STOCHASTIK. II. Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik. Prof. Dr. Barbara Grabowski

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1 STOCHASTIK II. Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische Statistik Prof. Dr. Barbara Grabowski Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes /202

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3 Inhaltsverzeichnis - I - Einleitung Diese Kurseinheit dient der Vermittlung von Grundkenntnissen auf dem Gebiet der Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematischen Statistik. Mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung sind zwei unterschiedliche Teildisziplinen der Mathematik, die ohne einander nicht denkbar sind und unter dem Sammelbegriff Stochastik zusammengefasst werden. Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist es, Gesetzmäßigkeiten des Zufalls zu untersuchen, bzw. mathematische Modelle dafür zu liefern. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist zugleich das theoretische Fundament der mathematischen Statistik. Diese wird in der Regel in die Teildisziplinen Beschreibende Statistik und Schließende Statistik unterteilt. Während es in der Beschreibenden Statistik um Methoden der Aufbereitung und Darstellung von Datenmaterial geht, stehen im Mittelpunkt der Schließenden Statistik Verfahren, mit deren Hilfe von Beobachtungsdaten eines Merkmals an n Objekten einer Grundgesamtheit, d.h. von der sogenannten Stichprobe, auf die Verteilung der Merkmalswerte in der gesamten Grundgesamtheit geschlossen wird. Dieser Schluss wird mit Hilfe von Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung durch Irrtums- bzw. Sicherheitswahrscheinlichkeiten bewertet. Die Stochastik hat längst in viele moderne wissenschaftliche Teildisziplinen Einzug gehalten, vor allem auch die Technik. Stochastische Methoden finden hier zum Beispiel Anwendung - in der Qualitätskontrolle und der Prozesskontrolle - bei der Planung von Experimenten (DOE bzw statistischen Versuchsplanung) - bei der Untersuchung von Zuverlässigkeiten, Lebensdauern und Ausfallraten - bei der Festlegung von Toleranzen - bei der Modellierung von zufallsbehafteten Messdaten - bei der Analyse von Ursachen und Zusammenhängen zwischen bestimmten Größen, - in der Signalverarbeitung, bei der Mustererkennung und in der Bildverarbeitung - bei der Simulation komplexer Systeme, wie z.b. Fertigungs-, Informations-, Verkehrssysteme usw. Darüber hinaus sind Methoden der beschreibenden Statistik fester Bestandteil von Datenbanksystemen geworden und finden als Data-Mining-Verfahren Anwendung.

4 B. Grabowski, HTW des Saarlandes, /202 Stochastik Wir geben in dieser Kurseinheit eine Einführung in die Methoden der Stochastik, wobei wir uns aufgrund der beschränkten Seitenzahl dieser Lehreinheit auf eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und einige wenige Methoden der Schließenden Statistik beschränken. Für weiter Methoden der Stochastik, insbesondere auch der Beschreibenden Statistik verweisen wir auf die im Literaturverzeichnis des Anhangs angegebene weiterführende Literatur. Im ersten Kapitel werden Sie mit dem Begriff der Wahrscheinlichkeit und mit Grundgesetzen des Rechnens mit Wahrscheinlichkeiten vertraut gemacht. Im Kapitel 2 wird der Begriff der Zufallsgröße eingeführt und die Methodik zur Modellierung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Zufallgrößen dargestellt. Kapitel 3 enthält Angaben über die Verteilung von Summen und anderen Funktionen von Zufallsgrößen. Im Mittelpunkt von Kapitel 4 steht die Aufgabe der Identifizierung der Verteilung einer Zufallsgröße, insbesondere die Schätzung von unbekannten Verteilungsparametern und die Ermittlung von Toleranzbereichen für unbekannte Parameter anhand einer Stichproben von Beobachtungen dieser Zufallsgröße.

5 Inhaltsverzeichnis - III - Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis III Der Wahrscheinlichkeitsraum 6. Der Wahrscheinlichkeitsraum Kleiner Exkurs zur Mengenlehre Zufälliger Versuch und zufällige Ereignisse Das Ereignisfeld Relative Häufigkeit von Ereignissen und axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit Der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen Die Bedingte Wahrscheinlichkeit Verbundwahrscheinlichkeiten Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen Totale Wahrscheinlichkeit und Bayes sche Formel Übungsaufgaben... 37

6 B. Grabowski, HTW des Saarlandes, /202 Stochastik

7 Inhaltsverzeichnis - V -

8 B. Grabowski, HTW des Saarlandes, /202 Stochastik Der Wahrscheinlichkeitsraum In diesem Abschnitt werden der Wahrscheinlichkeitsbegriff für Ereignisse definiert und die Grundgesetze des Rechnens mit Wahrscheinlichkeiten dargestellt. Sie lernen, ihre Chancen in Glücksspielen, den sogenannten Laplace-Versuchen, mittels klassischer Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Weiterhin werden die bedingte Wahrscheinlichkeit, die stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen und das Rechnen mit der Bayesschen Formel dargestellt.. Der Wahrscheinlichkeitsraum Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht mathematische Modelle für reale Vorgänge, in denen der Zufall eine Rolle spielt. Wir nennen sie Vorgänge mit zufälligem Ergebnis und bezeichnen sie als zufälligen Versuch. Beispiel: Der Betreiber einer Autowaschanlage interessiert sich für die Wartezeit von Kunden vor seiner Anlage. Er lässt sie beobachten. Das Ergebnis hier die Wartezeit - ist nicht vorhersagbar. Ein Vorgang mit zufälligem Ergebnis läuft ab. Mit dem Vorgang sind Ereignisse verbunden: - Die Wartezeit ist kleiner als Minute - Die Wartezeit beträgt mindestens 2 Minuten - Die Wartezeit liegt zwischen und 5 Minuten Für die Beurteilung der Qualität des Services der Waschanlage ist es vielleicht notwendig, dass das Ereignis: Die Wartezeit beträgt höchstens Minute eine Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,95 besitzt. Das mathematische Modell für einen Vorgang mit zufälligem Ergebnis ist der Wahrscheinlichkeitsraum [Ω, E, P]. Hierbei repräsentiert Ω die Menge der möglichen Ergebnisse des Vorgangs. E enthält diejenigen Teilmengen von Ω, die wir Ereignisse nennen und wird als Ereignisfeld zu unserem zufälligen Versuch bezeichnet. P schließlich ist die sogenannte Wahrscheinlichkeitsverteilung, die jedem Ereignis aus E eine als Wahrscheinlichkeit des Ereignisses bezeichnete Zahl zwischen 0 und zuordnet. Diese Wahrscheinlichkeit soll den Grad der Gewissheit über das

9 Definition und Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit Eintreten des Ereignisses ausdrücken. In den folgenden Abschnitten werden die Begriffe Ereignis, Grundmenge Ω, Ereignisfeld E und Wahrscheinlichkeitsmaß P näher erklärt... Kleiner Exkurs zur Mengenlehre Es ist in der Wahrscheinlichkeitsrechnung üblich, Ereignisse durch Mengen darzustellen. Auf diese Weise kann man mit Ereignissen wie mit Mengen rechnen. Eine Menge wird angegeben, indem man alle ihre Elemente angibt, z.b. - durch Aufzählung oder - durch Angabe einer die Elemente charakterisierenden Eigenschaft Dabei ist zu beachten, dass jedes Element in der Menge nur einmal vorkommt. Mengen werden mit Großbuchstaben, und ihre Elemente mit kleinen Buchstaben bezeichnet. Mengen x A bedeutet: x ist Element der Menge A x A bedeutet: x ist kein Element von A A = Anzahl der Elemente in A. Beispiele: A={,2,7}, B = {x R 2 x < 0}, 2 A, B, A = 3. Mengen stehen in Relationen zueinander. Es bedeutet: A = B : Die Elemente von A und B sind gleich A B : Die Elemente von A sind auch in B enthalten (A ist Teilmenge von B) A B : Die Elemente von A sind auch in B enthalten und B enthält mindestens ein Element, welches nicht in A enthalten ist (A ist echte Teilmenge von B). Teilmengen, leere Menge, Potenzmenge Die Menge Φ={}, die kein Element enthält, wird als leere Menge bezeichnet. Offensichtlich gilt für jede Menge A: Φ A. Die Menge, die alle möglichen Teilmengen einer Menge A enthält, wird als Potenzmenge von A bezeichnet: (A) = {M M A}. Beispiel: Sei A = {,2,7}. Dann ist (A) = { Φ, {},{2},{7}, {,2}, {,7}, {2,7}, {,2,7} }.

10 B. Grabowski, HTW des Saarlandes, /202 Stochastik Mengenoperationen Mengen kann man durch Operationen miteinander verknüpfen. Diese Operationen kann man sich in sogenannten Venn-Diagrammen veranschaulichen: Operation Operator Bedeutung Venn-Diagramm Vereinigung A B enthält alle Elemente, die in A oder B enthalten sind Durchschnitt A B enthält alle Elemente, die in A und B enthalten sind Differenz A \ B enthält alle Elemente, die in A aber nicht in B enthalten sind Zwei Mengen A und B heißen disjunkt, falls sie kein gemeinsames Element besitzen, falls also gilt: A B = Φ. disjunkte Mengen Beispiel: Seien A={,2,3}, B={2,3,7,9}. Dann ist: A B={,2,3,7,9}, A B={2,3}, A\B= {}, B\A = {7,9}. Die Mengen A B und B\A sind disjunkt. Komplementärmenge Ist A M, also A eine Teilmenge einer Obermenge M, so bezeichnet man die Menge A M = M\A als Komplementärmenge (bzw. Komplement) von A (bzgl. M). Beispiel: Sei M = {,2,3,4,5,6}, A={2,4,6}. Dann ist A M = {,3,5}. Offensichtlich sind A und A disjunkt und ihre Vereinigung ergibt M. M Eigenschaften von Mengenoperationen Mengenoperationen besitzen Eigenschaften. So zum Beispiel sind und kommutativ, aber \ nicht. Weiterhin kann man aus den Venn-Diagrammen der Tabelle erkennen, dass gilt: (A B) (A\B) = A. Im folgenden Satz sind einige wichtige Eigenschaften von Mengenoperationen aufgelistet: Satz: (Eigenschaften von Mengenoperationen) Es gilt:. A B=B A und A B=B A 2. (A B) C = (A C) (B C) und (A B) C = (A C) (B C) 3. (A B) C = A (B C) und (A B) C = A (B C) 4. A = (A B) (A\B) 5. Wenn A B, so gilt A B=A und A B = B und A\B = A

11 Definition und Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit Wenn A M und B M, so gilt: ( A B ) M = AM BM und A B ) M = AM BM Regeln) ( (de Morgansche Übungsaufgaben. Sei A = {,2,3,4,5,6,7,8,9}, B={2,4,6}, C={2,4,20,40}. Berechnen Sie A B, B\A, C\A, B C, B, ς(b), ς(b). A.2 * Welches Bild gehört zu welcher Formel? Ordnen Sie zu! a)a (B C), b)a (B C), c)a (B C) d)a (B C), e)(a B) C, f)(a B) C.3 * Stellen Sie im folgenden Diagramm die Mengen ( B ) M A und AM B M dar. Was stellen Sie fest?.4.5 *.6 Machen Sie sich analog zu.3* die Aussagen 2., 5. und 6. des Satzes Eigenschaften von Mengenrelationen klar, indem Sie die Menge der linken Seite und diejenige der rechten Seite der jeweiligen Gleichung im Venn-Diagramm darstellen und diese Grafiken dann miteinander vergleichen. Sei A eine Menge mit n Elementen, d.h. sei A = n. Wie viele Teilmengen mit k (k n) Elementen enthält A? Sei A eine Menge mit n Elementen, d.h. sei A = n. Berechnen Sie (A)!

12 B. Grabowski, HTW des Saarlandes, /202 Stochastik..2 Zufälliger Versuch und zufällige Ereignisse zufälliger Versuch, Grundmenge, Ergebnisse, Ereignisse Definition: Ein unter Beibehaltung eines festen Komplexes von Bedingungen beliebig oft wiederholbarer Vorgang mit ungewissem Ausgang heißt zufälliger Versuch. Wir bezeichnen ihn mit V. Die Menge Ω der möglichen Versuchsergebnisse von V wird als Grundmenge zu V bezeichnet. Die Elemente ω von Ω stellen jeweils ein mögliches zufälliges Ergebnis bei Durchführung von V dar. Als Ereignisse zu V bezeichnet man Teilmengen von Ω. Für Ereignisse verwenden wir Großbuchstaben A,B,C,.... Die Aussage Das Ereignis A ist eingetreten bedeutet, dass irgendein Element ω A als Ergebnis des zufälligen Versuches beobachtet wurde..beispiel: Versuch : V = Werfen eines Spielwürfels, einige mögliche Ergebnisse: ω = 2 oder ω = 6 Grundmenge: Ω = {,2,3,4,5,6} einige mögliche Ereignisse: ungerade Augenzahl : A= {,3,5} Augenzahl ist größer als 3 : B ={4,5,6} Augenzahl ist gleich 6 : C={6} 2. Beispiel: Versuch : V = Ermittlung der Wartezeit eines Kunden in einer Waschanlage einige mögliche Ergebnisse: ω = Minute oder ω = 5 Minuten Grundmenge: Ω = {ω R ω 0 } (enthält alle möglichen Wartezeiten) einige mögliche Ereignisse: Wartezeit ist kleiner als Minute : A= {ω R 0 ω < } Wartezeit liegt zwischen 2 und 5 Minuten : B = {ω R 2 ω 5 } Wartezeit beträgt 5 Minuten : C={5} Komplementärereignis, sicheres Ereignis, unmögliches Ereignis Das Ereignis A = Ω\A heißt Komplementärereignis oder Gegenereignis zu A und bedeutet, dass A nicht eintritt. Zwei Ereignisse A und B heißen disjunkt, wenn sie nicht gemeinsam eintreten, d.h., wenn gilt: A B = Φ. Ein Ereignis, welches bei jeder Durchführung des Versuchs V eintritt, heißt sicheres Ereignis und eines, welches nie eintritt unmögliches Ereignis. Offensichtlich ist Ω ein sicheres und Ω =Φ ein unmögliches Ereignis.

13 Definition und Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit - - Wir unterscheiden zwischen Elementarereignissen und zusammengesetzten Ereignissen. Elementarereignisse sind Einermengen, die jeweils genau ein Ergebnis des zufälligen Versuchs enthalten. Damit treten niemals zwei Elementarereignisse gleichzeitig ein, sie sind disjunkt. In unseren Beispielen stellt jeweils das Ereignis C ein Elementarereignis dar. Demgegenüber heißen Ereignisse, die durch Vereinigung mehrerer Elementarereignisse entstehen, zusammengesetzte Ereignisse, in unseren beiden Beispielen sind jeweils A und B zusammengesetzte Ereignisse. Da Ereignisse durch Mengen dargestellt werden, können die Relationen und Operatoren der Mengenlehre verwendet werden, um Relationen zwischen und Verknüpfungen von Ereignissen darzustellen. Dabei bedeutet: Elementarereignis Verknüpfung von Ereignissen A B A = B A B A B A \ B Mit dem Ereignis A tritt auch das Ereignis B ein (A zieht B nach sich). A zieht B nach sich und B zieht A nach sich. A oder B oder beide Ereignisse treten ein. (Summe von Ereignissen) A und B treten ein. (Produkt von Ereignissen) Das Ereignis A aber nicht das Ereignis B tritt ein. Wir können die Summe und das Produkt von Ereignissen auf mehr als zwei Ereignisse verallgemeinern. A A A2 A n Mindestens eines der Ereignisse A i i,..., n A2 A n Alle Ereignisse A i i,..., n, =,tritt ein., =,treten gemeinsam ein. Bemerkung: Der in Abschnitt... angegebene Satz über Eigenschaften von Mengenoperationen gilt genauso für die entsprechenden Verknüpfungen von Ereignissen. Übungsaufgaben.7 In einem Reaktionszeitversuch V seien folgende Ereignisse von Interesse: A= Die Reaktionszeit ist größer oder gleich 3 Sekunden, B= Die Reaktionszeit ist nicht größer als 5 Sekunden, C= Die Reaktionszeit ist größer als 7 Sekunden, D= Die Reaktionszeit liegt zwischen 3 und 5 Sekunden (einschließlich 3 und 5).

14 B. Grabowski, HTW des Saarlandes, /202 Stochastik a) Stellen Sie A,B,C,D als Mengen dar! b) In welcher Relation stehen A und C zueinander? c) Stellen Sie D aus A und B unter Verwendung von Mengenoperationen dar! d) Welches Ereignis wird durch die Menge A\C beschrieben? Geben Sie die Menge an! e) Geben Sie alle Paare disjunkter Ereignisse an, die sich aus A,B,C und D bilden lassen!.8* Sei V der zufällige Versuch Zweimaliger Münzwurf. Ein Versuchsausgang sei durch das Paar ω=(m, M 2), M i {K,Z}, beschrieben (M i.: Ergebnis des i.ten Wurfes, i=,2, K = Kopf (oder Bild), Z = Zahl). a) Geben Sie Ω an! b) Beschreiben Sie die Ereignisse A={(K,K),(Z,K)}, B={(K,K),(Z,Z)}, C={(K,K), (Z,K), (K,Z)} in Worten!.9 Bei der Herstellung eines Produktes treten 2 Fehler F= nicht maßhaltig und F2= nicht funktionsfähig ein. Formulieren Sie folgende Ereignisse unter Verwendung von F und F2 und den Mengenoperationen,, \, sowie Komplementbildung : a) Das Produkt ist mit mindestens einem Fehler behaftet b) Das Produkt hat keinen der beiden Fehler c) Das Produkt hat höchstens einen der beiden Fehler.0 Sei Bi das Ereignis Bi = Bauelement Bi ist O.K, i=,...,n. G sei das in folgender Skizze dargestellte Gerät: Das Gerät funktioniert, wenn mindestens eine Reihe funktioniert. Eine Reihe funktioniert, wenn alle Bauelemente der Reihe funktionieren. Stellen Sie mit Hilfe der Ereignisse Bi und den Mengenoperationen,, \, sowie Komplementbildung folgende Ereignisse dar: a) A= Das Gerät ist O.K.

15 Definition und Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit b) B= Nur B und B4 sind O.K, die anderen Bauelemente nicht c) C= Genau 2 Reihen des Gerätes funktionieren d) D= Mindestens ein Bauelement ist O.K. e) E= Mindestens ein Bauelement ist defekt f) F= Höchstens ein Bauelement ist O.K...3 Das Ereignisfeld Zu einem Versuch können wir immer viele Ereignisse definieren. Alle Ereignisse sind immer Teilmengen der Grundmenge Ω. Die bei der Durchführung von V praktisch relevanten Ereignisse werden in einer Menge E, dem sogenannten Ereignisfeld von V zusammen gefasst. Wir fordern dabei, dass die Anwendung der Operationen, und \ auf die Ereignisse des Ereignisfeldes nicht aus diesem hinausführt, d.h., wir fordern, dass Ereignisfeld alle Ereignisse enthält, die sich durch Anwendung der Mengenoperationen, und \ bilden lassen. Unser Ziel ist es, für alle A Ereignisse des Ereignisfeldes eine Zahl P(A) anzugeben, die die Chance des Eintretens von A bei Durchführung von V charakterisiert. Ereignisfeld Definition: Sei V ein zufälliger Versuch mit der Grundmenge Ω. Ein Ereignisfeld E=E (Ω) zu V über Ω ist eine Menge von Ereignissen A Ω, die folgende Eigenschaft besitzt:. E enthält das unmögliche Ereignis Φ und das sichere Ereignis Ω, also Φ E und Ω E. 2. Wenn A E und B E, so ist auch A B E und A B E. 3. Wenn A E, so ist auch das Komplement A E. 4. Mit abzählbar unendlich vielen Ereignissen A i E, i=,2,..., sind auch deren Summe Ai und deren Produkt Ai i= i= in E enthalten. Ereignisfelder zu einem zufälligen Versuch sind nicht eindeutig bestimmt. Üblicherweise legt man in der Wahrscheinlichkeitsrechnung bei Versuchen V mit endlichen Grundmengen Ω die Potenzmenge E = (Ω) als Ereignisfeld zugrunde, da dieses Ereignisfeld alle möglichen zu V definierbaren Ereignisse enthält. Bei Versuchen mit reellen Grundmengen (Ω=R) wird in der Regel als Ereignisfeld nicht die Potenzmenge von R, sondern eine etwas kleinere Menge, nämlich die Menge der sogenannten Borel-Mengen zugrunde gelegt, die alle offenen, halboffenen und abgeschlossenen reellen Zahlen-Intervalle,

16 B. Grabowski, HTW des Saarlandes, /202 Stochastik sowie deren Summen, Produkte und Komplemente enthält. Auf eine ausführliche Definition der Borel-Mengen sei hier verzichtet.. Sei V der zufällige Versuch Werfen zweier Münzen. Wie viele Ereignisse enthält das Ereignisfeld E = (Ω) zu diesem Versuch? Geben Sie (Ω) an und überzeugen Sie sich von der Erfülltheit der Eigenschaften.-4- eines Ereignisfeldes...4 Relative Häufigkeit von Ereignissen und axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit Will man wissen, wie groß die Chance des Eintretens eines Ereignisses A E bei Durchführung eines Versuches V ist, so könnte man den Versuch n mal durchführen und dabei beobachten, wie oft A eingetreten ist, d.h., die relative Häufigkeit h n(a) von A ermitteln. Die relative Häufigkeit h n(a) ist der Anteil der Versuche an den n Versuchswiederholungen, in denen A eintritt. Tritt A beispielsweise bei 50 Versuchen 0 mal ein, so ist h n(a)=0/50 = /5. Welcher Wert sich für h n(a) in einer konkreten Versuchsreihe ergibt, ist vom Zufall abhängig, d.h., kann nicht mit Bestimmtheit vorhergesagt werden. Dennoch besitzt die relative Häufigkeit allgemeingültige Eigenschaften, z.b. gilt:. 0 h n(a), 2. h n(ω)=, 3. Wenn A B=Φ, so ist h n(a B)= h n(a)+h n(b). Das sind die grundlegenden Eigenschaften der relativen Häufigkeit, aus denen sich weitere ableiten lassen. So folgt aus.-3. Z.B. auch, dass gilt: 4. h n( A ) = -h n(a), 5. h n(a B)= h n(a)+h n(b) h n(a B). Da die relative Häufigkeit vom Zufall abhängt und außerdem mit der Anzahl n der Versuche stark schwankt, ist sie kein ideales Maß für die Quantifizierung der Chance des Eintretens von A. Wir kommen deshalb zu einem allgemeineren Begriff, dem der sogenannten Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A.

17 Definition und Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit P(A) ist ein idealisiertes nicht vom Zufall abhängendes Modell der relativen Häufigkeit. Damit die Wahrscheinlichkeit P() ein gutes Modell für die relative Häufigkeit h n () sein kann, muss sie die o.g. Eigenschaften der relativen Häufigkeit erfüllen. Der russische Mathematiker Kolmogorov hat 933 zum ersten mal die mathematische (sogenannte axiomatische) Definition der Wahrscheinlichkeit veröffentlicht. Bei dieser Definition bilden die drei Grundeigenschaften -3 der relativen Häufigkeit 3 von 4 Axiomen, die vom ihm als charakteristische Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit festgelegt wurden. Definition: (Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit) Sei V ein zufälliger Versuch mit der Grundmenge Ω und dem Ereignisfeld E. Dann heißt jede Abbildung P: E [0,] Wahrscheinlichkeitsmaß auf E, falls für alle Ereignisse A, B, A (i=,2,...) aus dem Ereignisfeld E folgende Eigenschaften (Axiome) erfüllt sind: i Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit. 0 P(A), 2. P(Ω)=, 3. Wenn A B=Φ, so ist P(A B)=P(A)+P(B), 4. P ( Ai ) = P( Ai ), falls A i A j = Φ für i j. i= = i P(A) wird als Wahrscheinlichkeit (Chance) des Eintretens von A bei einmaliger Durchführung des Versuchs V bezeichnet. Bemerkung: Das Axiom 4 ist notwendig, um bei theoretischen mathematischen Berechnungen keine Probleme zu bekommen. Denn ein Ereignisfeld kann durchaus auch unendlich viele Ereignisse enthalten, bei denen es theoretisch möglich sein sollte, die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eines davon eintritt, zu berechnen. Aus den o.g. 4 Axiomen folgen eine Reihe weiterer Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit P, die denen der relativen Häufigkeit entsprechen. Einige davon fassen wir in folgendem Satz zusammen: Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit Satz: (Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit)

18 B. Grabowski, HTW des Saarlandes, /202 Stochastik Sei V ein zufälliger Versuch mit der Grundmenge Ω und dem Ereignisfeld E. Dann besitzt ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf E für alle Ereignisse A, B, A (i=,2,...) aus dem Ereignisfeld E folgende Eigenschaften:. 0 P(A), 2. P(Φ)=0, P(Ω)=, 3. P( A ) = -P(A), n 4. P( Ai ) = P( Ai ), für alle n N, falls A i A j = Φ für i j, (Additivität) i= n i= 5. P(A B) = P(A)+P(B)-P(A B) 6. Wenn A B, so ist P(A) P(B) (Monotonie) i Beweis: Stellvertretend beweisen wir die Aussage 3. des Satzes. Es gilt: Ω = A A und es ist A A =Φ. In Anwendung der Axiome 2 und 3 der Wahrscheinlichkeitsdefinition erhalten wir: =P(Ω) = P(A A ) = P(A)+P( A ) Stellen wir diese Gleichung nach P( A ) um, so erhalten wir die Behauptung 3. des Satzes. Q.e.d.2 Zeigen Sie, dass für zwei beliebige Ereignisse A und B eines Ereignisfeldes gilt: P(A B) = P(A)+P(B)-P(A B). Mit Hilfe der so definierten Wahrscheinlichkeit, ihren Eigenschaften und den Gesetzen der Mengenlehre können wir nun z.b. Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten von Ereignissen auf der Basis gegebener Wahrscheinlichkeiten für Teilereignisse berechnen. Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bewerber von Firma A angenommen wird ist P(A) = 0,2. Die Wahrscheinlichkeit von Firma B angenommen zu werden beträgt P(B) = 0,3. Von mindestens einer der beiden Firmen wird man mit der Wahrscheinlichkeit 0, 4 angenommen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, von keiner der beiden Firmen eine Zusage zu erhalten?

19 Definition und Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, ausschließlich von B eine Zusage zu bekommen? Lösung: Gegeben: P(A) = 0,2, P(B) = 0,3, P(A Β) = 0, 4. Gesucht: a) P(A B) b) P(B A ) Zu a) Es gilt nach Eigenschaft 5: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A Β). = 0,2 + 0,3-0,4 = 0, Zu b) Es gilt B = (A B) (B A ) wobei (A B) und (B A ) disjunkt sind. Nach Axiom 3 der Wahrscheinlichkeit gilt dann: P(B) =P(A B) + P (B A ) und demnach ist P (B A ) = P(B) - P(A B) = 0,3-0, = 0,2 Wir können nun mit Wahrscheinlichkeiten rechnen, aber nur, wenn bestimmte Wahrscheinlichkeiten für Teilereignisse (im obigen Beispiel für A, B und A Β ) bereits gegeben sind. Die grundlegende Frage ist, wo bekommen wir diese gegebenen Wahrscheinlichkeiten her? Dafür gibt es zwei Möglichkeiten:. Wir können Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen A in bestimmten Versuchen V, den sogenannten Glücksspielen oder Laplace-Versuchen exakt als Chance des Eintretens von A bei Durchführung von V ermitteln. Darauf gehen wir im nächsten Kapitel. 2. genauer ein. 2. Wir können die Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignissen mit Hilfe der beobachteten relativen Häufigkeit h n(a) abschätzen. Das liegt an der sogenannten Stabilität der relativen Häufigkeit. Wenn man den Versuchsumfang n einer Versuchsreihe sehr groß macht (im Idealfall gegen gehen lässt), so wird man feststellen, dass sich die relative Häufigkeit h n(a) stets auf ein und denselben festen Wert, und zwar gerade P(A), einpegelt. Diese Eigenschaft bezeichnet man als Stabilität der relativen Häufigkeit. Stabilität der relativen Häufigkeit Es gilt: stochlim h ( A) = P( A) n > n (Stochastische Grenzwertbegriff)

20 B. Grabowski, HTW des Saarlandes, /202 Stochastik h n (K) P(A) relative Häufigkeiten h n(a) in Abhängigkeit von n. Konvergiert für n -> oo stets gegen P(A) Stabilität der relativen Häufigkeit n Experimente zum Selbermachen: Beispiel: Münzwurf:A = Kopf tritt auf = {K}, P(A) = 0,5 (siehe Kap.,2) Stellen wir die relative Häufigkeit h n(k) in Abhängigkeit von n dar, so sehen wir, dass sich diese bei wachsendem n stets auf den Wert p = 2 einpegelt. h n (K) 0,5 relative Häufigkeiten in Abhängigkeit von n n Ergebnisfolge: K, Z, Z, K, Z, K, Z, Z, Z, Z,... h ( K) = h 2 ( K) = 2 h 3 3 ( K) = h0( K) = 3 0

21 Definition und Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit Beispiel: Würfeln A = { 6 }, es ist P(A) = /6 (siehe Kap..2) h n (A), 2, 2, 5, 3, 6,, 6,... 6 n h n ({ 6} ) p = n 6 Hier pegelt sich h n(a) auf den Wert p=/6 ein So ist z.b. P(A) = 0,5 die Wahrscheinlichkeit dafür, beim Münzwurf Kopf zu werfen. Gleichzeitig bedeutet dieser Wert aber auch, dass bei n maligem Münzwurf (n groß) in ungefähr 50 Prozent aller Würfe Kopf geworfen wird. Umgekehrt liefert eine beobachtete relative Häufigkeit einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit des betrachteten Ereignisses. Je größer dabei n ist, desto genauer ist dieser Schätzwert für P(A). Fassen wir dieses zusammen, so haben wir. Einen Schätzwert für P(A): P(A) h n(a) für große n 2. Eine weitere Interpretation der Wahrscheinlichkeit: a) P(A) = Chance des Eintretens von A bei einmaliger Durchführung von V b) P(A) = h (A) = Anteil der Versuche, in denen A eingetreten ist unter allen möglichen (unendlich vielen) Versuchen. So bedeutet P(A) = 0,2, dass in 20% aller Fälle (Versuche) A beobachtet wurde. In unseren Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung können wir nun auch unsere Sprachweise anpassen und die 2. Interpretation der Wahrscheinlichkeit dazunehmen. Beispiel: Die technische Begabung von Kindern einer bestimmten Alterstufe wird mit zwei Testverfahren ermittelt. Bestehen die Kinder beide Tests, so werden sie als begabt eingestuft. Es sei bekannt, dass % der Kinder der betrachteten Altersstufe Test (T) besteht. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind den zweiten Test (T2) besteht, ist 0,02. Insgesamt bestehen 99% weder den ersten

22 B. Grabowski, HTW des Saarlandes, /202 Stochastik noch den zweiten Test. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Kind als begabt eingestuft? Lösung: Es gilt: P(T)=0,0, P(T2)=0,02 und P( T T 2 ) =0,99. Gesucht ist P(T T2). Aus den Eigenschaften von P folgt: P(T T2) = P(T)+P(T2)-P(T T2). Da T T2 das Komplement von T T2 ist, gilt weiterhin P(T T2)=-P( T T2 ) = 0,0. Daraus folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(T T2) = P(T)+P(T2)-P(T T2) = 0,0+0,02-0,0 = 0,02. Das heißt, dass 2 Prozent der Kinder der betreffenden Altersklasse als begabt eingestuft werden. Übungsaufgaben.3* Bei der Herstellung eines Produktes treten 2 Fehler F= nicht maßhaltig und F2= nicht funktionsfähig mit den Wahrscheinlichkeiten P(F)=0,02 und P(F2)=0,04 ein. Mit mindestens einem Fehler behaftet sind insgesamt 5 % aller Produkte. Ein Produkt ist nur dann verkäuflich, wenn es keinen der beiden Fehler besitzt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein Produkt verkäuflich?.4* In deutschsprachlichen s tritt das Wort Viagra mit der Wahrscheinlichkeit 0,0 auf. Das Wort Rolex tritt in 2 % aller Fälle auf. Mit mindestens einem dieser beiden Worte sind 2,5 % aller s behaftet. Eine wird nur dann nicht als spamverdächtig klassifiziert, wenn sie keines der beiden Worte enthält. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine nicht als spamverdächtig eingestuft?.5 Sei Bi das Ereignis Bi = Bauelement Bi ist O.K, i=,...3. G sei das in folgender Skizze dargestellte Gerät:

23 Definition und Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit Das Gerät funktioniert, wenn mindestens eine Reihe funktioniert. Eine Reihe funktioniert, wenn alle Bauelemente der Reihe funktionieren. Es sei folgendes bekannt: 5 % aller Bauelemente vom Typ B sind defekt, bei 90% aller Geräte sind sowohl B2 als auch B3 OK und bei 87% aller Geräte sind alle 3 Bauelemente B, B2, B3 OK. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass G funktioniert und wieviel % aller Geräte sind defekt?.2 Der klassische Wahrscheinlichkeitsbegriff Bereits im 7. Jahrhundert interessierte man sich für die Berechnung von Gewinn-Wahrscheinlichkeiten in Glücksspielen. Charakteristisch für Glücksspiele ist es, dass ihnen zufällige Versuche zugrunde liegen, bei denen es nur endlich viele gleichwahrscheinliche Versuchsausgänge gibt. Diese Versuche bezeichnet man als Laplace-Versuche. Die Wahrscheinlichkeit in Laplace-Versuchen wird als klassische Wahrscheinlichkeit bezeichnet. Sie ist gleich dem Quotienten aus der Anzahl der für dieses Ereignis günstigen Versuchsausgänge und der Gesamtzahl der möglichen Versuchsausgänge, Im folgenden werden wir sehen, dass sich diese Formel als Spezialfall aus den 4 Axiomen der Wahrscheinlichkeit ergibt. Definition: Sei V ein zufälliger Versuch mit. einer endlichen Grundmenge Ω = ω,..., ω } und { m 2. P( ω i ) = p für alle i=,...,m. (gleichwahrscheinliche Elementarereignisse). Laplace-Versuch Dann heißt V Laplace-Versuch oder Glücksspiel. Satz: (Klassische Wahrscheinlichkeit in Laplace-Versuchen) Sei V ein Laplace-Versuch mit der Grundmenge Ω = ω,..., ω }. Dann gilt { m Klassische Wahrscheinlichkeit

24 B. Grabowski, HTW des Saarlandes, /202 Stochastik. P({ ω i }) = m und A 2. P(A)= Ω für jedes Ereignis A = ς(ω). Beweis zu. Es ist P( Ω) = P({ ω }... { ω }) = P({ ω }) = p = mp. Daraus folgt die Behauptung p=p({ ω }) =. m m i m m i i= i= q.e.d.6 Beweisen Sie die Behauptung 2. des Satzes! Die Berechnung der klassischen Wahrscheinlichkeit läuft auf die Ermittlung der Anzahl von Elementen einer Menge hinaus. Dazu benötigen wir im wesentlichen zwei kombinatorische Formeln. Satz: (Kombinatorische Formeln).) Es gibt genau n! Vertauschungen von n Elementen auf n Plätze. n n! 2.) Es gibt genau =. k-elementige Teilmengen einer n- k k!( n k)! elementigen Menge. Mit diesen beiden Formeln kann man nahezu beliebige Aufgaben zur klassischen Wahrscheinlichkeit lösen. Beispiel : V = 2 Werfen einer Münze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, 2x das gleiche zu werfen? Ω = K, K, K, Z, Z, K, Z, Z -> Ω = 4. { } Lösung: ( ) ( ) ( ) ( ) A = Zwei mal das gleiche = ({( K K ),( Z, Z )}), -> A = 2. ({ }) -> P( 2 gleiche Ergebnisse ) = P ( K K ) ( Z, Z ),, = 2 : 4 = 2. Beispiel 2: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für A = 6 Richtige beim Lotto 6 aus 49?

25 Definition und Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit Lösung: Ω = = = Anzahl aller 6-elementigen 6 Teilmengen aus der Menge {,,49} und A =. P(A)= Beispiel 3: Ein Zahlencode besteht aus 4 Ziffern z= z z 2z 3z 4, z,..., 9 z z für alle i j. { } i i j Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, diesen Code zu erraten? 9! Ω = = 3! A: richtigen Code raten A = A 3! P( A) = = = = 0, Ω 9! 9! 3! Beispiel 4: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, beim Würfeln mit 5 Würfeln (Kniffel) genau 2 mal die Augenzahl 4 und des weiteren die Zahlen,2,3 gewürfelt werden? Lösung: Wir überlegen uns zunächst, wie die Elementarereignisse aussehen. Einen Versuchsausgang kann man offensichtlich durch ein 5 Tupel (i,i2,i3,i4,i5) mit ij {,2,3,4,5,6} beschreiben, ij ist die Augenzahl des j-ten Würfels. Ω ist die Anzahl aller 5-Tupel. Da jeder Würfel 6 Möglichkeiten besitzt und alle 5-Tupel durch eine Kombination der 6 Möglichkeiten aller 5 Würfel entstehen, gilt: Ω = =6 5. Das Ereignis A ist die Menge aller 5-Tupel, in denen 2 mal eine 4 und die Zahlen,2, 3 vorkommen. Würden wir alle diese 5 Tupel auflisten wollen, müssten wir aus den 5 Würfeln immer 2 auswählen, denen wir die 4 zuordnen, der Rest bekommt 5 5! die Zahlen,2,3. Es gibt genau = = 0 Möglichkeiten 2 Würfel aus 2 2!3! fünfen auszuwählen. Haben wir zwei Würfel festgelegt, so ordnen wir den restlichen 3 Würfeln die Zahlen,2,3 zu. Dafür gibt es genau 3! 5 5! Möglichkeiten. Folglich ist A = 3! = = 60 und es ergibt sich 2 2! A 60 0 P(A)= = = = 0, 008. Die Chance, 2 mal eine 4 und die Zahlen,2,3 5 4 Ω 6 6 zu würfeln, beträgt 8 zu 000.

26 B. Grabowski, HTW des Saarlandes, /202 Stochastik Übungsaufgaben.7 * Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, beim 3 maligen Würfeln mit einem gleichmäßigen Würfel mindestens 2 mal eine 6 zu würfeln?.8 * Aus den Buchstaben m, i, i, i, i, s, s, s, s, p p wird zufällig der Reihe nach jeweils einer ausgewählt und zu einem Wort angelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Wort mississippi entsteht?.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen.3. Die Bedingte Wahrscheinlichkeit Beim Würfeln mit einem Würfel ist die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln (A) gleich /6. Erhalten wir aber die Zusatzinformation, dass eine gerade Zahl gewürfelt wurde (B), so ist die Wahrscheinlichkeit für eine 6 gleich /3. Wir gehen bei unseren Überlegungen von Ω zu einem kleineren Grundraum B über, der nur gerade Zahlen enthält und berechnen in diesem Grundraum die Wahrscheinlichkeit für A B.

27 Definition und Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit Definition: Sei V ein zufälliger Versuch mit der Grundmenge Ω und dem Ereignisfeld E. Seien A E und B E zwei beliebige Ereignisse zu V mit P(B)>0. Dann heißt P( A B) P(A B) = P( B) bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B. Bedingte Wahrscheinlichkeit Satz : Es gilt : Das Maß P A( ):= P( / A) ist für festes A Ω ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf E, d.h. P( / A) erfüllt für jedes festes A Ω die 4 Axiome der Wahrscheinlichkeit. Insbesondere gilt dann auch : P( B / A) = P( B / A) Achtung: Man beachte aber, dass im allgemeinen P( A B) P( A B) ist..9 Zeigen Sie anhand der Definitionsgleichung der bedingten Wahrscheinlichkeit, dass P( A B) = P( A B) gilt!.20 Bei der Herstellung eines Produktes treten 2 Fehler F= nicht maßhaltig und F2= nicht funktionsfähig mit den Wahrscheinlichkeiten P(F)=0,02 und P(F2)=0,04 ein. Mit mindestens einem Fehler behaftet sind insgesamt 5 % aller Produkte.

28 B. Grabowski, HTW des Saarlandes, /202 Stochastik a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewähltes Produkt auch den Fehler F2 besitzt, wenn bekannt ist, dass es den Fehler F hat! b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Produkt den Fehler F nicht hat, wenn bekannt ist, dass es bereits den Fehler F hat?.3.2 Verbundwahrscheinlichkeiten Multiplizieren wir in der Definitionsgleichung für die bedingte Wahrscheinlichkeit beide Seiten mit P(B), so erhalten wir die sogenannte Multiplikationsformel: Multiplikationssatz P( A B) = P( A B) P( B) Oftmals sind die Wahrscheinlichkeiten P(A B) und P(B) gegeben oder leicht zu ermitteln und die Multiplikationsformel wird dann angewendet, um die Produktwahrscheinlichkeit P( A B) zu ermitteln. Die Multiplikationsformel lässt sich auf beliebig viele Ereignisse verallgemeinern: Satz: (Multiplikationssatz) Sei V ein zufälliger Versuch mit der Grundmenge Ω und dem Ereignisfeld E. Seien A i E, i=,...,n, n beliebige Ereignisse. Dann gilt: P( A A 2 A ) = P( A ) P( A n 2 A ) P( A 3 A A 2 ) P( A n A A n ) Beispiel : (Statistische Qualitätskontrolle) = Defekt = O.K. In einem Los von 5 Teilen befinden sich zwei defekte Teile. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, beim dreimaligen hintereinander Herausnehmen und Prüfen eines Teiles beide defekte Teile zu ziehen?

29 Definition und Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit Lösung: Wir bezeichnen: w i = Ziehen eines defekten Teils bei i.ter Ziehung s i = Ziehen eines nicht defekten Teils bei i.ter Ziehung A = 2 defekte Teile beim dreimaligen Ziehen Dann gilt: A = w w s ) ( w s w ) ( s w ) ( w3 Und wir erhalten wegen der Disjunktheit der 3 Teilereignisse P(A) = P( w w s ) ( w s w ) ( s w ) ) ( w3 ( w w2 s3 ) + P( w s2 w3 ) + P( s w2 w3 = P ) Jetzt wenden wir auf jeden Summenden den Multiplikationssatz an, für den ersten Summenden erhalten wir P = ( w s2 s3 ) P( w ) P( w / w ) P( s /( w w )) 2 2 = 5 = Analog erhalten wir auch für die beiden anderen Summenden jeweils den gleichen Wert /0 Und damit ergibt sich als Ergebnis: P(A) = 3/0 = 0,3. D.h., nur in 30% aller Fälle finden wir bei diesem Qualitätskontrollverfahren die beiden defekten Teile. Das ist natürlich nicht gut. Wir können das nur verbessern, wenn wir mehr Teile ziehen. Beispiel 2: Aus einem gut gemischten Kartenspiel sollen 3 Spieler nacheinander eine Karte ziehen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht jeder Spieler eine Pik- Karte (Ereignis A)? Lösung: Unter den 32 Karten sind 8 Pik-Karten. Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Spieler eine Pik-Karte zieht ist P(A)=8/32=/4. Nachdem der erste Spieler eine Pik-Karte gezogen hat, sind nur noch 3 Karten und davon 7 Pik- Karten im Spiel. Somit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der zweite

30 B. Grabowski, HTW des Saarlandes, /202 Stochastik Spieler eine Pik-Karte zieht P(A2 A) = 7/3. Analog erhalten wir dann P(A3 A A2)=6/30 und somit: P(A) = P(A A2 A3)= = Übungsaufgaben.2 * Wir betrachten ein Los von 0 Teilen. Darunter befindet sich ein defektes Teil. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür beim dreimaligen Ziehen ohne zurückzulegen das defekte Teil zu finden?.3.3 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen Unabhängige Ereignisse Verändert die Information über das Eintreten von B die Chancen für A nicht, d.h. gilt P(A B)=P(A), so heißen A und B stochastisch unabhängig. Definition: Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, falls gilt: P A/ B = P( A ( ) ) Folgerung: Seien A und B stochastisch unabhängig, dann gelten folgende Beziehungen: P A B = P A P B b) P a) ( ) ( ) ( ) ( A B ) = P( A) P( B ), c) P( A B) = P( A) P( B) d) P( A B ) = P( A) P( B ) Produktformel für 2 unabhängige Ereignisse Beispiel: Sind die beiden Ereignisse A= Würfeln einer geraden Zahl und B= Würfeln einer Zahl 4 stochastisch unabhängig? Es gilt: P(A)=/3 und P(B A)=2/3. Damit sind P(A) P(B A) und folglich sind A und B nicht stochastisch unabhängig. Das gleiche Ergebnis erhalten wir, wenn wir die Produktformel untersuchen: Es ist P(A)=/3, P(B)=/3 und P(A B)=2/6. Folglich ist P(A B) P(A)P(B), woraus folgt, dass A und B nicht stochastisch unabhängig sind.

31 Definition und Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit Die Definition der Unabhängigkeit von n beliebigen Ereignissen sieht etwas komplizierter aus. Die inhaltliche Bedeutung ist analog zum Fall zweier Ereignisse: das Eintreten jeweils eines Teils der Ereignisse beeinflusst die Chancen des Eintretens des anderen Teils nicht. Für die Berechnungen ist die Verallgemeinerung der Produktformel wichtig: Allgemeine Produktformel für unabhängige Ereignisse Definition: n Ereignisse A, A2,, An heißen stochastisch unabhängig, falls für jede beliebige Teilauswahl A *, A2*,, Ak * von k Ereignissen aus diesen n gilt: P( A * A2* Ak* ) = P( A* ) P( A2* ) P( Ak* ) Beispiel : Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Beobachter in einem gewissen Zeitraum ein Signal auf einem Bildschirm übersieht, sei 0,2 und bei allen Beobachtern gleich. Wie viele unabhängig voneinander arbeitende Beobachter benötigt man, wenn insgesamt die Wahrscheinlichkeit dass ein Signal übersehen wird (Ereignis A), nicht größer als 0,0 sein soll? Lösung: Sei A i das Ereignis Das Signal wird von Beobachter i übersehen. Dann gilt P(A i)=0,2. Da die Beobachter unabhängig voneinander arbeiten, gilt: P(A)= P A A A ) = P( A ) P( A ) P( A ) P( A ) =(0,2) n ( 2 n 2 3 n n Die geforderte Bedingung war: 0,2 0, 0. daraus folgt durch n Logarithmieren : log( 0,2 ) = nlog(0,2) log(0,0). Bei der Auflösung der Gleichung nach n muss man durch den negativen Wert log(0,2) dividieren; dadurch kehrt sich das Relationszeichen um. Wir erhalten: log(0,0) n = 2,86. log(0,2) Das heißt, dass mindestens 3 Beobachter nötig sind. Beispiel 2: Wir wollen von der Ausfallhäufigkeit q des Geräts G auf Ausfallhäufigkeit einer bestimmten Baugruppe E i (Bauelement) schließen. Gegeben sei ein Gerät

32 B. Grabowski, HTW des Saarlandes, /202 Stochastik Gerät: E E2 E3 E4 Seien folgende Ereignisse definiert : G - Gerät ist OK, G -Gerät ist nicht OK, E i - Bauelement E i ist OK, E i - Bauelement Ei ist nicht OK. Wir vereinfachen dazu unser Modell und treffen folgende Annahmen:. Alle Bauelemente sind identisch 2. Alle Bauelemente fallen unabhängig voneinander und mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p aus: P( E i )=p, i=,2,3,4. 3. Funktionsweise des Gerätes : Reihe funktioniert, falls beide Baugruppen funktionieren, Gerät funktioniert, falls eine Reihe funktioniert. a) Gegeben ist nun q=p( G ). Gesucht ist p. b) Wie groß darf die Ausfallwahrscheinlichkeit p eines Bauelenmentes höchstens sein, damit die Ausfallwahrscheinlichkeit des Gerätes q 0 % nicht überschreitet? Lösung: Zu a) Wir stellen einen Zusammenhang zwischen p und q her: ( ) = P( Reihe not OK Reihe 2 not OK) P G P( Reihe not OK) P( Reihe 2 not OK) P( Reihe OK) P( Reihe 2 OK) P( E E ) P E E ( ( 2 p) ) ( ( 2 p) ) q = ( ) ( 2 ) ( ( 3 4 )) = = = = ( ) q = ( p) 2 2 q = p

33 Definition und Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit Zu b) Sei q = 0,: 0, = 0, 827 = 0, 73 D.h., die Ausfallwahrscheinlichkeit der Bauelemente darf 7,3% nicht überschreiten, damit das Gerät mit mindestens 90%tiger Wahrscheinlichkeit nicht ausfällt. Übungsaufgaben.22 * Ein System besteht aus 4 Elementen, die wie folgt angeordnet sind: Das System verhält sich wie bei Reihen- und Parallelschaltungen. Es funktioniert, wenn mindestens eine Reihe funktioniert. Eine Reihe funktioniert, wenn alle Elemente der Reihe funktionieren. Jedes Element arbeitet unabhängig von den anderen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit p=0,9, d.h. fällt mit der Wahrscheinlichkeit 0, unabhängig von den anderen Elementen aus. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das System S funktioniert? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Element 2 funktioniert unter der Bedingung, dass das System funktioniert?.23* Zwei Studenten Versuchen unabhängig voneinander die gleiche Übungsaufgabe zu lösen. Jeder der beiden findet die richtige Lösung mit der Wahrscheinlichkeit 0,6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einer der beiden die Aufgabe richtig löst?.4 Totale Wahrscheinlichkeit und Bayes sche Formel Definition: Sei V ein zufälliger Versuch mit der Grundmenge Ω und dem Ereignisfeld E. Eine Menge von Ereignissen A, A,..., 2 A n, A i Ω für i=,...,n, heißt vollständiges Ereignissystem in E, falls gilt: a) A A = Φ für i j und b) i j Vollständiges Ereignissystem Vollständiges Ereignissystem

34 B. Grabowski, HTW des Saarlandes, /202 Stochastik A A A = Ω 2 k. Beispiele:.Beim maligen Würfeln mit der Grundmenge Ω={,2,3,4,5,6} bilden die Ereignisse A ={,2}, A2={3,4}, A3={5,6} ein vollständiges Ereignissystem. 2. Die Ereignisse A, A bilden ein vollständiges Ereignissystem. 3. Die Ereignisse A B, A B, A B, A B bilden ein vollständiges Ereignissytem. Totale Wahrscheinlichkeit Oft liegen Wahrscheinlichkeiten für ein vollständiges System von Ereignissen A, A 2,..., A n vor, sowie die Wahrscheinlichkeiten P(B/A i) für das Eintreten eines weiteren Ereignisses B unter der Bedingung A i und es ist P(B) und/oder P(A i/b) gesucht. Satz.: Sei V ein zufälliger Versuch mit der Menge Ω und dem Ereignisfeld E Seien weiterhin B Ω ein beliebiges Ereignis zu V und A,...,A n ein vollständiges Ereignissystem in E. Dann gilt: ( ) = ( / ) ( ) + ( / ) ( ) + + ( / ) ( ) P B P B A P A P B A P A P B A P A 2 2 (Formel der totalen Wahrscheinlichkeit). n n Beweis: A A2 Ω B A3 An P ( B) = P( ( B A ) ( B A2 ) ( B An )) = P( B A ) + + P( B An ) = P( B A ) P( A ) + + P( B / A ) P( A ) / n n qed. Satz von Bayes Satz: (von Bayes) P A = a) Es gilt: P( A / B) ( ) P( B / A) P( B)

35 Definition und Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit b) (Verallgemeinerung): Seien A i Ω i =,..., n ein vollständiges Ereignissystem, d.h. n Ereignisse mit A i A j und A A 2 A n = Ω. Sei B Ω. Dann gilt: ( / B) P A i P A = ( ) P( B A ) P( B) ( ) P( B A ) / P A / = i i i i n j= ( j ) P( B / A j ) P A Diese Formel trägt den Namen des Engländers Thomas Bayes, der sie im Jahre 764 entwickelte und damit als erster den Versuch unternahm, für statistische Schlüsse logische Grundlagen anzugeben. Eine besondere Bedeutung dieser Formel liegt in folgender Überlegung: Angenommen, eine direkte Beobachtung der Ereignisse A,...,A n ist nicht möglich und man hat auf irgendeine Weise aber eine Anfangs-Information über deren Wahrscheinlichkeiten P(A ),..,P(A n) erhalten. Diese werden als a- priori-wahrscheinlichkeiten bezeichnet. Beobachtet man nun bei Durchführung des zufälligen Versuchs das Ereignis B, so ist man bestrebt, diese Information zur verbesserten Entscheidungsfindung darüber zu verwenden, welches der Ereignisse A,...,A n eingetreten ist. In diesem Zusammenhang pflegt man die Wahrscheinlichkeiten P(A /B),..., P(A n/b) als a-posteriori-wahrscheinlichkeiten zu bezeichnen. Eine andere Anwendung dieser Formel besteht darin, die Trennschärfe eines beobachteten Ereignisses B für die Entscheidung, dass ein Ereignis A i eingetreten ist, zu beurteilen. Entscheidet man sich bei Auftreten von B für das Ereignis A i, so wird P(A j/b) für i j als Irrtumswahrscheinlichkeit bei dieser Entscheidung interpretiert. Anwendung der Sätze in folgenden Fällen: P A, P B / A Gegeben: ( ) ( ) Gesucht: P( A / B) Beispiel: (Technische Fehlerdiagnose) Sei A eine technische Fehlerart, die mit 0 % bei allen Geräten eines bestimmten Typs vorkommt, sei B ein Merkmal, anhand dessen die Fehlerart A diagnostiziert werden kann Diagnoseverfahren: Techniker Merkma Entscheidung l B A (defekt) B A (nicht

36 B. Grabowski, HTW des Saarlandes, /202 Stochastik defekt) Fehlentscheidung: Das Merkmal tritt nicht auf ( B ), aber Gerät ist trotzdem defekt (A). Das Merkmal B tritt auf, aber die Gerät ist O.K ( A ) Wirklichkeit O.K defekt Ent- A A schei- O.K B P(A/ B ) dung defekt B P( A /B) ---- Fehlentscheidungswahrscheinlichkeiten: ( B) P A / Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Gerät defekt ist, welches ( B) als OK eingestuft wurde. P A / Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Gerät O.K ist, welches als defekt eingestuft wurde. Ziel: Ein solches Merkmal B finden, dass die Wahrscheinlichkeit für Fehlentscheidungen gering ist! Gegeben.: P( B A) P( B A) P( A) Gesucht.: P( A / B), P( A / B) / = 0, 8 / = 0, 3 = 0, Wie groß sind die Fehlerwahrscheinlichkeiten für unser Merkmal? Anwendung des Satzes von Bayes und totaler Wahrscheinlichkeit : Es gilt: P ( A / B ) P = ( B / A) P( A) ( P( B / A)) = P( B ) P( B) P( A)

37 Definition und Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit ( ) ( ) und P B P B A P A P B A P A NR: P B / A = P B / A = 0, 2 = 0, 8 0, + 0, 3 0, 9 = 0, 35 P B = = 0, 65 ( ) = ( / ) ( ) + ( / ) ( ) ( ) P( B) ( / B) 0, 2 0, 0, 02 2 P A = = = = 0, 03 0, 65 0, In 3 % aller Diagnosen wird ein defektes Gerät als O.K eingestuft!.24 Berechnen Sie zu unserem obigen Beispiel die Irrtumswahrscheinlichkeit P ( A B). Übungsaufgaben.25* Wir wollen die Zuverlässigkeit eines SPAM-Filters untersuchen, dabei nehmen wir an, dass wir genau wissen, was eine SPAM ist!. Unser SPAM-Filter arbeitet wie folgt: Es werden alle Texte als SPAM eingestuft, in denen das Wort Viagra vorkommt (Ereignis B). In jedem anderen Fall werden die Texte als O.K. eingestuft. Es soll die Zuverlässigkeit dieses SPAM-Filters, d.h., die Trennschärfe des Wortes Viagra untersucht werden. Aus Untersuchungen von Texten sei bekannt, dass 20 % aller Texte SPAM s sind. Es sei weiterhin bekannt, dass in 90% aller Texte, die tatsächlich SPAM s sind, das Wort Viagra vorkommt, aber leider auch in % aller Texte, die keine SPAM s sind. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Text, der als SPAM eingestuft wurde auch wirklich ein SPAM ist? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein nicht als SPAM eingestufter Text ein SPAM ist?

38 B. Grabowski, HTW des Saarlandes, /202 Stochastik.26* Eine Firma bezieht jeweils 30 %, 20% bzw. 50% von benötigten Teilen von 3 verschiedenen Zulieferern Z, Z2 bzw. Z3. Über die Ausschussrate (Anteil der defekten Teile unter den gelieferten) sei bekannt, dass sie bei Z %, bei Z2 und Z3 2% bzw. 0,5 % beträgt. a) Wieviel % Ausschuss (Ereignis A) erhält die Firma insgesamt? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt ein defektes Teil von Z?

39 Definition und Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeit Übungsaufgaben. Ein zufälliger Versuch bestehe im Werfen zweier Würfel. Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Summe 6, 7 oder 8 ist! (Hinweis: Klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition benutzen!) 2. Jemand bewirbt sich bei zwei Firmen A und B. Die Wahrscheinlichkeit der Annahme seiner Bewerbung schätzt er bei Firma A mit 0,5 und bei Firma B mit 0,6 ein. Weiterhin rechnet er mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3 von beiden Firmen angenommen zu werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, von wenigstens einer der beiden Firmen eine Zusage zu erhalten? (Hinweis: Axiom 3 benutzen!) 3. (Aus einer USA-Studie über den Zusammenhang zwischen Hautfarbe und Beschäftigungsstatus) Es werden folgende Symbole benutzt: F Farbig, W Weiß, B Beschäftigt, U Arbeitslos. Bei einer Untersuchung der Bevölkerung auf Hautfarbe und Beschäftigungsstatus ergab sich folgende Häufigkeitstabelle: W F Total U B a) Vervollständigen Sie die Tabelle! b) Berechnen Sie für ein zufälliges Individuum die Wahrscheinlichkeiten: P(U), P(F), P(U/F)! c) Sind dei Ereignisse "die Hautfarbe ist weiß" und " Beschäftigt" stochastisch unabhängig voneinander? 4. G sei ein Gerät mit 2n parallel geschalteten Bauelementen gleichen Typs. Dabei sind jeweils 2 Bauelemente in Reihe geschaltet. Das Gerät fällt aus, falls die Reihe ausfallen. Eine Reihe fällt aus, falls eines der beiden Bauelemente ausfällt. Die Bauelemente E i j fallen unabhängig voneinander mit der gleichen Wahrscheinlichkeit