Kegelschnitte. Geschichte der Kegelschnitte

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1 Kegelschnitte Kegelschnitte ds sind geometrische Figuren, die sich ergeen, wenn mn einen Kegel und eine Eene einnder schneiden lässt. Wir unterscheiden 3 Tpen von Kegelschnitten: Prel, Ellipse und Hperel. Für lle 3 Figuren git es reichlich Beispiele im täglichen Leen: Ellipse / Kreis: rotierender Körper Plnetenhnen um die Sonne Flüssigkeitsoerfläche in einem schrägen Rohr elliptische Spiegel in Optik (z.b. Kthodolumineszenz) und Medizin (Nierensteintherpie) Prel: Wurfprel Prolspiegel (Fernsehempfng, Solrkocher) Hperel: Spitze n einem sechseckigen Bleistift Geschichte der Kegelschnitte Bereits im Altertum eschäftigte mn sich mit Kegelschnitten. (Menichmos 360 v.chr., Aristios um 300 v.chr., Euklid c. 300 v.chr., Archimedes 87 v.chr.) Die Begrifflichkeit ist uf Apollonios von Perg (60 80 v. Chr.) zurückzuführen; er führte die Nmen Ellipse, Prel und Hperel ein und zeigte, dss mn die 3 Kurventpen durch Schnitte n einem Kegel erhält. Den Bezeichnungen wurde dei eine geometrische Konstruktion zugrunde gelegt: Mn zeichnet ein Rechteck, ds sogennnte Sperrungsrechteck (lu), in Prel, Ellipse und Hperel ein. Die Höhe des Rechtecks entspricht der Sehne durch den jeweiligen Brennpunkt, die Länge ist vriel (is zum Punkt P ). Weiterhin zeichnet mn ds sogennnte Ordintenqudrt (rot) dessen Seitenlänge der Sehne im Punkt P entspricht. Dr. Hempel Mthemtische Grundlgen, Kegelschnitte

2 Ist die Fläche des Ordintenqudrts kleiner ls die Fläche des Sperrungsrechtecks, wird die Kurve Ellipse gennnt (vom griechischen elleipein = ermngeln ) Hen Ordintenqudrt und Sperrungsrechteck die gleiche Fläche, wird die Kurve Prel gennnt (prllein = gleichkommen ). Ist ds Ordintenqudrt in der Fläche größer, ls ds Sperrungsrechteck liegt eine Hperel vor (hperllein = üersteigen ). Eigenschften ormeln der Kegelschnitte Gleichungen der Kegelschnitte Die llgemeine Kegelschnittgleichung (ei elieiger Lge in der Eene) lutet A B C D E F 0 B 0 zeigt dei eine Drehung der Huptchse ezüglich des Koordintensstems n. D und E zeigen eine Verschieung entlng der zw. Achse n. Hier soll nur der Fll B 0 (ohne Drehung) nlsiert werden. Mittelpunktsgleichungen Ellipse: in Mittelpunktslge: Sonderfll Kreis: r die Ellipse ht 4 Scheitel Huptscheitel im Astnd uf der Huptchse (hier Achse) Neenscheitel im Astnd uf der Neenchse (hier Achse) die Längen und ezeichnen die Hlchsen; sie werden vom Mittelpunkt us getrgen Dr. Hempel Mthemtische Grundlgen, Kegelschnitte

3 für jeden Punkt P uf der Ellipse eträgt die Summe s s ; die Summe der Astände zu den Brennpunkten F ist lso immer gleich wichtig für die Konstruktion: eine Ellipse lässt sich zeichnen, indem mn einen Fden der Länge in den Brennpunkten efestigt und ei gespnntem Fden die Ellipse zeichnet der Astnd vom Neenscheitel zum Brennpunkt ist lso gleich der großen Hlchse ; dmit lssen sich recht einfch die Brennpunkte konstruieren. Lichtstrhlen, die von einem Brennpunkt usgehen, werden im zweiten Brennpunkt gesmmelt Ein Spezilfll der Ellipse ist der Kreis; dei sind und gleich lng Herleitung der Mittelpunktsgleichung Ellipse ds sind lle Punkte, deren Summe der Entfernung s s zu den sogennnten Brennpunkten F konstnt ist. die Entfernung der Brennpunkte vom Ursprung sei e liegt der Punkt P (, ) uf der Achse ( P ( 0, ) ), lässt sich erkennen: s s immer gilt s ; ist 0, so ist s s. s ( e) ( e) ( e) ( e) Bestimmungsgleichung der Ellipse. zweimliges Qudrieren entfernt die Wurzeln 4 e e 0 e e mit der Vrilen (kleine Hlchse) oder. e folgt Scheitelgleichung der Ellipse Eine Verschieung des Mittelpunktes entlng der Achse um ergit: ( ) mit p ergit sich die Scheitelgleichung der Ellipse: p p Dr. Hempel Mthemtische Grundlgen, Kegelschnitte 3

4 oen wurde für den Astnd Mittelpunkt Brennpunkt die Größe e enutzt; dmit gilt für die kleine Hlchse e und e in der Mittelpunktsgleichung ergit sich dmit m Ort e : e ( ) ( e) p Der Prmeter p heißt Hlprmeter der Ellipse und zeigt die Höhe m Brennpunkt. Scheitelgleichung des Kreises Eine Verschieung des Mittelpunktes entlng der Achse um r ergit: ( r) r r r r drus folgt die Scheitelgleichung des Kreises: r Hperel in Mittelpunktslge: der Grph esteht us smmetrischen Ästen esitzt zwei Achsen Huptchse und Neenchse; Huptscheitel S, S und Neenscheitel N, N Die Längen zw. werden uf der Huptchse zw. der Neenchse, jeweils vom Mittelpunkt M us, ufgetrgen. für jeden Punkt P uf der Hperel eträgt die Differenz s s ; die Differenz der Astände zu den Brennpunkten F ist lso immer gleich ein Rechteck, ds durch F, F, N und N geht, ht eine Breite von, eine Höhe von und eine Digonle von e ; e ist gleich dem Astnd Ursprung M Brennpunkt F (zw. F ) die eiden Asmptoten gehen durch die Eckpunkte dieses Rechtecks. Dr. Hempel Mthemtische Grundlgen, Kegelschnitte 4

5 Herleitung der Mittelpunktsgleichung Hperel ds sind lle Punkte, deren Differenz der Entfernung s s zu den sogennnten Brennpunkten F konstnt ist. die Entfernung der Brennpunkte vom Ursprung sei e mit e es gilt lso s ; ist 0, so ist s s. s ( e) ( e) ( e) ( e) Bestimmungsgleichung der Ellipse. zweimliges Qudrieren entfernt die Wurzeln 4 e e 0 e e mit der Vrilen (kleine Hlchse) oder. e folgt Scheitelgleichung der Hperel Eine Verschieung des Mittelpunktes entlng der Achse um ergit: ( ) mit p ergit sich die Scheitelgleichung der Hperel: p p wie im Flle der Ellipse lässt sich zeigen: ( e) p p ist wieder der Wert der Ordinte m Brennpunkt ( e) p. Prel die Prel esitzt keinen Mittelpunkt; dher git es für sie keine Mittelpunktsgleichung eine Prel ist sie chsensmmetrisch, ht einen Scheitelpunkt S und einen Brennpunkt F Lichtstrhlen, die prllel zur Huptchse uftreffen, werden im Brennpunkt gesmmelt lle Punkte, die von einer Leitlinie l und von einem Brennpunkt F die gleiche Entfernung s s hen, liegen uf einer Prel Dr. Hempel Mthemtische Grundlgen, Kegelschnitte 5

6 Scheitelgleichung der Prel Der Astnd des Brennpunktes von einer Leitlinie l sei p. nch Definition hliert der Scheitelpunkt S der Prel den Astnd zwischen Brennpunkt F und Leitlinie. dnn ergit sich nch der Definition der Prel s s woei s senkrecht uf der Leitlinie steht p p ; p p 4 p p wie im Flle der Ellipse lässt sich zeigen: ( e) p p ist wieder der Wert der Ordinte m Brennpunkt p ( e) p. 4 Verllgemeinerung Mn knn die Scheitelgleichungen der verschiedenen Kegelschnitte zusmmenfssen und verllgemeinern in der Form: p ( ) wird ls numerische Ezentrizität ezeichnet Kreis: Ellipse: Prel: Hperel: p r p p p p 0 0 in Richtung! p ist die Weite des Kegelschnitts m Brennpunkt senkrecht zur Achse p ist der Scheitelkrümmungskreisrdius im Flle von Ellipsen und Hpereln gilt e / mit der große Hlchse und e der lineren Ezentrizität für eine Ellipse ist (,0) der Mittelpunkt und ( e,0) ein Brennpunkt für eine Hperel ist (,0) der Mittelpunkt und ( e,0) ein Brennpunkt für eine Prel ist ( p,0) der Brennpunkt. Dr. Hempel Mthemtische Grundlgen, Kegelschnitte 6

7 Fdenkonstruktion: Kreis: Der Astnd zum Mittelpunkt ist konstnt. Ein Fden der Länge r wird m Mittelpunkt M festgehlten. Ein Stift m gespnnten Fden eschreit dnn einen Kreisogen. Ellipse: Die Summe der Astände zu den Brennpunkten F ist konstnt. Ein Fden der Länge e wird in F efestigt. Ein Stift wird m gespnnten Fden herumgeführt (Gärtnerkonstruktion). Prel: Astnd vom Brennpunkt F und Astnd zu einer Leitlinie l sind immer gleich. Ein Fden wird im Brennpunkt F und m Ende eines Schenkels eines rechtwinkligen Dreiecks efestigt. Der ndere Schenkel liegt uf der Leitlinie. Der Schreistift wird mit gespnnten Fden entlng des Schenkels geführt und eschreit die Prel. Hperel: Die Differenz der Astände zu den eiden Brennpunkten F ist konstnt. Ein St der Länge l wird m Brennpunkt F drehr efestigt. Ein Fden der Länge f l wird m nderen Ende des Stes und in F efestigt. Ein Stift wird mit dem gespnnten Fden m St entlng; er eschreit einen Hperelst. Dr. Hempel Mthemtische Grundlgen, Kegelschnitte 7

8 Eene Schnitte des Einheitskegels Wir hen oen verschiedene geometrische Ojekte (Kreis, Ellipse, Prel, Hperel) entsprechend vorgegeener Anleitung konstruiert und sie Kegelschnitte gennnt. Entstehen diese Figuren wirklich, wenn wir einen Kegel (hier den Einheitskegel z ) mit einer Eene (hier cz d ) schneiden? Die Eene ist hier prllel zur Achse, ws er keine Einschränkung der Allgemeinheit drstellt, d der Kegel rottionssmmetrisch ist. Fll : c 0 In diesem Fll ist die Eene senkrecht und 0 und d /. Eliminiert mn us der Kegelgleichung, so erhält mn z d /. Fll : d 0 In diesem Fll esteht der Schnitt us dem Gerdenpr z Fll : d 0 Die oige Gleichung eschreit ls Schnittkurve eine Hperel in der z Eene. Fll : c 0 Eliminiert mn z us der Kegelgleichung, erhält mn ( c ) d c d Fll : Für d 0 geht die Eene z durch die Kegelspitze c ( c ) c 0 Für c ist der Schnitt der Punkt n der Kegelspitze Für c ist der Schnitt die Gerde z c Für c ist der Schnitt ds Gerdenpr c Fll : Für d 0 geht die Eene nicht durch die Kegelspitze und ist nicht senkrecht. Für c läuft die Schnitteene prllel zu einer Mntellinie; c d es ergit sich ; d die Schnittkurve ist eine Prel. Für c formen wir um: ( c ) d c d c c d für c ergit sich ls Schnittkurve eine Ellipse und für c ergit sich eine Hperel. Dr. Hempel Mthemtische Grundlgen, Kegelschnitte 8

9 Zusmmenfssung: Wenn die Schnitteene durch die Kegelspitze geht, entstehen usgerteten Kegelschnitte: ein Punkt, wenn die Schnitteene den Kegel nur in der Spitze schneidet. eine Gerde, wenn die Schnitteene den Kegel entlng einer Mntellinie erührt ein sich schneidendes Gerdenpr, wenn die Schnitteene zwei Mntellinien enthält. Wenn die Schnitteene die Kegelspitze nicht enthält, entstehen nicht usgerteten Kegelschnitte: eine Ellipse, wenn der Neigungswinkel der Schnitteene (gegenüer der Eene) kleiner ist ls der Neigungswinkel der Mntellinien des Kegels. Ist die Eene horizontl ist die Schnittkurve ein Kreis. eine Prel, wenn der Neigungswinkel der Schnitteene (gegenüer der Eene) gleich dem Neigungswinkel der Mntellinien des Kegels ist. eine Hperel, wenn der Neigungswinkel der Schnitteene (gegenüer der Eene) größer ist ls der Neigungswinkel der Mntellinien des Kegels. Dr. Hempel Mthemtische Grundlgen, Kegelschnitte 9

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