Inhaltsverzeichnis INHALTSVERZEICHNIS 1
|
|
- Berndt Klein
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis 1 Die Parabel Definition Bemerkung Tangenten Lemma Brennpunkt Tangenten Abstand Lemma Die allgemeine Kurve zweiten Grades Definition Lemma Korollar Normalform Satz Korollar Klassifikation der Kurven zweiten Grades Satz Definition Definition Bemerkung Proposition Bemerkung Lemma Kurven zweiten Grades als Kegelschnitt Satz Anhang 12
2 1 Die Parabel 2 1 Die Parabel 1.1 Definition Der geometrische Ort Paller Punkte x R heißt Parabel, wenn alle Punkte den gleichen Abstand von einer Geraden G und einem Punkt p E haben, wobei p / G. Das heißt: P = {x E : dx, G = x p }, 2ρ := dp, G > 0 1 Die Gerade G heißt Leitlinie und p der Brennpunkt der Parabel. Gilt G = H e,γ, also < e, x >= γ, e = 1, dann wird P nach dem Satz über die Hessesche Normalform durch die Gleichung < e, x > γ = x p, 2ρ = < e, p > γ, e = 1 2 beschrieben. Ein weiterer Punkt, neben dem Brennpunkt, ist der Scheitelpunkt von P. Dieser ist die Mitte des Lotes von p auf die Gerade G = H e,γ. Für den Scheitelpunkt von P gilt nach III.2.3: p s = p + 1 γ < p, e >e 2 Bis auf eine Translation von annehmen, dass der Scheitelpunkt im Nullpunkt liegt. Da e H e,γ gilt: p = ρ e und p H e,γ. Ohne Einschränkung gilt: Aus Gleichung 2 folgt mit Quadrieren: p = ρ e e = 1 γ = ρ 3 < e, x > γ 2 = x p 2 < e, x > 2 2γ < e, x > + γ 2 = x 2 2 < x, p > + p 2 x 2 < e, x > 2 = 2ρ < e, x > +2 < x, ρe > ρe 2 + ρ 2 x 2 < e, x > 2 = 4ρ < e, x > 4
3 1.2 Bemerkung Bemerkung 1. Wird eine Parabel in Koordinaten X, Y beschrieben, mit e=1, 0, so wird P gegeben durch: Y 2 = 4ρX. Dieses gilt, da x 2 < e, x > 2 = 4 < e, x > X 2 + Y 2 1X 0Y 2 = 4ρX + 0Y Y 2 = 4ρX, ρ > 0 2. Wie unter Verwendung mit der symmetrischen 2 2 Matrix, Kapitel V.1.3, kann die Matrix S := E ee t, dets = 0 eingeführt werden und wir erhalten anstelle von Gleichung 4 P = {x E :< x, Sx >= 4ρ < e, x >} 1.3 Tangenten Es sei eine Parabel P durch < x, Sx >= 4ρ < e, x > 5 mit S := E ee t gegeben.für c P wird die Gerade T c folgendermaßen definert: T c = {x E :< x, Sc >= 2ρ < e, c + x >} = H c,γ 6 T c heißt Tangente durch c an P. Für c gilt: c := Sc 2ρe = c 2ρ+ < e, c >e 7 mit γ := 2ρ < e, c > 1.4 Lemma Für c P gilt: 1. Die Tangente T c hat mit P nur den Punkt c gemeinsam. 2. P liegt auf einer Seite von T c
4 1.5 Brennpunkt Tangenten Abstand 4 Sei d P. Dann gilt nach 5 und 7 γ < c, d > = 2ρ < e, c + d > < d, Sc > = 1 2 < c, Sc > +1 2 < d, Sd > < d, Sc > = 1 2 < d c, Sd c > 0, denn S ist nach 5 positiv semi-definit. Es folgt 2. aus P T c, so erhält man aus 5 0 =< d c, Sd c >=< d c, d c > < e, d c > 2. Die Cauchy-Schwarze Ungleichung liefert d c = α e mit α R. Nutzt man 5 für c und c + α, so folgt wegen Se = 0 schon α = 0. q.e.d. 1.5 Brennpunkt Tangenten Abstand Sei P wie in 4 gegeben. q c bezeichnet den Fußpunkt des Lotes von p auf die Tangente T c in c, mit c P. 1.6 Lemma Für c P gilt: 1. q c liegt auf der Tangenten T c an P durch Null, genauer: q c = 1 c < e, c > e Unter dem Brennstrahl versteht man die Gerade durch c und p, und unter dem Leitstrahl das Lot von c auf die Leitlinie. Die Tangente in c ist eine Winkelhalbierende zwischen Brenn- und Leitstrahl in c. 1. Mit p = ρe gilt: a γ < p, c >= 2ρp+ < e, c > b c 2 = 4ρρ+ < e, c >
5 2 Die allgemeine Kurve zweiten Grades 5 nur von b c 2 = c 2ρ+ < e, c >e 2 = c 2 4ρ < e, c > 2 < e, c > 2 +4ρ 2 + 4ρ < e, c > + < e, c > 2 = c 2 + 4ρ 2 < e, c > 2 = 4ρρ+ < e, c > q.e.d Für den Fußpunkt q c gilt: γ < p, c > q c = p + c c 2ρρ+ < e, c > = p + 4ρρ+ < e, c > c = ρe c = ρe c ρe 1 2 < e, c > e = 1 c < e, c > e q.e.d 2 2. f c sei Fußpunkt des Lotes von c auf die Leitlinie H e, ρ. Somit folgt f c = c ρ+ < e, c >e. Also gilt f c q c = q c p und < f c p, q c c >= 0. Da p c = f c c folgt: < f c c, q c c > f c c q c c = < p c, q c c > p c q c c Somit ist der Winkel zwischen dem Leitstrahl und der Tangente, sowie Brennstrahl und Tangente gleich. 2 Die allgemeine Kurve zweiten Grades 2.1 Definition Die allgemeine Kurve zweiten Grades über R mit den Unbekannten x 1, x 2 beschreibt man üblicherweise in der Form: a 11 x a 12 x 1 x 2 + a 22 x a 13 x 1 + 2a 23 x 2 + a 33 = 0 0
6 2.1 Definition 6 mit a ij R. Wie aus der linearen Algebra bekannt, kann man die Koeffizienten einer reellen symmetrischen 3 3 Matrix A = a ij auffassen. Umgekehrt kann jede Matrix A in eine Gleichung 1 umgewandelt werden. Zur Abkürzung folgende Notation: S A A = 0 a t α mit a 11 a 12 S := a 12 a 22 und a := sowie α := a 33. Es wird definiert: a 13 a 23 κ A x = x t Sx + 2a t x + α =< x, Sx > +2 < a, x > +α = y t Ay -2 mit y = 0 1 Aus 1 folgt: κ A x = 0-3 Des Weiteren bezeichnet man die Menge der Lösungen dieser Gleichung wie folgt: K A := {x E : κ A x = 0} -3 Ist S = 0 und a Ø, so wird K A eine ebene Kurve zweiten Grades genannt. Der Fall S = 0 und a 0 führt auf eine Gerade. Die Diskussion der Gleichungen zweiten Grades ist gleichwertig mit der geometrischen Beschreibung der Kurven zweiten Grades. Für β 0 gilt, K βa = K A, so dass die Gleichungen 1,3,4, ohne die Kurven zu verändern, normiert werden können. Bei einer Bewegung von E ändert sich die geometrische Konfiguration nicht.
7 2.2 Lemma Lemma Ist x T x + b,t GL2;R, b E, eine affine Abbildung von E, so gilt κ A = T y + b = κ B y mit: T b 0 1 t A T b 0 1 = T t ST T t Sb + a Sb + a t T b t Sb + 2a t b + α -3 Speziell gilt K A = T K B + b und S B = T t S A T. Man trägt x = T y + b in 3 ein: κ A T y + b = T y + b t ST y + b + 2a t T y + b + α = y t T t + b t ST y + Sb + 2a t T y + 2a t b + α = y t T t ST y + 2b t ST y + b t Sb + 2a t T y + 2a t b + α = κ B y q.e.d 2.3 Korollar Für eine Bewegung, also für T O2, ergibt 6: Die Werte Spur S, det S und falls det A=0 der Rang von A sind Invarianten der Kurve K A. Alle vier Werte sind invariant gegenüber Bewegungen der Kurve. Das Vorzeichen von det S, aber nicht von det A ist invariant gegenüber Normierung. Die Vorzeichen von det S und Spur S det A, sowie der Rang von A sind gegenüber Bewegungen und Normierung invariant. 2.4 Normalform Durch geeignete Wahl von T O2 versucht man die Matrix T t ST möglichst einfach zu machen. Wie in 4 κ A x = 0 führt man eine Bewegung aus um auf eine Normalform κ B x = 0 zu gelangen. 1. Sei dets 0. Man wähle T = T ρ nach dem Satz über die Hauptachsentransformation, so dass λ1 0 0 λ 2 mit λ 1,2 0. Mit b := S 1 a erhält man aus Lemma 2 die Gleichung: κ B x = λ 1 x λ 2 x β
8 2.5 Satz 8 mit β = κ A b 2. Sei det S=0. Wegen S 0 lässt sich T = T ρ folgendermaßen wählen, so dass: T t 0 0 ST = 0 λ mit λ 0 gilt.sei Man setze c := T t a = b := T mit einem noch unbekannten τ R. Wiederum aus Lemma 2 folgt nun die Gleichung: mit λ c 2 τ c 1 c 2 κ B x = λx c 1 x 1 + β β = c2 2 λ + 2c 1τ + α 1 und 2 können zusammengefasst werden. Somit ergibt sich folgender Satz. 2.5 Satz Jede Gleichung zweiten Grades kann, mit den Nebenbedingungen a 22 0, a 11 a 13 = 0, a 13 a 33 = 0 und a 13 0, durch eine Bewegung in die Normalform der Gleichung zweiten Grades a 11 x a 22 x a 13 x 1 + a33 = 0 gebracht werden. 2.6 Korollar Da die Gleichung bei der Spiegelung an der x 1 -Achse wieder in sich übergeht, folgt: Jede Kurve zweiten Grades ist invariant gegenüber Spiegelungen an mindestens einer Geraden. Unter Betrachtung der Normierung darf a 12 = 1 gesetzt werden.somit gilt dann: dets = 0 und deta = a 11 a 33 a 2 13
9 2.7 Klassifikation der Kurven zweiten Grades 9 Nur für deta = a 11 a 33 a Für dets = 0 ist der Beweis trivial. a 11 0 a 13 a 11 0 deta = = a 11 a 33 a 2 13 a 13 0 a 33 a Klassifikation der Kurven zweiten Grades Die Tabelle 1 gibt nach Satz 5 mögliche Fälle mit der Normierung a 22 = 1 an. 2.8 Satz Äqivalent sind im Falle einer allgemeinen Gleichung zweiten Grades: 1. κ A ist Ellipse oder Hyperbel oder Parabel. 2. deta 0 und dets, sowie SpurS deta sind nicht beide positiv. Siehe Tabelle im Anhang. 2.9 Definition Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln werden unter dem Begriff eigentliche Kegelschnitte zusammengefasst Definition Eine Abbildung x T x + b, T GL2,R, b E nennt man eine affine Abbildung der Ebene. Jede Bewegung von E ist eine affine Abbildung. Abstände und Winkel bleiben im Allgemeinen nicht erhalten. Die Aussage, dass sich zwei Kurven schneiden ist invariant unter affinen Abbildungen Bemerkung Bei affinen Abbildungen gehen Kurven zweiten Grades in Kurven zweiten Grades und Geraden in Geraden über vgl. Lemma 2.2.
10 2.12 Proposition Proposition 1. Jede Ellipse ist affines Bild des Einheitkreises 2. Der Flächeninhalt einer Ellipse ist ρ 1 ρ 2 π. 1. Aus dem Kreis entsteht die Ellipse E := K := {x E : x = 1} { x E : x x } 2 2, ρ 1 ρ 2 wobei ρ 1 > ρ 2 > 0, Abbildung K E, x Mx mit ρ 1 0 M = 0 ρ 2 2. Flächeninhalt von E = detm Flächeninhalt von K= ρ 1 ρ 2 π 2.13 Bemerkung Aus Tabelle 1Siehe Kapitel 3.Anhang wird entnommen, dass jede Kurve zweiten Grades bis auf eine affine Abbildung und Normierung dargestellt werden kann durch: x x 2 2 = 1, x x 2 2 = 0 x 2 1 x 2 2 = 1, x 2 1 x 2 2 = 0 x 2 2 = x 1, x 2 2 = 1, x 2 2 = 1 Diese sind die affinen Normalformen der Kurven zweiten Grades. Anstatt x 2 1 x 2 2 = 1 bzw. x 2 1 x 2 2 = 0 kann man auch die Gleichungen x 1 x 2 = 1 bzw. x 1 x 2 = 0 benutzen.
11 2.14 Lemma Lemma Sei K eigentlicher Kegelschnitt, K eine Kurve zweiten Grades, wobei K K. K K besteht aus höchstens vier Schnittpunkten. Man benutze für K eine Normalform. Ist K Hyperbel oder Parabel, so darf man davon ausgehen, dass x x 2 2 = 1 oder x 2 2 = x 1 ist. Man setze nun x 1 in die zweite Gleichung ein. Man bekommt ein Polynom vom Grad 4 in x 2, das somit maximal vier Nullstellen hat. Somit besteht K K aus höchstens 4 Punkten. Im Falle einer Ellipse sei K der Einheitskreis mit x x 2 2 = 1 und nach einer Drehung kann man annhemen, dass K durch die Gleichung a 11 x a 22 x a 13 x 1 + 2a 23 x 2 + a 33 = 0 beschrieben wird. Setze: x 2 1 = 1 x 2 2 in die gerade erwähnte Gleichung ein. Gilt: a 13 = 0, so hat man zwei quadratische Gleichungen für x 1 uns x 2. Gilt a 13 0, so löst man die Gleichung nach x 1 auf und setzt in die erste Gleichung ein. Man bekommt ein Polynom vom Grad 4 in x 1. Somit existieren wieder maximal vier Schnittpunkte. q.e.d 2.15 Kurven zweiten Grades als Kegelschnitt Im R 3 erhält man einen Kreiskegel K mit Spitze in Null in der Form: K = { x 1, x 2, x 3 t R 3 : x x 2 2 x 2 3 = 0 } Eine Ebene im R 3 kann in der Form E = {x 1 a + x 2 b + c : x 1,2 R} dargestellt werden, mit a,b,c R 3 und a,b linear unabhängig. K E ist eine Kurve zweiten Grades, denn { K E = x 1 a + x 2 b + c : x = 2.16 Satz x 1 x 2 } R 2, κ A x = 0. Die nicht-leeren Kurven zweiten Grades sind genau die Schnitte von Ebenen im R 3 mit dem Kreiskegel K = { x 1, x 2, x 3 t R 3 : x x 2 2 x 2 3 = 0 }
12 3 Anhang 12 Wie in 15 kann K E folgendermaßen dargestellt werden: { K E = Des Weiteren gilt: x 1 a + x 2 b + c : x = A = U t DU, D = x 1 x 2 R 2, κ A x = 0, U = a, b, c. K E Ø, denn im Falle det A=0 liegt der Nullpunkt in K E. Aus dets = a t Da b t Db a t Db 2 Eigenwerte hätte. Speziell setzt man: a = > 0 folgt SpurS > 0, weil A andernfalls zwei negative 1 0 0, b = 0 α β, c = mit α, β, γ R und α, β nicht beide gleich Null. Daraus folgt: A = 0 α 2 β 2 βγ 0 βγ γ 2 Durch geeignete Wahl von α, β, γ kann man die Fälle in Tabelle 1 erreichen, wobei K A Ø ist. 0 0 γ } 3 Anhang
6 Metrische Klassifikation der Quadriken
6 Metrische Klassifikation der Quadriken A Wiederholung von Kap V, 5 Sei A = (a ij ) eine symmetrische n n Matrix. n x 1 q(x) := x t Ax = a ij x i x j, x =. i,j=1 ist dann ein quadratisches Polynom in
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 8
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatseamen (SS 205): Lineare Algebra und analtische Geometrie 8 8. (Herbst 202, Thema 3, Aufgabe 4) Bestimmen Sie die euklidische Normalform der Quadrik Q, gegeben
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2014): Lineare Algebra und analytische Geometrie 8
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 204): Lineare Algebra und analytische Geometrie 8 8. (Herbst 202, Thema 3, Aufgabe 4) Bestimmen Sie die euklidische Normalform der Quadrik Q, gegeben
Mehr8 Tangenten an Quadriken
8 Tangenten an Quadriken A Geraden auf Quadriken: Sei A 0 eine symmetrische n n Matri und Q : t A + b t + c = 0 eine nicht leere Quadrik im R n, b R n, c R. g = p + R v R n ist die Gerade durch p mit Richtung
MehrDie Abbildung (x 1 ;x 2 ) 7! (x 1 ;x 2 ; 1) ist eine Einbettung von R 2 in P 2 (als Mengen). Punkte mit z 6= 0 sind endliche" Punkte mit inhomogenen K
Kapitel IV Projektive Geometrie In diesem Kapitel wird eine kurze Einführung in die projektive Geometrie gegeben. Es sollen unendlich ferne Punkte mit Hilfe von homogene Koordinaten eingeführt werden und
MehrComputer Vision I. Nikos Canterakis. Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg
Nikos Canterakis Lehrstuhl für Mustererkennung, Universität Freiburg Gliederung 3 Der Axiator Eigenschaften des Axiators Bestimmung des Kegelschnitts Geometrische Betrachtungen Dualer Kegelschnitt Pol-Polare
MehrMathematische Probleme, SS 2013 Donnerstag $Id: quadratisch.tex,v /08/12 09:49:46 hk Exp $ c a b = 1 3. tan(2φ) =
Mathematische Probleme SS 13 Donnerstag 136 $Id: quadratischtexv 18 13/08/1 09:49:46 hk Exp $ 4 Kegelschnitte 41 Quadratische Gleichungen Nachdem wir in der letzten Sitzung die Hauptachsentransformation
MehrMathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: quadratisch.tex,v /06/22 12:08:41 hk Exp $
Mathematische Probleme, SS 15 Montag 6 $Id: quadratischtex,v 111 15/06/ 1:08:41 hk Exp $ 4 Kegelschnitte 41 Quadratische Gleichungen In der letzten Sitzung hatten wir die Normalform (1 ɛ )x + y pɛx p =
MehrAnalysis 2, Woche 9. Mehrdimensionale Differentialrechnung I. 9.1 Differenzierbarkeit
A Analysis, Woche 9 Mehrdimensionale Differentialrechnung I A 9. Differenzierbarkeit A3 =. (9.) Definition 9. Sei U R m offen, f : U R n eine Funktion und a R m. Die Funktion f heißt differenzierbar in
MehrSeminar für LAGym/LAB: Analytische Geometrie
Seminar für LAGym/LAB: Analytische Geometrie Ingo Runkel und Peter Stender Euklidische Vektorräume und Geometrie E1: Lineare Gleichungssysteme - Affiner Unterraum eines Vektorraumes. Lineare Gleichungssysteme
MehrMathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 213 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 7: Lineare Algebra Kapitel 7.5: Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik
Mehr5 Quadriken. K = { R 2 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0} wobei a, b, c, d, e, f reelle Zahlen sind mit (a, b, c) (0, 0, 0).
5 Quadriken Kegelschnitte Ein Kegelschnitt ist eine Teilmenge K R 2, welche durch eine quadratische Gleichung in zwei Unbestimmten beschrieben werden kann: x K = { R 2 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f =
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie II
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie II Vorlesung 34 Die Diagonalisierbarkeit von Isometrien im Komplexen Satz 34.1. Es sei V ein endlichdimensionaler C-Vektorraum
MehrZiel: Wir wollen eine gegebene Quadrik auf eine einfache Form transformieren, aus der sich ihre geometrische Gestalt unmittelbar ablesen lässt.
49 Quadriken 49.1 Motivation Quadriken (vgl. Def. 48.2) stellen eine wichtige Klasse geometrischer Objekte dar, mit Anwendungen in Computergrafik, Bildverarbeitung, Visualisierung, Physik u. a. Ziel: Wir
MehrLineare Algebra II 11. Übungsblatt
Lineare Algebra II Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS Prof Dr Kollross 9 / Juni Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G (Minitest (Bearbeitung innerhalb von Minuten und ohne Benutzung des
Mehr1.5 Kongruenz und Ähnlichkeit
19 1.5 Kongruenz und Ähnlichkeit Definition Sei A n der affine Standardraum zum Vektorraum R n. Eine Abbildung F : A n A n heißt Isometrie, falls d(f (X), F (Y )) = d(x, Y ) für alle X, Y A n gilt. Es
MehrLineare Algebra II. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 7 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 2. Juni.
Lineare Algebra II Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 7 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 2. Juni http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la2 Erinnerungen, Ergänzungen und Vorgriffe zur Vorlesung: Eigenvektoren
MehrProseminar Lineare Algebra II, SS 11. Blatt
Blatt 1 1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix 0 0 4 1 2 5 1 7 1 2 0 3 1 3 0 α. 2. Stellen Sie folgende Matrix als Produkt von Elementarmatrizen dar: 1 3 1 4 2 5 1 3 0 4 3 1. 3 1 5 2 3. Seien n 2
Mehr43911: Lineare Algebra/Geometrie Prüfungstermin Frühjahr 2015 Lösungsvorschlag
Dr. Erwin Schörner 439: Lineare Algebra/Geometrie Prüfungstermin Frühjahr 5 Lösungsvorschlag I.. Für n N mit n ist das inhomogene lineare Gleichungssystem in den n Unbekannten x,..., x n mit den n Gleichungen
MehrMathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren
Mathematik II Frühlingsemester 215 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs215/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/
MehrKapitel I. Grundlagen der ebenen euklidischen Geometrie... 5 Einleitung Affine Ebenen... 7
Inhaltsverzeichnis Prolog. Die Elemente des Euklid... 1 1. Euklid 2. Axiome 3. Über die Sprache der Geometrie Kapitel I. Grundlagen der ebenen euklidischen Geometrie... 5 Einleitung... 5 1. Affine Ebenen...
MehrStrophoiden. Eckart Schmidt
Strophoiden Eckart Schmidt Strophoiden sind als anallagmatische Kurven invariant gegenüber einer Kreisspiegelung; sie sind weiterhin das Inverse einer gleichseitigen Hyperbel, die Fußpunktkurve einer Parabel
MehrKlausur zur Vorlesung Lineare Algebra B im SS 2002 an der Universität Hannover
Dozent: Prof. Dr. Wolfgang Ebeling Übungsleiter: Dr. Detlef Wille Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra B im SS an der Universität Hannover Joachim Selke 9. Februar Lineare Algebra B SS Klausur zur Vorlesung
Mehr3.3 Klassifikation quadratischer Formen auf R n
3.3. Klassifikation quadratischer Formen auf R n 61 3.3 Klassifikation quadratischer Formen auf R n Wir können den Hauptsatz über symmetrische Matrizen verwenden, um uns einen Überblick über die Lösungsmengen
MehrMathematik I+II Frühlingsemester 2019 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren
Mathematik I+II Frühlingsemester 219 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1 / 46 8. Lineare Algebra: 5. Eigenwerte und
Mehr9 Eigenwerte und Eigenvektoren
92 9 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir haben im vorhergehenden Kapitel gesehen, dass eine lineare Abbildung von R n nach R n durch verschiedene Darstellungsmatrizen beschrieben werden kann (je nach Wahl
Mehr9 Eigenwerte und Eigenvektoren
92 9 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir haben im vorhergehenden Kapitel gesehen, dass eine lineare Abbildung von R n nach R n durch verschiedene Darstellungsmatrizen beschrieben werden kann (je nach Wahl
MehrWiederholungsblatt Elementargeometrie LÖSUNGSSKIZZE
Wiederholungsblatt Elementargeometrie im SS 01 bei Prof. Dr. S. Goette LÖSUNGSSKIZZE Die Lösungen unten enthalten teilweise keine vollständigen Rechnungen. Es sind aber alle wichtigen Zwischenergebnisse
MehrKapitel VI. Euklidische Geometrie
Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und
MehrAnalytische Geometrie
21 Vorlesungen über Analytische Geometrie für Lehramtstudierende der Schulformen Grund-, Mittel- und Realschule Jens Jordan Universität Würzburg, Wintersemster 2015/16 Hier kommt noch ein schönes Bildchen
MehrBrüche, Polynome, Terme
KAPITEL 1 Brüche, Polynome, Terme 1.1 Zahlen............................. 1 1. Lineare Gleichung....................... 3 1.3 Quadratische Gleichung................... 6 1.4 Polynomdivision........................
Mehr6.3 Hauptachsentransformation
Im Wintersemester 6/7 wurde in der Vorlesung Höhere Mathematik für Ingenieurstudiengänge der folgende Algorithmus zur Hauptachsentransformation besprochen: 63 Hauptachsentransformation Die Matrizen, die
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 5/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr 5, Thema, Aufgabe ) Sei V ein reeller Vektorraum. a) Wann nennt man eine Teilmenge U
Mehr7 Lineare Abbildungen und Skalarprodukt
Mathematik II für inf/swt, Sommersemester 22, Seite 121 7 Lineare Abbildungen und Skalarprodukt 71 Vorbemerkungen Standard Skalarprodukt siehe Kap 21, Skalarprodukt abstrakt siehe Kap 34 Norm u 2 u, u
MehrLineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth
Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter
MehrTutorium Mathematik II, M Lösungen
Tutorium Mathematik II, M Lösungen März 03 *Aufgabe Bestimmen Sie durch Hauptachsentransformation Lage und Typ der Kegelschnitte (a) 3x + 4x x + 3x 4x = 0, (b) 3x + 4x x + 3x 4x 6 = 0, (c) 3x + 4x x +
MehrAnalysis 1, Woche 4. Komplexe Zahlen II. 4.1 Fundamentalsatz der Algebra
Analysis, Woche 4 Komplexe Zahlen II A 4. Fundamentalsatz der Algebra Wir haben gesehen, dass eine Gleichung wie z 2 + αz + β = 0 meistens zwei Lösungen hat und, dass z n = α sogar n Lösungen in C hat.
Mehra, b, c bezeichnen nicht mehr Halbachsen von Ellipsen oder Hyperbeln. Für Hyperbeln und Ellipsen wurden spezielle Koordinatensysteme benutzt!
5 Kegelschnitte und Hauptachsentransformation 5.1 Allgemeine Kegelschnittgleichung ax + by + cxy + dx + ey + f = 0 ) Die Buchstaben a, b, c sind relle Zahlen, die nicht gleichzeitig Null sind: a, b, c)
MehrMusterlösung zur Serie 10
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Lineare Algebra II FS 1 Prof. Giovanni Felder, Thomas Willwacher Musterlösung zur Serie 1 1. a) Zur Erinnerung: Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M ist eine Relation, die die
MehrEigenwerte (Teschl/Teschl 14.2)
Eigenwerte Teschl/Teschl 4. Ein Eigenvektor einer quadratischen n nmatrix A ist ein Vektor x R n mit x 0, für den Ax ein skalares Vielfaches von x ist, es also einen Skalar λ gibt mit Ax = λ x Ax λ x =
Mehr1. Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 24./ in den Übungsgruppen
Hannover, den 0. April 2006. Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 24./25.4.2006 in den Übungsgruppen ( ) 2 5 a) Zeigen Sie, dass A = und B = 2 ( 7 6 invertierbare Matrix T an mit T AT = B. b) Zeigen
MehrKegelschnitte. Mathematik I ITB. Kegelschnitte. Prof. Dr. Karin Melzer
Kegelschnitte 10.11.08 Kegelschnitte: Einführung Wir betrachten,,,. Literatur: Brücken zur Mathematik, Band 1 Grundlagen, Analytische Geometrie Kreis Denition als geometrischer Ort: Der geometrische Ort
MehrSpringer-Lehrbuch. Ebene Geometrie. Bearbeitet von Max Koecher, Aloys Krieg
Springer-Lehrbuch Ebene Geometrie Bearbeitet von Max Koecher, Aloys Krieg erweitert, überarbeitet 2008. Taschenbuch. xii, 280 S. Paperback ISBN 978 3 540 49327 3 Format (B x L): 15,5 x 23,5 cm Gewicht:
Mehr11 Eigenwerte und Eigenvektoren
11 Eigenwerte und Eigenvektoren Wir wissen bereits, dass man jede lineare Abbildung ϕ : K n K n durch eine n n-matri A beschreiben kann, d.h. es ist ϕ() = A für alle K n. Die Matri A hängt dabei von der
Mehr43911: Lineare Algebra/Geometrie Prüfungstermin Herbst 2015 Lösungsvorschlag
Dr. Erwin Schörner 49: Lineare Algebra/Geometrie Prüfungstermin Herbst 5 Lösungsvorschlag I.. a Die in Abhängigkeit vom Parameter t R für t t A t t t R und b R t + t t + t zu betrachtende Menge F t { x
MehrAnwendung v. symmetrischen Matrizen: Hauptachsentransformation
Zusammenfassung: Eigenwerte, Eigenvektoren, Diagonalisieren Eigenwertgleichung: Bedingung an EW: Eigenwert Eigenvektor charakteristisches Polynom Für ist ein Polynom v. Grad, Nullstellen. Wenn EW bekannt
Mehrπ und die Quadratur des Kreises
π und die Quadratur des Kreises Schnupper-Uni für SchülerInnen 8. Februar 2006 Dr. Michael Welter http://www.math.uni-bonn.de/people/welter 1 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Gegeben sei eine Menge
MehrMathematische Probleme, SS 2018 Dienstag $Id: dreieck.tex,v /06/12 14:54:26 hk Exp $
$Id: dreieck.tex,v 1.47 018/06/1 14:54:6 hk Exp $ Dreiecke.3 Einige spezielle Punkte im Dreieck Am Ende der letzten Sitzung hatten wir eingesehen, dass sich die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks in
MehrMathematik für Naturwissenschaftler, Pruscha & Rost Kap 7 Lösungen
Mathematik für Naturwissenschaftler, Pruscha & Rost Kap 7 Lösungen a) Es ist < x, y > α + + β β ( + α) und y α + + β α + + ( + α) (α + α + ) 6 α + α, also α, ± 5 + ± 9 4 ± 3 Es gibt also Lösungen: α, β
MehrMathematische Probleme, SS 2015 Donnerstag $Id: quadratisch.tex,v /06/29 12:18:47 hk Exp $
$Id: quadratisch.tex,v 1.13 15/6/9 1:18:47 hk Ex $ 4 Kegelschnitte 4. Die Parabel Wir sind gerade dabei die Leitgeraden und Brennunkte einer Parabel zu bestimmen. Ist P eine Parabel, so nannten wir ein
MehrKontrollfragen und Aufgaben zur 4. Konsultation
1 Technische Universität Ilmenau Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften Institut für Mathematik Dr. Jens Schreyer und Prof. Dr. Michael Stiebitz Kontrollfragen und Aufgaben zur 4. Konsultation
MehrEinige Bemerkungen zu den verallgemeinerten Kegelschnitten von Zvonimir Durčević
Definition 1. Es seien B, D Punkte und c eine Gerade oder ein Kreis in einer Ebene ε siehe Abb. 1 bzw.. Lässt man einen Punkt auf c laufen, dann durchläuft der Schnittpunkt X der Geraden g : D mit der
MehrEXKURS: MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
EXKURS: MATRIZEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME In diesem Abschnitt wiederholen wir zunächst grundlegende Definitionen und Eigenschaften im Bereich der Matrizenrechnung, die wahrscheinlich bereits in Ansätzen
MehrKlausur HM I F 2004 HM I : 1
Klausur HM I F 004 HM I : Aufgabe (5 Punkte): Für welche n gilt die folgende Aussage? ( n ) det n! n 0 (n )! () Führen Sie den Beweis mit Hilfe der vollständigen Induktion. Lösung: Beweis per Induktion
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 6/7): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr 5, Thema, Aufgabe ) Sei V ein reeller Vektorraum. a) Wann nennt man eine Teilmenge U
MehrUrs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2
Urs Wyder, 4057 Basel Urs.Wyder@edubs.ch Funktionen f 3 ( ) = + f ( ) = sin(4 ) Inhaltsverzeichnis DEFINITION DES FUNKTIONSBEGRIFFS...3. NOTATION...3. STETIGKEIT...3.3 ABSCHNITTSWEISE DEFINIERTE FUNKTIONEN...4
Mehr6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen
Mathematik für Ingenieure II, SS 009 Dienstag 3.6 $Id: quadrat.tex,v.4 009/06/3 4:55:47 hk Exp $ 6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen 6.3 Quadratische Funktionen und die Hauptachsentransformation
MehrKapitel 14. Geometrie Eine kurze Einführung in die affine Geometrie
Kapitel 14 Geometrie Sei V ein Vektorraum, z.b. V = R 3. Wenn wir uns für geometrische Eigenschaften vonr 3 interessieren, so stört manchmal dieausnahmerolle des Nullvektors, die es ja in V gibt. Beispielsweise
Mehr++ + = 0 so erhält man eine quadratische Gleichung mit zwei Variablen dx+ey+f = 0 1.1
Hauptachsentransformation. Einleitung Schneidet man den geraden Kreiskegel mit der Gleichung = + und die Ebene ++ + = 0 so erhält man eine quadratische Gleichung mit zwei Variablen +2 + +dx+ey+f = 0. Die
MehrEinige Lösungsvorschläge für die Klausur zur Vorlesung
Prof Klaus Mohnke Institut für Mathematik Einige Lösungsvorschläge für die Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra und analtische Geometrie II* - SS 7 Aufgabe Im R mit dem Standardskalarprodukt ist die folgende
MehrDie allgemeine quadratische Gleichung mit zwei Unbekannten. DET (λ 1 ) 3. p = 1. Strategie und grundlegende Definitionen
Die allgemeine quadratische Gleichung mit zwei Unbekannten 1. Strategie und grundlegende Definitionen 2. Die elliptischen Fälle 1, 2 und 3 3. Der parabolische Fall 4 4. Die entarteten Fälle 5 und 6 5.
MehrProseminar HS Ebene algebraische Kurven Vortrag I.6. Duale Kurven. David Bürge 4. November 2010
Proseminar HS 010 - Ebene algebraische Kurven Vortrag I.6 Duale Kurven David Bürge 4. November 010 1 1 1 1 Eine nierenförmige Kleinsche Quartik und ihre duale Kurve in R INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis
MehrMathematische Probleme, SS 2015 Donnerstag $Id: quadratisch.tex,v /06/18 15:11:12 hk Exp $
Mathematische Probleme, SS 25 Donnerstag 8.6 $Id: quadratisch.tex,v. 25/6/8 5::2 hk Exp $ 4 Kegelschnitte Am Ende der letzten Sitzung haben wir mit der Diskussion der Kegelschnitte begonnen. Gegeben sind
MehrEin Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Die beiden Eigenwerte sind demnach. λ 1 = 0, λ 2 = 2i. 1 i
TU Dresden Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik Lösung zur Aufgabe (b des Übungsblattes Ermitteln Sie on der folgenden Matrix alle (komplexen Eigenwerte und zu jedem Eigenwert einen zugehörigen
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 5): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr, Thema, Aufgabe 4) Im R seien die beiden Ebenen E : 6 x + 4 y z = und E : + s + t 4 gegeben.
MehrMathematische Grundlagen für die Vorlesung. Differentialgeometrie
Mathematische Grundlagen für die Vorlesung Differentialgeometrie Dr. Gabriele Link 13.10.2010 In diesem Text sammeln wir die nötigen mathematischen Grundlagen, die wir in der Vorlesung Differentialgeometrie
MehrLösungshinweise zur Klausur
Höhere Mathematik 1 und 4..14 Lösungshinweise zur Klausur für Studierende der Fachrichtungen el, kyb,mecha,phys Aufgabe 1 Entscheiden Sie, welche der folgenden Aussagen richtig und welche falsch sind.
Mehr1 Analytische Geometrie und Grundlagen
$Id: vektor.tex,v 1.44 2018/05/17 14:11:13 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.6 Bewegungen und Kongruenzbegriffe Wir untersuchen gerade die Spiegelung an einer Hyperebene h R d. Ist ein
MehrSeite 1. sin 2 x dx. b) Berechnen Sie das Integral. e (t s)2 ds. (Nur Leibniz-Formel) c) Differenzieren Sie die Funktion f(t) = t. d dx ln(x + x3 ) dx
Seite Aufgabe : a Berechnen Sie das Integral b Berechnen Sie das Integral +x x+x dx. π sin x dx. c Differenzieren Sie die Funktion ft = t e t s ds. Nur Leibniz-Formel a + x x + x dx = d dx lnx + x dx =
MehrLineare Algebra II (SS 13)
Lineare Algebra II (SS 13) Bernhard Hanke Universität Augsburg 03.07.2013 Bernhard Hanke 1 / 16 Selbstadjungierte Endomorphismen und der Spektralsatz Definition Es sei (V,, ) ein euklidischer oder unitärer
MehrC orthogonal und haben die Länge 1). Dann ist die Länge von w = x u + y v gegeben durch w 2 Def. = w,w =
1 v Die Länge Def. Sei (V,, ) ein Euklidscher Vektorraum. Für jeden Vektor v V heißt die Zahl v,v die Länge von v und wird v bezeichnet. Bemerkung. Die Länge des Vektors ist wohldefiniert, da nach Definition
MehrJede symmetrische Bilinearform b definiert eine quadratische Form q durch. q(x) := b(x, x).
1 Kapitel 1 Clifford-Algebren 1 Innere Produkte Sei k {R, C}, V stets ein endlich-dimensionaler k-vektorraum. Fehlende Beweise finden sich in der Literatur ([Art1], [Bou1], [Brie], [Cohn]). Definition.
MehrAnalysis 1, Woche 4. Komplexe Zahlen II. 4.1 Fundamentalsatz der Algebra
Analysis, Woche 4 Komplexe Zahlen II A 4. Fundamentalsatz der Algebra Wir haben gesehen, dass eine Gleichung wie z 2 + αz + β = 0 meistens zwei Lösungen hat und, dass z n = α sogar n Lösungen in C hat.
Mehr4.4 Lokale Extrema und die Hessesche Form
74 Kapitel 4 Differentialrechnung in mehreren Variablen 44 Lokale Extrema und die Hessesche Form Sei jetzt wieder U R n offen und f:u R eine Funktion Unter einem lokalen Extremum der Funktion f verstehen
Mehr1. Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 8./ in den Übungsgruppen
Hannover, den 7. Februar 2002 Aufgabe. Übungsblatt: Lineare Algebra II Abgabe: 8./9.4.2002 in den Übungsgruppen (2, 2, 3 Punkte) Der Vektorraum V = C[, ] sei mit dem üblichen Skalarprodukt f, g = f(t)g(t)
MehrHauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren
Hauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren die bisherigen Betrachtungen beziehen sich im Wesentlichen auf die Standardbasis des R n Nun soll aufgezeigt werden, wie man sich von dieser Einschränkung
MehrLineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 12. Aufgabe Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D. Devaud.
Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 15 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 1 Aufgabe 1.1 1.1a) Sei A eine n n-matrix. Das Gleichungssystem Ax = b sei
MehrÜbungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie 1
Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie. Bei einer geraden Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche von 00 cm beträgt die Seitenkante 3 cm. a) Welche Höhe hat die Pyramide? b) Wie groß
MehrQuadratische Formen. und. Symmetrische Matrizen
Quadratische Formen und Symmetrische Matrizen 1 Ouverture: Lineare Funktionen von R n nach R 1 2 Beispiel: n = 2 l : (x 1, x 2 ) T 0.8x 1 + 0.6x 2 = < x, g > mit g := (0.8, 0.6) T. Wo liegen alle x = (x
MehrElementare Geometrie Vorlesung 16
Elementare Geometrie Vorlesung 16 Thomas Zink 19.6.2017 1.Homothetien Definition Es sei E eine Ebene. Eine Homothetie h : E E ist eine bijektive Abbildung, so dass (1) Wenn a E eine Gerade ist, so ist
MehrFlächen zweiter Ordnung
1 Flächen zweiter Ordnung Definition: Eine Fläche zweiter Ordnung ist die Gesamtheit aller Punkte, deren Ortsvektoren x der Gleichung x T A x + p T x + f = 0 genügen, wobei x 1 x = x x 3, A = Ausführliche
Mehr13. Vorlesung. Lineare Algebra und Koordinatenwechsel.
3. Vorlesung. Lineare Algebra und Koordinatenwechsel. In dieser Vorlesung behandeln wir die Vorzüge von Koordinatenwechseln. Insbesondere werden wir über geeignete Koordinatenwechsle zu einer Klassifikation
MehrKontrollfragen und Aufgaben zur 3. Konsultation
1 Technische Universität Ilmenau Fakultät für Mathematik und Naturwissenschaften Institut für Mathematik Prof. Dr. Michael Stiebitz Kontrollfragen und Aufgaben zur 3. Konsultation Termin: Ort: Determinante
MehrHinweis: Die Klausur Lineare Algebra 2 für die Fachrichtung Informatik besteht aus den Aufgaben 2.1 bis 2.4.
Hinweis: Die Klausur Lineare Algebra 2 für die Fachrichtung Informatik besteht aus den Aufgaben 2.1 bis 2.4. Aufgabe 2.1 (8 Punkte) Es sei K ein Körper, n N, V ein 2n-dimensionaler K -Vektorraum und U
MehrEigenwerte und Diagonalisierung
Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende
MehrPrüfung Lineare Algebra , B := ( ), C := 1 1 0
1. Es seien 1 0 2 0 0 1 3 0 A :=, B := ( 1 2 3 4 ), C := 1 1 0 0 1 0. 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 Welche der folgenden Aussagen ist richtig? A. A und C haben Stufenform, B nicht. B. A und B haben Stufenform,
MehrKapitel 5. Eigenwerte. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 5 Eigenwerte 1 / 42
Kapitel 5 Eigenwerte Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 5 Eigenwerte 1 / 42 Geschlossenes Leontief-Modell Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich
MehrHöhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastian Schwarz SS 5 4.5.5 Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt
MehrLösung von Gleichungen vierten Grades Carolin Dick
Lösung von Gleichungen vierten Grades 1 Lösung für x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0: 2 Geschichtlicher Hintergrund 1539: Cardano erhält die Formel zur Lösung kubischer Gleichungen 1540: Cardanos Schüler
Mehr1 Analytische Geometrie und Grundlagen
$Id: vektor.tex,v 1.43 2018/05/15 16:07:13 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.5 Abstände und Winkel Am Ende der letzten Sitzung hatten wir begonnen zwei weitere Aussagen über Winkel zu beweisen,
MehrGeometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte
Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 206. Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes, Anwendungen in der Geometrie,
Mehr8 Die Riemannsche Zahlenkugel
8 Die Riemannsche Zahlenkugel Wir untersuchen zunächst Geraden- und Kreisgleichungen in der komplexen Ebene C = R 2. Geradengleichungen Die Parameterdarstellung einer Geraden durch zwei Punkte z 1 z 2
MehrEigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom
Eigenwerte, Diagonalisierbarkeit, charakteristisches Polynom Eine Fragestellung, die uns im weiteren beschäftigen wird, ist das Finden eines möglichst einfachen Repräsentanten aus jeder Äquivalenzklasse
Mehr1.7. Die indirekte (umgekehrte) Proportionalität. a x heisst umgekehrte (indirekte) Proportionalität.
34 1.7. Die indirekte (umgekehrte) Proportionalität a Die Funktion f : y = a 0, 0 heisst umgekehrte (indirekte) Proportionalität. Spezialfall a = 1: f: Bilde den Kehrwert der gegebenen Zahl. An der Stelle
MehrUniversität Zürich HS , Vorlesung #3
Algebraic Number Theory P. Habegger Universität Zürich HS 2010 6.10.2010, Vorlesung #3 1.4 Diskriminante Die primitivste Invariante eines Zahlkörpers ist sein Grad. Die Diskriminante eines Zahlkörpers
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik
Technische Universität München Zentrum Mathematik Michael Strobel Geometriekalküle WS 07/8 http://www-m0.ma.tum.de/geometriekalkuelews78 Lösungen zu Aufgabenblatt 6 (5. Januar 08) Aufgabe. Euklidischer
MehrMusterlösung der Klausur zur linearen Algebra II
David Blottière SS 7 Patrick Schützdeller Universität Paderborn Julia Sauter Musterlösung der Klausur zur linearen Algebra II Aufgabe 1 Bestimmen Sie Jordan-Normalformen der folgenden Matrizen, und schreiben
Mehr10 Unitäre Vektorräume
10 Unitäre Vektorräume Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 98 10 Unitäre Vektorräume Die Theorie komplexer Vektorräume mit Skalarprodukt folgt denselben Linien wie die Theorie reeller Vektorräume mit Skalarprodukt;
Mehr