3 Evaluation als Beschreibung von Zuständen

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1 Evaluation als Beschreibung von Zuständen 1 Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? 1.1 In einer Klumpenstichprobe werden systematisch anfallende Cluster von Personen vollständig untersucht. Die Cluster hingegen werden zufällig aus der Menge aller möglichen Cluster in der Population gezogen. 1. In einer geschichteten Stichprobe werden die Elemente nach spezifischen Merkmalskombinationen handverlesen, wobei darauf geachtet wird, dass diese Merkmalskombinationen am Ende so genau wie möglich die Verhältnisse in der Population widerspiegeln. 1. Die Punktprävalenz gibt den Anteil der innerhalb eines bestimmten Zeitraums neu hinzugekommenen Erkrankten an. 1.4 Die Lebenszeitprävalenz gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine beliebige Person im Laufe ihres Lebens mindestens einmal positiv diagnostiziert wird. Gisela hat in einem Test zur Messung von Ängstlichkeit einen Testwert von 0 erreicht. Der Test ist so geeicht, dass der Populationsmittelwert m 1 und die Populationsstreuung s beträgt. In der Population sind die Werte normalverteilt..1 Berechnen Sie den Standardwert (z-wert) für Gisela.. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für diesen (oder jeden größeren) Wert unter der Verteilung aller möglichen Werte: Ist Gisela überzufällig ängstlich?. Welchen Prozentrang hat Gisela? Von 1000 zufällig befragten Personen in Rheinland-Pfalz sind 40 arbeitslos, in Hessen sind es von ebenfalls 1000 zufällig befragten Personen 70. Beurteilen Sie die statistische Bedeutsamkeit dieses Unterschieds anhand eines Binomialtests. 1

2 4 In einer Stichprobe mit n1 500 Männern und n 500 Frauen beträgt der Unterschied in der Intelligenz (gemessen mit einem Intelligenztest) x 1 x (sˆ 1 sˆ 15). Beurteilen Sie die statistische Bedeutsamkeit dieses Unterschieds anhand eines t-tests für unabhängige Stichproben. Beurteilen Sie die praktische Bedeutsamkeit dieses Unterschieds anhand des d-maßes von Cohen (1988)!

3 Evaluation als Beschreibung von Zuständen Antworten 1 Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? 1.1 In einer Klumpenstichprobe werden systematisch anfallende Cluster von Personen vollständig untersucht. Die Cluster hingegen werden zufällig aus der Menge aller möglichen Cluster in der Population gezogen. Richtig. 1. In einer geschichteten Stichprobe werden die Elemente nach spezifischen Merkmalskombinationen handverlesen, wobei darauf geachtet wird, dass diese Merkmalskombinationen am Ende so genau wie möglich die Verhältnisse in der Population widerspiegeln. Falsch. Eine geschichtete Stichprobe ist vielmehr darüber definiert, dass aus vorher definierten Teilpopulationen zufällig Elemente gezogen werden. 1. Die Punktprävalenz gibt den Anteil der innerhalb eines bestimmten Zeitraums neu hinzugekommenen Erkrankten an. Falsch. Die Prävalenz gibt die Anzahl all jener Individuen an, die zu einem bestimmten Zeitpunkt oder während einer bestimmten Zeitperiode krank sind. 1.4 Die Lebenszeitprävalenz gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der eine beliebige Person im Laufe ihres Lebens mindestens einmal positiv diagnostiziert wird. Richtig.

4 Gisela hat in einem Test zur Messung von Ängstlichkeit einen Testwert von 0 erreicht. Der Test ist so geeicht, dass der Populationsmittelwert m 1 und die Populationsstreuung s beträgt. In der Population sind die Werte normalverteilt..1 Berechnen Sie den Standardwert (z-wert) für Gisela. So sieht die Gleichung für die Berechnung des Standardwerts für Gisela aus: zm xm µ σ. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für diesen (oder jeden größeren) Wert unter der Verteilung aller möglichen Werte: Ist Gisela überzufällig ängstlich? Ein z-wert von 4 (oder größer) hat unter der Normalverteilung eine Wahrscheinlichkeit von p 0,0000, ist also sehr unwahrscheinlich. Gisela ist demnach überzufällig ängstlich, da sie signifikant vom Populationsdurchschnitt abweicht.. Welchen Prozentrang hat Gisela? Da die Wahrscheinlichkeit für einen z-wert von 4 (oder größer) unter der Normalverteilung p 0,0000 beträgt, beträgt der Prozentrang (d. h. der Anteil derjenigen Personen, die einen kleineren Wert haben): PR (1 0,0000 ) ,99 %. Von 1000 zufällig befragten Personen in Rheinland-Pfalz sind 40 arbeitslos, in Hessen sind es von ebenfalls 1000 zufällig befragten Personen 70. Beurteilen Sie die statistische Bedeutsamkeit dieses Unterschieds anhand eines c²-tests. Den Binomialtest haben wir bislang nur für den Vergleich zwischen einem Häub figkeitswert f (gewonnen aus einer Teststichprobe der Größe N) und der entsprechenden relativen Häufigkeit in der Gesamtpopulation π kennen gelernt. Die Formel für den Binomialtest lautet: f b N π z N π (1 π ) mit b f Absolute Häufigkeit in einer Teststichprobe, l N Größe der Teststichprobe, l π Relative Häufigkeit des Merkmals in der Population. l 4

5 Wenn man wie in der Beispielaufgabe die absolute Häufigkeit in der Teststichprobe nicht gegen den Populationskennwert π, sondern gegen die absolute Häufigkeit in einer Vergleichsstichprobe testen will, lässt sich die Formel wie folgt umschreiben: z fb fe f e f e 1 N mit b l f Absolute Häufigkeit in einer Teststichprobe, e l f Absolute Häufigkeit in der Vergleichsstichprobe und l N Größe der Teststichprobe. In unserem Beispiel definieren wir Hessen als die Teststichprobe und Rheinland-Pfalz als die Vergleichsstichprobe. Damit ist die absolute beobachtete b Häufigkeit in der Teststichprobe f 70. Die absolute erwartete Häufigkeit in e der Vergleichsstichprobe ist f 40. Die Stichprobengröße in beiden Ländern ist N Damit berechnet sich der z-wert für den Binomialtest wie folgt: z fb fe f f e 1 N e ,84. 8,4 Die Wahrscheinlichkeit für diesen (oder jeden kleineren) z-wert ist außeror 7 dentlich klein: Sie beträgt p 6,5 10. Der Wert ist damit hoch signifikant; d. h. in Hessen gibt es tatsächlich signifikant mehr Arbeitslose als in RheinlandPfalz. 4 In einer Stichprobe mit n1 500 Männern und n 500 Frauen beträgt der Unterschied in der Intelligenz (gemessen mit einem Intelligenztest) x 1 x (sˆ 1 sˆ 15)). Beurteilen Sie die statistische Bedeutsamkeit dieses Unterschieds anhand eines t-tests für unabhängige Stichproben. Beurteilen Sie die praktische Bedeutsamkeit dieses Unterschieds anhand des d-maßes von Cohen (1988)! Die Formel für den t-test für unabhängige Stichproben lautet: t x1 x. σˆ ( x1 x ) Dabei sind x1 x die empirische Mittelwertsdifferenz (hier: x1 x ), l σˆ ( x x ) die aus der Stichprobe geschätzte Streuung der Stichprobenkennwer1 teverteilung von Mittelwertsdifferenzen. Sie berechnet sich in unserem Fall wie folgt: l 5

6 σˆ ( x1 x ) σˆ x1 n1 + σˆ x n ,90 0, Damit berechnet sich der t-wert zu: t x1 x,16. σˆ ( x1 x ) 0,95 Bei df n1 + n 998 Freiheitsgraden beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Wert von t(998),16 damit p 0,0008. Der Geschlechtsunterschied in der Intelligenz ist also hoch signifikant im Sinne von statistisch bedeutsam. Berechnet man nun die empirische Effektstärke (Cohen s d), so ergibt sich: d x1 x 0,. 15 σˆ x Dies entspricht jedoch nur einem kleinen Effekt. Die praktische Bedeutsamkeit des Geschlechtsunterschieds in der Intelligenz ist wesentlich geringer als die statistische Bedeutsamkeit. 6

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