0} S: n n + 1 Σ {ε} ( w wa ) für a Σ {, c}-terme {c} (t 1, t 2 ) (t 1 t 2 ) endl. Teilmengen von A { } ( B B {a} ) für a A Kap 1: Grundegriffe Induktion falscher Induktionseweis üer N Üung A(n): { jede Gruppe von n Personen esteht aus gleichaltrigen Personen. Induktionsanfang: A(n) wahr für n = 0 und n = 1. Induktionsschritt: A(n) A(n + 1). Sei n 1, P = n + 1; p 1 p 2 elieig aus P ausgewählt. Betrachte P 1 := P \ {p 1 } und P 2 := P \ {p 2 }. P 1 = P 2 = n. Nach Induktionsannahme A(n) estehen also P 1 und P 2 jeweils aus gleichaltrigen Personen. Jedes p P \ {p 1, p 2 } ist in P 1 und in P 2 vorhanden. Also sind alle in P gleichaltrig. Also gilt auch A(n + 1). Also gilt ( n N)A(n)? FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 41/1 FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 42/1 Kap. 2: Endliche Automaten reguläre Sprachen 2.1 Reguläre Σ-Sprachen Aschnitt 2.1 Kapitel 2: Endliche Automaten Reguläre Sprachen Operationen auf Σ-Sprachen Komplement L L := Σ \ L Schnitt (L 1, L 2 ) L 1 L 2 Vereinigung (L 1, L 2 ) L 1 L 2 Boolesche Operationen Konkatenation von Sprachen (L 1, L 2 ) L 1 L 2 := { u v : u L 1, v L 2 } Stern-Operation L L := { u 1... u n : u 1,..., u n L, n N } FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 44/1

6 Kap. 2: Endliche Automaten reguläre Sprachen 2.1 Reguläre Ausdrücke Definition Die Menge REG(Σ) der regulären Ausdrücke üer Σ, wird erzeugt gemäß: (i) ist ein regulärer Ausdruck. (ii) a ist ein regulärer Ausdruck, für a Σ. (iii) für α, β REG(Σ) ist (α + β) REG(Σ). (iv) für α, β REG(Σ) ist (αβ) REG(Σ). (v) für α REG(Σ) ist α REG(Σ). [evtl. auch zugelassen: Σ, Σ, Σ +, ε] Kap. 2: Endliche Automaten reguläre Sprachen 2.1 Reguläre Sprachen Definition Semantik für α REG(Σ): L(α) Σ die durch α ezeichnete reguläre Sprache Induktiv/rekursiv üer α REG(Σ) definiere L(α): (i) L( ) :=. (ii) L(a) := {a}. (iii) L(α + β) := L(α) L(β). (iv) L(αβ) := L(α) L(β). (v) L(α ) := ( L(α) ). Beispiel: ( a a a) Definition Die regulären Σ-Sprachen sind genau die L(α) für α REG(Σ) Beispiel: L( a a a) = = { alle Wörter mit einer durch 3 teilaren Anzahl a s } FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 45/1 FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 46/1 Kap. 2: Endliche Automaten reguläre Sprachen 2.1 Endliche Automaten Aschnitt 2.2 Transitionssysteme (mit endl. Zustandsmenge) Die regulären Σ-Sprachen werden erzeugt aus den Ausgangssprachen und {a} für a Σ durch die Operationen Vereinigung, Konkatenation und Stern. S = ( Σ, Q, ) mit den Komponenten: Σ: Alphaet (Kanteneschriftungen) Q : Zustandsmenge, endlich, Q Σ Q : Transitionsrelation (q, a, q ) steht für die Transition q a q FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 47/1 FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 48/1

7 Beispiel: Transitionssystem mit Zusatzstruktur, DFA a 0 1 a a 2 Zusatzstruktur: : Initialisierung; modulo-3 Zähler für a, w a mod 3. 2 : ausgezeichneter Zustand, hier für w a 2 (mod 3) deterministisch: eschreiar durch Funktion δ : Q Σ Q FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 49/1 Endliche Automaten, DFA und NFA Idee: Transitionssysteme zur Erkennung von Sprachen deterministische Transitionssysteme/Automaten anstelle der Transitionsrelation Q Σ Q Transitionsfunktion δ : Q Σ Q (q, a) δ(q, a) Q jeweils genau ein eindeutig estimmter Nachfolgezustand kein deadlock, keine Auswahl nicht-deterministische Transitionssysteme/Automaten Transitionsrelation ietet u.u. ei Eingae a in Zustand q { kein q mit (q, a, q ). deadlock verschiedene q mit (q, a, q ). Auswahl FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 50/1 Deterministische endliche Automaten, DFA A = ( Σ, Q, q 0, δ, A ) Q endliche, nicht-leere Zustandsmenge q 0 Q Anfangszustand A Q Menge der akzeptierenden Zustände δ : Q Σ Q Üergangsfunktion. Berechnung von A auf w = a 1... a n Σ die eindeutige Zustandsfolge q 0,..., q n mit q i+1 = δ(q i, a i+1 ) für 0 i < n q 0 a 1 q1 a 2 q n 1 a n qn DFA: Läufe und Berechnungen Definition analog zu Berechnung (vom Startzustand q 0 aus) definiere Lauf auf w von q Q aus q a 1 q a 2 führt zu eindeutiger Fortsetzung ˆδ von δ: ˆδ : Q Σ Q (q, w) ˆδ(q, w) Q der (!) Endzustand des Laufs auf w von q aus induktiv definiert Berechnungen sind Läufe von q 0 aus; Endzustand der Berechnung von A auf w: ˆδ(q 0, w) Läufe eschreien auch Teilaschnitte von Berechnungen FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 51/1 FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 52/1

8 erkannte/akzeptierte Sprache Definition DFA: von A erkannte/akzeptierte Sprache w = a 1... a n mit Berechnung q 0,..., q n q n = ˆδ(q 0, w) { akzeptiert w falls qn A A verwirft w falls q n A die von A akzeptierte/erkannte Sprache: L(A) := { w Σ : A akzeptiert w } = { w Σ : ˆδ(q 0, w) A } Nicht-deterministische endliche Automaten, NFA A = ( Σ, Q, q 0,, A ) Q endliche, nicht-leere Zustandsmenge q 0 Q Anfangszustand A Q Menge der akzeptierenden Zustände Q Σ Q Üergangsrelation. Berechnung von A auf w = a 1... a n Σ jede (!) Zustandsfolge q 0,..., q n mit (q i, a i+1, q i+1 ) q 0 a 1 q 1 a 2 q n 1 a n q n Vorsicht: i.d.r. nicht eindeutig, nicht notwendig existent! FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 53/1 FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 54/1 erkannte/akzeptierte Sprache Definition Beispiele Σ = {a, } NFA: von A erkannte/akzeptierte Sprache DFA A 1 0 a 1 a 2 a 3 L(A 1 ) =? eine Berechnung q 0,..., q n von A auf w = a 1... a n ist eine akzeptierende Berechnung auf w falls q n A die von A akzeptierte/erkannte Sprache: NFA A 2 0 a 1 a 2 a 3 L(A 2 ) =? L(A) := { w Σ : A hat eine akzeptierende Berechnung auf w } eachte: Existenz mindestens einer akzeptierenden Berechnung Asymmetrie zgl. akzeptieren/verwerfen NFA A 3 0 a 1 a 4 a 2 a 5 a 3 L(A 3 ) =? FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 55/1 FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 56/1

9 Determinisierung Aschnitt von NFA zu äquivalentem DFA; Determinisierung deterministische Simulation des NFA durch Potenzmengen-Trick Satz Zu NFA A lässt sich ein DFA A det (effektiv) konstruieren, der diesele Sprache erkennt: L(A) = L(A det ). Idee: Zustände von A det geen an, in welchen Zuständen A sein könnte Potenzmengen-Trick deterministische Simulation des NFA in DFA mittels Potenzmengen-Trick A = ( Σ, Q, q 0,, A) A det = ( Σ, ˆQ, ˆq 0, δ, Â ) Zustände q Q S Q Zust.-M. Q ˆQ := P(Q) = { S : S Q } Start-Z. q 0 ˆq 0 := {q 0 } akz. A Â := { S : S A } Trans. Q Σ Q δ : ˆQ Σ ˆQ δ(s, a) = { q Q : (q, a, q ) für mindestens ein q S } FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 57/1 FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 58/1 Beispiel: Determinisierung NFA A 2 a 0 1 c 3 DFA A det mit L(A det ) = L(A): Σ = {a,, c} δ a c {0} {0, 1} {0} {0, 1} {0, 1} {0, 2} {3} {0, 2} {0, 1} {0} {3} (aktive) Zustände: {0}, {0, 1}, {0, 2}, {3}, akzeptierende Zustände: {0, 2} und {3} L(A) = L((a + ) a( + c)) FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 59/1 Michael O. Rain Dana Scott Finite Automata and Their Decision Prolem (1959) FGdI I Sommer 2011 M.Otto und M.Ziegler 60/1