Mathematik für Biologen mathematische Ergänzungen und Beispiele Teil I

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1 Mathematik für Biologen mathematische Ergänzungen und Beispiele Teil I 1. Mengen und Abbildungen In der Mathematik beschäftigt man sich immer -direkt oder indirekt- mit Mengen. Wir benötigen den Mengenbegriff nur kurz um unsere mathematischen Operationen einzuführen. Also, erst mal ganz einfach: Eine Menge ist eine Zusammenfassung unterscheidbarer Objekte zu einer Gesamtheit. z.b. die Menge aller geraden natürlichen Zahlen {2,4,6,8, } oder die Menge aller LMU- Biologiestudenten, die im WS 6/7 begonnen haben {Hans Wurscht, }. So, nachdem wir jetzt wissen was eine Menge ist, können wir uns auch vorstellen was zwei Mengen sind, und etwas ganz wichtiges damit machen: nämlich eine Abbildung zwischen ihnen definieren. Was soll das sein? Eine Abbildung (später nennen wir das Funktion) ordnet jedem Element der ersten Menge, nennen wir sie M 1 ein Element der zweiten Menge M 2 zu. Dabei muss folgendes erfüllt sein: z.b.: jedes Element der ersten Menge bekommt ein Element der zweiten Menge zugeordnet M 1 M 2 Wenn nun die betrachteten Mengen zwischen der Abbildung keine abstrakten Objekte enthalten, sondern jeweils der Zahlkörper der reellen Zahlen (IR) kann man, weil auf IR Rechenoperationen definiert sind und IR eine Anordnung besitzt (z.b. 3 > 3 1/2 ), die Funktionen graphisch darstellen und differenzieren und integrieren. Also: M 1 = IR, M 2 = IR mit einer Funktion(Abbildung) f zwischen M 1 und M 2. Zunächst schauen wir uns mal einige Funktionen an, um ein Gefühl davon zu bekommen wie sich verschiedene Funktionen in Abhängigkeit ihrer Variablen verhalten

2 f(x) = x^2 f(x) = x^ f(x) =,33 x^3 +,5 x^2 f(x) = 1/x f(x) = sin(x) f(x)= x^,

3 f(x) = e^x f(x) = ln(x) 5,1 5,1 1,1 15,1, Differenzieren Nachdem wir nun eine Vorstellung davon haben was eine Funktion f: IR IR ist kann man sich Gedanken über die Eigenschaften solcher Funktionen machen. Eine für uns sehr wichtige Eigenschaft ist die Steigung einer Funktion an einem gewissen Punkt. Was soll das sein? Bildlich gesprochen ist die Steigung einer Funktion am Punkt x 1 die Steigung einer Tangente an die Funktion am Punkt x 1. f(x) = y Tangente t(x) Steigung: y/ x y x x 1 x Und für die Ableitung f (x) einer Funktion f gilt: Die Ableitungsfunktion f (x) ist eine Funktion von x, die für x = x i den Funktionswert der Steigung der Tangente am Punkt x i besitzt.

4 Beim Ableiten der in dieser Vorlesung behandelten (stetigen) Funktionen entstehen wieder (stetige) Funktionen. Auch diese lassen sich zeichnen. Diese Ableitungsfunktionen geben uns eine Information darüber für welche x-werte unsere ursprüngliche Funktion steigt (Ableitungsfunktion > ), fällt (Ableitungsfunktion < ) oder konstant bleibt (Ableitungsfunktion = ). Beim Ableiten gelten folgende Regeln:

5 Also, wir wissen jetzt was eine Ableitung ist und können sie (nach etwas Übung) an einer Funktion durchführen. Diese Funktion können wir dann wieder zeichnen. Das ist alles recht theoretisch und es fehlt noch die Verbindung zu realen Beispielen. Das wird sofort nachgeholt: Wir betrachten noch einmal den Alee Effekt: Für eine Vogelpopulation auf einer Insel interessiert uns bei welchen Populationsgrössen die Population stabil ist: Was heiß stabil? Stabil heißt, dass sich die Population mit der Zeit nicht ändert. Wie lässt sich das mathematisch ausdrücken? Was gibt denn die Änderung einer Funktion an? Die Steigung. Wie bestimmt man die Steigung einer Funktion? Durch die Ableitung! Sie ist Null, wenn sich die Funktion nicht ändert. Das trifft auf die Funktion f(x) = const. zu. Sie ist > wenn die Funktion ansteigt. Sie ist < wenn die Funktion abfällt. Wenn also die zeitliche Ableitung der Funktion, die die Population beschreibt bekannt ist, weiß ich für welche Populationsgrössen die Population wächst, schrumpft oder für uns oft am interessantesten- konstant bleibt. Die Differentialgleichung für eine Vogelpopulation lautet x & = x + x 2 2x 3 3 Wir haben also die Ableitung nach der Zeit für eine Vogelpopulation gegeben. Wenn wir also berechnen, für welche x die rechte Seite der obigen Gleichung Null wird, wissen wir für welche Populationsgrößen x 1,2,3, sich die Population nicht ändert. Das sind unsere Gleichgewichts-punkte.