Musterbildung. Vom Kleinen zum Großen. 4. Lange Nacht der Mathematik. Thomas Westermann. Formen u. Muster. Differenzialgleichungen.

Transkript

1 bildung Vom Kleinen zum Großen Thomas Westermann 4. Lange Nacht der Mathematik HS Karlsruhe 12. Mai 2006

2 Formen und

3 Formen und

4 Formen und

5 Formen und

6 A R U B L

7 R L UB = UR + UL U B U = RI() t + LI'() t B R U t B L It () = (1 e ) R Modellierung Verständnis der Vorgänge

8 Viele Ingenieurprobleme werden durch Modelle beschrieben, die auf (partielle) führen. Bei einfachen Problemen/DG Ausgereifte Methoden der Mathematik Kontinuierliche Beschreibung Bei komplizierten Vorgängen Geeignete DG finden DG lösen 2 2 a a a = μa+ Da + a 2 t b x b b = + + t x 2 2 a νb Db b 2 0? 0

9 Beschreibung Schneeflocke Küste Farn Fraktalgemüse

10 Beschreibung Kochsche Schneeflocke

11 Beschreibung Kochsche Schneeflocke

12 Beschreibung Geometrische Eigenschaften - Objekt entsteht durch eine Iteration (Rekursion) - Start mit einer Anfangskonfiguration - Feste Regel, die lokal angewendet wird - Besitzt bei beliebiger Vergrößerung noch Feinstruktur - Selbstähnlich - Unendlicher Umfang aber beschränkter Flächeninhalt Objekte, welche die obigen Eigenschaften besitzen, bezeichnet man als (lat. fractus = gebrochen).

13 Beschreibung

14 Fellmuster?

15 Zwiebelzellen: Waben: Prinzipien natürlicher bildung Regelmäßige Anordnung Zellen sind regelmäßig in einem Verbund angeordnet. Alle Zellen sind gleich und haben identische Struktur. Jede Zelle hat die gleiche Funktion Software. Wechselwirkung Nur lokale Interaktion mit Nachbarn. Die Entwicklung einer Zelle kann nur von ihr selbst und ihren Nachbarn beeinflusst werden. r Automat - besteht aus einem Verbund von Zellen (Gitter) - und die Wechselwirkung erfolgt durch lokal definierte Regeln.

16 Bausteine zellulärer 1. Zellraum Gleiche diskrete Zellen Alle Zellen identisch 2. Nachbarschaften 3. Zustandsentwicklung Anfangszustand Übergangsregeln: Die Zustandsentwicklung jeder Zelle hängt nur von dem Zustand der Zelle selbst und ihren Nachbarn ab.

17 1D zellulärer Automat? Regeln 0? 0 n 1? 0 n 0 n+1 1? 1 n 1 n+1 0? 1 n 0 n+1 1 n+1 Ergebnis n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4

18 Reaktions-s-Modell Konkurrenz als macher Modell nach Turing: entstehen durch Konkurrenz zwischen zwei unterschiedlichen Kräften. Annahme: Zwei chemische Substanzen: Morphogene Aktivator: initiiert und verstärkt eine Struktur Inhibitor: verhindert und schwächt Strukturbildung ab Aktivator Inhibitor

19 Reaktions-s-Modell Modell nach Young Zellraum: zweidimensionales Gebiet Nachbarschaft: Kreis mit Radius R Zustände: schwarz: aktive, differenzierte Zelle weiß: inaktive, undifferenzierte Zelle Regeln: Nur die differenzierten Zellen können die zwei Morphogene bilden, die Summe der Aktivator und Inhibitor Einflüsse entscheidet! Der Aktivator erhält das Gewicht 1, aber nur einen kleinen Aktionsradius R a < R. Der Inhibitor erhält das Gewicht w i, er wirkt in der äußeren Nachbarschaft zwischen R a und R.

20 Reaktions-s-Modell Variation der Inhibitorstärke w i w i =

21 Ende

22 Literatur: M. Reck: Wie kommt der Leopard zu seinen Flecken, MNU51/1, 38, 1998 M. Gerhardt, H. Schuster: Das digitale Universum, Vieweg 1995 H. Meinhardt: Wie Schnecken sich in Schale werfen, Springer 1997 J. Murray: Wie der Leopard zu seinen Flecken kommt, Spektrum der Wissenschaft 5, 88, 1988 Bilder: Google Programme: Matthias Süß, Hochschule Karlsruhe, Seminararbeit im Studiengang Sensorsystemtechnik Michael Reck, Klettgau-Gymnasium, Waldshut-Tiengen Kontakt: thomas.