Die quadratische Funktion

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1 Die quadratische Funktion In einem Labor wird die Bewegung eines Versuchswagen aufgenommen. Es werden dabei die folgenden Messreihen aufgenommen: Messreihe 1 Messreihe 2 Messreihe 3 x in s 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 y in m 0,0 0,25 1,0 2,25 4,00 x in s 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 y in m 0,0 1,25 5,0 11,25 20,00 x in s 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 y in m 0,0 0,0625 0,25 0,5625 1,00 Wenn man die erste Messreihe ansieht, dann erkennt man, dass y immer gerade identisch ist mit x 2 Daher kann man den Ort y als Funktion der Zeit beschreiben. Die Funktionsgleichung lautet: f : x y = x 2 Vergleicht man die zweite Messreihe mit der ersten Messreihe, dann erkennt man, dass jeder y- Wert 5 mal so groß ist wie bei der ersten Messreihe. Man kann daher die zweite Messreihe mit der folgenden Messreihe beschreiben als: f : x y = 5x 2 c by Markus Baur using L A TEX Seite: 1

2 Zeichnet man den Graphen dieser Funktion und zeichnet in das gleiche Diagramm nochmals den Funktionsgraphen mit der ersten Messreihe: Vergleicht man den ersten der ersten Funktion mit dem zweiten Funktionsgraph, dann erkennt man, dass der zweite steiler nach oben ansteigt. Man nennt den Graphen gestreckt. Vergleicht man nun die y W erte der dritten Messreihe mit denen der ersten Messreihe, dann stellt man fest, dass die Messwerte der dritten Reihe immer 1 der ersten Messreihe 4 sind. Deshalb kann man die dritte Messreihe mit der Funktion f : x y = 1 4 x2 beschreiben. Zeichnet man nun den Graphen der dritten Funktion und der ersten Funktion in ein Koordinatensystem, dann erhält man das folgende Bild: c by Markus Baur using L A TEX Seite: 2

3 Man sieht, dass der Graph der dritten Funktion langsamer ansteigt als der Graph von der ersten Funktion. Man sagt,dass der Graph der dritten Funktion gestaucht ist. Eine Funktion mit der Funktionsgleichung f : x y = ax 2 heißt quadratische Funktion. a > 1 wird Streckungsfaktor genannt. Ist a < 1 dann wird a als Stauchungsfaktor bezeichnet. Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel. Im Fall a = 1 wird die Parabel als Normalparabel bezeichnet. Bleibt nun noch die Frage zu klären, welche Konsequenz sich für den Funktionsgraphen ergibt, wenn a negativ ist. Dazu betrachtet man zunächst die Funktion f : x y = x 2 Man zeichnet den Graph dieser Funktion in ein Koordinatensystem ein und zum Vergleich zeichnet man den Graphen der Funktion in das gleiche Koordinatensystem ein: g : x y = x 2 c by Markus Baur using L A TEX Seite: 3

4 Vergleicht man die beiden Funktionsgraphen miteinander, dann kann man die Bedeutung eines negativen Streckungs- oder Stauchungsfaktors erkennen: Ist a < 0 bei einer quadratischen Funktion mit dem Funktionsterm f : x y = ax 2, dann wird der Graph an der x Achse gespiegelt. Von der Verschiebung der Parabel und die Scheitelform Die Verschiebung nach links und rechts Bisher hat man erkannt, dass man durch einen Vorfaktor a die Parabel stauchen oder strecken kann. Nun ist das Ziel zu erkunden, welche Veränderung des Funktionsterms notwendig ist, damit man die Parabel nach rechts, bzw. nach links verschieben kann. Beispiel 1 Wir betrachten die beiden quadratischen Funktionen f : x y = x 2 g : x y = (x 3) 2 c by Markus Baur using L A TEX Seite: 4

5 Dazu legt man für beide Funktionen in dem gleichen Intervall eine Wertetabelle an: x y = x y = (x 3) Stellt man nun diese Wertetabelle in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar, dann ergibt sich das folgende Schaubild: Wenn man nun die beiden Funktionsgraphen miteinander vergleicht, dann stellt man fest, dass der Graph der Funktion g : x y = (x 3) 2 ist gegenüber der Normalparabel um 3 nach rechts verschoben. Beispiel 2 Wir betrachten die beiden quadratischen Funktionen f : x y = x 2 g : x y = (x + 3) 2 Dazu legt man für beide Funktionen in dem gleichen Intervall eine Wertetabelle an: x y = x y = (x + 3) c by Markus Baur using L A TEX Seite: 5

6 Stellt man nun diese Wertetabellen in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar, dann ergibt sich das nachfolgende Diagramm: Vergleicht man nun die beiden Funktionsgraphen miteinander, dann stellt man fest, dass der Funktionsgraph der Funktion g : x y = (x + 3) 2 im Vergleich zur Normalparabel um 3 nach rechts verschoben ist. Man kann nun aus diesen beiden Beispielen die folgende Feststellung ablesen : Der Graph der quadratischen Funktion f : x y = (x c) 2 ist im Vergleich mit der Normalparabel y = x 2 um c nach rechts verschoben, wenn c > 0 und um c nach links verschoben, wenn c < 0 ist. Die Verschiebung nach oben und unten Wir lassen uns mit einem Computeralgebrasystem die Graphen der folgenden quadratischen Funktionen zeichnen: f : x y = x 2 3 c by Markus Baur using L A TEX Seite: 6

7 g : x y = x 2 2 h : x y = x 2 k : x y = x l : x y = x Man erkennt aus den gezeichneten Graphen die graphische Bedeutung der Konstanten d in der Funktionsgleichung: y = x 2 + d c by Markus Baur using L A TEX Seite: 7

8 Eine Konstante d in dem Funktionsterm in der Funktionsgleichung f : x y = x 2 + d hat die folgende graphische Bedeutung für die Parabel: Ist d negativ, dann handelt es sich um eine Verscheibung um d nach unten verglichen mit der Normalparabel Ist d positiv, dann handelt es sich um eine Verschiebung um d nach oben verglichen mit der Normalparabel. Hat man eine Normalparabel in allgemeiner Form vorliegen, dann kann man sie sofort zeichnen, wenn man die Funktionsgleichung in der folgenden Form vorliegen hat: y = ( x c ) 2 + d Horizontalverschiebung Vertikalverschiebung Da man aus dieser Form die Scheitelkoordinaten S(c d) ablesen kann, heißt diese Form auch Scheitelform. Das Problem besteht nur in der Tatsache, dass die Funktionsgleichung im allgemeinen nicht diese Form besitz und diese man daher erst herstellen muss. Wie dies funktioniert zeigt der nächste Abschnitt: Die Scheitelform der Funktionsgleichung Man betrachtet als Beispiel die quadratische Funktion mit der Funktionsgleichung f : x y = x 2 2x 3 Um die Gleichung in die gewünschte Form zu bringen benützt man einen Trick, mit dem man in dem Funktionsterm eine binomische Formel erzeugt: y = }{{} x 2 }{{} 2x 3 a 2 2ba Man erkennt, dass die ersten beiden Summenglieder den Anfang einer binomischen Formel, genauer hier den Anfang der zweiten binomischen Formel darstellen. Damit die Formel komplett ist fehlt noch das b 2. Dies kann man aber leicht ausrechnen, da gilt: 2ba = 2x Weil x = a gilt dementsprechend: 2b = 2 c by Markus Baur using L A TEX Seite: 8

9 b = 1 Dieses ergänzt man dann quadratisch in dem Funktionsterm. Weil man aber nicht die Funktionsgleichung verändern darf, zieht man die Ergänzung gleich wieder ab. Dieses Verfahren nennt man mathematisch Gewinnumformung. y = }{{} x 2 }{{} 2x + }{{} a 2 + 2ba + b 2 (a b) 2 y = (x 1) 2 4 Die quadratische Ergänzung in Kurzform: y = x 2 2x = Die Quadratische Ergänzung Dividiere die Zahl vor der Variablen x durch 2. Addiere in der Funktionsgleichung das Ergebnis des vorausgegangenen Schritts im Quadrat. Subtrahiere die Ergänzung anschließend. Wende die passende binomische Formel auf die ersten drei Glieder der Funktionsgleichung an. Für unser Beispiel ergibt sich die folgende Scheitelform der Funktionsgleichung y = (x 1) 2 4 Aus dieser Gleichung lassen sich die Koordinaten des Scheitelpunkts S ablesen: S(1 4) Die Normalparabel ist also um 1 nach rechts und um 4 nach unten verschoben. Damit kann man ohne weitere Wertetabelle die Parabel zu dieser quadratischen Funktion sofort zeichnen: c by Markus Baur using L A TEX Seite: 9

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