Muster für den Schultest. Muster Nr. 1

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1 GRUNDELEMENTE DER MATHEMATIK Boris Girnat Wintersemester 2005/06 Technische Universität Braunschweig Institut für Elementarmathematik und Didaktik der Mathematik Muster für den Schultest Dieser Blatt enthält drei Schultests aus den vergangenen Jahren. Zum Teil sind einige Lösungen zu den Aufgaben angegeben. Diese Lösungen sind ohne Gewähr und verstehen sich als Skizzen, d. h. die Aufgaben müssten in einer Klausur ausführlicher bearbeitet und mit kommentierenden Texten versehen werden. Auf den Internetseiten der Kultusministerien in Sachsen und Baden-Württemberg finden Sie weitere Übungsaufgaben, wenn Sie nach den Abschlussklausuren für die Realschule suchen. Der Schultest ist jedes Jahr gleich aufgebaut: Er enthält jeweils eine Aufgabe zu den folgenden fünf Gebieten: Funktionen und ihre graphische Darstellung; Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen; ebene Geometrie; räumliche Geometrie; Zinseszinsrechnung. Muster Nr. 1 Aufgabe 1: Eine Normalparabel p hat die Gleichung y = x 2 2x 3. Berechnen Sie den Scheitelpunkt der Parabel. Eine Gerade g mit der Steigung m = 2 schneidet die Parabel im Punkt P(3 0). Berechnen Sie den zweiten Schnittpunkt von g und p. Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der folgende Gleichung über der Grundmenge R: (x 2) 2 (x 1)(3x + 5) = 2x 1 Aufgabe 3: Ein Würfel hat das Volumen V W = 512cm 3. Eine quadratische Pyramide, deren Grundfläche der Grundfläche des Würfels entspricht, hat das gleiche Volumen wie der Würfel. Um wie viel ist die Pyramide höher als der Würfel? Aufgabe : Im unten abgebildeten Viereck ABCD (Abbildung 1 auf Seite 1) sind gegeben: Berechnen Sie die Größe des Winkels γ 3 BC = 3, 7cm; EC =, cm; AE = cm; γ 1 = γ 2 Abbildung 1: Skizze Aufgabe 5: Herr M legt 5000 Euro bei seiner Bank an. Der jährlich gleich bleibende Zinssatz beträgt p Prozent. Die Zinsen werden mitverzinst. Nach Ablauf von fünf Jahren erhält Herr M 657,0 Euro Zinsen. Wie hoch war der Zinssatz? Wieviel Zinsen hätte Herr M erhalten, wenn er am Ende des zweiten Jahres 1000 Euro abgehoben hätte? Informationen zur Veranstaltung auf Seite 1 von 6

2 Muster Nr. 2 Aufgabe 1: Eine Normalparabel p 1 hat die Gleichung y = x 2 + 2x 3. Die Normalparabel p 2 ist nach unten geöffnet und hat den Scheitelpunkt S 2 ( 2 9). Durch die Schnittpunkte der Parabeln verläuft die Gerade g. Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Geraden. Hinweis: Notieren Sie alle Ihre Rechnungen. Aufgabe 2: R): Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichung für x (a R ist ein konstanter Wert, die Grundmenge ist 2x 2 + ax = a 2 (x + a) 2 12 Hinweis: Beachten Sie, dass es je nach dem Wert von a keine, genau eine oder zwei Lösungen gibt! Aufgabe 3: Ein Körper besteht aus einer Halbkugel und einem aufgesetzten Kegel mit α = 5 (siehe Achsenschnitt in Abbildung 2 auf Seite 2). Das Volumen der Halbkugel beträgt 86 cm 3. Berechnen Sie die Oberfläche des Körpers! Abbildung 2: Skizze Achsenschnitt Aufgabe : In dem rechtwinkligen Dreieck ABC sind gegeben (Abbildung 3 auf Seite 2): Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks! BC = 3 cm DC = 5 cm γ 2 = 13, 67 Abbildung 3: Skizze des rechtwinkligen Dreiecks Aufgabe 5: Herr E legt einen bestimmten Betrag bei der Bank an. Der jährlich gleich bleibende Zinssatz beträgt 0,5 Prozent. Zinsen werden mitverzinst. Nach Ablauf des ersten Jahres hebt er 200 Euro ab, nach Ablauf des zweiten Jahres 300 Euro. Am Ende des dritten Jahres beträgt sein Sparguthaben 1526,65 Euro. Berechnen Sie den ursprünglich angelegten Betrag! Informationen zur Veranstaltung auf Seite 2 von 6

3 Lösungsskizze zum Muster Nr. 2 Alle Lösungen sind ohne Gewähr! Aufgabe 1 Insgesamt 20 Punkte Form 1 Funktionsgleichung für p 2 (mit Scheitelpunktsform): 5P p 2 (x) = (x + 2) = (x 2 + x + ) + 9 = x 2 x + 5 Schnittpunkte: 9 Geradengleichung: g = mx + b P 1 ( 5), P 2 (1 0) Zweipunktform: p 1 (x) = p 2 (x) x 2 + 2x + 3 = x 2 x + 5 2x 2 + 6x 8 = 0 x 2 + 3x = 0 x = 2 3 ± x = 3 2 ± 5 2 x = x = 1 m = y 2 y 1 x 2 x 1 = ( ) = 1 b = y 1 mx 1 = 5 ( 1) ( ) = 1 g : y = x + 1 Aufgabe 2 Insgesamt 20 Punkte, Form 2P 2x 2 + ax = a 2 (x + a) x 2 + ax = a 2 x 2 2ax a x 2 + ax = x 2 2ax 12 3x 2 + 6ax + 12 = 0 x 2 + 2ax + = 0 x = a ± a 2 a < 2 keine Lösung a = 2 genau eine Lösung a > 2 zwei Lösungen Aufgabe 3 Informationen zur Veranstaltung auf Seite 3 von 6

4 Insgesamt 20 Punkte Es gilt: V Ku = 3 πr3 und damit 1 2 V Ku = 2 3 πr3! = 86. und damit: r = 9 3 π Es gilt: A Ku = πr 2. und damit: 1 2 A Ku = 2πr 2 = π. Es gilt: M Ke = πrs. und: s = r cos(5 ) = r 0,5 2 = 2r. und damit: M ke = π. und insgesamt A ges = A Ku + M Ke = 81 3 π(2 + 2) 05 Form P Aufgabe In rechtwinkligen Dreieck ABC sind gegeben (Abbildung auf Seite ): Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks! BC = 3 cm DC = 5 cm γ 2 = 13, 67 Abbildung : Skizze Insgesamt 20 Punkte Ein möglicher Lösungsweg: Form P cos(γ 1 ) = 3 5 γ 1 53, 13 γ = γ 1 + γ 2 66, 8 AB = tan(γ) 3 7 A = = 10, 5. Aufgabe 5 G xn bedeutet Grundkapital nach x Jahren nach einem Abheben und G xv bedeutet Grundkapital nach x Jahren vor einem Abheben: Insgesamt 20 Punkte Form P G 3v = 1526, 65 G 2n 1, 005 = G 3v G 2n = 1519, 05 G 2v = G 2n = 1819, 05 G 1n 1, 005 = G 2v G 1n = 1810 G 1v = G 2n = 2010 G 0 1, 005 = G 1v G 0 = 2000 Informationen zur Veranstaltung auf Seite von 6

5 Muster Nr. 3 Aufgabe 1: Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat den Scheitelpunkt S 2 (2 3). Eine Gerade g hat die Steigung m = 1 und schneidet die Parabel in P( 1). Berechnen Sie die Koordinaten des zweiten Schnittpunkts von Parabel und Gerade. Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Definitions- und die Lösungsmenge der Gleichung: 2x 2 + x 9 x 1 = x + 5 Aufgabe 3: Ein quadratisches Prisma und eine quadratische Pyramide haben gleich große Grundflächen. Das Prisma hat die Höhe h = 5 cm und die Grundkante a = 3 cm. Das Volumen der Pyramide ist halb so groß wie das Volumen des Prismas. Berechnen Sie die Höhe der Pyramide. Aufgabe : Im rechtwinkligen Dreieck ABC sind gegeben (Abbildung auf Seite 5): BC = 3, 3cm; DC =, cm; γ 2 = 18, 1 Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ADC (Achtung: nicht Dreieck ABC!) Aufgabe 5: Karl legt am Anfang eines Jahres einen bestimmten Geldbetrag bei seiner Bank an. Der jährlich gleich bleibende Zinssatz beträgt 3,5 Prozent. Die Zinsen werden mitverzinst. Nach Ablauf des ersten Jahres hebt er 700 Euro ab, nach Ablauf des zweiten Jahres 500 Euro. Am Ende des dritten Jahres beträgt sein Sparguthaben 3 721,87 Euro. Wie viel hatte Karl ursprünglich angelegt? Alle Lösungen sind ohne Gewähr! Aufgabe 1 Gerade g(x) = x 3 Parabel: f (x) = (x 2) 2 3 = x 2 x + 1 Schnittpunkte: Schnittpunkte: P(/1) und P(1/ 2). Lösungsskizze zum Muster Nr. 3 f (x) = g(x) x 2 x + 1 = x 3 x 2 5x + = 0 x = 5 2 ± x = 5 2 ± 3 2 x = x = 1 Informationen zur Veranstaltung auf Seite 5 von 6

6 Aufgabe 2 Definitionsmenge: D = R \ {1}. Lösungsmenge: 2x 2 +x 9 x 1 = x + 5 2x 2 + x 9 = x 2 + x 5 x 2 3x = 0 x = 3 2 ± x = 3 2 ± 2 5 x = 1 x = Lösungsmenge: L = { 1, }. Aufgabe 3 Es gilt: V Prisma = 1 2 V Pyramide V Prisma = G h = = 5 V Pyramide = 22, 5 = 1 3 G h = 3 h h = 22,5 3 = 7, 5 Aufgabe A = 1 2 g h Grundseite: g = AC = BC cos(γ 1 +γ 2 ) cos(γ 1 ) = BC DC γ 1 1, 1 g = AC 6, 50 Höhe des Dreiecks ADC: h = sinγ 2 DC 1, 37 A = 1 2 g h, 5 Aufgabe 5 Grundkapital: G Kapital nach dem ersten Jahr: G 1 = G 1, 035 Kapital nach dem zweiten Jahr G 2 = (G 1 700) 1, 035 Kapital nach dem dritten Jahr G 3 = (G 2 500) 1, 035! = 3271, 87 und damit: 3721, 87 = ((G 1 700) 1, ) 1, 035 = ((G 1, ) 1, ) 1, 035 = G 1, , , 035 Man erhält: G = 3721, , ,035 1,035 3 = 500 Informationen zur Veranstaltung auf Seite 6 von 6