Vorlesungsübersicht WS 2015/16

Transkript

1 Vorlesungsübersicht WS 2015/16 Di Audimax Einführen in mathematische Grundvorstellungen V1 Mathematik in der Grundschule V2 Kinder mit Lernschwierigkeiten V3 Mathematisch begabte Kinder V4 Mathematikunterricht im Rückblick V5 Einfluss der Psychologie auf den Mathematikunterricht V6 Aufgabenformate V7 Größen und Messen V8 Muster und Strukturen V9 Einfluss der Psychologie auf den Mathematikunterricht V10 Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit V11 Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit V12 Zusammenfassung Klausur (08-10 Uhr, Audimax, HS 1) 1

2 Studienaufgabe: Entwerfen Sie eine Skizze zu einer Schulbuchseite zur Einführung der Division und bringen Sie diese mit. 2

3 V10 Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit 1 Daten erfassen, darstellen und interpretieren 2 Wahrscheinlichkeiten bestimmen 3 Typen kombinatorischer Aufgaben Beim Sammeln von Daten, Feststellen von Häufigkeiten und Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten lösen wir unsere Aufmerksamkeit vom zufälligen Einzelfall und richten sie auf die Gesamtheit. Diese Gesamtheit und ihre Eigenschaften mit mathematischen Mitteln zu beschreiben, ist das Ziel. (Hasemann, Mirwald, Hoffmann, 2005) 3

4 Quellen - Grundschulzeitschriften - Neubert, B. (2012). Leitidee: Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit - Klunter, Raudies, Veith (2011). Daten, Zufall und Wahrscheinlichkeit. (Kl. 1/2 und Kl. 3/4) - Wahrscheinlichkeitsbox Grundschule (Häring/Ruwisch) 4

5 1 Daten erfassen, darstellen und interpretieren Zu dem Inhaltsbereich Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit fordern die Bildungsstandards (KMK 2004), dass die Kinder am Ende der Grundschulzeit in der Lage sind, Daten erfassen und darstellen zu können: in Beobachtungen, Untersuchungen und einfachen Experimenten Daten sammeln, strukturieren und in Tabellen, Schaubildern und Diagrammen darstellen sowie aus diesen Formaten Informationen entnehmen. Bildungsstandards für die Grundschule: Mathematik konkret (2007). 5

6 Daten erfassen Die Statistik ist die Wissenschaft von der zahlenmäßigen Erfassung und Untersuchung von Massenerscheinungen in Natur und Gesellschaft, bei denen Zufallseinflüsse wirken. (Raudies, 2000, Universität Potsdam) Man unterscheidet die beschreibende Statistik und die beurteilende Statistik (Prüfstatistik). In der Grundschule wendet man sich der beschreibenden Statistik zu. Es werden Methoden zur übersichtlichen Erfassung, Aufbereitung und Darstellung von statistischen Daten entwickelt. 6

7 Beispiele zu statistischen Daten Übersicht aus Grassmann et al. (2010). Kompetent im Mathematikunterricht der Grundschule. 7

8 Daten darstellen 8

9 Schaubilder Strichliste (30 Würfe mit einem Würfel) Quelle: ebenda. Grassmann et al. 9

10 Für das Streifendiagramm werden häufig auch die Begriffe Säulendiagramm oder Balkendiagramm (meistens liegende Streifen) verwendet. Streckendiagramm Quelle: Grassmann et al. 10

11 Beispiel: Klassensprecherwahl -Strichlisten -Häufigkeitstabellen -Diagramme -Kreisdiagramm -Streifendiagramm -Streckendiagramm (Liniendiagramm) Bildungsstandards für die Grundschule: Mathematik konkret (2007). 11

12 Daten aus grafischen Darstellungen entnehmen Bildungsstandards für die Grundschule: Mathematik konkret (2007). a) Welche von den genannten Sportarten ist am beliebtesten? 86% richtig gelöst b) Wie viele Kinder machen keinen Sport? 30% richtig gelöst 12

13 Praxisbeispiel Idee: Isabella Kessler, GS Steinbach, Klasse 1, 29 Kinder Aufgabe: Wie viele Haustiere gibt es in den Familien unserer Klasse? Wie können unsere Ergebnisse übersichtlich und geordnet dargestellt werden? 13

14 14

15 2 Wahrscheinlichkeiten bestimmen Die Kinder sollen Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen in Zufallsexperimenten vergleichen, Grundbegriffe kennen (sicher, unmöglich, wahrscheinlich) Gewinnchancen bei einfachen Zufallsexperimenten einschätzen (z. B. bei Würfelspielen) Bildungsstandards für die Grundschule: Mathematik konkret (2007). 15

16 Grundvorstellungen zur Wahrscheinlichkeit Subjektive und intuitive kindliche Vorstellungen zur Wahrscheinlichkeit: Das Würfeln einer sechs bei Mensch ärgere dich nicht ist viel schwerer als das Würfeln einer 3 oder 4. Jetzt muss endlich eine sechs fallen, wenn sie schon mehrfach nicht gewürfelt wurde. Die Kinder sollen sich bewusst sein, dass es Ereignisse gibt, die nicht mit Sicherheit, sondern nur mit einem gewissen Grad von Wahrscheinlichkeit vorhergesagt werden können. Schipper, W. (2009). Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen. 16

17 Wahrscheinlichkeit im klassischen Sinn ist definiert als das Verhältnis aller günstigen Ereignisse zur Anzahl aller möglichen Ereignisse. (Laplace ) So beträgt die Wahrscheinlichkeit bei einem (fairen) Würfel eine Zahl zu würfeln, die größer als 4 ist, genau 2/6 denn es gibt zwei günstige Ereignisse (5 und 6) bei insgesamt sechs möglichen. Die Häufigkeiten günstiger und möglicher Ereignisse zu bestimmen, ist oft ein kombinatorisches Problem. Schipper, W. (2009). Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen. 17

18 Wie groß ist die Chance bei einem Wurf mit zwei Würfeln gleichzeitig zwei Sechsen zu bekommen? -Systematische Anordnung: Wie oft taucht der Doppelsechser auf? -Baumdiagramm: mit zunächst sechs Verzweigungen (weißer Würfel 1-6). Jede Verzweigung könnte sich wiederum sechsmal verzweigen (schwarzer Würfel). So erhält man 36 Enden, wie oben in der Tabelle (36 Zellen). Insgesamt gibt es also 6x6 Möglichkeiten. (kombinatorischer Aspekt der Multiplikation) Man sieht, die Wahrscheinlichkeit (Anteil der günstigen Fälle an der Gesamtheit der möglichen) beträgt 1 zu 36, also 1/36. Oder man denkt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln? (1/6) Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit zwei Sechsen zu würfeln: 1/6 x 1/6. 18

19 ZIELE des Umgangs mit der Wahrscheinlichkeit in der Grundschule was sollten GSK lernen: Es gibt Ereignisse, die nicht sicher vorhergesagt werden können. Man kann die Vorhersage von Ereignissen qualitativ einschätzen: Skala von unmöglich bis sicher (wahrscheinlicher als, weniger wahrscheinlich als, gleich wahrscheinlich) Bei symmetrischen Zufallsgeneratoren kann eine Gleichverteilung der Ereignisse angenommen werden (Münze, Würfel). Der Würfel (die Münze) hat kein Gedächtnis. Wahrscheinlichkeiten kann man beschreiben über den Anteil aller günstigen Fälle zu allen möglichen Fällen. 19

20 Die Chance mit einem Würfel eine gerade Zahl zu würfeln beträgt 3:6, die Chance, eine sechs zu würfeln beträgt 1:6. Es werden Verhältnisse im Sinne von Anteilen beschrieben, z. B. 3 von insgesamt 6 möglichen Fällen sind günstig. Wie verändern sich die Chancen, wenn wir die Spielregeln bei Mensch ärgere dich nicht verändern? Würde es einfacher werden, wenn wir bei einer 5, einer 1 einsetzen (heraussetzen) dürfen? 20

21 Beurteilung von Alltagssituationen Wie wahrscheinlich sind folgende Sachverhalte? Heute ist der 3.07., morgen wird es schneien. Beim nächsten Würfeln werde ich eine 6 werfen. Wenn ich diese Münze werfe, wird Zahl oben liegen. Wenn die Murmel vom Tisch rollt, wird sie auf den Boden fallen. Wenn diese Murmel vom Tisch rollt, wird sie zur Zimmerdecke aufsteigen. Auf einem Pappstreifen von unmöglich bis sicher mit Bleistift markieren, bzw. Gummi um einen Pappstreifen und darauf eine Perle bewegen, die den Grad der Wahrscheinlichkeit angibt. Kinder erfinden selbst sichere, mögliche, unmögliche Ereignisse. Schipper, W. (2009). Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen. 21

22 Experimente 22

23 Wahrscheinlichkeiten von Experimenten können oft präziser erfasst und begründet werden als Alltagssituationen. - Vermuten - Experimentieren - Modellbildung 23

24 Experiment 1 : Ziehen aus einer Urne In der Kiste mit den Bausteinen müssten noch zwei rote und zwei gelbe Legosteine sein. Du nimmst drei Steine mit einem Griff heraus ohne hinzuschauen. Wie wahrscheinlich ist es, dass alle drei Steine rot sind, mindestens ein roter Stein dabei ist, zwei rote Steine dabei sind? 24

25 In diesen Schachteln liegt jeweils genau ein roter Legostein, die anderen sind blau. Welche Schachtel würdest du wählen, um gute Chancen zu haben, einen roten Legostein zu ziehen? Begründe. Führen Sie ein Schülergespräch mit. Führen Sie Argumente für Ihre Entscheidung an. Welche Schachtel würdest du hier wählen, um günstige Chancen zu haben, einen roten Stein zu ziehen? Quelle: Schipper, Handbuch,

26 Klasse 2 In einem Eimer sind eine rote, eine blaue und eine grüne Kugel. Nimm ohne hinzusehen nacheinander je eine Kugel heraus, bis du zwei Kugeln hast. Welche Farben können die beiden Kugeln (die erste und die zweite) haben? a) Du kannst die Lösung legen, malen oder schreiben. b) Überprüfe deine Lösung durch Probieren! Quelle: Hasemann, Mirwald, Hoffmann (2007) in: Bildungsstandards für die Grundschule: Mathematik konkret. 26

27 Experiment 2: Münzen werfen Bei einem kleinen Spiel für Kinder werden gleichzeitig zwei Münzen geworfen: Elisa gewinnt, wenn beide Münzen Zahl zeigen. Jonas gewinnt, wenn beide Bild zeigen. Und Erik gewinnt, wenn einmal Zahl und einmal Bild kommt. Sind die Gewinnchancen für alle drei Kinder die gleichen? 27

28 Experiment 3: Würfeln Spiele mit einem Würfel Gewinnkarten, auf denen steht, bei welcher Würfelzahl das Kind einen Punkt gewinnt, z.b.: gerade Zahl, kleiner als 3, ungerade Zahl, kleiner als 6, eine Primzahl, 3 oder 4 Zunächst Gewinnkarten ziehen, dann Gewinnkarten auswählen und die Wahl begründen. Spiele mit zwei Würfeln Gewinnkarten mit der Augensumme (2, 7, 11, 12 usf.) Zunächst ziehen und spielen, dann überlegen und diskutieren: Wie oft gibt es die einzelnen Augensummen, welche wäre zum Gewinnen günstiger als andere? 28

29 Der Zugang über relative Häufigkeiten Ist es wahrscheinlicher eine 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 zu würfeln? Gesetz der großen Zahlen Es besagt, dass sich mit wachsender Anzahl von Versuchen die relative Häufigkeit eines Ereignisses seiner (theoretischen) Eintrittswahrscheinlichkeit nähert. Die Festlegung der Gewinnchancen mittels relativer Häufigkeiten ist allerdings mühsam. Experiment: Würfeln mit einem Würfel. Nach 85 Würfen mit einem Würfel ist noch keine Gleichverteilung erreicht. 29

30 Experiment 4: Glücksradaufgaben Idee: B. Neubert u. a., GSU 2/07 30

31 3 Typen kombinatorischer Aufgaben Wenn die Struktur der Aufgabe verstanden ist, kann sie mit mehr oder weniger systematischem Zählen gelöst werden. (Schipper, 2009, S. 277) Schipper, W. (2009). Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen. 31

32 Die Kombinatorik untersucht Anordnungs- und Auswahlprobleme einer vorgegebenen Menge M. Frage: Welche Möglichkeiten gibt es und wie viele? Beim Auswählen der Elemente aus einer Menge wird unterschieden, ob ein Element nur einmal oder mehrmals ausgewählt werden kann. Außerdem kann die Reihenfolge der Elemente eine Rolle spielen. 32

33 Typ 1 Beim kleinen Eisladen um die Ecke gibt es vier Sorten Eis: Erdbeere (E), Schokolade (S), Vanille (V) und Zitrone (Z). Du möchtest einen Becher mit zwei verschiedenen Kugeln. Wie viele Auswahlmöglichkeiten hast du? Auswählen ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Wiederholung (Kombination ohne Wiederholung) ES, EV, EZ SV, SZ VZ Quelle: Schipper, Handbuch,

34 Typ 2 Die Kinder kehren wieder bei dem kleinen Eisladen mit den 4 Sorten Eis ein. Dieses Mal bestellen sie sich einen Eisbecher mit 2 Kugeln Eis, von denen es auch mehrere Kugeln von der gleichen Sorte sein können. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es? Auswählen ohne Beachtung der Reihenfolge und mit Wiederholung (Kombination mit Wiederholung) ES, EV, EZ, EE SV, SZ, SS VZ, VV ZZ Quelle: ebenda 34

35 Typ 3 Im Eisparadies kann sich jeder seinen Eis-Obst-Becher selbst zusammenstellen. Man bekommt ihn entweder mit Vanilleeis, Schokoladeneis oder Zitroneneis. Dazu gibt es Himbeeren, Erdbeeren, Bananen oder erhitzte Früchte. Solche Becher gibt es mit Sahne oder Schokostreusel. Kartesisches Produkt als Grundvorstellung der Multiplikation (Kreuzprodukt) Zur Veranschaulichung eignet sich ein Baumdiagramm. Überlegung: Nacheinander müssen drei Entscheidungen getroffen werden: über die Eissorten mit drei Wahlmöglichkeiten, die Früchte mit 4 Möglichkeiten und die Zugabe obendrauf mit zwei Möglichkeiten. Quelle: ebenda 35

36 Autorin: Annika Mette, Referendariat 2012 Tom fährt mit seinen Eltern und seinem großen Bruder 10 Tage in den Urlaub. Tom packt seinen Koffer. Er nimmt zwei Hosen (schwarz + blau), drei Pullover (schwarz + blau + rot) und zwei Mützen (schwarz + blau) mit. Sein Bruder sagt: Ich wette mit dir, dass du es nicht schaffst, jeden Tag eine andere Kombination anzuziehen. Darauf antwortet Tom: Das werden wir mal sehen. Lass uns wetten! Wer die Wette verliert, muss dein und mein Zimmer aufräumen. Tom und sein großer Bruder geben sich die Hand und wetten. (Kinder bekommen einen Umschlag mit Kleidern, die Tom mit in den Urlaub nimmt.) 36

37 Typ 4 und 5: Auswahl mit Anordnung (Variation) ohne und mit Wiederholung 37

38 Typ 4 Wie bei Aufgabe 1 möchtet ihr aus vier Sorten zwei verschiedene Kugeln wählen. Dieses Mal kommt es euch aber auf die Reihenfolge an, in der ihr euer Eis esst. Ihr lasst euch also in das Hörnchen zuerst euer Lieblingseis füllen und dann die andere Kugel. Wie viele Möglichkeiten gibt es, unter Berücksichtigung der Reihenfolge Hörnchen mit verschiedenen Sorten auszuwählen? Quelle: ebenda Auswählen mit Beachtung der Reihenfolge ( Feinschmeckerregel ) ohne Wiederholung gleicher Elemente (Variation ohne Wiederholung) Zweistufiger Entscheidungsprozess: zunächst kann zwischen vier Sorten gewählt werden, dann stehen jeweils nur noch drei Möglichkeiten zur Auswahl: 4 3 = 12 38

39 Typ 5 Wie in Aufgabe 2 gibt es vier verschiedene Eissorten und du möchtest wieder 3 Kugeln haben. Wie in Aufgabe 4 möchtest du die 3 Kugeln im Hörnchen in einer bestimmten Reihenfolge bekommen. Du akzeptierst jetzt allerdings zwei oder drei gleiche Eissorten. Wie viele Möglichkeiten gibt es nun? Auswählen mit Beachtung der Reihenfolge mit Wiederholung gleicher Elemente (Variation mit Wiederholung) Die Anzahl A aller Möglichkeiten k Elemente (k=3 Kugeln) aus n Elementen (4 Sorten) der Ausgangsmenge auszuwählen, beträgt A = N k, also 4 3 = 64 39

40 Typ 6: Anordnung (Permutation) ohne und mit Wiederholung 40

41 Typ 6 Heute hast du dich entschieden, von jeder der 4 Eissorten nacheinander eine Kugel zu essen, insgesamt also 4 Kugeln. Allerdings willst du darauf verzichten, die gleiche Sorte zweimal zu nehmen. Wie viele unterschiedliche Möglichkeiten hast du nun? Anordnung von n Elementen mit Beachtung der Reihenfolge (Permutation ohne Wiederholung) Die Anzahl aller Wahlmöglichkeiten beträgt N!. Überlegung: Die 1. Kugel Eis kann eine der 4 Sorten sein, die zweite nur noch eine von 3 Sorten, die dritte eine von 2 Sorten. Als letzte Kugel bleibt nur noch eine Sorte: 4! = N! = N (N-1) (N-2) 2 1 Typ 7 (mit Wiederholung) könnte man noch anfügen. 41

42 In der Grundschule begegnen uns vor allem Typ Typ 3 und Typ 6 und im Rahmen des Sachrechnens auch Typ 1 und 2. 42

43 Anpfiff! Wie viele Möglichkeiten der Farbanordnung am Fußballspieler findest du, wenn jede Farbe (schwarz, rot, gelb) nur einmal verwendet werden darf? Quelle: Abbildung und Aufgabenstellung aus Annika Franz (2012). Trikotwechsel. Grundschulunterricht 02/2012, S. 16f. 43