Übungsaufgabe z. Th. lineare Funktionen und Parabeln

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1 Übungsaufgabe z. Th. lineare Funktionen und Parabeln Gegeben sind die Parabeln: h(x) = 8 x + 3 x und k(x) = - 8 x x + 11 a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte A und C der Graphen dieser beiden Parabeln. b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes S der Strecke AC = e. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden g f, die die Strecke AC = e im Punkt S senkrecht schneidet. d) Die Gerade g f schneidet den Graphen von h im 3. Quadranten des Koordinatensystems im Punkt B und den Graphen von k im. Quadranten im Punkt D. Bestimmen sie die Koordinaten dieser beiden Punkte. e) Weisen Sie nach, dass die Punkte ABCD die Eckpunkte eines Quadrates sind. f) Berechnen Sie den Flächeninhalt und die Seitenlänge des Quadrats. g) Geben Sie die Gleichungen der Geraden g a, g b, g c, g d und g e an, auf denen die Seiten AB = a, BC = b, CD = c, DA = d und die Diagonale AC = e liegen. h) Leiten Sie eine Lösungsformel für die Berechnung der Nullstellen einer quadratischen Gleichung der Form a x + b x + c = 0 a,b,c R, a 0 her und bestimmen Sie mit Hilfe dieser Formel die Nullstellen u,v der Parabel h sowie die Nullstellen w,z der Parabel k. i) Leiten Sie die Scheitelpunktform für eine Parabel her, die durch die allgemeine Gleichung f(x) = a x + b x + c a,b,c R, a 0 gegeben ist. Geben Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes in Abhängigkeit der Variablen a, b, c an. Berechnen Sie dann die Koordinaten des Scheitelpunktes H der Parabel h und die Koordinaten des Scheitelpunktes K der Parabel k. j) Fertigen Sie eine Wertetabell für die Parabel h im Bereich 7 x,5 und für die Parabel k im Bereich 7,5 x an, und überprüfen Sie durch eine geeignete Zeichnung im Koordinatensystem an die berechneten Ergebnisse. Achten Sie dabei insbesondere auf eine vollständige Beschriftung Ihrer Zeichnung. Verwenden Sie nur die in der Aufgabenstellung vorgegebenen Angaben.

2 L ö s u n g e n a) h(x) = k(x) 85 8 x + 3 x 1 9 = 8 x x + 11 x x x = x + 1 x = 1 / 1 x + 3 x = 10 x + 3 x +, = 1, x + 1,5 = ± 1, x 1 = x = 5 f(x 1 ) = f(x 1 ) = 1 f(x ) = 8 ( ) + 3 ( 5) 71 f(x ) = Die Graphen der beiden Parabeln schneiden sich in den Punkten A = ( 5 / ) und C = ( / 1). b) S = ( 1 ( 5 + )/ 1 ( + 1)) = ( 1 1 / 1 1 ) Der Mittelpunkt S der Strecke hat die Koordinaten: S = ( 1,5 / 1,5).

3 c) Die Gerade g e, auf der die Strecke AC = e liegt, hat die Steigung m e = y c y a x c x a = 1 ( 5) = 1 7 Die Gerade g f hat folglich die Steigunh m f = 7. Da g f durch S verläuft, gilt: b = 1 1 b = = 1 Die Gerade hat die Gleichung g f (x) = 7 x + 1. d) h(x) = g f (x) 8 x + 3 x 71 = 7 x x x = 575 x 1 x = 6 x 1 x + 1 x 10 1 = = ± 6 6 x 1 = = 3 x = = Da x 1 positiv ist, kann der zugehörige Punkt nicht im 3. oder. Qua- dranten liegen. Es ist also nur das Ergebnis g f ( ) = 7 ( ) + 1 = x = Der Punkt B hat die Koordinaten B = ( / ). von Bedeutung.

4 Fortsetzung Aufg. d) k(x) = g f (x) 8 x 9 8 x = 7 x x 8 x = 3 x + 7 x = 6 x + 7 x + 79 = 6 x = ± 1 1 x 1 = 6 x = 1 Da x 1 positiv ist, kann der zugehörige Punkt nicht im 3. oder. Qua- dranten liegen. Es ist also nur das Ergebnis g f ( 1) = 7 ( 1) + 1 = 5 Der Punkt D hat die Koordinaten D = ( 1 / 5). x = 1 von Bedeutung. e) Es gilt: g f g e, und S ist Mittelpunkt von AC. (s. Aufg.c)) Es ist noch zu zeigen: AC = BD, und S ist auch Mittelpunkt von BD. AC = (x C x A ) + (y C y A ) = [ ( 5)] + (1 ) = 7 + ( 1) AC = 50 = 5 BD = (x D x B ) + (y D y B ) = [1 ( )] + [5 ( )] BD = = 50 = 5 Es gilt also: AC = BD S = ( 1 = = (x B + x )/ 1 D (y B + y D )) ( 1 ( 1)/ 1 ( + 5)) ( 1 1 / 1 1 ) Da der Punkt S die Strecken AC = e und BD = f halbiert, die beiden Strecken gleich lang sind und sich in S rechtwinklig schneiden, gilt: Die Strecken AC = e und BD = f sind die beiden Diagonalen in einem Quadrat mit den Eckpunkten ABCD.

5 f) D c C f Für den Flächeninhalt gilt: d S b A = a b mit a = b A = a mit a = e e A = 1 e = 1 50 = A a B Der Flächeninhalt des Quadrats beträgt A = FE. g) m a x + b a = g a (x) 5 m a + b a = m a + b a = ( ) (α) 3 m a = m a = 3 = b a = 6 3 b a = 1 3 = 3 in (α) Die Gerade g a hat die Gleichung g a (x) = x 3. Es gilt: g b g a m b = 1 m a = 3 Da g b durch C = ( / 1) verläuft, folgt: 3 + b = 1 b = 1 3 = 1 Die Gerade g b hat die Gleichung g b (x) = 3 x 1. Es gilt: g c g a m c = m a = 3 = Da g c durch C = ( / 1) verläuft, folgt: 3 + b = 1 b = = 11 3 = 3 3 Die Gleichung für die Gerade g c lautet: g c (x) = x

6 Es gilt: g d g b m d = m b = 3 Da g d durch D = ( 1 / 5) verläuft, folgt: 3 ( 1) + b = 5 b = = 5 3 Die Gleichung für die Gerade g d lautet: g d (x) = 3 x Die Gerade g e hat die Steigung m e = 1 (s. Aufgabe c)) 7 Da g e durch C = ( / 1) verläuft, folgt: b = 1 b = = 1 7 Die Gleichung für die Gerade g e lautet g e (x) = 1 7 x h) a x + b x + c = 0 : a x + b a x + c a = 0 x + b a x = c a quadr. Ergänzung x + b a x + b a = b a c a x + b a = ± b a c a x 1 = b a + b a x = b a b a c a c a Durch Koeffizientenvergleich erhält man für die Parabel h: a = 8, b = 3, c = 71

7 Das Einsetzen dieser Werte in die Lösungsformeln ergibt: x 1 = x 1 = = 1, x 1 = 1,96 +,696 = 1,36 : = v x = 1,96,696 = 3,956 : = u Die Parabel h hat die Nullstellen u = 3,956 und v = 1,36. Durch Koeffizientenvergleich erhält man für die Parabel k: x 1 = x 1 = = 1, ,376 x 1 = 1,7 +,165 =,5 : = z x = 1,7,165 = 5,905 : = w Die Parabel k hat die Nullstellen w = 5,905 und z =,. i) f(x) = a x + b x + c = a x + b a x + c a f(x) = a x + b a x + b a + c a b a f(x) = a x + b a + c a b a f(x) = a x + b a + c b a Die Parabel f(x) hat den Scheitelpunkt S = b a c b. a

8 Durch Einsetzen der Koeffizienten der Parabel h erhält man: H = = H = ( 1,6 /,163) Die Parabel h hat den Scheitelpunkt H = ( 1,6 /,163). Durch Einsetzen der Koeffizienten der Parabel k erhält man: K = = K = ( 1,7 / 5,163) Die Parabel k hat den Scheitelpunkt K = ( 1,7 / 5,163). j) Wertetabelle für die Parabel h. x -7-6,5-6 -5,5-5 -,5 - -3,5 h(x) 7,6 6,01,5 3,18 0,96 0,07-0,67 x -3 -,5 - -1,5-1 -0,5 0 0,5 h(x) -1,6 1,71 - -,15 -,1-1,99-1,69-1, x 1 1,5,5 3 3,5,5 h(x) -0,6 0,10 1,05 3,,58 6,07 7,71 Wertetebelle für die Parabel k. x -7,5-7 -6,5-6 -5,5-5 -,5 - k(x) -,71-3,07-1,58-0, -0,96,90 3,6 x -3,5-3 -,5 - -1,5-1 -0,5 0 k(x),,69,99 5,1 5,1 5,71,6 x 0,5 1 1,5,5 3 3,5 k(x) 3,67,93,0 1-0,188-1,53-3,01 -,6

9 zu Aufgabe j)

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