Wiederholte Spiele. Grundlegende Konzepte. Zwei wichtige Gründe, wiederholte Spiele zu betrachten: 1. Wiederholte Interaktionen in der Realität.

Transkript

1 Spieltheorie Sommersemester Wiederholte Spiele Grundlegende Konzepte Zwei wichtige Gründe, wiederholte Spiele zu betrachten: 1. Wiederholte Interaktionen in der Realität. 2. Wichtige Phänomene sind in einmaligen Spielen nicht abbildbar, z.b. Reputation oder Reziprozität.

2 Spieltheorie Sommersemester Beispiel (Cournot Duopol): Wir hatten gesehen, dass im einmaligen Spiel die Kartelllösung instabil ist, da beide Firmen einen Anreiz haben abzuweichen. Im Wiederholten Spiel ist das nun nicht mehr so offensichtlich: Nehmen wir an, beide Firmen haben eine Kartellabsprache getroffen. Firma 1 überlegt nun in einer Periode, ob sie entgegen der Absprache ihre Menge aus dem Cournot Nash Gleichgewicht anbieten will. In dieser Periode bedeutet das eine höhere Auszahlung; allerdings würde sie ohne abzuweichen in den Folgeperioden möglicherweise immer noch den Kartellgewinn machen, während nach ihrem Abweichen auch Firma 2 die Menge aus dem Cournot Nash Gleichgewicht anbieten dürfte, was für Firma 1 zum (niedrigeren) Cournot Gewinn führen würde.

3 Spieltheorie Sommersemester Unendlich versus endlich oft wiederholte Spiele Modelle wiederholter Spiele lassen sich untergliedern in solche, die unendlich oft wiederholte Spiele betrachten, und solche, in denen die Zahl von Wiederholungen endlich ist. Auf den ersten Blick würde man endlich oft wiederholte Spiele für die realistischere und sinnvollere Modellierung halten. Bei näherer Betrachtung stellt sich allerdings heraus, dass der entscheidende Unterschied zwischen beiden Modellierungsansätzen darin liegt, dass es in endlich oft wiederholten Spielen eine letzte Periode gibt, in der es Common knowledge ist, dass es sich um die letzte Periode handelt. Das ist dann der Fall, wenn in einem Modell eines endlich oft wiederholten Spiels die genaue Zahl der Wiederholungen feststeht und Common knowledge ist. Dies ist in vielen Situationen eine unrealistische Annahme.

4 Spieltheorie Sommersemester Häufiger ist der Fall, dass zwar schlussendlich nur eine endliche Zahl von Wiederholungen gespielt werden wird, aber die Spielerinnen zu Beginn nicht wissen, wie groß diese Zahl sein wird. Eine solche Situation, in der die Zahl der Wiederholungen unsicher ist, lässt sich durch ein unendlich oft wiederholtes Spiel modellieren. Formal entspricht ein wiederholtes Spiel, bei dem nach jeder Periode eine bestimmte Wahrscheinlichkeit τ dafür besteht, dass nach dieser Periode keine weitere Wiederholung folgt, einem unendlich oft wiederholten Spiel, in dem die Auszahlung der jeweils nächsten Periode mit dem Diskontierungsfaktor δ abdiskontiert werden. Aus diesem Grunde, und weil es der historischen Entwicklung entspricht, werden wir im folgenden zuerst unendlich oft wiederholte Spiele betrachten und erst danach endlich oft wiederholte Spiele. Vorher behandeln wir die Modellelemente, die beiden Modellen gemeinsam sind.

5 Spieltheorie Sommersemester Notation und Sprechweisen Wir gehen von einem Spiel Γ = ( I, {S i } i I, {π i } i I ) in Normalform aus, das wiederholt gespielt wird. Dieses Spiel bezeichnen wir als Stufenspiel. Das T-fach wiederholte Spiel bezeichnen wir mit Γ T und das unendlich oft wiederholte Spiel mit Γ. Unendlich oft wiederholte Spiele werden oft auch Superspiele genannt. Nach jeder Runde beobachten alle Spielerinnen, was in dieser Runde passiert ist. Wir werden hier hier nur wiederholte Spiele mit vollständiger und vollkommener Information betrachten, d.h., wir nehmen an, dass alle Spielerinnen die komplette Strategiekombination in jeder Runde beobachten. Nach t Wiederholungen ergibt sich damit eine Geschichte h(t) = (h 1, h 2,...,h t ). Die Menge aller möglichen Geschichten zum Zeitpunkt t bezeichnen wir mit H(t).

6 Spieltheorie Sommersemester Wenn wir nur reine Strategien betrachten ist t H(t) = r=1 lassen wir auch gemischte Strategien zu, ist S, t H(t) = Σ r=1 und wenn wir sogar korrelierte Strategien betrachten ist t H(t) = Σ, r=1 wobei { } Σ = x [0, 1] S x(s) = 1 s S die Menge aller korrelierten Strategien im Spiel Γ ist.

7 Spieltheorie Sommersemester In die Entscheidung einer Spielerin für ihre Strategie (im Stufenspiel) in der (t + 1)-ten Runde können alle Informationen einfließen, über die sie zu diesem Zeitpunkt verfügt. Dies ist (neben den Daten des Spiels Γ und der Zahl der Wiederholungen, die insgesamt gespielt werden) die Geschichte h(t). Um dies abzubilden, definieren wir eine reine Strategie s T i bzw s i von Spielerin i I im wiederholten Spiel Γ T als eine Familie von Abbildungen {s r i } r {1,2,...,T } mit s r i : H(r 1) S i r {1, 2,...,T }, dabei definieren wir H(0) als beliebige einelementige Menge, so dass jede Spielerin in der ersten Runde eine ihrer Strategien in S i wählt.

8 Spieltheorie Sommersemester Analog definieren wir in Γ die reinen Strategien als Familie {s r i } r N, mit s r i : H(r 1) S i r N. Wir betrachten Verhaltensstrategien, die für jede Geschichte angeben, welche gemischte Strategie eine Spielerin spielt. Formal heißt das, wir betrachten für Spielerin i I im wiederholten Spiel Γ T eine Familie von Abbildungen {σ r i } r {1,2,...,T } mit bzw. in Γ die Familie {σ r i } r N, mit σ r i : H(r 1) Σ i r {1, 2,..., T }; σ r i : H(r 1) Σ i r N.

9 Spieltheorie Sommersemester Gegeben eine Kombination von Strategien für das wiederholte Spiel Γ T bzw. Γ liegen die Strategien für jede einzelne Wiederholung des Stufenspiels fest. Damit ergibt eine Kombination von Strategien des wiederholten Spiels letztendlich für jede Spielerin i I einen Vektor π i = (π i 1, π i 2,...,π i T ) R T bzw. eine Folge π i = π i t t N R N = R.

10 Spieltheorie Sommersemester Was wir benötigen ist eine Bewertung, die wir mit V i bezeichnen werden, eines solchen Vektors bzw. einer solchen Folge, die die Auszahlung des wiederholten Spiels ist. Im endlich oft wiederholten Spiel ist dies unproblematisch: Wir können einfach die Koordinaten des Vektors π i aufsummieren. Für unendlich oft wiederholte Spiele ergäbe dies im allgemeinen eine unendliche Reihe, die nicht konvergiert. Daher betrachten wir hier stets den Fall, dass zukünftige Auszahlungen mit dem (konstanten) Diskontfaktor δ (0, 1) abdiskontiert werden. Dies lässt sich natürlich auch im endlich oft wiederholten Spiel tun.

11 Spieltheorie Sommersemester Im endlich oft wiederholten Spiel können wir die Auszahlung also als V i = T t=1 δ (1 t) π i t schreiben, wobei im nicht abdiskontierten Fall δ = 1 und sonst δ (0, 1) ist. Im unendlich oft wiederholten Spiel mit Abdiskontierungsfaktor δ (0, 1) ist die Auzahlung V i = t=1 δ (1 t) π i t. Der nicht abdiskontierte Fall δ = 1 ist hier ausgeschlossen, da in diesem Fall die Reihe im allgemeinen nicht konvergiert. Für δ (0, 1) hingegen ist die Konvergenz sicher gestellt, solange die Auszahlungen im Stufenspiel Γ beschränkt sind.

12 Spieltheorie Sommersemester Damit können wir alle Gleichgewichtsdefinitionen auf wiederholte Spiele übertragen, indem wir an Stelle der Auszahlung π in einem einmaligen Spiel die Auszahlung V des Wiederholten Spiels verwenden. Da jede Strategiekombination im wiederholten Spiel das Verhalten in jeder Wiederholung des Stufenspiels festlegt, können wir davon sprechen, dass eine bestimmte Strategiekombination im Stufenspiel durch ein Gleichgewicht im wiederholten Spiel gestützt wird.

13 Spieltheorie Sommersemester Kooperative Analyse eines Normalformspiels Sei Γ = ( I, {S i } i I, {π i } i I ) ein Stufenspiel. Nach unserer bisherigen Analyse können wir beurteilen, was über dieses Spiel aus nichtkooperativer Perspektive zu sagen ist. Wir könnten etwa die Menge der Nash Gleichgewichte angeben oder Γ auf Gleichgewichte in dominanten Strategien untersuchen. In Vorbereitung auf die sogenannten Folk Theoreme in den folgenden beiden Abschnitten, wollen wir uns kurz mit der alternativen kooperativen Sichtweise des Spiels Γ auseinandersetzen.

14 Spieltheorie Sommersemester Im Γ = ( I, {S i } i I, {π i } i I ) können die Spielerinnen in einem kooperativen Rahmen bindende Absprachen darüber treffen, welche Strategiekombinationen sie wählen. Je nachdem, ob ihnen reine, gemischte oder korrelierte Strategien zur Verfügung stehen können sie sich also auf einen Punkt aus S, Σ oder Σ einigen. In der kooperativen Analyse betrachten wir dabei in der Regel ) die Menge der resultierenden Auszahlungsvektoren π (S), π (Σ) bzw. π ( Σ. Die Menge der erreichbaren Auszahlungsvektoren können wir (wenigstens für den Fall von I = {1, 2}) graphisch darstellen, wie in folgendem Beispiel gezeigt.

15 Spieltheorie Sommersemester Beispiel (Kooperative Analyse des Geschlechterkampfes): Die Auszahlungs(bi)matrix des Geschlechterkampfes lautet T M B M T F 1, 2 0, 0. B F 0, 0 2, 1 Die konvexe Hülle der Auszahlungen ) der reinen Strategiekombinationen entspricht der Menge π ( Σ aller Auszahlungsvektoren, die durch korrelierte Strategien erreichbar sind.

16 Spieltheorie Sommersemester Etwas schwieriger nachvollziehbar ist, wie die Menge π (Σ) aussieht. In der Abbildung ist angedeutet, wie die obere Begrenzungslinie dieser Menge als Einhüllende von Geraden (drei davon sind grün eingezeichnet) entsteht, die sich dadurch ergeben, dass eine Spielerin eine fixierte gemischte Strategie spielt (die eingezeichneten Geraden entsprechen den Strategien ( 1 4, ( 4) 3, 1 2, ) 1 2 und ( 3 4, 4) 1 ) und die andere ihre Mischung variiert.

17 Spieltheorie Sommersemester π 2 π (T F, T M ) ) π ( Σ π (B F, B M ) v π (Σ) π (B F, T M ) = π (T F, B M ) π 1

18 Spieltheorie Sommersemester Ein wichtiger Bezugspunkt in der Menge der erreichbaren Auszahlungsvektoren ist der Punkt der Maximin Auszahlungen der Spielerinnen v Γ. Jede Spielerin kann sich ihre Maximin Auszahlung sichern und wird daher keine Vereinbarung mit den anderen Spielerinnen treffen, die ihr weniger als diese Auszahlung liefert. ) Definition: Die erreichbaren Auszahlungsvektoren x π ( Σ, die jeder Spielerin mindestens ihre Maximin Auszahlung geben heißen individuell rational. Die Menge aller individuell rationalen Auszahlungsvektoren, die in der kooperativen Spieltheorie auch Imputationen genannt werden ist also die Menge I = { ( Σ) } x π v x. (Zur Erinnerung v x heißt, v i x i für alle i I.) Für unser Beispiel des Geschlechterkampfes ist v = ( 2 3, 3) 2.

19 Spieltheorie Sommersemester Auch eine Minimax Strategie (oder bei mehr als zwei Spielerinnen eine korrelierte Minimax Strategiekombination aller Spielerinnen außer einer gerade betrachteten) ist für alle Spiele, d. h. auch solche, die keine Nullsummenspiele sind, im Kontext des wiederholten Spielen sinnvoll interpretierbar: Wollen die anderen Spielerinnen in folgenden Runden eine Spielerin wegen möglichen Fehlverhaltens in einer Runde bestrafen, können sie sie durch Wahl ihrer Minimax Strategie(kombination) daran hindern, mehr als die entsprechende Auszahlung zu bekommen. Den Vektor der Minimax Auszahlungen im Spiel Γ hatten wir mit v (Γ) bezeichnet. Generell ist die Maximin Auszahlung einer Spielerin geringer als die Minimax Auszahlung, d.h. v v. Im Beispiel des Geschlechterkampfes fallen beide allerdings für beide Spielerinnen zusammen.