2. Klausur zur Theoretischen Physik I (Mechanik)

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1 2. Klausur zur Theoretischen Physik I (echanik) Aufgabe 1 Physikalisches Pendel 4 Punkte Eine homogene, kreisförmige, dünne Platte mit Radius R und asse ist am Punkt P so aufgehängt, daß sie unter Einfluß der Schwerkraft in ihrer Körperebene eine Pendelbewegung vollführen kann (siehe Skizze). 1. Berechnen Sie das für die Schwingung relevante Trägheitsmoment der Scheibe bezüglich der senkrecht durch den Aufhängepunkt P verlaufenden Rotationsachse. 2. Bestimmen Sie für kleine Auslenkungen α die der Schwingungsbewegung zugrundeliegende Differentialgleichung und lesen Sie daran die zugehörige Schwingungsfrequenz ω ab. 3. Bestimmen Sie die Länge l eines Fadenpendels mit gleicher Schwingungdauer T = 2π/ω wie obiges physikalisches Pendel. 1. an berechne zunächst das Trägheitsmoment bzgl. einer Achse durch den Schwerpunkt (= ittelpunkt) der Scheibe: Θ z = dm(x 2 + y 2 ). In Polarkoordinaten, x = r cos φ, y = r sin φ, gilt mit σ = /(πr 2 ) und man erhält dm = σrdrdφ mit r [0, R] und φ [0, 2π] R 2π Θ z = σ drr 3 dφ = πσr4 = 1 2 R2. Das Trägheitsmoment Θ P bzgl. P erhält man dann mit dem Satz von Steiner: Θ P = Θ z + R 2 = 3 2 R2. 2. Entweder mit Lagrange-Formalismus: V = gr(1 cos α) T = T rot = 1 2 Θ P α 2 L = T V = 1 2 Θ P α 2 gr(1 cos α) also d L dt α L α = d dt (Θ P α) + gr sin α = 0

2 und damit für kleine Auslenkungen (sin α α) α + Rg α = α + 2 g Θ P 3 R α = 0. Oder alternativ direkt über das Drehmoment (Drehimpulssatz, L = ˆΘ ω): L = = r F Θ P α = gr sin α. 3. Die Schwingungsfrequenz für das physikalische Pendel liest man an der Differentialgleichung ab: ω 2 = R Θ P = 2g. 3R Für ein Fadenpendel hat man α + g l α = 0, also ω 2 = g. Gleichsetzen liefert l l = Θ P R = 3 2 R. Aufgabe 2 Abrollen eines zylindrischen Rohrs 5 Punkte Wir betrachten ein zylindrisches Rohr, das mit waagerecht liegender Achse auf einer um den Winkel α gegen die Horizontale geneigten schiefen Ebene im Schwerefeld ohne Schlupf abrollen kann. Das Rohr habe dabei die Länge h, eine asse, die homogen auf die Wandung verteilt ist, sowie Innen- und Außenradien r i und r a. 1. Welche Freiheitsgrade hat das System? Wie lautet die Zwangsbedingung? 2. Stellen Sie die Lagrangefunktion für das System auf. (Trägheitsmoment!) 3. Geben Sie die Bewegungsgleichungen an. 4. Denken Sie sich das Rohr ersetzt durch ein Rohr infinitesimaler Dicke mit derselben asse und demselben Außenradius einen homogen ausgefüllten Stab mit derselben asse und demselben Außenradius einem reibungsfrei rutschenden assenpunkt derselben asse. Wie unterscheidet sich die Dynamik der Bewegung Situationen? (Begründung!) 1. Die Rollbed. ṡ = r a ϕ reduziert die Zahl der Freiheitsgrade auf einen. 2. T,V und L T = 2 ṡ2 + θ S 2 ϕ2 = 1 [ + θ ] S ṡ 2 2 ra 2 V = gs sin α L =T V = 1 2 [ + θ S r 2 a ] ṡ 2 + gs sin α (1)

3 Wir benötigen ausserdem θ S als Funktion der Radien bei fester Gesamtmasse : wobei = ρ 2πh und also ra θ S = ρ 2πh ra r i r 2 rdr = ρ 2πh 1 4 (r4 a r 4 i ) (2) r i rdr = ρ 2πh 1 2 (r2 a r 2 i ) ρ = θ S = 2πh 1 4 (r4 a r 4 i ) 2πh 1 2 (r2 a r 2 i ) = 2 2πh 1 2 (r2 a r 2 i ) (3) (r 4 a r 4 i ) (r 2 a r 2 i ) = 2 (r2 a + r 2 i ) (4) 3. BGL: [ + θ ] S s g sin α = 0 s = ra θ S r 2 a g sin α (5) 4. Das Trägheitsmoment verlangsamt die Beschleunigung umso mehr je grösser es ist. Deshalb beschleunigt der assenpunkt am stärksten, die Rohre umso langsamer je dünner die assebelegte Wand. Es ergibt sich die Hierarchie θ S = 2 (r2 a + ri 2 ) ra 2 für r i r a (dünnwandiges R.) (unser Fall) 2 r2 a für r i 0 (Vollzyl.) 0 für r a, r i 0 (Punkt) Alternativ: Um alles in x auszudrücken ersetze s = x/ cos α. ϕ = s/r a übersetzt nach ϕ Aufgabe 3 Stoß an Stock auf Eis 4 Punkte Ein dünner Stab der Länge l und der asse liegt auf einer reibungsfreien Eisfläche. Ein Hockeypuck der asse m und der Geschwindigkeit v stößt diesen senkrecht im Abstand d vom Schwerpunkt. Nach dem elastischen Stoß sei der Puck in Ruhe. (6) 1. Welche Erhaltungsgrößen hat das System? Bestimmen Sie die Bewegung des Stabes. 2. Wo befindet sich der Stab nach einer vollen Umdrehung (Skizze)? 3. Berechnen Sie das Verhältnis /m als Funktion von l/d. Hinweis: Trägheitsmoment eines dünnen Stabes um seinen ittelpunkt: I = 1 12 l2

4 1. Wähle Ursprung des Systems: Schwerpunkt des ruhenden Stabes. Bewegung des Stab-Schwerpunktes nach dem Stoß ergibt sich aus Impulserhaltung: P s = V s = mv V s = mv Schwerpunkt des Stabes bewegt sich geradlinig vom Ursprung weg kein Bahndrehimpuls des Stabes Drehimpuls des Stabes um Ursprung ist gleich dem Drehimpuls um seinen Schwerpunkt. Drehimpulserhaltung: 2. Zeit für volle Umdrehung: mvd = Iω ω = mvd I = 12mvd l 2 Schwerpunktsbewegung in dieser Zeit: t = 2π ω s = V s t = mv ( 12mvd 2π l 2 = π l 2 6 d Die Richtung dieser Bewegung verläuft exakt senkrecht zur Ausgangslage des Stabes. 3. Energieerhaltung: m 2 v2 = 2 V s 2 + I 2 ω2 = 2 ( mv ) l2 2 = m2 2 v2 + 6m2 d 2 l 2 1 = m + 12d2 m l 2 v2 ) 1 ( mvd 1 12 l2 ) 2 m = (d/l)2

5 Aufgabe 4 Streuung von Lichtstrahlen an einer totalreflektierenden Kugel 3 Punkte An einer totalreflektierenden Kugel mit Radius R werden Lichtstrahlen gestreut (siehe Bild). Bestimmen Sie den Zusammenhang zwischen dem Abstand b und dem Streuwinkel θ. Leiten Sie daraus den differentiellen Wirkungsquerschnitt dσ ab. Wie groß ist der totale dω Wirkungsquerschnitt? Hinweis: Benutzen Sie die Beziehung sin 2x = 2 sin x cos x Aus der Zeichnung kann man ablesen: b = R sin α (7) θ = π 2α (8) Auflösen von (8) nach α und Einsetzen in (7) gibt b = R sin( π 2 θ 2 ) = R cos θ 2 (9) Damit ergibt sich dσ dω = b sin θ db dθ = R cos θ 2 sin θ R 2 sin θ 2 = R2 4 Der totale Wirkungsquerschnitt ergibt sich somit zu σ = dω dσ R2 = 4π dω 4 = πr2 (11) Aufgabe 5 Stabilität von Kreisbahnen 2 Punkte Gegeben sei ein Zentralkraft-Potential U(r) = km/r n (k > 0, konstant). Geben Sie ausgehend vom effektiven Potential (L sei der erhaltene Drehimpuls) L2 U eff (r) = U(r) + 2mr 2 zunächst eine Bedingung für die Existenz stabiler Kreisbahnen an (d.h. für kleine Auslenkungen von der Kreisbahn wirkt eine rücktreibende Kraft hin zum stabilen Radius). Zeigen Sie dann, dass die Stabilitätsbedingung n < 2 im Potential U(r) erforderlich macht. Stabile Kreisbahn erfordert inimum im effektivem Potential: (10) du eff dr = 0 und d2 U eff dr 2 > 0.

6 D.h. explizit für obiges Potential also du eff = kmn L2 dr rn+1 mr = 0 3 L2 = km2 n r n 2 d 2 U eff kmn(n + 1) = + 3L2 dr 2 r n+2 mr 4 kmn(n + 1) = + 3kmn > 0 r n+2 r n+2 kmn [3 (n + 1)] > 0 3 (n + 1) > 0 n < 2. rn+2

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