falsch zugelassen. Als typische Bezeichnungen für Aussagen verwenden wir Buchstaben A, B, C,..., für die Wahrheitswerte wahr und f für falsch.

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1 1 Elementare Logik 1. Aussagenlogik Unter einer Aussage verstehen ir einen grammatikalisch korrekten Satz, dem ein Wahrheitsert zugeiesen erden kann. Als Wahrheitserte sind dabei ausschließlich ahr und alsch zugelassen. Als typische Bezeichnungen ür Aussagen verenden ir Buchstaben A, B, C,..., ür die Wahrheitserte die Buchstaben ür ahr und ür alsch. Beispiel. Die olgenden Sätze sind korrekt gebildet: A: 9 ist eine Primzahl B: 1729 ist die Summe zeier Kubikzahlen C: ist eine Primzahl D: Jede gerade Zahl, die größer als Zei ist, ist die Summe zeier Primzahlen Aber sind sie auch Aussagen? Oenbar ist A alsch. B lässt sich leicht überprüen: es ist 1729 = = Es ist klar, dass man auch C mit etas mehr Mühe ebenalls nachprüen kann (tatsächlich ist C ahr), aber as ist mit D? Die Antort kennt kein Mensch, aber dennoch ist die Aussage enteder ahr oder alsch. Ein Satz kann durchaus einen Wahrheitsert haben, auch enn ir ihn vielleicht nicht kennen! Andererseits sind zum Beispiel Fragesätze keine Aussagen. Schieriger ird es mit Sätzen der Art Dieser Satz ist alsch, denn elchen Wahrheitsert ir ihm auch zueisen ollen, idersprechen ir uns selbst. Ein solches Paradoxon ist also nach unserer Auassung keine Aussage und ir gar nicht erst zum Aussagenkalkül zugelassen. Wir erden uns auch im esentlichen au mathematische Aussagen beschränken, um Schierigkeiten mit mehrachen Bedeutungen von Wörtern aus dem Weg zu gehen. Aus gegebenen Aussagen kann man durch geeignete logische Operationen neue Aussagen bilden. Dabei gibt man mit Hile einer Wahrheitstael an, elchen Wahrheitsert die neue Aussage haben soll. Die Negation einer Aussage A ist die Aussage nicht A, bezeichnet durch die symbolische Schreibeise A, mit der Wahrheitstael A A Hier stehen in der ersten Spalte die möglichen Wahrheitserte ür A und in der zeiten die dazugehörigen Werte der Aussage A. 1

2 1. AUSSAGENLOGIK 2 Die Disjunktion der Aussagen A, B ist die Aussage A oder B, symbolisch abgekürzt durch A B. Sie ird beschrieben durch die Wahrheitstael A B A B oder auch (In der zeiten Tael steht in der Position (a, b) des quadratischen Felds der Wahrheitsert der Aussage A B, enn A den Wahrheitsert a und B den Wert b hat). Die Aussage A B ist also genau dann ahr, enn enigstens eine der beiden Aussagen A, B ahr ist. Dies ist das mathematische oder und nicht das ausschließende enteder oder der Umgangsssprache. Dieses hätte eine andere Wahrheitstael, nämlich B A A B enteder A oder B bz. B A Die Konjunktion zeier Aussagen A, B ist die Aussage A und B, abgekürzt geschrieben als A B ; sie ist gegeben durch die Wahrheitstael A B A B bz. B A Besonders ichtig ist die Implikation, also die Aussage aus A olgt B oder A impliziert B oder enn A dann B, in Kurzschreibeise A B, mit zugehöriger Wahrheitstael A B A B Man nennt dann die Aussage A die Voraussetzung oder Prämisse und B die Behauptung oder Conclusio. Die Aussage A B ist also genau dann alsch, enn A alsch und B ahr ist. Inbesondere kann man aus einer alschen Voraussetzung alles schließen! Die Äquivalenz zeier Aussagen, geschrieben A B und gesprochen genau dann A, enn B, ist erklärt durch (A B) (B A), hat also die Wahrheitstael bz. B A A B A B bz. B A

3 1. AUSSAGENLOGIK 3 Disjunkion, Konjunktion, Implikation und Äquivalenz verknüpen Aussagen, daher nennt man sie auch Junktoren. Verendet man mehrere Operationen hintereinander, so muss man Klammern setzen: A (B C) ist nicht das gleiche ie (A B) C. Dabei gilt allerdings die Konvention, dass das Negationssymbol am stärksten bindet, so dass eta A B zu lesen ist als ( A) B. Satz 1.1. Sei A eine Aussage. Dann gelten die olgenden Regeln: 1. ( A) A (Regel von der doppelten Verneinung) 2. A A (Regel vom ausgeschlossenen Dritten; tertium non datur) 3. (A A) (Regel vom ausgeschlossenen Widerspruch) Beeis. 1. Wie betrachten die Wahrheitstaeln dieser Aussage ür die beiden möglichen Werte von A. Da die Spalten A und ( A) gleich sind, sind auch die Aussagen A und ( A) äquivalent: A A ( A) Für 2. und 3. stellt man est, dass unabhängig vom Wahrheitsert von A die im Satz behauptete Aussage stets den Wert hat: A A A A A A A A (A A) Aber as ist überhaupt ein Beeis? Wenn Sie Mathematiker ragen, erden die meisten ohl zunächst so etas murmeln ie Ein Beeis ist die Herleitung von Aussagen aus als ahr angenommenen Aussagen mittels der Regeln der Aussagenlogik. Ein Beeis ist somit eine mechanischen Anendung von logischen Operationen aus unserem Baukasten. Die Praxis sieht anders aus: ollte man jeden Beeis au diese Weise auschreiben, ürden Beeise nicht nur sehr lang, sondern auch so komplex, dass sie kaum noch nachzuvollziehen sind. Daher erden viele Abkürzungen akzeptiert, ie eta das Auslassen von Argumenten, die man schon etliche Male ausgeührt hat. Damit gelangt man zu der eitverbreiteten Auassung, ein Beeis sei, as die Mehrheit aller Mathematiker als Beeis akzeptiert (as schon ein enig selbstreerentiell erscheint... ). Dahinter liegt jedoch ieder die erste Antort verborgen: als Beeis ird nur akzeptiert, ovon man sicher ist, dass es prinzipiell au eine Kette mechanischer logischer Operationen zurückgeührt erden kann. Instruktiv ist dabei die Geschichte des Kepler-Problems und des daraus entstandenden QED-Projekts. Eine Aussage, die aus der Verknüpung mehrerer Aussagen hervorgeht und ür alle möglichen Wahrheitserte der verknüpten Aussagen ahr ist, nennt man eine Tautologie. Die erste Aussage des obigen Satzes ist eine solche Tautologie; eitere Beispiele sind: Satz 1.2. Seien A, B, C Aussagen. Dann gilt: A B B A (a) A B B A (Kommutativgesetz) (A B) C A (B C) (b) (Assoziativgesetz) (A B) C A (B C) A (B C) (A B) (A C) (c) (Distributivgesetz) A (B C) (A B) (A C) (A B) A B (d) (Regeln von de Morgan) (A B) A B (e) (A B) A B () (A B) A B

4 2. PRÄDIKATENLOGIK 4 (g) (A B) B A (Kontrapositionsgesetz) Beeis. Alle Behauptungen sind leicht durch Wahrheitstaeln zu zeigen; ir ühren das hier ür (c) und (e) vor, der Rest bleibt als Übung. Aus der Gleichheit der letzten beiden Spalten der Tael A B C A B A C B C A (B C) (A B) (A C) olgt das erste Distributivgesetz, das zeite sieht man analog. Die Tael A B A A B A B zeigt (e). Aus Teil (g) des Satzes olgt, dass man die Behauptung aus A olgt B beeisen kan, indem man die äquivalente Behauptung ist B alsch, so auch A beeist. Mit der Regel vom ausgeschlossenen Dritten ergibt sich auch die Zulässigkeit der Methode des indirekten Beeises, die man auch ie olgt ormulieren kann: (A B) ( (A B) A ) d.h. enn ir die Aussage B aus der Aussage A olgern ollen, können ir dies tun, indem ir die Annahme es gilt A, aber nicht B zum Widerspruch ühren. 2. Prädikatenlogik Ot ill man Aussagen ormulieren, in denen eine oder mehrere Variable vorkommen; einen solchen Satz nennt man eine Aussageorm. Dabei vesteht man unter einer Variablen eine Leerstelle in einem logischen Ausdruck, in die ein konkretes Objekt eingesetzt erden kann. Es düren aber nur solche Objekte eingesetzt erden, die die Aussageorm zu einer sinnvollen Aussage machen; man sagt, die Objekte stammen aus einem zulässigen Objektbereich oder auch Grundbereich (dies erden ir mit Mengenlehre etas präzisieren). Zum Beispiel ist A(x): x ist eine Primzahl eine Aussageorm; A(3) ist ahr und A(4) ist alsch, hingegen ist A(1,5) keine sinnvolle Aussage: der Grundbereich dieser Aussageorm sind die natürlichen Zahlen. Eine Aussageorm A(x) mit nur einer Variablen beschreibt eine Eigenschat, die das einzusetzende Objekt x haben soll. Dadurch bekommt x ein sogenantes Prädikat, eshalb man die Lehre von den Aussageormen auch Prädikatenlogik nennt. Zu einer gegebenen Aussageorm A(x) kann man Aussagen bilden ie ür alle x gilt A(x), geschrieben x A(x) oder xa(x) oder es gibt ein x, so dass A(x) gilt, geschrieben x A(x) oder xa(x) oder A(x) x A(x) Da diese Zusätze es existiert und ür alle die Aussageorm quantiizieren, nennt man den Allquantor und den Existenzquantor. Die Notation ist in der Literatur nicht einheitlich; häuiger indet man (ein au den Kop gestelltes A ) und (ein gespiegeltes E ); die Symbole und x

5 2. PRÄDIKATENLOGIK 5 scheinen jedoch, in Anlehnung an und, passender. Wir erden der Mehrheit olgen und und verenden. Ot sieht man auch das Symbol (den durchgestrichenen Existenzquantor) mit der Bedeutung es existiert kein. Satz 2.1. Sei A(x) eine Aussageorm. Dann gilt ( x A(x) ) x A(x) ( x A(x) ) x A(x) (Also könnte man au einen der beiden Quantoren verzichten... ) Ot gebrauchte Schreibeisen sind x, y A(x, y) statt x y A(x, y) ( x mit B(x) ) A(x) statt x ( B(x) A(x) ) ( x mit B(x) ) A(x) statt x ( A(x) B(x) ) Ein typisches Beispiel ür diese abkürzende Schreibeise ist ε > 0 δ > 0 ( x y < δ (x) (y) < ε ) Auch bei quantiizierten Aussagen muss man eventuell Klammern setzen. Dabei olgt man der Konvention, dass Quantoren Vorrang vor Junktoren haben. Eine Variable, die unmittelbar nach einem Quantor autaucht, ist durch diesen gebunden, andere Variablen sind rei. Die Bindung der Variablen endet nach der ersten Aussageorm, es sei denn, man hat Klammern gesetzt. Zum Beispiel endet die Wirkung des Existenzquantors in x x < 0 y x xy = 0 mit der ersten Formel ( x < 0 ), in der zeiten Formel ist x ieder rei (ür den zulässigen Objektbereich Zahlen bedeutet der obige Ausdruck in Worten: es gibt eine negative Zahl, und zu jeder Zahl gibt es eine eitere, so dass das Produkt der beiden Zahlen Null ist ). Nur Variablen, die rei sind, sind überall in der Formel als Namen ür die jeeils gleichen Objekte zu verstehen. Beispiel. Die Aussagen (i) x A(x) B und (ii) x ( A(x) B ) sind verschieden: die erste bedeutet gilt ür jedes x die Aussage A(x), so gilt auch die Aussage B, hingegen (ii) ür jedes x gilt: A(x) impliziert B. Zur Übung überlege man sich: ( x ( B(x) A(x) )) x ( B(x) A(x) ) und ( x ( B(x) A(x) )) x ( B(x) A(x) ) Zum Schluss dieses Abschnitts noch einige Bemerkungen zum Beeisen. An Beeismethoden (von denen schon ein paar erähnt urden) stehen zur Verügung: 1. Der direkte Beeis: Ist A eine Aussage, deren Wahrheit eststeht, und ist die Aussage A B ebenalls ahr, so ist auch B ahr. (Diese Methode ist auch unter dem Namen modus ponens bekannt.) 2. Sind die Implikationen A B und B C ahr, so ist auch die Implikation A C ahr. 3. Das Kontrapositionsgesetz: (A B) ( B A) 4. Der indirekte Beeis: Um die Implikation A B zu zeigen, genügt es, die Implikation (A B) C ür eine alsche Aussage C zu zeigen.

6 2. PRÄDIKATENLOGIK 6 5. Der Existenzbeeis: Um eine Aussage der Form x A(x) zu beeisen, reicht es, ein einziges x anzugeben, so dass die Aussage A(x) ahr ist. Das ist aber ot anspruchsvoller als es aussieht, denn man muss ein solches x erst einmal inden. Manchmal ist es viel einacher, solche Existenzaussagen indirekt zu beeisen! Beispiele. 1. Es gibt eine rationale Zahl, die die Gleichung x 2 + 5x 14 = 0 erüllt : Das ist oenbar eine ahre Aussage, und der Beeis besteht schlicht im Nachrechnen, dass zum Beispiel x = 2 eine solche Lösung ist: = = 0. Wie man diese Lösung geunden hat, spielt keine Rolle! 2. Anders sieht es bei der Aussage jede Lösung der Gleichung x 2 + 5x 14 = 0 ist eine rationale Zahl : Hier muss man alle Lösungen inden (es sind x = 2 und x = 7, und beide sind rationale Zahlen). 3. x Q x 2 = 2 : Wie soll man zeigen, dass es etas nicht gibt? Mit einem Widerspruchsbeeis, also indem man die Annahme, es gäbe ein solches x, ad absurdum ührt! Man nehme also an, es gäbe eine rationale Zahl x = p q, deren Quadrat 2 ist. Dabei kann man davon ausgehen, dass p und q keinen gemeinsamen Teiler haben, denn ansonsten können ir den Bruch solange kürzen, bis dies der Fall ist. Es olgt ( p ) 2 p 2 2 = = q q 2, also p2 = 2q 2. Folglich ist p 2 gerade, und dann muss auch p gerade sein, eta p = 2r. Aber dann ist 2q 2 = (2r) 2 = 4r 2, also ist q 2 = 2r 2 gerade und damit auch q gerade. Also haben p und q beide den Teiler 2, as ausgeschlossen ar, und man hat den geünschten Widerspruch. Es gibt einige typische Fehler, die beim Argumentieren immer ieder gemacht erden. Einer davon ist besonders scher auszurotten, da er in den Schule geradezu vorexerziert ird, nämlich die Umkehrung der Beeislast : ot ird, um eine behauptete Gleichung (vermeintlich) zu beeisen, mit eben dieser Gleichung gestartet, um diese dann so lange umzuormen, bis man zu einer oensichtlich richtigen Gleichung ie eta 0 = 0 gelangt. Umgekehrt muss man es machen! (Wie man einen Beeis auschreibt hat nur marginal etas damit zu tun, ie man darau gekommen ist.) Beispiel. Behauptung: ür alle reellen Zahlen x und a gilt die Gleichung x2 2ax + a 2 + a = x. Beeis : Ziehe au beiden Seiten der Gleichung a ab: x2 2ax + a 2 = x a und quadriere beide Seiten: x 2 2ax + a 2 = (x a) 2 Die rechte Seite ist nach der zeiten binomischen Formel gleich der rechten, also stimmt die Behauptung. Aber as ist ür x = a? Da steht links a 2 2a a + a 2 + a = 0 + a = a, aber rechts steht a. Ist also stets a = a? Das ist oensichtlich Unsinn; in dem Beeis ist also etas aul: Quadrieren ist keine Äquivalenzumormung, d.h. aus p 2 = q 2 olgt nicht p = q. Daher ist die Ausgangsgleichung nicht äquivalent zur oenbar ür alle x und a ahren letzten Gleichung, sondern impliziert sie nur. Ebenso gravierend ist der leider ebenso häuige Beeis durch Beispiel. Etas subtiler, aber genauso alsch ist der Beeis durch ehlendes Gegenbeispiel, der immerhin so notorisch ist, dass er es in jede gängige Liste von Fehlschlüssen geschat hat, unter dem schönen Namen argumentum ad ignorantiam. Auch nicht zu empehlen ist die petitio principi, die Voregnahme des Grundes, d.h. die Inanspruchnahme eines Arguments, das selber des Beeises bedar (mit dem Zirkelschluss als besonders häuiger Variante), oder die ignoratio elenchi, die irrelevante Schlussolgerung.

7 2 Elementare Mengenlehre 1. Mengen Cantor 1 versuchte 1895, den Mengenbegri so zu assen: Deinition 1.1. Eine Menge ist eine Zusammenassung von bestimmten, ohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Diese Mengendeinition soll hier zugrunde gelgegt erden, obohl sie nicht ohne Probleme ist, denn sie lässt Widersprüche zu, ie die Russelsche Antinomie: Ein Barbier ist jemand, der alle rasiert, die sich nicht selbst rasieren. (Aber er rasiert den Barbier?) Aus diesem Grund urde die axiomatische Mengenlehre entickelt, d.h. man postuliert die Exsistenz geisser Objekte, die man Mengen nennt, und stellt dann Regeln au, mittels derer man Mengen aus Mengen konstruieren kann. Die Objekte, die zu einer Menge M zusammengeaßt erden, nennt man die Elemente von M. Wir schreiben x M ür x ist ein Element von M, x M ür (x M), d.h. x ist kein Element von M Beispiel. Die olgenden Zahlenmengen erden sehr ot gebraucht und haben daher Standardbezeichnungen: N ist die Menge der natürlichen Zahlen (einschließlich der Null), Z ist die Menge der ganzen Zahlen, Q ist die Menge der rationalen Zahlen, R ist die Menge der reellen Zahlen, (Au die Zahlenmengen soll später noch einmal eingegangen erden, aber im Augenblick setzten ir eine geisse Kenntnis von ihnen voraus.) Manche Mengen kann man durch Aulistung ihrer Elemente beschreiben: A = {a, b, c}, B = {1, 17, 33, 987}, C = {rot, blau, grün, gelb, scharz}, jedenalls enn sie nur endlich viele Elemente hat, oder auch mittels der berühmt-berüchtigten Pünktchen -Notation, ie eta M = {1, 2, 3,..., 99} N = {..., 3, 1, 1, 3, 5,...}, P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,...}. Dabei geht man davon aus, dass die Leser aus den (endlich vielen) angegebenen Elementen schon sehen können, elche eitere Elemente noch dazugehören. Im Fall der Mengen M und N ist eine Fehlinterpretation eher unahrscheinlich, aber dass es sich bei der Menge P um die Menge aller Primzahlen handeln soll, ist eniger klar. Diese Unsicherheit kann man meist umgehen, enn man die in Frage stehende Menge durch eine Eigenschat, die ihre Elemente erüllen sollen, beschreibt, also in der Form D = {x G A(x)} 1 Georg Cantor, deutscher Mathematiker, Gemeinhin als de Begründer der Mengenlehre angesehen. 7

8 1. MENGEN 8 ür eine Aussageorm A(x) und eine Grundmenge G. So ist in den obigen Beispielen M = {n N 0 < n < 100} N = {n Z m Z 2m 1 = n} P = { p N m, n N ( (mn = p) (n = 1 m = 1) )} Es gibt genau eine Menge, die keine Elemente enthält, die leere Menge (oder auch { }). Deinition 1.2. Eine Menge N heißt eine Teilmenge der Menge M, enn jedes Element von N auch Element von M ist. Man schreibt dann N M oder M N. Zei Mengen M, N sind gleich, geschrieben M = N, enn sie die gleichen Elemente haben, also M = N (M N N N) ( (x M x N) (x N x M) ). (Dies ist der sogenannte extensionalistische Standpunkt der Mengenlehre.) Aus gegebenen Mengen kann man durch bestimmte Operationen neue Mengen bilden: 1. durch Aussonderung, das heißt durch Angabe einer Bedingung: ist M eine Menge und A(x) eine Aussageorm, so ist {x M A(x)} ieder eine Menge (siehe oben). 2. Die Vereinigung zeier Mengen A, B ist die Menge A B = {x x A oder x B}. 3. Der Durchschnitt oder Schnitt zeier Mengen A, B ist die Menge A B = {x x A und x B}. 4. Die Dierenz zeier Mengen A, B ist die Menge A B = {x A x B}, manchmal auch geschrieben als A \ B. Ist B eine Teilmenge von A, so nennt man A B auch das Komplement von B in A. 5. Die symmetrische Dierenz zeier Mengen A, B ist die Menge A B = (A B) (A B). 6. Die Potenzmenge einer Menge M ist die Menge aller Teilmengen von M: P(M) = {T T M}. 7. Das kartesische Produkt der Mengen A, B ist die Menge A B = {(x, y) x A und y B} sie ist die Menge aller geordneten Paare von Elementen von A bz. B. Ein geordnetes Paar läßt sich auch schreiben als (x, y) = {{x}, {x, y}}. Mengen können also ieder Mengen als Elemente haben, ie zum Beispiel die Potenzmenge einer Menge, oder sind M und N Mengen, so ist {M, N} ieder eine Menge (diesen Prozess nennt man Paarbildung). Zu beachten ist dabei: M {M} (!). Lemma 1.3 (Rechenregeln ür Mengen). Seien A, B und C Mengen. Dann gilt (a) A B = B A A B = B A (Kommutativgesetz)

9 2. ABBILDUNGEN 9 (b) (c) (d) (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) (Assoziativgesetz) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) (Distributivgesetz) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) (De Morgan) Beeis. Alle diese Behauptungen olgen aus den entsprechenden Regeln der Aussagenlogik. (a) und (b) sind klar. Zu (c): Es gilt x A (B C) x A (x B x C) (x A x B) (x A x C) x (A B) x (A C) x (A B) (A C) Damit ist gezeigt, die beiden Mengen A (B C) und (A B) (A C) dieselben Elemente haben, also gleich sind. Die zeite Aussage veriiziert man durch analoge Argumentation. Die erste der beiden De Morganschen Regeln sieht man ie olgt: x A (B C) x A x (B C) x A ( x (B C) ) Die zeite Identität sieht man ieder analog. x A (x B x C) x A ( (x B) (x C) ) ( x A (x B) ) ( x A (x C) ) (x A x B) (x A x C) (x A B) (x A C) x (A B) (A C) 2. Abbildungen Deinition 2.1. Eine Abbildung oder Funktion zischen zei Mengen M und N ist eine Vorschrit, die jedem Element x M ein eindeutig bestimmtes Element (x) N zuordnet. Man schreibt dann : M N ür diese Abbildung und nennt M den Deinitionsbereich soie N den Wertebereich von. Häuig benutzt man auch die Notation x (x), um die Zuordnung au dem Niveau der Elemente zu beschreiben. Zur Angabe einer Abbildung gehört außer der Zuordnungsvorschrit auch die Angabe des Deinitionsbereichs M und des Wertebereichs N. Ot lassen sich Funktionen in geschlossener Form angeben, eta durch eine Rechenvorschrit, aber beileibe nicht immer. Beispiele. 1. Durch die Zuordnungsvorschrit x x 2 sind Abbildungen deiniert; diese Abbildungen sind verschieden. : R R, g : R R 0, h: R 0 R 0 2. Eine besonders einache, aber ichtige Abbildung ist die identische Abbildung id M : M M mit x x. 3. Sei L(t) der Lärmpegel einer Baustelle zum Zeitpunkt t. Die Zuordnung t L(t) ist eine Funktion, die sicherlich nicht ohne eiteres durch eine Formel beschrieben erden kann.

10 2. ABBILDUNGEN Seien M und N Mengen. Die Abbildungen pr 1 : M N M mit (x, y) x pr 2 : M N N mit (x, y) y heißen die kanonischen Projektionen. Sei nun : M N eine Funktion. Für eine Teilmenge A M nennt man die Menge Bild(A) := {(x) N x A} das Bild von A. Statt Bild(M) schreibt man auch Bild() und nennt diese Menge das Bild von. Das Urbild einer Teilmenge B N ist die Menge 1 (B) := {x M (x) B} ; diese Menge kann auch leer sein. Schließlich nennt man den Graphen der Funktion. Man prüt leicht nach: Γ := {(x, (x)) x M} M N Lemma 2.2. Sei : M N eine Abbildung. Seien A, B M und C, D N Teilmengen. Dann gilt: (a) (A B) = (A) (B) (b) (A B) (A) (B) (c) 1 (C D) = 1 (C) 1 (D) (d) 1 (C D) = 1 (C) 1 (D) (e) ( 1 (C) ) C. () A 1( (A) ). Übungsaugabe. Man überlege sich durch Beispiele, dass in (b), (e) und () Gleichheit im allgemeinen nicht gelten kann. Deinition 2.3. Seien : A B und g : B C Abbildungen, so ist ihre Komposition (oder Verkettung) die Abbildung Für eine Abbildung : M N gilt oenbar g : A C mit (g )(x) = g ( (x) ). id N = = id M. Weiterhin ist die Komposition von Abbildungen assoziativ, d.h. sind : A B, g : B C und h: C D Abbildungen, so dass die Kompositionen g und h g erklärt sind, so gilt h (g ) = (h g). Hingegen ist die umgekehrte Komposition g im allgemeinen nicht deiniert (es sei denn, A = C). Deinition 2.4. Eine Abbildung : M N heißt (a) injektiv (oder eineindeutig), enn aus (x) = (y) schon x = y olgt, (b) surjektiv, enn es zu jedem y N ein x M gibt mit (x) = y, (c) bijektiv, enn sie injektiv und surjektiv ist. Eine bijektive Abbildung nennt man auch eine Bijektion, us. Eine Abbildung : M N ist also genau dann injektiv, enn die Urbildmenge 1 (y) jedes Elements y N höchstens ein Element hat, und surjektiv genau dann, enn (M) = N ist.

11 2. ABBILDUNGEN 11 Beispiele. 1. Die Abbildung : R R mit (x) = x 2 ist eder injektiv noch surjektiv, denn es gilt ( 1) = (1), und 1 R hat kein Urbild. Hingegen ist die Abbildung g : R R 0 mit g(x) = x 2 surjektiv (denn jede nichtnegative Zahl hat eine Quadraturzel), aber nach ie vor nicht injektiv. Die Abbildung h: R 0 R 0 mit h(x) = x 2 schließlich ist bijektiv. Es kommt also nicht nur au die Abbildungsvorschrit an! 2. Die Abbildung : R R gegeben durch ist bijektiv. (x) = { 0 alls x = 0, 1 x alls x 0 Eine andere Charakterisierung injektiver und surjektiver Abbildungen ist: Lemma 2.5. Sei : M N eine Abbildung. (a) ist genau dann injektiv, enn es eine zu linksinverse Abbildung gibt, d.h. eine Abbildung g : N M gibt mit g = id M. (b) ist genau dann surjektiv, enn es eine zu rechtsinverse Abbildung gibt, d.h. eine Abbildung g : N M mit g = id N. (c) ist genau dann bijektiv, enn es eine zu inverse Abbildung gibt, d.h. eine Abbildung g : N M mit g = id M und g = id N. Die inverse Abbildung ist eindeutig bestimmt. Man schreibt dann ot 1 : (M) M ür die auch Umkehrabbildung oder Umkehrunktion genannte inverse Abbildung, aber man dar die Umkehrabbildung nicht mit der Urbildmenge verechseln, obohl dasselbe Symbol 1 verendet ird! Beeis. (a) Sei injektiv; zu konstruieren ist eine Linksinverse g. Sei ein Element x 0 M est geählt und sei y N. Wenn es ein x M gibt mit (x) = y, so ist dieses x eindeutig bestimmt, da injektiv ist. Setze also { x alls (x) = y, g(y) := x 0 alls y Bild(). Dann gilt oenbar g((x)) = x ür jedes x M. Umgekehrt: Gibt es eine rechtsinverse Abbildung g und sind x, x M mit (x) = (x ), so olgt x = g((x)) = g((x )) = x. (b) Sei surjektiv; zu konstruieren ist eine Rechtsinverse g. Nach Vorausseetzung gibt es zu jedem y N ein Urbild x y ; setze g(y) = x y. Dann gilt (g(y)) = (x y ) = y. Gibt es andererseits eine Linksinverse g, so ist g(y) ein Urbild von y unter. (c) Ist bijektiv, so hat nach (a) ein Linksinverses g l und nach (b) ein Rechtsinverses g r. Folglich gilt g r = id M (g r ) = (g l ) (g r ) = g l (( g r ) ) = g l (id N ) = g l = id M, d.h. g r ist auch linksinvers zu und damit invers zu. Die andere Richtung olgt aus (a) und (b). Die Eindeutigkeit der Inversen schließlich sieht man so: Angenommen g und h seien beide invers zu. Dann gilt h = h id N = h ( g) = (h ) g = id M g = g. Mittels Abbildungen lassen sich Mengen vergleichen; insbesondere kann man einen Begri von ihrer Größe entickeln: Deinition 2.6. Seien M und N zei Mengen. Wir nennen M und N gleichmächtig, enn es eine bijektive Abbildung ϕ: M N gibt. Eine Menge M heißt endlich, enn es ein n N gibt und eine Bijektion : {1,..., n} M, ansonsten heißt M unendlich. Ist M eine endliche Menge und ϕ: {1,..., n} M eine Bijektion, so nennen ir n die Mächtigkeit von M und schreiben n = #M. Die leere Menge hat keine Elemente, daher setzt man # = 0.

12 2. ABBILDUNGEN 12 Satz 2.7. Seien A, B endliche Mengen. Dann gilt #(A B) = #A + #B #(A B). Beeis. Die Aussage ist klar, alls eine der beiden Mengen leer ist Sei also A = {a 1,..., a n } und B = {b 1,..., b m }. 1. Sei A B =. Dann deiniert { a i ür 1 i n, ϕ: {1,..., m + n} A B, ϕ(i) = b i n ür n + 1 i n + m eine bijektive Abbildung. 2. Sei C = B (A B). Dann gilt C (A B) = und B = C (A B), also nach 1. #B = #C + #(A B). Weiterhin ist C A = und A B = A C und iederum nach 1. gilt #(A B) = #A + #C. Insgesamt olgt #(A B) = #A + #C = #A + #B #(A B). Satz 2.8. Seien X und Y endliche Mengen mit #X = #Y = n und : X Y eine Abbildung. Dann sind äquivalent: (i) ist injektiv, (ii) ist surjektiv, (iii) ist bijektiv. Beeis. Es reicht, die Äquivalenz von (i) und (ii) nachzueisen, der Rest ist Deinition. Sei X = {x 1,..., x n }. (i) = (ii): Da injektiv ist, muß das Bild von genau n Elemente haben, also schon ganz Y sein. (ii) = (i): Da surjektiv ist, gilt Y = {(x 1 ),..., (x n )} und egen #Y = n olgt, daß die Elemente (x i ) paareise verschieden sein müssen. Aber dann ist injektiv. Die Aussage des Satzes ird alsch, enn ir die Endlichkeitsvoraussetzung allen lassen. So sind zum Beispiel N und Z gleichmächtig, denn die Zuordnung { n n 2 alls n gerade ist, 1 n 2 alls n ungerade ist deiniert eine Bijektion N Z. Andererseits ist die Inklusion N Z eine injektive aber nicht surjektive Abbildung. Ein eiteres schönes Resultat besagt, dass eine Menge nicht zu ihrer Potenzmenge gleichmächtig sein kann: Satz 2.9 (Schröder-Bernstein). Ist M eine Menge, so kann keine surjektive Abbildung geben. : M P(M) Beeis. Angenommen, es gäbe doch eine solche Abbildung : M P(M). Sei dann T := {x M x (x)}. Dies ist eine sinnvolle Deinition. Da nun surjektiv sein soll, muss es ein m M geben mit (m) = T. Aber das geht nicht: äre m T, so müsste m (m) = T sein, as unsinnig ist. Falls aber m T gilt, so ist m (m), also ist m nach Deinition von T doch ein Element von T, as ieder Unsinn ist. Es ist also eder m T noch m T möglich. Dieser Widerspruch zeigt, dass die Menge T kein Urbild unter haben kann. Das hier verendete Beeisprinzip nennt man das Cantorsche Diagonalverahren.

13 3. RELATIONEN 13 Es ist ot nützlich, Elemente einer Menge durch Indizes zu kennzeichnen. Dabei gehören die Indizes iederum einer Menge an, der sogennanten Indexmenge. Formal geschieht dabei olgendes: Sei : I M eine Abbildung. Dann sagt man, die Menge Bild() ird durch die Menge indiziert; anstelle von (i) schreibt man häuig i und spricht auch von der Familie ( i ) i I oder { i } i I. Das Element i heißt dann die i-te Komponente der Familie. Solche Familien heißen auch I-Tupel (von Elementen von M). Ist I = {1, 2,..., n}, spricht man gemeinhin von n-tupeln. 2-Tupel sind dann geordnete Paare (m 1, m 2 ), 3-Tupel sind Tripel (m 1, m 2, m 3 ), us. Die Mengen-Operationen Vereinigung, Schnitt und Produkt lassen sich auch au Familien ausdehnen: sei I eine nichtleere Indexmenge und (A i ) i I eine Familie von Mengen. Dann ist A i = {x x A i ür enigstens ein i} die Vereinigung und i I A i = {x x A i ür alle i I} i I der Durchschnitt der Mengen A i, i I. Für die endliche Indexmenge I = {1, 2,..., n} schreibt man auch n n A 1... A n = A i bz. A 1... A n = i=1 ür Vereinigung bz. Schnitt. Die Menge der I-Tupel (a i ) i I von Elementen aus A := i I A i mit a i A i ist das kartesische Produkt der Mengen A i, bezeichnet mit A i. Für I = {1,..., n} ist auch i I A 1... A n = gebräuchlich. Für ein j I heißt die Abbildung die j-te Projektion. 3. Relationen n i=1 A i pr j : i I A i A j, (a i ) i I a j Deinition 3.1. Eine Relation zischen den Mengen A und B ist eine Teilmenge R A B. Bei A = B spricht man auch von einer Relation au der Menge A. Ist R eine Relation zischen A und B und ist (a, b) R, so schreibt man auch arb. Beispiele. 1. Sei A eine Menge. Gleichheit ist eine Relation, die durch die Diagonale A := {(a, a) a A} A A gegeben ist. 2. Für eine Funktion : A B deiniert ihr Graph Γ A B eine Relation; diese hat die Eigenschat, dass es zu x A genau ein y B gibt mit xry (nämlich y = (x)). Deinition 3.2. Sei A eine Menge. Eine Relation R au A heißt Ordnungsrelation, enn gilt: (i) Für alle a A gilt ara (Relexivität) (ii) Für alle a, b A gilt: arb bra a = b (Antisymmetrie) (iii) Für alle a, b, c A gilt: arb brc arc (Transitivität) Gilt zusätzlich noch (iv) Für alle a, b A gilt arb oder bra, so heißt R eine Totalordnung au A. i=1 A i

14 3. RELATIONEN 14 Ordnungsrelationen erden meist mit dem Symbol bedacht. Man schreibt dann statt a b und a b kürzer a < b soie a b anstelle von b a. Eine geordnete Menge ist ein Paar (A, ) bestehend aus einer Menge A und einer Ordnungsrelation au A; die Menge heißt total geordnet, enn eine Totalordnung ist. Man nennt zei Elemente a, b einer geordneten Menge A vergleichbar, enn a b oder b a gilt. (Aber nicht alle Elemente müssen vergleichbar sein.) Beispiele. 1. Die natürliche Ordnung ist eine Totalordnung au R und damit auch au jeder Teilmenge von R. 2. Sei M eine Menge. Dann deiniert die Inklusion eine Ordnung au der Potenzmenge P(M), die keine Totalordnung ist. 3. Sei (A i, ) i I eine Familie geordneter Mengen. Dann deiniert die Vorschrit (a i ) (b i ) a i b i ür alle i eine Ordnung au dem Produkt i A i, die sogenannte Produktordnung. Selbst enn jede der Mengen A i total geordnet ist, ist die Produktordnung im allgemeinen keine Totalordnung. 4. Seien A 1,..., A n total geordnete Mengen. Deiniere (a 1,..., a n ) lex (b 1,..., b n ) (a 1,..., a n ) = (b 1,..., b n ) oder a i b i ür das kleinste i mit a i b i. Diese Ordnung ist eine Totalordnung und heißt (aus ziemlich oensichtlichen Gründen) die lexikographische Ordnung. Ein Element a einer geordneten Menge (A, ) heißt maximal, enn a a ür jedes mit a vergleichbare Element a gilt, und ein größtes Element, enn a a ür alle a A; entsprechend sind minimale und kleinste Elemente deiniert. Schließlich nennt man eine Totalordnung au einer Menge A eine Wohlordnung, enn jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt. Eine zeite, ichtige Klasse von Relationen erlaubt das Identiizieren von an sich verschiedenen Objekten, die man als äquivalent ansehen möchte: Deinition 3.3. Sei A eine Menge. Eine Relation R au A heißt Äquivalenzrelation, enn gilt: (i) Für alle a A gilt ara (Relexivität) (ii) Für alle a, b A gilt: arb bra (Symmetrie) (iii) Für alle a, b, c A gilt: arb brc arc (Transitivität) Für Äquivalenrelationen benutzt man meist das Symbol. Zei Elemente a, b heißen äquivalent, enn a b (und damit auch b a) gilt. Die Menge der zu einem a A äquivalenten Elemente nennt man die Äquivalenzklasse von a, ot bezeichnet mit [a], gelegentlich auch mit a. Es ist also [a] = {x A x a}. Da Äquivalenzrelationen symmetrisch ist, sind Äquivalenklassen nicht leer, denn es ist a [a]. Satz 3.4. Sei eine Äquivalenzrelation au der Menge A und seien a, b A. Dann sind äquivalent: (i) [a] [b] (ii) a b (iii) [a] = [b] Beeis. (i) (ii): Sei c [a] [b]. Dann gilt a c und c b, egen Transitivität also auch a b. (ii) (iii): Sei x [a]. Dann gilt x a und a b, also x b und damit x [b]. Dies zeigt [a] [b]; die andere Inklusion olgt auch, da das Argument symmetrisch ist. (iii) (i) ist klar. Damit ist der Ringschluss komplett. Es olgt, dass eine Äquivalenzrelation au einer Menge A diese Menge in paareise disjunkte Teilmengen zerlegt.

15 ANHANG: AXIOME DER MENGENLEHRE 15 Anhang: Axiome der Mengenlehre Das nacholgende Axiomensystem ird mit ZFC bezeichnet; ohne das 10. Axiom ( Choice ) nur mit ZF, nach Zermelo und Fraenkel. 1. Existenz der leeren Menge: Es gibt eine Menge, so dass ür jede Menge x gilt: x. 2. Extensionalität: Zei Mengen x, y sind genau dann gleich, enn sie die gleichen Elemente enthalten, d.h. enn gilt: α x α y. 3. Paarbildung: Seien x, y Mengen, so existiert eine Menge M, die genau x und y als Elemente hat. Man schreibt dann M = {x, y}. 4. Vereinigungsmenge: Sei X eine Menge, dann ist auch X = x X x eine Menge. 5. Potenzmenge: Sei x eine Menge, dann ist auch P(x) = {y x} eine Menge. 6. Unendlichkeitsaxiom: Es gibt eine Menge, die enthält und mit jedem Element x auch x {x}. 7. Fundierungsaxiom: Jede nichtleere Menge x enthält ein Element y mit x y =. 8. Aussonderung: Sei X eine Menge und P ein einstelliges Prädikat (eine Eigenschat). Dann ist {x X P (y)} eine Menge. 9. Ansammlung: Sei X eine Menge und P ein zeistelliges Prädikat. Wenn es zu jedem x X ein y gibt, so dass P (x, y), so existiert eine Menge Y, aus der passende y geählt erden können. 10. Ausahlaxiom: Sei X eine Menge, so dass jedes Element nichtleer ist. Dann existiert eine Funktion, die jedem x X ein Element aus x zuordnet, d.h. x X (x) x. Nützlich ist noch der Begri einer Klasse als einer Gesamtheit, die von einer Eigenschat aus dem Mengenuniversum ausgesondert erden. (Klassen lassen also de Russelsche Antinomie zu!) Mit dem Klassenbegri kann man anstelle der Ansammlung auch olgendes Axiom verenden: 9. Ersetzung: Ist F eine Funktion von einer Klasse D F in die Klasse R F, so ist das Bild jeder Menge X unter F ieder eine Menge. Das Unendlichkeitsaxion garantiert die Existenz einer Menge N mit den Elementen 0 =, 1 = { }, 2 = {, { }} = {0, 1} 3 = {, { }, {, { }} = {0, 1, 2}.

16 ANHANG: AXIOME DER MENGENLEHRE 16 Äquivalent ist zum Fundierungsaxiom olgende Formulierung. Betrachte den Baum der Menge M: die Wurzel ist M, darüber liegen alle Elemente von M, us.. Dann hat jeder Zeig endliche Länge. (Das letzte Element nennt man dann ein Blatt des Baumes.) Beispiel: M = {1, {1, 2}} (obei 0 =, 1 = { }, 2 = {, { }}, us.) {1, 2} M Denn: Angenommen es existiert ein unendlich langer Zeig. Dann gibt es eine Folge m 0 = M, m 1 m 0,..., m n m n 1,.... Aber dann ist X = {m 0, m 1, m 2,...} eine nichtleere Menge, so dass jedes Element nichtleeren Schnitt mit X hat. Bemerkungen. 1) Das Fundierungsaxiom macht die Russelsche Antinomie unmöglich: keine Menge ist Element ihrer selbst! Beeis. Sei A eine Menge mit A A. Deiniere B = {A} (Paarbildungsaxiom). Aus dem Fundierungsaxiom olgt, dass A, das einzige Element von B, leeren Schnitt mit B haben muss, d.h. A B =. Aber A A und A B impliziert A A B, ein Widerspruch. 2) Sei eine Funktion au N mit (n + 1) (n) ür alle n. Deiniere S = {(n) : n N}; dies ist eine Menge. Dann impliziert das Fundierungsaxiom (F): es existiert ein (k) mit (k) S =. Aber per Deinition von und S ist (k + 1) (k) S, ein Widerspruch. Also olgt aus (F), dass es eine solche Funktion nicht geben kann. 3) Bezeichne nun (F ) das olgende (schächere) Axiom: (F ) Es gibt keine unendlich absteigende Folge von Mengen. Dann gilt: (F ) + (Ausahlaxiom) (F). Beeis. Sei S eine Menge, so dass ür jedes s S gilt: s S. Sei g eine Ausahlunktion ür S, d.h. g(s) s. Deiniere eine Funktion ua N ie olgt: (0) = g(s) (n + 1) = g((n) S) Dann gilt (n) S ür jedes n und (n + 1) (n). 4) Das Fundierungsaxiom erlaubt die Deinition des geordneten Paares (a, b) als {a, {a, b}} (statt {{a}, {a, b}}). 5) Das Ausahlaxiom ist äquivalent zum Wohlordnungssatz: Jede Menge kann ohlgeordnet erden. Gödel 2 hat gezeigt: Es ist nicht möglich, die Widerspruchsreiheit dieses Axiomensystems ZFC zu beeisen! 2 Kurt Gödel, , einer der bedeutendsten Logiker des 20. Jahrhunderts. Seine berühmten Unvollständigkeitssätze zeigten, dass Hilberts Programm, die Widerspruchsreigeit der Mathematik zu nachzueisen, zum Scheitern verurteilt ar. Ein vollständiger Beeis des ersten Unvollständigkeitssatzes indet man auch in D. Hostadters Buch Gödel, Escher, Bach.