Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2008 / 2009

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 008 / 009 Fach (A) Name, Vorname Klasse Prüfungstag 9. April 009 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise Spezielle Arbeitshinweise 09:00 - :00 Uhr Mathematische Formelsammlungen (keine selbst angefertigten) ohne Musterlösungen, Taschenrechner ohne Graphikdisplay, frei programmierbare Speicher müssen gelöscht sein. Bleistifte dürfen nur für Skizzen benutzt werden. Die Reinschriften und Entwürfe sind nur auf den besonders gekennzeichneten Bögen anzufertigen, die Sie für die Prüfung erhalten. Diese sind zu nummerieren und sofort mit Ihrem Namen zu versehen. Für jede neue Aufgabe ist ein neuer gekennzeichneter Bogen zu beginnen. Schwerwiegende oder gehäufte Verstöße gegen die sprachliche Richtigkeit oder gegen die äußere Form führen zu einem Abzug von bis zu einem Punkt (Malus- Regelung). Bedenken Sie die Folgen einer Täuschung oder eines Täuschungsversuchs! Der Aufgabensatz besteht aus vier verschiedenen Einzelaufgaben, die Sie alle bearbeiten müssen! Gesamtzahl der abgegebenen Lösungsblätter (Reinschrift): Blätter Bewertungseinheiten, und Gesamtpunkte und Gesamtnote : Aufgabe Nr.: Soll % Summe: 00 Ist Ist (ggf. Zweitkorrektur) Notenpunkte: 5 Punkte Punkte Maluspunkt - Punkt Punkt Insgesamt: Punkte Note: Punkte Note: Datum, Unterschrift: gilt nur für doppelt qualifizierende Bildungsgänge mit Fachhochschulreife

2 Abschlussprüfung Fachoberschule 009 Aufgabenvorschlag A Kurvendiskussion /40 Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung f( x) = 0,5x,5x x+ 4 ; x.. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen von f und begründen Sie Ihre Aussage. /. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von f im Unendlichen. /. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f. /6.4 Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von f mit der y-achse. /.5 Bestimmen Sie die Hoch-, Tief- und Wendepunkte des Graphen von f. /5.6 Zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall [,5 4,5] unter Zuhilfenahme aller ermittelten Punkte. /5.7 An der Stelle x = habe der Graph der Funktion f die Normale n. Bestimmen Sie die zugehörige Funktionsgleichung dieser Normale und zeichnen Sie den Graphen von n mit in das Koordinatensystem von Aufgabe.6. /5.8 Verschiebt man den Graphen der Funktion f um zwei Längeneinheiten in Richtung Ordinatenachse, erhält man die Funktion g mit der Funktionsgleichung gx ( ) = 0,5x,5x x+ 6; x. /4 g [ ] Eine Nullstelle der Funktion liegt im Intervall 4. Berechnen Sie diese Nullstelle durch ein geeignetes Näherungsverfahren. Brechen Sie die Berechnung nach drei Iterationsschritten ab. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis. Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule 009 Seite von 4

3 Abschlussprüfung Fachoberschule 009 Aufgabenvorschlag A Rekonstruktion von Funktionen /5 In der nebenstehenden Zeichnung ist der Graph der ersten Ableitung f ' einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades dargestellt. Wie aus der Grafik zu ersehen ist, verläuft der Graph von f ' durch den Punkt P( 0). Der durch den Koordinatenursprung verlaufende Graph der zugehörigen Funktion f hat im Punkt W( f( ) ) einen Wendepunkt und geht durch den Punkt Q( ). Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von f durch Lösen des entsprechenden Gleichungssystems. Wenn Sie das Gleichungssystem nicht aufstellen können, lösen Sie ersatzweise das folgende Gleichungssystem und bestimmen Sie damit die gesuchte Funktion. 6a - 4b + c = 0 6a - 6b + c = - -8a + 8b - c + d = c + d = - Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule 009 Seite von 4

4 Abschlussprüfung Fachoberschule 009 Aufgabenvorschlag A Extremwertaufgabe /5 Gegeben ist der Graph der Funktion f mit f ( x) = x x 4x+ 8, x und ein achsenparalleles Rechteck mit den Eckpunkten A(- 0) und C(x f(x)) y C(x/f(x)) A( /0) x Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Rechtecks für x = (siehe Zeichnung). /. Bewegt sich der Punkt C auf dem Graphen von f, so ändert sich der Flächeninhalt des Rechtecks. Zeichnen Sie für x = 0,5 das Rechteck in das gegebene Koordinatensystem ein und berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Rechtecks. /. Weisen Sie nach, dass die Funktionsgleichung der Funktion A, die den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit von x beschreibt, 4 A(x) = x 8x + 6 lautet. /.4 Für welches x aus dem Intervall von bis + nimmt das Rechteck einen maximalen Flächeninhalt an? /9 Wie groß ist dieser maximale Flächeninhalt? Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule 009 Seite von 4

5 Abschlussprüfung Fachoberschule 009 Aufgabenvorschlag A 4 Integralaufgabe /0 In der Abbildung nebenan ist die Seitenansicht einer Skisprungschanze dargestellt (Längenangaben in Metern). y g Der obere Rand ist im Intervall [ 0 5 ] gegeben durch g(x )= 5 und im Intervall [ 5 45 ] durch eine Parabel p mit der Funktionsgleichung p p(x) = 0,0 x² -,7 x + 6,75. Nach unten ist die Sprungschanze im Intervall [ 5 40 ] durch den Graphen der Funktion k mit der Funktionsgleichung k(x) = 0,00(x - 5)(x - 40)² begrenzt, ansonsten durch die x-achse. k x Die beiden Seitenflächen der Sprungschanze sollen einen neuen Anstrich mit einem Speziallack bekommen. Wie viele Eimer Lackfarbe benötigt man dazu, wenn der Inhalt eines Eimers für 0 m² ausreicht? /0 Aufgabenvorschlag A Abschlussprüfung Fachoberschule 009 Seite 4 von 4

6 Abschlussprüfung Fachoberschule 009 Teil- Erwartete Teilleistung aufgaben. f ( x) f( x), f ( x) f( x) oder Die Exponenten von x sind gerade und ungerade, der Graph ist weder achsensymmetrisch zur y- Achse noch punksymmetrisch zum Ursprung.. Der höchste Exponent der Variablen im Funktionsterm von f ist. Da a im Summand ax positiv ist, verläuft der Graph von minus unendlich nach plus unendlich oder: lim f( x) =+ und lim f( x) =. x x BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung. f( x ) = 0 Erste Lösung x N = durch Probieren Polynomdivision, p-q-formel Nullstellen: (0,5x,5 x x+ 4) : ( x ) = 0,5x x 4 x x 8= 0 x = 4 ; x = N N.4 f(0) = 4; S y (0 4).5 Extrempunkte, notw. und hinr. Bedingung f ( x) =,5x x f ( x) = x f ( x) = 0, 5x x = 0 x x = 0 xe/ = ± xe =,7 ; xe = 0,7 f (, 7) = 5,9 > 0 Minimum; f(, 7) = 5, 0 f ( 0, 7) = 5,9 < 0 Maximum; f ( 0, 7) = 5, PT (,7 5,0) P ( 0,7 5,0) H 4 Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 009 Seite von 6

7 Abschlussprüfung Fachoberschule 009 Wendepunkte, notw. und hinr. Bedingung f ( x) = x ; f '''( x) = f ( x) = 0 ; x = 0 xw = f ( xw) = > 0 Rechts-Links-Wendepunkt f() = 0 ; P ( 0) W.6 x N = ; xn = 4; xn = ; PT(,7 4, 8); PH( 0,7 5, 0) ; P W ( 0) f(,5) = 5,69; PL (,5 5,69); f(4,5) = 5,69; P (4,5 5,69) R.7 f( ) = 5 P( 5) ein Punkt der Normale n f '( ) = Anstieg der Tangente in P mt* mn = mn = Anstieg der Normale in P nx ( ) = mx+ n mit P( 5) Normalengleichung n n 5 = *( ) + n n nn = absolutes Glied nx ( ) = x+ Normalengleichung Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 009 Seite von 6

8 Abschlussprüfung Fachoberschule Newtonsches Näherungsverfahren: gx ( ) x = + x n n n g'( xn ) ( ) = 0,5,5 + 6 gx x x x g'( x) =,5 x x xs - erste Näherung xn f(x n ) f'(x n ) xs -,5 x 5 6 9,5 x x 4,79487,7646 0, , , , xs - erste Näherung,5 xn f(x n ) f'(x n ) xs,5 -,475 4,875, , ,6965 x 9, , ,86569 x x, ,476E- 06 6, xs - erste Näherung 4 xn f(x n ) f'(x n ) xs 4 9, ,675 7, x 8 5 7, , x x, ,80657,45E- 6, Es kann auch ein anderes Näherungsverfahren, z.b. regula falsi, genutzt werden Interpretation: Nullstelle nicht exakt ermittelt, der Funktionswert weicht an der Stelle... um... von Null ab. Durch weitere Iterationsschritte kann man sich der Nullstelle beliebig genau nähern. Summe mögliche BE 40 erreichte BE Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 009 Seite von 6

9 Abschlussprüfung Fachoberschule 009 Teil- Erwartete Teilleistung aufgaben Ansatz: f ( x) = ax + bx + cx+ d f ( x) = ax + bx+ c f ( x) = 6ax+ b BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung Bedingungsgefüge:. f ( ) = 0 (Information aus der Grafik). f (0) = 0 (Graph geht durch O (0 0) ). f ( ) = 0 (notw. Bedingung Wendepunkt) 4. f ( ) = (Graph geht durch Q( ) ) Gleichungssystem: I: 0 = a -b +c II: 0 = d III: 0 = -a +b IV: - = -8a +4b -c Lösen des Gleichungssystems (ebenso Ersatz-LGS) 5 Daraus ergibt sich: a=, b=, c=, d = 0 Und für den Funktionsterm: f ( x) = x + x x Summe 6 8 mögliche BE 5 erreichte BE Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 009 Seite 4 von 6

10 Abschlussprüfung Fachoberschule 009 Teilauf- Erwartete Teilleistung BE in AB Erbrachte Teilleistung gaben I II III BE Begutachtung. A= a b= = 9FE. 5 5 A =,5 f (0,5) = ( + 8) = FE 8 6 A( /0) y C(x/f(x)) x. Ansatz: A(x) = (+ x) f(x) Zielfunktion: A(x) = (+ x) f(x) = (+ x) (x x 4x + 8) 4 = x 8x Bedingung für ein Maximum: A'(x E ) = 0 und A ''(x E ) <0 A'(x) = 4x 6x A ''(x) = x 6 A'(x E ) = 0= 4xE 6xE = 4x E(xE 4) xe = 0 und xe, =± xe, =± sind Stellen der Minima mit A( ± ) =0 (Siehe Graph, Rechtecke mit Seitenlängen 0 LE). A ''(0) = 6 <0 Hochpunkt bei x E =0 Der Flächeninhalt des Rechtecks ist für x=0 maximal. A max =6FE Summe 7 7 mögliche BE 5 erreichte BE Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 009 Seite 5 von 6

11 Abschlussprüfung Fachoberschule 009 Teilaufgaben Erwartete Teilleistung 4 Funktionsgleichung von k: k(x) = 0,00 (x-5) (x-40)² k(x) = 0,00 (x³-85x²+000x-8000) k(x) = 0,00x³-0,7x²+4x-6 BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung Ansatz für Flächeninhalt: A = A + A - A A = 5 5 = 55m² (Rechteck) 45 A = p ( x) dx = P(45) P(5) 5 P ist Stammfunktion von p und P(x) = 0,0x³ -,5x² +6,75x P(45) = 046,5 und P(5) = 86,5 A = 760m² 40 A = k ( x) dx = K(40) K(5) 5 K ist Stammfunktion von k und K(x) = 0, 0005x x + x 6x K(40), und K(5) -6,77 A = 50,m² A = , = 764,9m² 74,9m² : 0m² = 50,99 Man braucht 5 Eimer Farbe. Summe 4 mögliche BE 0 erreichte BE Erwartungshorizont A Abschlussprüfung Fachoberschule 009 Seite 6 von 6