Outline. 1 Vektoren im Raum. 2 Komponenten und Koordinaten. 3 Skalarprodukt. 4 Vektorprodukt. 5 Analytische Geometrie. 6 Lineare Räume, Gruppentheorie

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1 Outline 1 Vektoren im Raum 2 Komponenten und Koordinaten 3 Skalarprodukt 4 Vektorprodukt 5 Analytische Geometrie 6 Lineare Räume, Gruppentheorie Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 41

2 Definition: Vektorraum Ein reeller linearer Raum bzw. Vektorraum V ist eine Menge von Elementen (Vektoren), in der 1 eine Verknüpfung (Addition) zwischen je zwei Elementen aus V erklärt ist mit den Eigenschaften (V1)-(V5) und 2 eine multiplikative Verknüpfung zwischen je einem Element aus IR und einem Element aus V erklärt ist mit den Eigenschaften (V6)-(V9). Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 41

3 Eigenschaften eines Vektorraumes Für Vektoren a, b, c V und Skalare λ, µ IR gelte: (V1) a + 0 = 0 + a = a (neutrales Element) (V2) a + ( 1) a = ( 1) a + a = 0 (inverses Element) (V3) a + ( b + c) = ( a + b) + c (Assoziativität) (V4) a + b = b + a (Kommutativität) (V5) Für a, b V gilt a + b V. (Abgeschlossenheit) Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 41

4 Eigenschaften eines Vektorraumes Weiterhin gelte: (V6) 1 a = a (neutrales Element) (V7) λ (µ a ) = (λ µ) a (Assoziativität) (V8) (λ + µ) a = λ a + µ a (Distributivität) ( (V9) λ a + ) b = λ a + λ b (Distributivität) Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 41

5 Das Skalarprodukt im IR n Für x, y IR n ist das Skalarprodukt folgendermaßen definiert: x, y = x y = n x i y i. i=1 Satz: Für x, y, z IR n und λ IR hat das Skalarprodukt folgende Eigenschaften: (S1) x, y = y, x (S2) x, y + z = x, y + x, z (S3) x, λ y = λ x, y (Symmetrie) (Linearität) (Linearität) (S4) x, x 0, x, x = 0 x = 0 (Pos. Definitheit) Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 41

6 Allgemeine Definition eines Skalarprodukts In einem beliebigen linearen Raum V definiert man ein Skalarprodukt als eine Abbildung.,. : V V IR, die jedem Paar von Vektoren eine reelle Zahl zuordnet und die Eigenschaften (S1)-(S4) aufweist. Man spricht dann auch von einer symmetrischen positiv definiten Bilinearform. Im Raum V = C 0 [a, b], der auf dem Intervall [a, b] IR stetigen Funktionen ist z.b. durch f, g := b ein Skalarprodukt definiert. a f (x) g(x) dx mit f, g C 0 [a, b] Wichtige Anwendungen derartiger abstrakter Funktionenräume finden sich z.b. in der Quantenmechanik (Stichwort: Hilbertraum-Theorie). Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 41

7 Definition: Linear abhängig bzw. unabhängig Ein System von Vektoren { v 1, v 2,..., v k } heißt linear abhängig, wenn es reelle Zahlen λ 1, λ 2,..., λ k IR gibt, wobei mindestens eines der λ i ungleich Null sei, so dass gilt: λ 1 v 1 + λ 2 v λ k v k = 0. (1) Umgekehrt nennt man das System { v 1, v 2,..., v k } linear unabhängig, wenn Gleichung (1) nur für erfüllt ist. λ 1 = λ 2 = = λ k = 0 Satz: Die Vektoren v 1, v 2,..., v k sind genau dann linear abhängig, wenn mindestens ein Vektor als Linearkombination der anderen Vektoren darstellbar ist. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 41

8 Basis, Dimension eines Vektorraums Definition: Ein System von linear unabhängigen Vektoren bezeichnen wir als Basis B des Vektorraums V, wenn jeder Vektor aus V als Linearkombination der Elemente von B darstellbar ist. Es gibt Vektorräume, in denen jede Basis unendlich viele Elemente besitzt (z.b. den Raum C 0 [a, b], s.o.). Derartige Vektorräume bezeichnet man als unendlich-dimensional. Zwei endliche Basen eines Vektorraums V haben stets dieselbe Anzahl an Elementen. Diese Anzahl bezeichnet man als Dimension von V. In einem n-dimensionalen Vektorraum bilden n linear unabhängige Vektoren stets eine Basis. Mehr als n Vektoren sind stets linear abhängig. Die Darstellung eines Vektors als Linearkombination von Basisvektoren ist eindeutig. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 41

9 Basis, Dimension eines Vektorraums Definition: Ein System von linear unabhängigen Vektoren bezeichnen wir als Basis B des Vektorraums V, wenn jeder Vektor aus V als Linearkombination der Elemente von B darstellbar ist. Es gibt Vektorräume, in denen jede Basis unendlich viele Elemente besitzt (z.b. den Raum C 0 [a, b], s.o.). Derartige Vektorräume bezeichnet man als unendlich-dimensional. Zwei endliche Basen eines Vektorraums V haben stets dieselbe Anzahl an Elementen. Diese Anzahl bezeichnet man als Dimension von V. In einem n-dimensionalen Vektorraum bilden n linear unabhängige Vektoren stets eine Basis. Mehr als n Vektoren sind stets linear abhängig. Die Darstellung eines Vektors als Linearkombination von Basisvektoren ist eindeutig. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 41

10 Exkurs: Gruppentheorie In einer nicht-leeren Menge G sei eine Verknüpfung definiert, die jedem Paar von Elementen a, b G ein Element c = a b G zuordnet. Wir bezeichnen G bzgl. der Verknüpfung als Gruppe, falls die folgenden Gruppenaxiome für a, b, c G erfüllt sind: (G1) a (b c) = (a b) c (Assoziativität) (G2) Es existiert ein neutrales Element e G mit a e = e a = a. (G3) Für alle a G existiert ein inverses Element a 1 G mit a a 1 = a 1 a = e. Ist die Verknüpfung kommutativ, so bezeichnet man G als kommutative oder abelsche Gruppe. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 41

11 Symmetrie von Molekülen Die Symmetrie eines Moleküls wird durch die Menge D der Decktransformationen des Molekülgerüsts (Drehungen und Spiegelungen) charakterisiert, bei denen die Abstände und Winkel invariant bleiben und die Atomkerne in eine äquivalente Konfiguration überführt werden: Bindungslänge und Bindungswinkel bleiben unverändert. Die Menge der Decktransformationen bildet eine Gruppe, wobei a b die Hintereinanderausführung der beiden Decktransformationen bedeutet (erst b dann a). Die Transformationsgruppe des Wasserstoffmoleküls H 2 O besteht aus vier Elementen und ist kommutativ (s.u.). Die kleinste nicht-kommutative Gruppe hat sechs Elemente und ist z.b. als Transformationsgruppe des Ammoniakmoleküls NH 3 realisiert. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 41

12 Transformationsgruppe des Wasserstoffmoleküls H 2 O E : keine Veränderung (H i H i, O O) C 2 : Drehung um die z-achse um π (H 1 H 2, O O) σ xz : Spiegelung an der (xz)-ebene (H 1 H 2, O O) σ yz : Spiegelung an der (yz)-ebene (H i H i, O O) C 2 z σ xz H 1 H 2 σ yz O y x Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 41

13 Multiplikationstafel Die Gruppenaxiome lassen sich anhand der Multiplikationstafel überprüfen. Gruppe ist kommutativ. E C 2 σ xz σ yz E E C 2 σ xz σ yz C 2 C 2 E σ yz σ xz σ xz σ xz σ yz E C 2 σ yz σ yz σ xz C 2 E z σ xz C 2 σ yz H 1 H 2 O y x Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 41