10.2 Kurven und Bogenlänge

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1 10.2 Kurven und Bogenlänge Definition: Sei c = (c 1,..., c n ) : [, b] R n eine stetige Funktion. Dnn wird c ls Kurve im R n bezeichnet; c() heißt Anfngspunkt, c(b) heißt Endpunkt von c. c heißt geschlossene Kurve, flls c() = c(b). Flls c : [, b] R n eine C 1 -Funktion, d.h. jede Koordintenfunktion c j (t) ist stetig differenzierbr, so heißt c(t) eine C 1 -Kurve. c(t) heißt stückweise C 1 -Kurve, flls es eine Zerlegung = t 0 < t 1 <... < t m = b gibt, so dss c(t) uf jedem Teilintervll [t j, t j+1 ] eine C 1 -Funktion ist. Die Kurve c heißt gltt, flls d dt c(t) := ċ(t) = (c 1(t),..., c n(t)) T 0 für lle t [, b]. Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 140

2 Beispiele: Die Kurve beschreibt einen Kreis im R 2. Die Kurve c(t) := (cos(t),sin(t)) T t [0, 2π] c(t) = (r(t sin(t)), r(1 cos(t)) T beschreibt eine Zykloide. Wegen ċ(t) = (r(1 cos(t)), r sin(t)) T ist die Kurve n den Stellen t = 2πk, k Z, nicht gltt. Die Kurve c(t) = (r cos(2πt), r sin(2πt), ht) T für t R beschreibt eine Schrubenlinie (Helix) mit Rdius r und Gnghöhe h. Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 141

3 Umprmetrisierung von Kurven. Ist c : [, b] R n eine Kurve und h : [α, β] [, b] eine stetige, bijektive und monoton wchsende Abbildung, so ht die Kurve (c h)(τ) = c(h(τ)) für α τ β die gleiche Gestlt und den gleichen Durchlufsinn wie die Kurve c. Bemerkungen: Mn nennt t = h(τ) eine Umprmetrisierung (Prmeterwechsel). Die Kurven c und c h werden ls gleich ngesehen. Im Fll einer C 1 -Kurve werden nur C 1 -Prmeterwechsel zugelssen. Jede stetige Funktion y = f(x), x b beschreibt eine Kurve mit c(x) := (x, f(x)) T für x b bzw. c(t) := ( + t(b ), f( + t(b ))) T für 0 t 1. Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 142

4 Die Bogenlänge einer Kurve. Sei Z = { = t 0 < t 1... < t m = b} eine Zerlegung von [, b], so ist L(Z) := m 1 j=0 c(t j+1 ) c(t j ) eine untere Schrnke für die Bogenlänge der Kurve c(t). Definition: Ist die Menge {L(Z) : Z Z[, b]} nch oben beschränkt, so heißt die Kurve c rektifizierbr, und in diesem Fll ist L(c) := sup{l(z) : Z Z[, b]} = lim Z 0 L(Z) die Länge der Kurve c. Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 143

5 Berechnung der Bogenlänge einer C 1 -Kurve. Stz: Jede C 1 -Kurve ist rektifizierbr, und es gilt L(c) = b ċ(t) dt Beweisidee: Zunächst gilt die Drstellung m 1 L(Z) = n (c k (t j+1 ) c k (t j )) 2 j=0 k=1 und nch dem Mittelwertstz gibt es Zhlen τ kj mit t j τ kj t j+1, so dss c k (t j+1 ) c k (t j ) = c k(τ kj ) (t j+1 t j ), somit L(Z) = m 1 j=0 n (c k (τ k j )) 2 (t j+1 t j ). k=1 Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 144

6 Beispiel. Berechnen die Länge eines Zykloidenbogens c(t) = (r(t sin(t)), r(1 cos(t))) T für 0 t 2π mit ċ(t) = (r(1 cos(t)), r sin(t)) T ċ(t) = r (1 cos(t)) 2 + sin 2 (t) = 2r sin(t/2) L(c) = 2r 2π 0 sin(t/2)dt = 8r Bemerkung: Die Bogenlänge einer C 1 Kurve ist unbhängig von der Prmetrisierung, denn es gilt L(c h) = β α ċ(h(τ))h (τ) dτ = β α ċ(h(τ)) h (τ)dτ = b ċ(t) dt = L(c) Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 145

7 Die Bogenlängenfunktion einer C 1 -Kurve. Definition: Sei c : [, b] R eine C 1 Kurve. Die Funktion S(t) := t heißt die Bogenlängenfunktion von c. ċ(τ) dτ Ist c gltt, so ist S : [, b] [0, L(c)] ein C 1 -Prmeterwechsel. Die Umkehrbbildung t = S 1 (s), 0 s L(c), ist dnn ebenflls ein C 1 -Prmeterwechsel. Die Prmetrisierung c(s) = c(s 1 (s)) für 0 s L(c) von c nennt mn die Prmetrisierung nch der Bogenlänge. Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 146

8 Eigenschften der Bogenlängenprmetrisierung. Bemerkung: Für die Bogenlängenprmetrisierung c(s) = c(s 1 (s)) gilt: Die Ableitung von c(s) ist gegeben durch c (s) = ċ(s 1 (s)) 1 ċ(s 1 (s)) Dher ist c (s) ist ein Einheitsvektor, d.h. mit dieser Prmetrisierung wird die Kurve mit konstnter Geschwindigkeit 1 durchlufen. Weiterhin ist c (s) der Einheitstngentenvektor von c. Aus c (s), c (s) = 1 folgt durch Differentition c (s), c (s) = 0 d.h. der Beschleunigungsvektor c (s) bezüglich der Bogenlänge steht senkrecht uf dem Geschwindigkeitsvektor c (s). Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 147

9 Huptnormle und Krümmung. Definition: Sei c(s) = c(s 1 (s)) die Bogenlängenprmetrisierung der Kurve c. Dnn bezeichnet mn den Vektor n(s) := ls den Huptnormlenvektor von c. Die Funktion κ(s) := c (s) nennt mn die Krümmung von c. c (s) c (s) für 0 s L(c) Beispiel: Mit der Prmetrisierung des Einheitskreises nch der Bogenlänge: c(s) = (cos(s),sin(s)) für 0 s 2π n(s) = c (s) = (cos(s),sin(s)) κ(s) 1 Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 148

10 Prmetrisierungen von Funktionsgrphen. Betrchte Grph von y = y(x) ls Kurve im R 2, d.h. c(x) = (x, y(x)) T. Dnn: c (x) = (1, y (x)) T ds = 1 + (y (x)) 2 dx L(c) = b 1 + (y (x)) 2 dx κ(x) = y (x) 1+(y (x)) 2 3 Betrchte nlog für y(x) und z(x) die Kurve c(x) = (x, y(x), z(x)) T R 3 : c (x) = (1, y (x), z (x)) T ds = 1 + (y (x)) 2 + (z (x)) 2 dx (Bogenlängenelement) L(c) = b 1 + (y (x)) 2 + (z (x)) 2 dx (1 + (y ) κ(x) = + (z ) 2 )((y ) 2 + (z ) 2 ) (y y + z z ) 2 (1 + (y ) 2 + (z ) 2 ) Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 149

11 Polrkoordinten und Kugelkoordinten. Für die Polrkoordinten r r(t), ϕ ϕ(t) im R 2 gilt: c(t) = (r cos(ϕ), r sin(ϕ)) T für t b L(c) = b ṙ2 + r 2 ϕ 2 dt. Für die Kugelkoordinten r r(t), ϕ ϕ(t), ψ ψ(t) im R 3 gilt: c(t) = (r cos(ϕ)cos(ψ), r sin(ϕ)cos(ψ), r sin(ψ)) T für t b L(c) = b ṙ 2 + r 2 ϕ 2 cos 2 (ψ) + r 2 ψ 2 dt. Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 150

12 Beispiel: Krdioide in Polrkoordinten. Betrchte die Krdioide (Herzlinie) in Polrkoordinten: r = (1 + cos(ϕ)) für > 0, 0 ϕ 2π. Für den Umfng (d.h. Bogenlänge) der Krdioide gilt: L(c) = 2π 0 2π 2 sin 2 (ϕ) + 2 (1 + cos(ϕ)) 2 dϕ = 2 0 cos ϕ 2 dϕ = 8 Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 151

13 Die von einer Kurve umschlossene Fläche. Stz: Für die von einer C 1 -Kurve c(t) = (x(t), y(t)) T R 2 überstrichene Fläche gilt: F(c) = 1 2 b (x(t)ẏ(t) ẋ(t)y(t)) dt Beweisskizze: Summiere für eine Zerlegung Z Z[, b] über die Flächen F i = 1 2 c(t i) c(t i+1 ) = 1 2 (x iy i+1 x i+1 y i ) für 0 i m 1. F(Z) = 1 2 = (x i y i+1 x i+1 y i ) = 1 2 m 1 i=0 m 1 i=0 b m 1 i=0 ( y i+1 y i x i x ) i+1 x i y i t i+1 t i t i+1 t i (x(t)ẏ(t) ẋ(t)y(t)) dt. x i y i+1 x i+1 y i t i+1 t i Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 152 t i t i

14 Beispiel: Die Archimedische Spirle. Die Archimedische Spirle ist in Polrkoordinten gegeben durch x = ϕ cos(ϕ), y = ϕ sin(ϕ), für > 0, ϕ R Berechnung des Umfngs (Bogenlänge) und der Fläche der innersten Schleife: und mit gilt L(c) = = 2 π/2 F = 1 2 π/ ϕ 2 dϕ [ ϕ 1 + ϕ 2 + log π/2 π/2 (ϕ ϕ 2 )] π/2 xẏ ẋy = r 2 ϕ r 2 dϕ = 2 2 π/2 π/2 π/2 ϕ 2 dϕ Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 153

15 10.3 Kurvenintegrle Definition: Sei f : D R, D R n, eine stetige Funktion und c : [, b] D eine stückweise C 1 -Kurve. Dnn wird ds Kurvenintegrl (Linienintegrl) von f(x) längs c definiert durch c f(x)ds := b f(c(t)) ċ(t) dt. Nottion: Für eine geschlossene Kurve c schreibt mn uch f(s) ds. c Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 154

16 Prmetrisierungsinvrinz von Kurvenintegrlen. Stz: Ds Kurvenintegrl ist unbhängig von der Prmetrisierung der Kurve. Beweis: Für einen Prmeterwechsel h : [α, β] [, b] einer Kurve c gilt β f(x) ds = f(c(h(τ))) d dτ c(h(τ)) dτ c h = = = α β α b c f(c(h(τ))) ċ(h(τ)) h (τ)dτ f(c(t)) ċ(t) dt f(x) ds Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 155

17 Beispiel. Betrchte einen krummlinigen mit Msse belegten Drht, beschrieben durch eine C 1 -Kurve c und mit der (inhomogenen) Mssendichte ρ. Für die Gesmtmsse des Drhtes bekommt mn b ρ(x)ds := ρ(c(t)) ċ(t) dt. c Der Schwerpunkt des Drhtes liegt bei ρ(x)x ds x S = c c ρ(x)ds Ds Trägheitsmoment des Drhtes ist gegeben durch θ = ρ(x)r 2 (x)ds wobei r(x) der Abstnd von der Drehchse ist. c Anlysis II TUHH, Sommersemester 2007 Armin Iske 156