Ein-Faktor-Zinsmodelle

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1 Ein-Faktor-Zinsmodelle M. Gruber Zusammenfassung Beispiel mit Realdaten (Euro Libor overnight, Euribor 3 weeks), Vasicek-Modell mit Simulation, Cox-Ingersoll-Ross-Modell mit Simulation, Hull-White-Modell.

2 Beispiel mit Realdaten Jan Apr Jul Oct Abbildung 1: Euro Libor overnight (blau), Euribor 3 weeks (rot), bis

3 The Euro LIBOR interest rate is the average interbank interest rate at which a large number of banks on the London money market are prepared to lend one another unsecured funds denominated in European euros. The Euro LIBOR interest rate is available in 7 maturities, from overnight (on a daily basis) to 12 months. (... ) We update these interest rates daily. 1 Euribor is short for Euro Interbank Oered Rate. The Euribor rates are based on the interest rates at which a panel of European banks borrow funds from one another. In the calculation, the highest and lowest 15% of all the quotes collected are eliminated. The remaining rates will be averaged and rounded to three decimal places. Euribor is determined and published at about 11:00 am each day, Central European Time

4 Vasicek-ModellVasicek-Modell (1977) Das Vasicek-Modell wird in [2], pp.150, beschrieben 3. Die stochastische Dierentialgleichung des Vasicek-Modells lautet dr(t) = a(b R(t)) dt + σ db(t) (1) mit den Gröÿen b > 0 für den langfristigen Mittelwert, a > 0 für die Steigkeit (oder auch: Geschwindigkeit), σ > 0 für die Volatilität. 3 zur Geschichte und Bedeutung des Vasicek-Modells siehe 3

5 Simulation eines Vasicek-Prozesses Abbildung 2: Drei Pfade eines Vasicek-Prozesses mit langfristigem Mittelwert 0.025, Volatilität 0.03, Steigkeit (Rückkehrgeschwindigkeit) 4.0 und Anfangswert

6 Vor- und Nachteile des Vasicek-Modells R(t) N ( ) (R(0) b)e at + b, σ2 2a (1 e 2at ). Die Normalverteilungseigenschaft ist günstig für Simulation und andere Berechnungen (siehe [1]). Sie führt aber auch dazu, dass R(t) leicht negative Werte annehmen kann, eine unerwünschte Eigenschaft für ein Zinsmodell. Es gibt eine Rückkehrtendenz zum langfristigen Mittelwert (mean lim t E R(t) = b, eine erwünschte Eigenschaft für ein Zinsmodell. reversion): 5

7 Cox-Ingersoll-Ross-Modell (1985) Die übliche Abkürzung für Cox-Ingersoll-Ross ist CIR. Das Cox-Ingersoll-Ross-Modell wird in [2], pp.151, beschrieben. 4 Die stochastische Dierentialgleichung des CIR-Modells lautet dr(t) = a(b R(t)) dt + σ R(t) db(t) (2) mit b, a und σ wie beim Vasicek-Modell. Die Bezeichnung Wurzel-Diusionsprozess (square-root diusion process) für den CIR-Prozess erklärt sich selbst. (2) ist lösbar, aber nicht in geschlossener Form. Wir lösen die Gleichung hier nicht. 5 4 Informationen zur Geschichte und Bedeutung des CIR-Modells ndet man auch unter wikipedia.org/wiki/wurzel-diffusionsprozess#cox-ingersoll-ross-modell bzw. org/wiki/cox-ingersoll-ross_model. 5 Eine Beschreibung der Lösung ndet man in 6

8 Simulation eines CIR-Prozesses Abbildung 3: Drei Pfade eines CIR-Prozesses mit langfristigem Mittelwert 0.025, Volatilität 0.03, Steigkeit (Rückkehrgeschwindigkeit) 4.0 und Anfangswert

9 Eigenschaften des CIR-Modells Man kann Eigenschaften der Lösung R(t) direkt von der Dierentialgleichung (2) ableiten. Es ist, wie beim Vasicek-Modell, E R(t) = (R(0) b)e at + b. Der Prozess hat die mean-reversion-eigenschaft lim t E R(t) = b. Es ist Var R(t) = R(0)(e at e 2at ) σ2 a + σ2 b 2a (1 e at ) 2, also lim t Var R(t) = σ2 b 2a. R(t) ist nicht normalverteilt. Mit der Kenntnis von asymptotischem Erwartungswert und asymptotischer Varianz kann man noch keine Aussage darüber machen, ob negative Werte für R(t) möglich sind. Es ist aber bekannt, dass das CIR-Modell die Positivität von R(t) garantiert 6, eine erwünschte Eigenschaft des Modells

10 Hull-White-Modell (1990) Das Hull-White-Modell ist eines der heute gebräuchlichen short-rate-modelle. 7 Die stochastische Dierentialgleichung des Hull-White-Modells lautet dr(t) = (θ(t) α(t)r(t)) dt + σ(t) db(t). (3) In der Praxis wird θ von Zinsstrukturkurven abgeleitet, α z.b. auf der Basis historischer Daten geschätzt und σ an caplets und swaptions kalibriert. 8 (3) ist eine lineare stochastische Dierentialgleichung im engeren Sinn. Das Lösen linearer stochastischer Dierentialgleichung ist Thema der nächsten Vorlesung und http: //pages.stern.nyu.edu/~dbackus/3176/hwnote.pdf 9

11 Literatur [1] Steven Finch. Ornstein-Uhlenbeck Process, [May 15, 2004]. [2] Steven E. Shreve. Stochastic Calculus for Finance II. Springer,