10. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "10. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE"

Transkript

1 Folge, Reihe, Grezwerte 0. FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE 0.. Folge (a) Defiitio Betrachtet ma bei eier Fuktio ur jee Fuktioswerte, die sich durch Eisetze vo Argumete aus de atürliche Zahle ergebe, so erhält ma eie Puktmege. Begit ma diese Vorgag darüberhiaus mit = ud durchläuft alle weitere aus de atürliche Zahle bis zu eiem Wert = k, ergibt sich eie Puktmege, die sich folgedermaße aschreibe läßt: f: N k R, f() {(,f()), (,(f()), (3,f(3)),..., (k,f(k )), (k,f(k))} Die Mege N k steht i diesem Zusammehag für die Mege N = {,, 3,..., k, k}. Durch die Wahl der Argumete aus de atürliche Zahle ist i der obige Puktmege gleichzeitig eie Reihefolge der Pukte festgelegt. Es würde also geüge, ur die Fuktioswerte f() azuschreibe, um die obige Puktmege eideutig zu bestimme. Diese Fuktioswerte f() lege somit eie sogeate Folge vo Zahle fest, wobei durch das Argumet eie Platzummer ud somit eie Reihefolge festgelegt ist. Ma bezeichet die Mege N k auch als Idexmege. Da sich Fuktioswerte wiederhole köe, ka eie Folge vo Fuktioswerte icht wie eie Mege ageschriebe werde. Ma verwedet stattdesse sogeate Folgeklammer ud, um eie Folge azugebe: f(), f(), f(3),..., f(k ), f(k) Ist die Idexmege ubegrezt, also N, so spricht ma vo eier uedliche Folge, asoste vo eier edliche Folge. Die Elemete der Folge werde auch als Glieder der Folge bezeichet, etspreched ihrer Positio auch als -tes Glied. Um die Zugehörigkeit zu eier Folge zu verdeutliche werde die Glieder eier Folge als a (oder b usw.) ageschriebe. Eie Fuktio f über eiem Abschitt N k als Defiitiosmege et ma eie edliche Folge: a, a, a 3,..., a k, a k Eie Fuktio f über eiem Abschitt N als Defiitiosmege et ma eie uedliche Folge: a, a, a 3,..., a k, a k,

2 Folge, Reihe, Grezwerte (b) Festlege vo Folge Es gibt folgede Möglichkeite Folge festzulege: Agabe aller Glieder der Folge (bei edliche Folge) Beispiele:, 3, 5, 7,, 3 Folge der Primzahle kleier 5 a, e, i, o, u Folge der Vokale des Alphabets Agabe des erzeugede Terms Ist die Folge durch eie Term darstellbar, erhält ma jedes Glied der Folge durch Belege des Terms mit der jeweilige Idexummer. Beispiele: für N 4, 0,, 4 5 ( ) für N 0, 0, 40, 80,... für N,,,... Die letzte Folge bezeichet ma auch als kostate Folge. Ist bei eier Folgeagabe durch eie Term keie Idexmege agegebe, so gilt vereibarugsgemäß N als Idexmege. Agabe durch eie Rekursiosformel Das Erzeuge vo Folge erfolgt machmal schrittweise, idem eie Vorschrift agegebe ist, ach der das ächstfolgede Glied aus eiem oder mehrere voragehede Glieder zu bereche ist. Eie solche Vorschrift et ma Rekursiosformel. Zusätzlich müsse zumidest die otwedige Afagsglieder bekat sei. Beispiele: a+ = a +, a = 3 3,,, 3,... a+ = a + a, a =, a =,,, 3, 5, 8, 3,

3 Folge, Reihe, Grezwerte (c) Arithmetische Folge Wir betrachte die lieare Fuktio f: y = k x+d. Diese Fuktio hat ihre Name icht zuletzt aufgrud der Tatsache, daß bei fortschreitede Werte vo x die Fuktioswerte y um de gleiche lieare Faktor zuehme. Aders ausgedrückt: gleicher Zuwachs bzw. Abahme der Werte vo x - z.b. um h - bewirkt immer gleiche Äderug der Werte vo y. Größe dieser Äderug ist da k h. Greift ma ämlich zwei beliebige Pukte auf dem Fuktiosgraphe heraus, so köe diese Pukte P, P folgede Koordiate P (x y ) ud P (x y ) habe, wobei x = x +h gewählt wird, damit x x = h gilt. Setzt ma die Koordiate dieser Pukte i die Fuktiosgleichug ei ud subtrahiert sie voeiader um das d zu elimiiere, so erhält ma: y = k (x+h) + d y = k x + d y y = k (x+h) k x ud ach dem Zusammefasse y y = k h Der Graph dieser Fuktio f: y = k x+d für gazzahlige x ist eie Puktemege, wobei die eizele Pukte auf der reelle Fuktio y = kx+d, eier Gerade, liege. Wählt ma ei Itervall aus de x-werte aus ud umeriert die x-werte mit begied durch, so ergibt sich für die y-werte eie Folge, die die charakteristische Eigeschaft hat, daß die Differez zweier aufeiaderfolgeder Glieder dieser Folge immer gleich groß ist (siehe obe für h = ). Eie Folge dieser Art bezeichet ma als arithmetische Folge. Jede Folge, bei der die Differez zweier aufeiaderfolgeder Glieder kostat ist, heißt arithmetische Folge. Üblicherweise hat sich für die Bezeichug der Glieder eier arithmetische Folge eie eigee Schreibweise ergebe, die jedoch vo der Schreibweise der lieare Fuktioe abweicht. Um die obe geate Eigeschafte zu verdeutliche wurde folgede Bezeichuge gewählt: a... Afagsglied,... Idexummer des jeweilige Gliedes, d... Differez zweier Glieder Da a = a +d, a 3 = a +d = a +d,..., a = a +d = a +( ) d gilt, ergibt sich: Eie arithmetische Folge hat die Form a, a +d, a +d,..., a +( ) d,

4 Folge, Reihe, Grezwerte Diese Folge hat eiige charakteristische Eigeschafte: Ausgehed vo eiem Afagsglied, werde die Folgeglieder immer durch Additio ei ud derselbe Zahl ermittelt. Daher muß die Differez aufeiaderfolgeder Glieder kostat sei. Es gilt: a a = (a + d) a = d a 3 a = (a + d) a = d... a + a = (a + d) a = d Das sogeate arithmetische Mittel, der übliche Mittelwert, der Nachbarglieder jedes Folgeelemets ergibt das jeweilige Folgeelemet. Es gilt: a + a+ ( a+ ( ) d) + ( a+ d) a+ ( ) d = = = a + ( ) d = a Zwische zwei Glieder a r ud a s eier arithmetische Folge besteht die Beziehug a s = a r + (s r) d de a r = a + r d, a s = a + s d = a + r d + (s r) d = a r +(s r) d Somit ist auch folgede Defiitio für arithmetische Folge möglich: Jede Folge, die durch eie lieare Term i über N k oder N erzeugt wird, heißt arithmetische Folge. Beispiel: Ei Skriptum mit 500 Seite ist 5 mm dick, wobei der Eibad mm stark ist. Bereche Sie, wie dick ei Skriptum mit 30 Seite bzw. mit 780 Seite ist. Da azuehmederweise die Seite des Skriptums stets gleich dick sid, ergibt sich eie arithmetische Folge mit der Dicke des Eibads als Afagswert a ud der Dicke eier Seite als Differez d, welche och zu ermittel ist. a =, a = a d = 5 50 a a = 500 d = 50, d = 0, 50 a a 3 78 = , = 34 = , = 80 Das eie Skriptum ist 34mm, das adere 80mm dick

5 Folge, Reihe, Grezwerte Beispiel: Eie m lage Eisebahschiee deht sich bei Erwärmug um o C um, 0 5 m aus. Bereche Sie die Ausdehug eier 40 Meter lage Schiee ach eier Erwärmug um 0, um 0 ud um 300 Celsius. Da Eisebahschiee i der Natur verlegt icht über eie bestimmte Wert (z.b. 700 C bei Schellbremsug des Zuges) erhitzt werde köe, bilde die temperaturabhägige Lägeäderuge eie edliche arithmetische Folge. a = 40, d = 40, 0 = 4, a = a + 0 d = , 8 0 = 40, a = a + 0 d = , 8 0 = 40, a = a d = , 8 0 = 40, Die Schiee dehe sich bei 0 C Temperaturerhöhug um 4,8 mm, bei 0 um 57,6 mm ud bei 300 um 44 mm aus. Beispiel: Im Jahr 0 behadelte der italieische Mathematiker Leoardo vo PISA eie Zahlefolge, die durch die Vermehrug eies Kaichepaares beschriebe werde ka. Das Paar wirft vom 3. Lebesmoat a i jedem Lebesmoat ei weiteres Kaichepaar, ebeso wie alle seie Nachkomme. Überprüfe Sie, ob es sich bei der moatliche Azahl der Kaichepaare um eie arithmetische Folge hadelt. Aus mathematischer Sicht ist dieser Vermehrug keie Greze gesetzt. Die Folge ist über also über N defiiert. Ma ket a = ud a =, da es erst ab dem 3. Moat Nachwuchs gibt. Somit ergebe sich die weitere Folgeglieder: a 3 = a + a =, a 4 = a + a 3 = 3, a 5 = a 3 + a 4 = 5, a 6 = a 4 + a 5 = 8, a 7 = a 5 + a 6 = 3, usw. Ud gesamt:,,,3,5,3,,34,55,... bzw. a + = a + a Ma erket, daß es sich bei diesem Beispiel um keie arithmetische Folge hadelt

6 Folge, Reihe, Grezwerte (d) Geometrische Folge Im folgede Abschitt solle ähliche Betrachtuge u für die Expoetialfuktio agestellt werde. Betrachtet ma zwei Pukte P (x c a x ) ud P (x c a x ) der Expoetialfuktio y = c a x ud errechet de relative Uterschied der Fuktioswerte (d.h. de Quotiete der Fuktioswerte), so erhält ma für x = x +h: y y y y c a = c a = c a = c a x + h x x x + h h = a Ma erket, daß gleicher Zuwachs der x-werte (hier um h) immer gleiche relative Äderug der Fuktioswerte y im Verhältis a h zur Folge hat. Oder aders ausgedrückt: der Fuktioswert des um h vergrößerte Argumets uterscheidet sich vom ursprügliche um de Faktor a h, also y = y a h. Der Graph der Fuktio f: y = c a x für gazzahlige x ist eie Puktemege, wobei die eizele Pukte auf der Trägerkurve der reelle Fuktio y = c a x liege. Wählt ma ei Itervall aus de x-werte aus ud umeriert die x-werte mit begied durch, so ergibt sich für die y-werte eie Folge, die die charakteristische Eigeschaft hat, daß der Quotiet zweier aufeiaderfolgeder Glieder dieser Folge immer gleich groß ist (siehe obe für h = ). Eie Folge dieser Art bezeichet ma als geometrische Folge. Jede Folge, bei der der Quotiet zweier aufeiaderfolgeder Glieder kostat ist, heißt geometrische Folge. Üblicherweise hat sich für die Bezeichug der Glieder eier geometrische Folge eie eigee Schreibweise ergebe, die jedoch vo der Schreibweise der Expoetialfuktio abweicht. Um die obe geate Eigeschafte zu verdeutliche wurde folgede Bezeichuge gewählt: b... Afagsglied,... Idexummer des jeweilige Gliedes, q... Quotiet Da b = b q, b 3 = b q = b q,..., b = b q = b q usw. gilt, ergibt sich: Eie geometrische Folge hat die Form b, b q, b q,..., b q,

7 Folge, Reihe, Grezwerte Diese Folge hat eiige charakteristische Eigeschafte: Ausgehed vo eiem Afagsglied, werde die Folgeglieder immer durch Multiplikatio mit ei ud derselbe Zahl ermittelt. Daher muß der Quotiet aufeiaderfolgeder Glieder kostat sei. Es gilt: b b b b b b 3 + b q = = q b b q = = q b... b q = = q b Das sogeate geometrische Mittel der Nachbarglieder jedes Folgeelemets ergibt das jeweilige Folgeelemet. Es gilt: b b = b q b q = b q = b q = b + Somit ist auch folgede Defiitio für geometrische Folge möglich: Jede Folge, die durch eie Expoetialterm der Form b q i über N k oder N erzeugt wird, heißt geometrische Folge. Beispiel: Füf i frischer Kuhmilch eigebrachte Keime (z.b. Milchsäure- bakterie) verdoppel sich bei Temperature über 30 o C alle 0 Miute. Bereche Sie die Azahl ach 4 ud Stude. Da sich die Azahl der Keime alle 0 Miute verdoppelt, etspricht dies eier Multiplikatio mit. Um die Azahl ach x Stude zu bereche, müsse die Stude och jeweils auf Vielfache vo 0 umgerechet werde. b = 5, q = b = b q = 5 = b = b q = 5 = Nach 4 Stude sid es 0480 Keime, ach Stude fast 69 Milliarde Keime

8 Folge, Reihe, Grezwerte (e) Mootoie vo Folge Bei de bisherige Folge kote ma meist ei Zuehme oder Abehme der Werte der Folgeglieder mit wachsedem Idex feststelle. Allgemei läßt sich dieser Sachverhalt folgedermaße formuliere: Eie Folge vo Zahle a heißt streg mooto zuehmed bzw. abehmed, we für alle a, a + gilt: a < a + bzw. a >a + Eie Folge vo Zahle a heißt mooto zuehmed bzw. abehmed, we für alle a, a + gilt: a a + bzw. a a + Mit dieser Defiitio gleichwertig ist das Kriterium, ob die Differez zweier aufeiaderfolgeder Glieder eier Folge größer bzw. kleier (streg mooto) oder größer gleich bzw. kleier gleich (mooto) Null ist. Folge, auf die keies der obe geate Kriterie zutrifft, bezeichet ma als icht mootoe Folge. Folge, bei dee darüberhiaus aufeiaderfolgede Glieder jeweils uterschiedliches Vorzeiche aufweise (z.b. ( ) ), bezeichet ma als alterierede Folge. Als ei Soderfall ist och die kostate Fuktio (z.b. ) azuführe, die sowohl mooto zuehmed als auch mooto abehmed ist. Beispiel: Überprüfe Sie, ob die Folge + streg mooto zuimmt. a < a + ( + ) < + ( + ) + + < + + ( )( + ) < ( + )( + ) + 3 < + 3+ < Die Folge ist streg mooto zuehmed. Da die Berechuge zu eier für alle N wahre Aussage führe, ist die Voraussetzug - ämlich, daß die Folge streg mooto zuimmt - als bewiese azusehe

9 Folge, Reihe, Grezwerte 0.. Reihe (a) Defiitio I mache Fälle sid icht ur die eizele Glieder eier Folge iteressat, soder auch die Summe eizeler Glieder dieser Folge. Beispiel: Die achstehede Folge gibt die Niederschlagsmege i mm vo Jäer bis Dezember eier Stadt wieder: 8,, 5, 33, 65, 37, 05,, 63, 48, 75, 8. Bereche Sie jeweils die Niederschlagssumme bis zum Ede jedes Quartals. Die Niederschlagssumme bis zum Ede jedes Quartals ist offesichtlich die Summe der eizele Moatsiederschlagsmege bis zum 3., 6., 9. ud. Moat. s s 9 s 6 s 3 = = 08 = = 43 = = 53 = = 673 Im obige Beispiel wurde der Folge der Moatsiederschläge a die Folge s zugeordet, wobei s jeweils die Summe der erste Glieder der Folge a ware. Die eizele s sid also Teilsumme. Die so etstehede Folge der Teilsumme bezeichet ma als die der Folge a zugeordete Reihe. Uter eier Reihe vo Zahle versteht ma die Folge der Teilsumme s, s, s 3,...,s,..., die der Folge a, a, a 3,..., a,... zugeordet wird. Je achdem ob die Azahl der Glieder der Folge a edlich ist oder uedlich, spricht ma vo eier edliche oder eier uedliche Reihe. Die Summatio s = s +s +...+s läßt sich mit dem Summesymbol Σ vereifacht aschreibe: Summe s aller a i vo i = bis s = a + a a = a i i= - 0 -

10 Folge, Reihe, Grezwerte (b) Arithmetische Reihe Die eier arithmetische Folge zugeordete Reihe heißt arithmetische Reihe. Da die eizele Glieder eier arithmetische Folge durch de lieare Term a = a +( ) d gebildet werde, ka ma sich zurecht die Frage stelle, ob sich die Teilsumme s icht ebefalls durch eie Termdarstellug gewie lasse. Allgemei gilt für das Glied s eier arithmetische Reihe s = a +a +a a - +a. Laut Bildugsterm gilt weiters s = a +(a +d)+(a +d)+...+(a +( )d)+(a +( )d). Faßt ma u das erste ud das letzte Glied zusamme, daach das zweite ud das vorletzte, usw., so ergebe sich immer wieder glieche Teilsumme: a +a a +a = a +a = (a +d)+(a +( )d) = a +(a +( )d) = a +a a 3 +a = (a +d)+(a +( 3)d) = a +(a +( )d) = a +a... a +a a +a = (a +( )d)+(a +d)=a +(a +( )d) = a +a = a +a Addiert ma u alle Zeile, so steht liks zweimal die Summe aller Glieder, also s. Auf der rechte Seite wird -mal die Summe a +a addiert. Es ergibt sich also: s = (a +a ) Die Summe der erste Glieder eier arithmetische Folge beträgt: s a a = ( + ) a d bzw. s = [ + ( ) ] Beispiel: Bereche Sie die Summe der atürliche Zahle vo bis 00. a =, a = 00, d = 00 ( + 00 ) s = = ( + 99 ) s = = 5050 Diese Aufgabe ist berühmt geworde, da Carl Friedrich GAUSS, eier der größte Mathematiker der Geschichte, sie im Alter vo 4 Jahre ohe Aleitug löse kote

11 Folge, Reihe, Grezwerte (c) Geometrische Reihe Die eier geometrische Folge zugeordete Reihe heißt geometrische Reihe. Da die eizele Glieder eier geometrische Folge durch de lieare Term b = b q gebildet werde, ka ma sich auch hier die Frage stelle, ob sich die Teilsumme s icht ebefalls durch eie Termdarstellug gewie lasse. Allgemei gilt für das Glied s eier geometrische Reihe s = b +b +b b +b. Laut Bildugsterm gilt weiters s = b +b q+b q +...+b q +b q. Multipliziert ma diese Gleichug mit q, so erhält ma q s = b q+b q +b q b q +b q. Subtrahiert ma u die beide Gleichuge voeiader, so falle die meiste Glieder weg s q s = b +b q+b q +...+b q +b q (b q+b q +b q b q +b q ) = b b q. Für s ergibt sich dadurch s ( q) = b ( q ) Die Summe der erste Glieder eier geometrische Folge beträgt: s q = b q bzw. s b q = q jeweils für q Für q = erhält ma die offesichtliche Summe s = b. Es ist zweckmäßig, die erste Formel für 0<q< zu verwede ud die zweite für q>. Beispiel: Eiem Quadrat mit der Seiteläge 6cm wird ei weiteres Quadrat so eige- schriebe, daß seie Eckpukte i die Seitemitte des gegebe Quadrats falle. I das zweite Quadrat wird auf gleiche Weise wieder ei Quadrat eigeschriebe ud so fort. Bereche Sie die Summe der Flächeihalte der erste Quadrate. A b b A = b = 6 = 36 + b A b b q, =, = =, = = A s 36 = 05, = 7984,... 05, Der Flächeihalt der erste Quadrate beträgt 7,98cm

12 Folge, Reihe, Grezwerte 0.3. Awedug Folge ud Reihe Aus der Vielfalt der Awedugsbereiche vo Folge ud Reihe - Folge ud Reihe i Verbidug mit Grezwertberechuge bilde die Grudlage der höhere Mathematik - soll hier der Awedugsbereich der Fiazmathematik herausgegriffe werde. Geau geomme habe die bisherige Ausführuge über Zise ud Ziseszise bereits ege Zusammehag zum Abschitt Folge gezeigt. Betrachtet ma ämlich ei Kapital ud sei jährliches Wachse bei eiem bestimmte Zissatz, so ergebe die Kapitalbeträge am Jahresede bei eifacher Verzisug eie arithmetische Folge; bei Verzisug uter Berücksichtigug der Ziseszise führt die obige Kapitalfolge zu eier geometrische Folge. (a) Reterechug Der folgede Abschitt beschäftigt sich mit der Berechug sogeater Rete. Als Rete bezeichet ma eie Folge vo Zahluge gleicher Größe i gleiche Zeitabstäde. Die Aufgabe der Reterechug besteht u dari, de Wert aller Reterate für eie bestimmte Zeitpukt zu ermittel. Beispiel: Jemad zahlt 4 Jahre lag jeweils am Ede eies jede Jahres ÖS 0000,- auf ei Sparkoto ei. Wie groß ist der Wert der Eizahluge am Ede des 4. Jahres, we die Eizahluge mit p = 6% p.a. Ziseszis verzist werde? Bezeichet ma mit t = 0 de Begi dieser Rete, so wird zum Zeitpukt t =, t =, t = 3 ud t = 4 jeweils die Reterate eibezahlt. Der Betrag zum Zeitpukt t = wird bis zum Ede der Rete, also t = 4, über 3 Periode verzist, der Betrag zum Zeitpukt t = wird über Periode verzist, usw. Der letzte Betrag zum Zeitpukt t = 4 wird also ur mehr dem Kapital uverzist hizugezählt , = 90, , = , = Summe 43746,6 Nach 4 Jahre ist der Wert der Rete ÖS 43746,

13 Folge, Reihe, Grezwerte Im vorige Beispiel wurde der Wert der Rete für das Ede t = der Rete bestimmt. Diese Wert bezeichet ma als de Edwert E eier Rete. Wird im Gegesatz dazu der Wert der Rete für de Zeitpukt t = 0 bestimmt, so et ma diese Betrag de Barwert B der Rete. Der Wert eier Rete zu eiem Zeitpukt t ist als der Betrag zu verstehe, de ma zum Zeitpukt t eimalig zu bezahle hätte, um alle bis dahi geleistete Zahluge samt Ziseszise abzugelte. Der Edwert ist da also der Gesamtwert der Rete am Ede der Rete; der Barwert ist jeer Betrag, de ma am Begi der Rete als eimalige Betrag eizahle muß, um ach Zisperiode zum gleiche Edwert zu gelage. Im Rahme der Reterechug uterscheidet ma darüberhiaus verschiedee Arte vo Rete, abhägig vom Zeitpukt der Zahlug der Reterate. Wird die Reterate wie im vorige Beispiel jeweils am Ede der Reteperiode bezahlt, so spricht ma vo eier achschüssige (postumerado) Rete; die erste Zahlug erfolgt somit zum Zeitpukt t =. Wird die Reterate jeweils am Begi der Reteperiode bezahlt, so spricht ma vo eier vorschüssige (präumerado) Rete; die erste Zahlug erfolgt also zum Zeit-pukt t = 0. Prizipiell köte darüberhiaus och zwische vor- ud achschüssige (atizipativ ud dekursiv) Zissätze uterschiede werde; da sich aber ei vorschüssiger Zissatz jederzeit i eie achschüssige umreche läßt ud umgekehrt, beschräke sich die folgede Ausführuge, falls icht aders agegebe, immer auf dekursive Zissätze. Im vorige Beispiel kote ma darüberhiaus feststelle, daß die eizele Reterate zum Ede der Rete higerechet eie geometrische Folge bilde. Die Summe der Werte der eizele Reterate zum Zeitpukt t =, also de Edwert, hätte ma mit der etsprechede Summeformel für geometrische Folge leichter erreche köe. Die Folge der Edwerte eier Rete ach jeweils eier weitere Reteperiode bilde also eie geometrische Reihe. Für das vorige Beispiel heißt das: s 4 b = 0000, q = 06,, = 4, = 06, = , Nach 4 Jahre ist der Wert der Rete ÖS 43746,

14 Folge, Reihe, Grezwerte Verallgemeiert ma diese Zusammehäge, so ka ma für Barwert ud Edwert eier achschüssige Rete allgemeie Formel erstelle, da der Barwert durch Abzise über alle Reteperiode aus dem Edwert hervorgeht. Für eie achschüssige Rete mit der Reterate R, dem Zissatz p (pro Reteperiode) ud der Retedauer (i Reteperiode) gilt mit q = + : p 00 Edwert: E R q = q Barwert: B q = R q ( q ) mit: E = B q Das hochgestellte bei de Formel soll verdeutliche, daß es sich um die Berechug eier achschüssige Rete hadelt. Für eie vorschüssige Rete gilt, daß die eizele Reterate jeweils um eie Reteperiode läger verzist werde, da sie früher bezahlt wurde. Verzist ma also Barwert ud Edwert eier achschüssige Rete für eie Periode, so erhält ma Barwert ud Edwert der vorschüssige Rete. Für eie vorschüssige Rete mit der Reterate R, dem Zissatz p (pro Reteperiode) p ud der Retedauer (i Reteperiode) gilt mit q = + : 00 Edwert: v E R q q = q Barwert: v B = R q q ( q ) mit: v v E = B q Diesmal zeigt das hochgestellte v a, daß es sich um die Berechug eier vorschüssige Rete hadelt. Zusammehag vorschüssig-achschüssig v E = E q ud v B = B q Die obige Formel sid uabhägig vo der Läge der Reteperiode. Die Formel behalte also ihre Gültigkeit, we die Reteperiode icht wie im Beispiel ei Jahr beträgt. Zu berücksichtige ist jedoch, daß der Zissatz für die jeweilige Reteperiode gelte muß; ist dies icht der Fall, so muß der Zissatz (wie im Kapitel Ziseszisrechug beschriebe) umgerechet werde. Die derzeitige mathematische Mittel ermögliche u die wesetliche Berechuge im Rahme der Reterechug, wie die folgede Beispiele zeige

15 Folge, Reihe, Grezwerte Beispiel: Bereche Sie de Barwert eier 5-jährige vorschüssige Rete mit der Reterate ÖS 6600,- zu p = 5% p.a. R = 6600, q = 05, v B , = 6600 = 30003, , ( 05, ) Der Barwert beträgt ÖS 30003,7. Beispiel: Jemad zahlt durch 0 Jahre achschüssig ÖS 000,- jährlich bei eier Versicherug ei ud möchte dafür vom Begi des 5. Jahres a bis zum Begi des 0. Jahres eischließlich eie etsprechede Rete ausbezahlt bekomme. Wie hoch ist diese Reterate bei p = 6% p.a.? Die Aufgabe verlagt zuerst die Berechug des Edwertes der eibezahlte Rete. E 0 R = 000, q = 06, = , = 5869, 54 ( 06, ) Dieser Betrag wird bis zum Ede des 4. Jahres, also 4 Jahre, zu p = 6% verzist. 5869, 54 06, 4 = 99685, 40 Dieser Betrag ist u als Barwert der auszubezahlede Rete, die u vorschüssig vom 5. bis zum 0. Jahr, also 6 Jahre lag, erwartet wird. Die Formel für de Barwert ist also so umzuforme, daß die Reterate explizit zu bereche ist. R B q q v ( ) = q 5 06, ( 06, ) R = 99685, 4 = 38309, , Die Reterate beträgt ÖS 38309,

16 Folge, Reihe, Grezwerte Beispiel: Statt eier im 4. Jahr begiede vorschüssige Rete vo ÖS 50000,- durch 6 Jahre möchte jemad eie sofort begiede achschüssige Rete durch Jahre. Wieviel wird er bei p = 4% p.a. als Reterate bekomme? = v B , = 759,, (, ) Dieser Betrag ist über 3 Jahre abzuzise, um de Wert zum Zeitpukt t = 0 zu bereche. 759, = 433, , Die eue Reterate ergibt sich ach Umforme der Barwertformel für eie achschüssige Rete. 04, R = 433, 5 04 = 67, 76, Die Reterate beträgt ÖS 67,76. Beispiel: Der Prokurist eier Firma wird i 8 Jahre i Pesio gehe. Die Firma will ihm da weitere 0 Jahre lag eie vorschüssige Firmepesio vo ÖS 80000,- jährlich bezahle. Welche Betrag muß diese Firma jetzt auf ei mit 8% p.a. verzistes Sparbuch eizahle, um die Pesio vo diesem Sparbuch bezahle zu köe? = v B , = 76766, 5, (, ) Dieser Betrag ist über 8 Jahre abzuzise, um de jetzt ötige Betrag zu ermittel , 5 08, 8 = , Die Firma beötigt ÖS ,

17 Folge, Reihe, Grezwerte Beispiel: Jemad hat Aspruch auf eie achschüssige Rete vo 8000,- Schillig moatlich über 0 Jahre. Er möchte die Reterate auf 5000,- Schillig seke, um so die Retedauer zu erhöhe. Wie lage ka er diese Rete bei p = 8% p.a. bekomme? Bei diesem Beispiel muß zuerst der jährliche Zissatz i eie moatliche Zissatz umgerechet werde. B 0 08, = ( + i ), p = 0, ,... = 8000 = , 0 006,... ( 006,... ) 006, , = ,... ( 006,... ) Diese Aufgabe führt also zur Berechug eier ubekate Hochzahl. Dazu ist es otwedig, die Gleichug so umzuforme, daß sich die Poteze mit dieser Hochzahl isoliert auf eier Seite der Gleichug fide. 006, ,... = 006,... 0, ,... = 006, ,... 0, ,... = 006,... ( 0, ) = 006,... = 7, Diese Gleichug ist durch Logarithmiere lösbar. lg( 70866,...) = = 305, 33 lg( 006,...) Die eue Retedauer beträgt 305 Moate

18 Folge, Reihe, Grezwerte 0.4. Grezwerte vo Zahlefolge (a) Problemstellug Im Abschitt Mootoie wurde bereits eie wesetliche Eigeschaft vo Folge aufgezeigt. Betrachtet ma mootoe bzw. streg mootoe Folge geauer, so ka ma weitere Eigeschafte feststelle. Beispiele: Formuliere Sie weitere Eigeschafte achsteheder Folge: a) 0; 0,5; 0,66; 0,75; 0,8;... b) 0,9; 0,99; 0,999; 0,9999;... c) ;,5;,33;,5;,;... d) 0,; 0,0; 0,00; 0,000;... e) ; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;... f ) ; 4; 9; 6; 5; 36; 49;... Die obige Folge weise folgede Eigeschafte auf: Die Zahle der Folge a) ud b) ehme fortwähred zu, wachse aber icht über alle Greze hiaus, soder äher sich der Zahl. Im Beispiel c) ud d) werde die Glieder der Folge immer kleier ud äher sich dem Wert i b) bzw. 0 i c) je weiter ma i der Folge fortschreitet. I de Beispiele e) ud f) schließlich (atürliche Zahle ud dere Quadrate) wachse die Glieder bekatermaße ubegrezt. Darüberhiaus ka ma die Folge durch ihre erzeugede Term agebe. a) c) 0 b) + d) 0 e) f) Der folgede Abschitt beschäftigt sich mit Folge, die Eigeschafte wie jee im Beispiel a)-d) aufweise. Solche Folge et ma koverget, ud uterscheidet sie, je achdem ob sie sich eiem bestimmte Wert vo liks äher - wie i a) ud b) - oder vo rechts äher - wie i c) ud d) - i liks kovergete bzw. rechts kovergete Folge. Zur geaue Defiitio der Kovergez müsse jedoch och eiige Begriffe festgelegt werde

19 Folge, Reihe, Grezwerte (b) Beschräkte Folge Betrachtet ma die Folge aus Beispiel a), so ergibt sich offesichtlich eie Folge vo lauter echte Brüche, da jedes Glied der Folge kleier als ist. Diese Aussage läßt sich i auch leicht recherisch achweise. Dazu löst ma die Ugleichug a < über N. < < < 0 Da die Aussage für alle N wahr ist, gilt: a < Ferer gilt für alle Glieder der Folge a 0 ud somit: 0 a < Die Folge ist also sowohl ach obe als auch ach ute beschräkt; das heißt, daß die Glieder der Folge de Wert ie übersteige ud de Wert 0 ie uterschreite. Die Werte 0 ud werde i diesem Zusammehag als Schrake bezeichet. Auch für die Beispiele b)-d) lasse sich Schrake fide. Eie Folge a ist ach obe beschräkt, we eie Zahl M existiert, sodaß alle Elemete der Folge kleier oder gleich M sid. M heißt da obere Schrake der Folge. a M... a ist ach obe beschräkt mit der obere Schrake M Eie Folge a ist ach ute beschräkt, we eie Zahl m existiert, sodaß alle Elemete der Folge größer oder gleich m sid. Da heißt m utere Schrake der Folge. a m... a ist ach ute beschräkt mit der utere Schrake m Wie bereits das ageführte Beispiel gezeigt hat, muß die Schrake M bzw. m selbst icht ei Folgeglied sei. Jede Zahl, die größer als die obere Schrake M ist, ist ebefalls eie obere Schrake der Folge. Umgekehrt gilt, daß jede Zahl, die kleier als die utere Schrake m ist, wieder eie utere Schrake der Folge ist. Eie ach obe beschräkte (ach ute beschräkte) Folge besitzt daher uedlich viele obere (utere) Schrake. Eie Folge, die ach obe ud ach ute beschräkt ist, heißt beschräkt. Stellt ma eie solche Folge auf der Zahlegerade dar, so liege die Bildpukte i eiem ediche Itervall. - -

20 Folge, Reihe, Grezwerte (c) Supremum ud Ifimum Der vorige Abschitt hat gezeigt, daß die Folge die Zahl als obere Schrake besitzt. Jede Zahl, größer als ist ebefalls obere Schrake dieser Folge. Es stellt sich jedoch die Frage, ob es eie Zahl kleier gibt, die obere Schrake dieser Folge ist. Um das zu utersuche - ob etwa die Zahl 0,9 eie obere Schrake - ist, setzt ma: 09, 09, 0, 0 Diese Berechug zeigt, daß ur die erste zeh Glieder der Folge kleier als 0,9 sid; 0,9 ist also keie obere Schrake dieser Folge. Diese Berechug läßt sich für adere Werte, z.b. 0,99 oder 0,999 usw., ebefalls durchführe., es läßt sich jedoch keie Zahl kleier fide, die obere Schrake ist. Verallgemeiert ma diese Berechug ud wählt eie Zahl ε mit ε>0, so läßt sich zeige, daß es tatsächlich keie Zahl kleier gibt, die obere Schrake ist. ε ε ε Dieses Ergebis bedeutet, daß die Glieder der Folge ur für jee kleier als ε sid, solage kleier als der Kehrwert vo ε ist. So klei ma also ε auch wählt ud so groß der Kehrwert vo ε daher auch wird, es gibt stets ur eie edliche Azahl vo Glieder der Folge, die kleier als ε sid. Da es also keie Zahl kleier gibt, die obere Schrake ist, bezeichet ma als kleiste obere Schrake der Folge. Besitzt eie Folge eie kleiste obere Schrake, so heißt diese Zahl obere Greze oder Supremum der Folge. Jede ach obe beschräkte Folge besitzt i R ei Supremum. Besitzt eie Folge eie größte utere Schrake, so heißt diese Zahl utere Greze oder Ifimum der Folge. Jede ach ute beschräkte Folge besitzt i R ei Ifimum. - -

21 Folge, Reihe, Grezwerte (d) Der Umgebugsbegriff (Epsilotik) Die scho mehrfach verwedete Zahlefolge a = = 0; 0,5; 0,66; 0,75; 0,8;..., vo der umehr bekat ist, daß sie streg mooto wachsed ist ud die kleiste obere Schrake besitzt, hat och eie weitere besodere Eigeschaft. Wie auch i der graphische Darstellug ersichtlich, äher sich die Werte der Glieder der Folge immer mehr der Zahl. Es stellt sich zuweile die Frage, ab welchem Folgeglied alle weitere eie Abstad kleier als ei bestimmter Wert - z.b. 0,03 - vo habe. Das führt zu der Ugleichug: < 003, < 003, > 33, 33 Somit uterscheidet sich das 34. Glied der Folge ud alle weitere um weiger als 0,03 vom Wert. Auch hier ka ma allgemei statt dem bestimmte Wert 0,03 de Wert ε >0 beütze. Fragt ma u ob es Elemete der Folge gibt, dere Abstad vo kleier als eie beliebige positive Zahl ε ist, so muß folgede Ugleichug gelöst werde: < ε > ε Das Ergebis zeigt, daß jee Elemete der Folge, für die größer als der Kehrwert vo ε ist, eie gerigere Abstad als ε vo habe. Prizipiell läßt sich diese Berechug für jede beliebige Zahl a ud jede beliebige Abstad ε durchführe. Ist die Zahl a jedoch icht obere oder utere Schrake der Folge, so muß für die Ermittlug jeer Glieder der Folge, für die der Abstad vo a kleier als ε ist, die Berechug für a a < ε durchgeführt werde. Es ergebe sich aufgrud der Betragsugleichug also die Fälle a a < ε ud a a < ε

22 Folge, Reihe, Grezwerte Wie auch die Graphik zeigt, legt ε eie Umgebug um a fest. Die ε-umgebug U (a;ε) der reelle Zahl a ist die Mege aller Zahle x aus R, für die der Betrag der Differez a x kleier als ε ist. Es gilt: U (a;ε) = {x R a ε < x < a+ε} bzw. {x R a x < ε} Die ε-umgebug U (a;ε) ist also das offee Itervall ]a ε;a+ε[. Beispiel: Bestimme Sie, ab welchem Elemet der Folge ( ) sich die Glieder um weiger als 0, vo Null uterscheide. ( ) = 05 ;, ; 03305, ;, ;... Ma erket, daß die Folge alteriered ist, wobei sich für die Elemete mit gerade Idexzahle positive, für jee mit ugerade Idexzahle egative Zahlewerte ergebe. I beide Fälle äher sich die Elemete immer mehr der Zahl Null. Ma führt u folgede Falluterscheidug durch:. Fall a a < ε 0 ( ) < 0, Dieser Fall trifft ur für ugerade zu, da ur da die Elemete a liks vo 0 liege. Das Ergebis der Potezrechug im erzeugede Term der Folge ist also. Aalog wird der zweite Fall im Aschluß behadelt. 0 < 0, > 0 L = { ; 3 ;...}. Fall a a< ε 0 < 0,; > 0 L = [ 4 ; ;...} Die Glieder der Folge uterscheide sich ab dem. Glied um weiger als 0, vo Null

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen

Zahlenfolgen, Grenzwerte und Zahlenreihen KAPITEL 5 Zahlefolge, Grezwerte ud Zahlereihe. Folge Defiitio 5.. Uter eier Folge reeller Zahle (oder eier reelle Zahlefolge) versteht ma eie auf N 0 erlarte reellwertige Futio, die jedem N 0 ei a R zuordet:

Mehr

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten

3. Tilgungsrechnung. 3.1. Tilgungsarten schreier@math.tu-freiberg.de 03731) 39 2261 3. Tilgugsrechug Die Tilgugsrechug beschäftigt sich mit der Rückzahlug vo Kredite, Darlehe ud Hypotheke. Dabei erwartet der Gläubiger, daß der Schulder seie

Mehr

FINANZMATHEMATIK. 1. Zinsen und Zinseszinsen. Finanzmathematik 81

FINANZMATHEMATIK. 1. Zinsen und Zinseszinsen. Finanzmathematik 81 Fiazmathematik 8 FINANZMATHEMATIK. Zise ud Ziseszise Die Zise als Preis für die Zurverfügugstellug vo Geld bilde das zetrale Elemet i der Fiazmathematik. Hierbei sid verschiedee Arte der Verzisug zu uterscheide.

Mehr

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen

Nachklausur - Analysis 1 - Lösungen Prof. Dr. László Székelyhidi Aalysis I, WS 212 Nachklausur - Aalysis 1 - Lösuge Aufgabe 1 (Folge ud Grezwerte). (i) (1 Pukt) Gebe Sie die Defiitio des Häufugspuktes eier reelle Zahlefolge (a ) N. Lösug:

Mehr

Finanzmathematik für HAK

Finanzmathematik für HAK Fiazmathematik für HAK Dr.Mafred Gurter 2008. Kapitalverzisug bei der Bak mit lieare (eifache) Zise währed des Jahres Beispiel : Ei Kapital vo 3000 wird mit 5% für 250 Tage verzist. Wie viel bekommt ma

Mehr

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE

Versuch 13/1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt 1 NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Versuch 3/ NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Blatt NEWTONSCHE INTERFERENZRINGE Die Oberfläche vo Lise hat im allgemeie Kugelgestalt. Zur Messug des Krümmugsradius diet das Sphärometer. Bei sehr flacher Krümmug

Mehr

Mathematik. Vorlesung im Bachelor-Studiengang Business Administration (Modul BWL 1A) an der FH Düsseldorf im Wintersemester 2008/09

Mathematik. Vorlesung im Bachelor-Studiengang Business Administration (Modul BWL 1A) an der FH Düsseldorf im Wintersemester 2008/09 Mathematik Vorlesug im Bachelor-Studiegag Busiess Admiistratio (Modul BWL A) a der FH Düsseldorf im Witersemester 2008/09 Dozet: Dr. Christia Kölle Teil I Fiazmathematik, Lieare Algebra, Lieare Optimierug

Mehr

Wintersemester 2006/2007, Universität Rostock Abgabetermin: spätestens 24.10.2006, 09:00 Uhr. Aufgabe 1.1: (5 P)

Wintersemester 2006/2007, Universität Rostock Abgabetermin: spätestens 24.10.2006, 09:00 Uhr. Aufgabe 1.1: (5 P) Serie Abgabetermi: spätestes 24.0.2006, 09:00 Uhr Aufgabe.: 5 P Zeige Sie, dass das geometrische Mittel icht größer ist als das arithmetische Mittel, d.h., dass für alle Zahle a, b R mit a, b 0 gilt ab

Mehr

3 Die Außenfinanzierung durch Fremdkapital (Kreditfinanzierung)

3 Die Außenfinanzierung durch Fremdkapital (Kreditfinanzierung) 3 Die Außefiazierug durch Fremdkapital (Kreditfiazierug) 3.1 Die Charakteristika ud Forme der Kreditfiazierug Aufgabe 3.1: Idealtypische Eigeschafte vo Eige- ud Fremdkapital Stelle Sie die idealtypische

Mehr

Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studienleistung BW-WMT-S12 011110

Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studienleistung BW-WMT-S12 011110 Name, Vorame Matrikel-Nr. Studiezetrum Studiegag Fach Art der Leistug Klausur-Kz. Betriebswirtschaft Wirtschaftsmathematik Studieleistug Datum 10.11.2001 BW-WMT-S12 011110 Verwede Sie ausschließlich das

Mehr

1. Ein Kapital von 5000 ist zu 6,5% und ein Kapital von 4500 zu 7% auf 12 Jahre angelegt. Wie groß ist der Unterschied der Endkapitalien?

1. Ein Kapital von 5000 ist zu 6,5% und ein Kapital von 4500 zu 7% auf 12 Jahre angelegt. Wie groß ist der Unterschied der Endkapitalien? Fiazmathematik Aufgabesammlug. Ei Kapital vo 5000 ist zu 6,5% ud ei Kapital vo 4500 zu 7% auf 2 Jahre agelegt. Wie groß ist der Uterschied der Edkapitalie? 2. Wa erreicht ei Kapital eie höhere Edwert,

Mehr

Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik Studiegag Betriebswirtschaft Fach Wirtschaftsmathematik Art der Leistug Studieleistug Klausur-Kz. BW-WMT-S1 040508 Datum 08.05.004 Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich: Verwede

Mehr

Herzlich willkommen zur Demo der mathepower.de Aufgabensammlung

Herzlich willkommen zur Demo der mathepower.de Aufgabensammlung Herzlich willkomme zur der Aufgabesammlug Um sich schell ierhalb der ca. 35. Mathematikaufgabe zu orietiere, beutze Sie ubedigt das Lesezeiche Ihres Acrobat Readers: Das Ico fide Sie i der liks stehede

Mehr

x 2 + 2 m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a)

x 2 + 2 m c Φ( r, t) = n q n (t) φ n ( r) (5) ( + k 2 n ) φ n ( r) = 0 (6a) Quatisierug eies skalare Feldes Das Ziel ist eigetlich das elektromagetische Feld zu quatisiere, aber wie ma scho a de MAXWELLsche Gleichuge sehe ka, ist es zu kompliziert, um damit zu begie. Außerdem

Mehr

Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist.

Satz Ein Boolescher Term t ist eine Tautologie genau dann, wenn t unerfüllbar ist. Erfüllbarkeit, Uerfüllbarkeit, Allgemeigültigkeit Defiitio Eie Belegug β ist passed zu eiem Boolesche Term t, falls β für alle atomare Terme i t defiiert ist. (Wird ab jetzt ageomme.) Ist β(t) = true,

Mehr

1 Analysis T1 Übungsblatt 1

1 Analysis T1 Übungsblatt 1 Aalysis T Übugsblatt A eier Weggabelug i der Wüste lebe zwei Brüder, die vollkomme gleich aussehe, zwische dee es aber eie gewaltige Uterschied gibt: Der eie sagt immer die Wahrheit, der adere lügt immer.

Mehr

Aufgaben zur vollständigen Induktion

Aufgaben zur vollständigen Induktion c 7 by Raier Müller - Aufgabe zur vollstädige Idutio We ichts aderes agegebe ist, da gelte die Behauptuge für IN {; ; ;...}. A) Teilbareit: ) ist gerade (d.h. durch teilbar). ) ist durch teilbar. ) ist

Mehr

Wirtschaftsingenieurwesen Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung WI-WMT-P12 040703. Studiengang Fach Art der Leistung Klausur-Knz. Datum 03.07.

Wirtschaftsingenieurwesen Wirtschaftsmathematik Prüfungsleistung WI-WMT-P12 040703. Studiengang Fach Art der Leistung Klausur-Knz. Datum 03.07. Studiegag Fach Art der Leistug Klausur-Kz. Wirtschaftsigeieurwese Wirtschaftsmathematik Prüfugsleistug WI-WMT-P 040703 Datum 03.07.004 Bezüglich der Afertigug Ihrer Arbeit sid folgede Hiweise verbidlich:

Mehr

Finanzmathematik. srdp orientierte. Seminar in Salzburg, HLW Annahof. Inhalt: I Display und Screenshots 2. II Grundbegriffe 3

Finanzmathematik. srdp orientierte. Seminar in Salzburg, HLW Annahof. Inhalt: I Display und Screenshots 2. II Grundbegriffe 3 Semiar i Salzburg, HLW Aahof srdp orietierte Fiazmathematik mit TI 82 stats Ihalt: I Display ud Screeshots 2 II Grudbegriffe 3 III Eifache Verzisug 3 IV Ziseszis 4 VI Äquivalezprizip 4 VII Uterjährige

Mehr

Skript Mathematik. Inhaltsverzeichnis

Skript Mathematik. Inhaltsverzeichnis Skript Mathematik Ihaltsverzeichis Folge ud Reihe.... Arithmetische Folge ud Reihe.... Geometrische Folge ud Reihe.... Aufgabe... Zis- ud Ziseszisrechug...4. Eifache Verzisug...4. Ziseszisrechug...5. Gemischte

Mehr

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik

Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Uiversität Heidelberg Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik Übuge Aufgabe zu Kapitel 1 (aus: K. Hefft Mathematischer Vorkurs zum Studium der Physik, sowie Ergäzuge) Aufgabe 1.1: SI-Eiheite: a)

Mehr

Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK. 1. Vorbemerkung

Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK. 1. Vorbemerkung Versuch 1/1 POISSON STATISTIK Blatt 1 POISSON STATISTIK Physikalische Prozesse, die eier statistische Gesetzmäßigkeit uterworfe sid, lasse sich mit eier Verteilugsfuktio beschreibe. Die Gauß-Verteilug

Mehr

beck-shop.de 2. Online-Marketing

beck-shop.de 2. Online-Marketing beck-shop.de 2. Olie-Marketig aa) Dateschutzrechtliche Eiwilligug immer erforderlich Ohe Eiwilligug des Nutzers ist eie Erhebug persoebezogeer Date icht zulässig. Eie derartige Eiwilligug ka auch icht

Mehr

Mathematik der Lebensversicherung. Dr. Karsten Kroll GeneralCologne Re

Mathematik der Lebensversicherung. Dr. Karsten Kroll GeneralCologne Re atheatik der Lebesersicherug r. Karste Kroll GeeralCologe Re atheatik der Lebesersicherug atheatische Grudasätze iskotiuierliche ethode: Sätliche Leistuge erfolge zu bestite Zeitpukte ie Zeititeralle dazwische

Mehr

12. EINFÜHRUNG IN DIE DIFFERENTIALRECHNUNG

12. EINFÜHRUNG IN DIE DIFFERENTIALRECHNUNG . EINFÜHRUNG IN DIE DIFFERENTIALRECHNUNG.. Problemstellug (a) Die mittlere Äderugsrate Uhrzeit t Temperatur T(t) 8 9 9 0 0 0 3 3 4 4 7 5 6 6 4 7 4 8 3 9 0 0 8 I ebesteheder Tabelle sid die zu verschiedee

Mehr

Monte Carlo-Simulation

Monte Carlo-Simulation Mote Carlo-Simulatio Mote Carlo-Methode Der Begriff Mote Carlo-Methode etstad i de 1940er Jahre, als ma im Zusammehag mit dem Bau der Atombombe die Simulatio vo Zufallsprozesse erstmals i größerem Stil

Mehr

Prof. Dr. Günter Hellmig. Aufgabenskript Finanzmathematik

Prof. Dr. Günter Hellmig. Aufgabenskript Finanzmathematik Prof. Dr. Güter Hellmig Aufgabeskript Fiazmathematik Ihalt: Aufgabe -: Eifache achschüssige Zise Aufgabe : Eifache vorschüssige Zise Aufgabe 4-5: Ziseszise bei Zisasammlug Aufgabe 6-: Ziseszise bei Zisauszahlug

Mehr

Kunde. Kontobewegung

Kunde. Kontobewegung Techische Uiversität Müche WS 2003/04, Fakultät für Iformatik Datebaksysteme I Prof. R. Bayer, Ph.D. Lösugsblatt 4 Dipl.-Iform. Michael Bauer Dr. Gabi Höflig 17.11. 2003 Abbildug E/R ach relatioal - Beispiel:

Mehr

Das Digitale Archiv des Bundesarchivs

Das Digitale Archiv des Bundesarchivs Das Digitale Archiv des Budesarchivs 2 3 Ihaltsverzeichis Das Digitale Archiv des Budesarchivs 4 Techische Ifrastruktur 5 Hilfsmittel zur Archivierug 5 Archivierugsformate 6 Abgabe vo elektroische Akte

Mehr

9 Der bipolare Transistor

9 Der bipolare Transistor 9 Der bipolare Trasistor Der bipolare Trasistor ist ei Halbleiter-auelemet, bei dem mit eiem kleie Steuerstrom ei großer Hauptstrom gesteuert wird. 9.1 Aufbau ud Herstellugsverfahre Der bipolare Trasistor

Mehr

Zur Ableitung zulässiger Messunsicherheiten

Zur Ableitung zulässiger Messunsicherheiten Zur Ableitug zulässiger Messusicherheite aus Toleraze bei Igeieurvermessuge a Krabahe Has Schulz Vo de jeweilige Herstelltoleraze ist für die Vermessug ei bestimmter Ateil die Vermessugstoleraz vorzusehe,

Mehr

betrieblichen Altersvorsorge

betrieblichen Altersvorsorge Reforme i der Alterssicherug 13 1. Basisiformatioe zur eue betriebliche Altersvorsorge 1.1 Reforme i der Alterssicherug Nach de große Reforme i der Alterssicherug der Jahre 2000/2001 u. a. mit dem Altersvermögesgesetz,

Mehr

Model CreditRisk + : The Economic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I

Model CreditRisk + : The Economic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I Model CreditRisk + : The Ecoomic Perspective of Portfolio Credit Risk Part I Semiar: Portfolio Credit Risk Istructor: Rafael Weißbach Speaker: Pablo Kimmig Ageda 1. Asatz ud Ziele Was ist CreditRisk +

Mehr

Mietnebenkosten von A-Z

Mietnebenkosten von A-Z Beck-Rechtsberater im dtv 50758 Mietebekoste vo A-Z Begriffe, Musterformulieruge, Berechugsbeispiele, Checkliste vo Dr. Klaus Lützekirche 6. Auflage Verlag C.H. Beck Müche 2014 Verlag C.H. Beck im Iteret:

Mehr

Die Instrumente des Personalmanagements

Die Instrumente des Personalmanagements 15 2 Die Istrumete des Persoalmaagemets Zur Lerorietierug Sie solle i der Lage sei:! die Ziele, Asätze ud Grüde eier systematische Persoalplaug darzulege;! die Istrumete der Persoalplaug zu differeziere;!

Mehr

Leitfaden zum Photovoltaik Global 30 Index *

Leitfaden zum Photovoltaik Global 30 Index * Lefade zum Photovoltaik Global 30 Idex * Versio.0 * Photovoltaik Global 30 Idex ist ei Idex der ABN AMRO, der vo der Deutsche Börse berechet ud verteilt wird. Deutsche Börse AG Versio.0 Lefade zum Photovoltaik

Mehr

BERUFSKOLLEG KAUFMÄNNISCHE SCHULEN DES KREISES DÜREN Zweijährige Höhere Handelsschule

BERUFSKOLLEG KAUFMÄNNISCHE SCHULEN DES KREISES DÜREN Zweijährige Höhere Handelsschule BERUFSKOLLEG KAUFMÄNNISCHE SCHULEN DES KREISES DÜREN Zweijährige Höhere Hadelsschule Abschlussprüfug Sommer Fach: MATHEMATIK Bearbeitugszeit: Erlaubte Hilfsmittel: Zeitstude Nicht-programmierbarer Tascherecher

Mehr

Organisatorische Strukturen und Stammdaten in ERP-Systemen

Organisatorische Strukturen und Stammdaten in ERP-Systemen Attributame Beschreibug Name des Lerobjekts Autor/e Zielgruppe Vorwisse Lerziel Beschreibug Dauer der Bearbeitug Keywords Orgaisatorische Strukture ud Stammdate i ERP-Systeme FH Vorarlberg: Gasser Wirtschaftsiformatik

Mehr

"Ich glaube nur die Statistik, die ich selbst gefälscht habe."

Ich glaube nur die Statistik, die ich selbst gefälscht habe. THEORETISCHE GRUNDLAGEN I der Biophysik versuche wir biologische Vorgäge mit physikalische Methode zu utersuche ud zu verstehe. Wir setze dabei voraus, dass biologische Größe quatitativ gemesse ud mit

Mehr

Statistische Maßzahlen. Statistik Vorlesung, 10. März, 2010. Beispiel. Der Median. Beispiel. Der Median für klassifizierte Werte.

Statistische Maßzahlen. Statistik Vorlesung, 10. März, 2010. Beispiel. Der Median. Beispiel. Der Median für klassifizierte Werte. Statistik Vorlesug,. ärz, Statistische aßzahle Iformatio zu verdichte, Besoderheite hervorzuhebe ittelwerte Aufgabe: die Lage der Verteilug auf der Abszisse zu zeige. Der odus: derjeige Wert, der im Häufigste

Mehr

Integrationsseminar zur BBL und ABWL Wintersemester 2002/2003

Integrationsseminar zur BBL und ABWL Wintersemester 2002/2003 Credit Risk+ Itegratiossemiar zur BBL ud BWL Witersemester 2002/2003 Oksaa Obukhova lia Sirsikova Credit Risk+ 1 Ihalt. Eiführug i die Thematik B. Ökoomische Grudlage I. Ziele II. wedugsmöglichkeite 1.

Mehr

Die effektive Zinssatzberechnung bei Krediten. Dr. Jürgen Faik. - Bielefeld, 22.03.2007 -

Die effektive Zinssatzberechnung bei Krediten. Dr. Jürgen Faik. - Bielefeld, 22.03.2007 - Die effektive issatzbeechug bei edite D Jüge Faik - Bielefeld, 22327 - Eileitug: um isbegiff Ich wede i de kommede Stude zum Thema Die effektive issatzbeechug bei edite votage Nach eileitede Wote zum isbegiff

Mehr

1741 SWITZERLAND EQUAL WEIGHTED INDEX

1741 SWITZERLAND EQUAL WEIGHTED INDEX 1741 Switzerlad Idex Series 1741 SWITZERLAND EQUAL WEIGHTED INDEX Reglemet Versio vom 01.07.2015 1741 Switzerlad Equal Weighted Idex 2 INHALTSVERZEICHNIS 1 Eileitug 3 2 Idex Spezifikatioe 4 3 Idex Uiversum

Mehr

FIBU Kontoauszugs- Manager

FIBU Kontoauszugs- Manager FIBU Kotoauszugs- Maager Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Highlights... 4 2.1 Buchugsvorschläge i der Buchugserfassug... 4 2.2 Vergleichstexterstellug zur automatische Vorkotierug... 5 2.3

Mehr

Bereichsleitung Fitness und GroupFitness (IST)

Bereichsleitung Fitness und GroupFitness (IST) Leseprobe Bereichsleitug Fitess ud GroupFitess (IST) Studieheft Persoalmaagemet Autori Corelia Trikaus Corelia Trikaus ist Diplom-Ökoomi ud arbeitet als wisseschaftliche ud pädagogische Mitarbeiteri bei

Mehr

Seminar Derivate Finanzprodukte aus mathematischer Sicht Up-and-out Call Option

Seminar Derivate Finanzprodukte aus mathematischer Sicht Up-and-out Call Option Semiar Derivate Fiazprodukte aus mathematischer Sicht Up-ad-out Call Optio UIVERSITÄT TRIER Fachbereich IV Wirtschaftswisseschafte / Mathematik Witersemester 22/3 Leiter: Prof. Dr. H. Luschgy Eigereicht

Mehr

Robuste Asset Allocation in der Praxis

Robuste Asset Allocation in der Praxis Fiazmarkt Sachgerechter Umgag mit Progosefehler Robuste Asset Allocatio i der Praxis Pesiosfods ud adere istitutioelle Aleger sid i aller Regel a ei bestimmtes Rediteziel (Rechugszis) gebude, das Jahr

Mehr

S-PENSION. Sparen Sie sich eine Zusatzrente für morgen an und genießen Sie sofortige Steuervorteile.

S-PENSION. Sparen Sie sich eine Zusatzrente für morgen an und genießen Sie sofortige Steuervorteile. S-PENSION Spare Sie sich eie Zusatzrete für morge a ud geieße Sie sofortige Steuervorteile. Ihalt 1. Es ist Zeit, die Iitiative zu ergreife 4 2. Geieße Sie sofortige Steuervorteile 5 3. Die Kapitalbildugsphase:

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeitslehre

Statistik und Wahrscheinlichkeitslehre Statistik ud Wahrscheilichkeitslehre Zufall ud Mittelwerte Für alle techische Studiegäge Prof. Dr.-Ig. habil. Thomas Adamek Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug. Eiführug Grudlage vo Statistik ud Wahrscheilichkeitsrechug

Mehr

Bewertung von Anleihen

Bewertung von Anleihen Bewertug vo Aleihe Arithmetik der Aleihebewertug: Überblick Zerobods ud Koupoaleihe Ziskurve: Spot Zise ud Yield to Maturity Day cout Kovetioe Replikatio ud Arbitrage Forward Zise Yield ud ex post realisierte

Mehr

cubus EV als Erweiterung für Oracle Business Intelligence

cubus EV als Erweiterung für Oracle Business Intelligence cubus EV als Erweiterug für Oracle Busiess Itelligece... oder wie Oracle-BI-Aweder mit Essbase-Date vo cubus outperform EV Aalytics (cubus EV) profitiere INHALT 01 cubus EV als Erweiterug für die Oracle

Mehr

Merge-Sort und Binäres Suchen

Merge-Sort und Binäres Suchen Merge-Sort ud Biäres Suche Ei Bericht vo Daiel Haeh Mediziische Iformatik, Prosemiar WS 05/06 Ihaltsverzeichis I. Eileitug 3 II. III. IV. i. Das Divide-ad-coquer -Verfahre Merge-Sort i. Eileitug ii. Fuktiosweise

Mehr

Die allgemeinen Daten zur Einrichtung von md cloud Sync auf Ihrem Smartphone lauten:

Die allgemeinen Daten zur Einrichtung von md cloud Sync auf Ihrem Smartphone lauten: md cloud Syc / FAQ Häufig gestellte Frage Allgemeie Date zur Eirichtug Die allgemeie Date zur Eirichtug vo md cloud Syc auf Ihrem Smartphoe laute: Kototyp: Microsoft Exchage / ActiveSyc Server/Domai: mailsyc.freeet.de

Mehr

Analysis I Probeklausur 2

Analysis I Probeklausur 2 WS /2 Mriescu/ Ert Alysis I Probeklusur 2. Aufgbe Die Folge (x ) N sei rekursiv defiiert durch x =, x + = 2+x. () Beweise, dss die Folge (x ) N streg mooto wchsed ist. (b) Beweise, dss (x ) N durch 2 ch

Mehr

2 Organisationseinheiten und -strukturen

2 Organisationseinheiten und -strukturen 2 Orgaisatioseiheite ud -strukture 2. Eiführug Verkaufsorgaisatio (SD) Vertriebsweg (SD) Sparte (LO) Verkaufsbüro (SD) Verkäufergruppe (SD) Madat Buchugskreis (FI) Kreditkotrollbereich (FI) Werk (LO) Versadstelle

Mehr

Elementare Grundlagen der Analysis

Elementare Grundlagen der Analysis Elemetare Grudlage der Aalysis Wolfgag Rauteberg Berli Zweite verbesserte Auflage Satz ud Layout: Der Autor Neufassug vom Jui 2005 III Vorwort Die erste Auflage dieses Buches seit geraumer Zeit vergriffe.

Mehr

EU setzt auf grüne Ventilatoren

EU setzt auf grüne Ventilatoren ErP-Richtliie fordert hohe Wirkugsgrade: EU setzt auf grüe Vetilatore gettyimages/steve Che 9 ErP-Richtliie fordert hohe Wirkugsgrade: EU setzt auf grüe Vetilatore Vetilatore i GreeTech EC-Techologie übertreffe

Mehr

Lichtquellen Körper die selbst Licht erzeugen, nennt man Lichtquellen. Die meisten Lichtquellen sind glühende Körper mit hoher Temperatur.

Lichtquellen Körper die selbst Licht erzeugen, nennt man Lichtquellen. Die meisten Lichtquellen sind glühende Körper mit hoher Temperatur. PS - OPTIK P. Redulić 2007 LICHT STRAHLENOPTIK LICHT. Lichtquelle ud beleuchtete Körper Sichtbare Körper sede teilweise Licht aus, teilweise reflektiere sie aber auch das auf sie fallede Licht. Lichtquelle

Mehr

Das FSB Geldkonto. Einfache Abwicklung und attraktive Verzinsung. +++ Verzinsung aktuell bis zu 3,7% p.a. +++

Das FSB Geldkonto. Einfache Abwicklung und attraktive Verzinsung. +++ Verzinsung aktuell bis zu 3,7% p.a. +++ Das FSB Geldkoto Eifache Abwicklug ud attraktive Verzisug +++ Verzisug aktuell bis zu 3,7% p.a. +++ zuverlässig servicestark bequem Kompeteter Parter für Ihr Wertpapiergeschäft Die FodsServiceBak zählt

Mehr

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12

Übungen zur Analysis 1 für Informatiker und Statistiker. Lösung zu Blatt 12 Mthemtisches Istitut der Uiversität Müche Prof. Dr. Peter Otte WiSe 203/4 Lösug 2 2.0.204 Aufgbe 2. [8 Pute] Übuge zur Alysis für Iformtier ud Sttistier Lösug zu Bltt 2 Für eie Teilmege Ω R, sei {, flls

Mehr

AGILES SCHÄTZEN IM TEAM: VERFAHREN IN DER AGILEN SOFTWAREENTWICKLUNG

AGILES SCHÄTZEN IM TEAM: VERFAHREN IN DER AGILEN SOFTWAREENTWICKLUNG schwerpukt m e h r z u m t h e m a : ifos.seibertmedia.et/display/websoftware/agile+vorhersage der autor AGILES SCHÄTZEN IM TEAM: VERFAHREN IN DER AGILEN SOFTWAREENTWICKLUNG Mit Aufwadsschätzuge mache

Mehr

Die Risiken der privaten Altersvorsorge und deren Handling durch die Anbieter

Die Risiken der privaten Altersvorsorge und deren Handling durch die Anbieter Die ud dere Hadlig durch die Abieter 1 Übersicht Sichere Altersvorsorge: Was erwarte wir vo der private Altersvorsorge? Was macht die private Altersvorsorge usicher? Altersvorsorge i volatile Kapitalmärkte

Mehr

1 Wahrscheinlichkeitslehre

1 Wahrscheinlichkeitslehre Wahrscheilichkeitslehre. Grudlage der Wahrscheilichkeitsrechug Die Wahrscheilichkeitslehre ist ei elemetarer Bestadteil der Statistik. Die mathematische Wahrscheilichkeitslehre umfasst ei kompliziertes

Mehr

Die Gasgesetze. Die Beziehung zwischen Volumen und Temperatur (Gesetz von J.-L. und J. Charles): Gay-Lussac

Die Gasgesetze. Die Beziehung zwischen Volumen und Temperatur (Gesetz von J.-L. und J. Charles): Gay-Lussac Die Gasgesetze Die Beziehug zwische olume ud Temeratur (Gesetz vo J.-L. Gay-Lussac ud J. Charles): cost. T oder /T cost. cost.. hägt h vo ud Gasmege ab. Die extraolierte Liie scheidet die Temeratur- skala

Mehr

LTN-Newsletter. Evaluation 2011

LTN-Newsletter. Evaluation 2011 LTN-Newsletter Evaluatio 211 LTN-BBiT LearTechNet Bereich Bildugstechologie Uiversität Basel Vizerektorat Lehre Petersgrabe 3 CH-43 Basel ifo.ltn@uibas.ch www.ltn.uibas.ch - 2 - Ihaltsverzeichis Durchführug

Mehr

DMS Dokumenten- Management-System

DMS Dokumenten- Management-System DMS Dokumete- Maagemet-System Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Itegratio i das Ageda-System... 4 3 Highlights... 5 3.1 Scae, verschlagworte ud archiviere i eiem Arbeitsgag... 5 3.2 Dokumete

Mehr

= T. 1.1. Jährliche Ratentilgung. 1.1. Jährliche Ratentilgung. Ausgangspunkt: Beispiel:

= T. 1.1. Jährliche Ratentilgung. 1.1. Jährliche Ratentilgung. Ausgangspunkt: Beispiel: E Tilgugsrechug.. Jährliche Raeilgug Ausgagspuk: Bei Raeilgug wird die chuldsumme (Newer des Kredis [Aleihe, Hypohek, Darleh]) i gleiche Teilberäge T geilg. Die Tilgugsrae läss sich ermiel als: T =.. Jährliche

Mehr

Ferienkurs Quantenmechanik Sommersemester 2013. Elektromagnetische Felder und Störungstheorie

Ferienkurs Quantenmechanik Sommersemester 2013. Elektromagnetische Felder und Störungstheorie Elektromagetische Felder Feriekurs Quatemechaik Sommersemester 013 Seite 1 Daiel Roseblüh ud Floria Häse Fakultät für Physik Techische Uiversität Müche Elektromagetische Felder ud Störugstheorie Im Folgede

Mehr

Einführung in die Kombinatorik

Einführung in die Kombinatorik Seite 1/46 Eiführug i die Kombiatorik Die folgede Kapitel sid im Rahme eier Arbeitsgemeischaft für besoders befähigte Schülerie ud Schüler im Fach Mathematik (Jahrgagsstufe 8/9) am Clara-Schuma-Gymasium

Mehr

Nutzung der Ergebnisse von Ringvergleichen und Methodenvalidierungen zur Ermittlung der Messunsicherheit

Nutzung der Ergebnisse von Ringvergleichen und Methodenvalidierungen zur Ermittlung der Messunsicherheit Nutzug der Ergebie vo igvergleiche ud Methodevalidieruge zur Ermittlug der Meuicherheit Abtract Deutch Wolfgag ichter I der chemiche Aalytik werde ebe der Bottom-u -Methode ach GUM auch Todow -Verfahre

Mehr

Computerpraktikum im GP II Einführung in Mathematica

Computerpraktikum im GP II Einführung in Mathematica Computerpraktikum im GP II Eiführug i Mathematica Daiel Brete Michael Karcher Jes Koeslig Tim Baldsiefe Was ist Mathematica Mathematica ist ei Computeralgebrasytem, d. h., dass Mathematica z.b. Itegrale

Mehr

Lang & Schwarz Aktiengesellschaft. Nachtrag Nr. 1 vom 23. Juli 2012. nach 16 Absatz 1 WpPG. zum

Lang & Schwarz Aktiengesellschaft. Nachtrag Nr. 1 vom 23. Juli 2012. nach 16 Absatz 1 WpPG. zum Lag & Schwarz Aktiegesellschaft Nachtrag Nr. 1 vom 23. Juli 2012 ach 16 Absatz 1 WpPG zum Basisprospekt der Lag & Schwarz Aktiegesellschaft vom 20. Jui 2013 über derivative Produkte Optiosscheie auf Aktie/aktievertretede

Mehr

advertorial der autor Warum lohnen sich häufige Tests? Konstantin Diener

advertorial der autor Warum lohnen sich häufige Tests? Konstantin Diener der autor Kostati Dieer (kostati.dieer@cofipro.de) ist Leadig Cosultat bei der Cofipro AG. Er beschäftigt sich seit über zeh Jahre mit Softwarearchitektur ud sei Iteresse gilt allem, was IT ud Fachabteiluge

Mehr

XIII. Verkehrsstrafen-Überblick

XIII. Verkehrsstrafen-Überblick Ahag: XIII. Verkehrsstrafe-Überblick XIII. Verkehrsstrafe-Überblick Strafe ud Rechtsfolge ach Verkehrsdelikte i Österreich (Beispiele) Die folgede Tabelle listet häufige Verkehrsübertretuge auf. Es hadelt

Mehr

Bestimmte Gegenstände können drei Jahre lang mit einem festen Wert angesetzt werden, wenn folgende Voraussetzungen

Bestimmte Gegenstände können drei Jahre lang mit einem festen Wert angesetzt werden, wenn folgende Voraussetzungen 2.1 Ivetur 2.1.4 Bewertug der Vermögesgegestäde 2.1.4.1 Eizelbewertug Grudsätzlich sid bei eier Ivetur die Vermögesgegestäde eizel zu erfasse ud etspreched zu bewerte.esgibtzweiausahme vomgrudsatz dereizelbewertug.

Mehr

LS Retail. Die Branchenlösung für den Einzelhandel auf Basis von Microsoft Dynamics NAV

LS Retail. Die Branchenlösung für den Einzelhandel auf Basis von Microsoft Dynamics NAV LS Retail Die Brachelösug für de Eizelhadel auf Basis vo Microsoft Dyamics NAV akquiet Focus auf das Wesetliche User Focus liegt immer auf der Wirtschaftlichkeit: So weig wie möglich, soviel wie ötig.

Mehr

Operations Research. Prof. Jürgen Sauer. Operations Research

Operations Research. Prof. Jürgen Sauer. Operations Research Prof. Jürge Sauer Operatios Research Vorlesug im Sommer-Semester 005 Ihaltsverzeichis. Merkmale des Operatios Research... 6. Defiitio... 6. Problemstelluge... 6.3 Problemlösuge... 8. Lieare Plaugsrechug...

Mehr

3. Bestimmen Sie die Gitterkonstante eines Transmissionsgitters durch Ausmessung der Lage der Maxima.

3. Bestimmen Sie die Gitterkonstante eines Transmissionsgitters durch Ausmessung der Lage der Maxima. Fakultät für Physik ud Geowisseschafte Physikalisches Grudpraktikum O 17a Beuu (Laserlicht) Aufabe 1. Bestimme Sie durch Beuu (Frauhofer, Fresel) vo Laserlicht am Eifachspalt desse Breite. Messe Sie hierzu

Mehr

KASSENBUCH ONLINE Online-Erfassung von Kassenbüchern

KASSENBUCH ONLINE Online-Erfassung von Kassenbüchern KASSENBUCH ONLINE Olie-Erfassug vo Kassebücher Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Itegratio i das Ageda-System... 4 3 Highlights... 5 3.1 Ituitive Olie-Erfassug des Kassebuchs... 5 3.2 GoB-sicher

Mehr

Übersicht. über die Vorlesung Solarenergie. Vorläufige Terminplanung Vorlesung Solarenergie WS 2005/2006 Stand: 10.11.2005

Übersicht. über die Vorlesung Solarenergie. Vorläufige Terminplanung Vorlesung Solarenergie WS 2005/2006 Stand: 10.11.2005 Übersicht über die Vorlesug Solareergie Vorläufige Termiplaug Vorlesug Solareergie WS 2005/2006 Stad: 10.11.2005 Termi Thema Dozet Di. 25.10. Wirtschaftliche Lemmer/Heerig Aspekte/Eergiequelle Soe Fr.

Mehr

Sichtbar im Web! Websites für Handwerksbetriebe. Damit Sie auch online gefunden werden.

Sichtbar im Web! Websites für Handwerksbetriebe. Damit Sie auch online gefunden werden. Sichtbar im Web! Websites für Hadwerksbetriebe. Damit Sie auch olie gefude werde. Professioelles Webdesig für: Hadwerksbetriebe Rudum-sorglos-Pakete Nur für Hadwerksbetriebe Webdesig zu Festpreise - ukompliziert

Mehr

FIBU Offene-Posten- Buchführung

FIBU Offene-Posten- Buchführung FIBU Offee-Poste- Buchführug Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Highlights... 4 2.1 Rechugsprüfug i der Buchugserfassug... 4 2.2 Sammelbuchug... 5 2.3 Zahlugslauf aus offee Poste eilese... 6

Mehr

PageRank: Wie Google funktioniert

PageRank: Wie Google funktioniert PageRa: Wie Google futioiert Außermathematische Aweuge im Mathematiuterricht WS 0/ Fraz Embacher, Uiversität Wie Das Erfolgsrezept er Suchmaschie vo Google lag zuächst i er überzeugee Reihug vo reffer.

Mehr

CRM Kunden- und Lieferantenmanagement

CRM Kunden- und Lieferantenmanagement CRM Kude- ud Lieferatemaagemet Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Itegratio i das Ageda-System... 4 3 Highlights... 5 3.1 Schelle ud eifache Ersteirichtug... 5 3.2 Zetrales Kotakterfassugsfester...

Mehr

Regeln für die Erstellung von VHDL-AMS-Modellen

Regeln für die Erstellung von VHDL-AMS-Modellen I Rolf Drechsler (Hrsg.): Methode ud Beschreibugssprache zur Modellierug ud Verifikatio vo Schaltuge ud Systeme. Proc. GI/ITG/GMM-Workshop 24. bis 26. Februar 2003, Breme, S. 30-39 (Aache: Shaker Verlag).

Mehr

Kundenbefragung BFS 2009. Berichterstattung. Dezember 2009. Eidgenössisches Departement des Innern EDI Bundesamt für Statistik BFS Führungsstab

Kundenbefragung BFS 2009. Berichterstattung. Dezember 2009. Eidgenössisches Departement des Innern EDI Bundesamt für Statistik BFS Führungsstab Eidgeössisches Departemet des Ier EDI Budesamt für Statistik BFS Führugsstab Dezember 2009 Kudebefragug BFS 2009 Berichterstattug 2/62 Ihaltsverzeichis 1 Zusammefassug 7 2 Ausgagslage, Ziel ud Erhebugsstruktur

Mehr

Erwartungswert und Varianz bei Verteilungen und Glücksspielen

Erwartungswert und Varianz bei Verteilungen und Glücksspielen HL Saalfelde Erwartugswert / Variaz Seite vo 7 Wilfried Rohm Erwartugswert ud Variaz bei Verteiluge ud Glücksspiele Mathematische / Fachliche Ihalte i Stichworte: Erwartugswerte ud Variaz (Stadardabweichug)

Mehr

Optionsbewertung. Elke Korn Ralf Korn 1

Optionsbewertung. Elke Korn Ralf Korn 1 MaMaEuSch Maagemet Mathematics for Europea Schools http://www.mathematik.uikl.de/~mamaeusch/ Optiosbewertug Elke Kor Ralf Kor Diese Veröffetlichug ist Teil des Buchprojektes Mathematik ud Ökoomie, das

Mehr

PrivatKredit. Direkt ans Ziel Ihrer Wünsche

PrivatKredit. Direkt ans Ziel Ihrer Wünsche PrivatKredit Direkt as Ziel Ihrer Wüsche Erlebe Sie eue Freiräume. Leiste Sie sich, was Ihe wichtig ist. Sie träume scho seit lagem vo eier eue Aschaffug, wie z. B.: eiem eue Auto eue Möbel Oder es stehe

Mehr

Kerncurriculum Berufliche Gymnasien Niedersachsen Stochastik

Kerncurriculum Berufliche Gymnasien Niedersachsen Stochastik Jes Hellig Herausgeber: Klaus Schillig Kercurriculum Berufliche Gymasie Niedersachse Stochastik Darstelle Auswerte Beurteile 2. Auflage Bestellummer 03330 Habe Sie Areguge oder Kritikpukte zu diesem Produkt?

Mehr

Umsatzprognose im Lebensmitteleinzelhandel mit Hilfe von Data Mining Methoden

Umsatzprognose im Lebensmitteleinzelhandel mit Hilfe von Data Mining Methoden Uiversität-Gesamthochschule Paderbor Fachbereich 17 Umsatzprogose im Lebesmitteleizelhadel mit Hilfe vo Data Miig Methode Diplomarbeit im Fachbereich Iformatik vorgelegt vo: Mischa Kuchike Wewelsburger

Mehr

Vertragsangebot für Darlehenskonto 2004760786

Vertragsangebot für Darlehenskonto 2004760786 Für Ihre Uterlage Vertragsagebot für Darleheskoto 2004760786 Darlehesehmer Max Musterma Vorgagsummer 0840759173 (0) Ihr Darlehesatrag vom 01.06.2015 Beleihugsobjekt Musterstr. 100, 12345 Musterstadt Nutzugsart

Mehr

Internet-Zahlungsverfahren aus Sicht der Händler: Ergebnisse der Umfrage IZH5

Internet-Zahlungsverfahren aus Sicht der Händler: Ergebnisse der Umfrage IZH5 Iteret- aus Sicht der Hädler: Ergebisse der Umfrage IZH5 Vorab-Kurzauswertug ausgewählter Aspekte Dezember 2009 1 Gegestad ud ausgewählte Ergebisse der Studie Mit der aktuelle füfte Umfragewelle zum Thema

Mehr

Zur Mathematik derivativer Finanzinstrumente: Anregungen für den Stochastik-Unterricht

Zur Mathematik derivativer Finanzinstrumente: Anregungen für den Stochastik-Unterricht Zur Mathematik derivativer Fiazistrumete: Areguge für de StochastikUterricht Dietmar Pfeifer, Uiversität Oldeburg Zusammefassug: Spätestes seit der Verleihug des Nobelpreises für Ökoomie im Jahr 1997 a

Mehr

Investition und Finanzierung

Investition und Finanzierung Ivestitio ud Fiazierug - Vorlesug 11 - Prof. Dr. Raier Elsche Prof. Dr. Raier Elsche - 186 - Eiheitskursfeststellug Kursfeststellug ach dem Meistausführugsprizip durch Börsemakler. Kaufaufträge Verkaufsaufträge

Mehr

Kunde Studie: Erfolgsfaktoren von Online-Communities

Kunde Studie: Erfolgsfaktoren von Online-Communities Kude Studie: Erfolgsfaktore vo Olie-Commuities Titel Frakfurt, des Projekts 17. September 2007 Durchgeführt vo: HTW Dresde, Prof. Dr. Ralph Sotag BlueMars GmbH, Tobias Kirchhofer, Dr. Aja Rau Mit freudlicher

Mehr

FB Informatik/Mathematik Grundlagen der Datenverarbeitung Wirtschaftsingenieurwesen Einführung in EXCEL. Start mit Doppelklick auf das Excel - Icon

FB Informatik/Mathematik Grundlagen der Datenverarbeitung Wirtschaftsingenieurwesen Einführung in EXCEL. Start mit Doppelklick auf das Excel - Icon FB Iformatik/Mathematik Grudlage der Dateverarbeitug Wirtschaftsigeieurwese Eiführug i EXCEL Start mit Doppelklick auf das Excel - Ico EXC 1. Es ist ei Arbeitsblatt ach dem folgede Muster zu erarbeite.

Mehr

Inhaltsverzeichnis. 1 Leistungsbeschreibung... 3

Inhaltsverzeichnis. 1 Leistungsbeschreibung... 3 FIBU Kosterechug Ihaltsverzeichis 1 Leistugsbeschreibug... 3 2 Highlights... 4 2.1 Variable oder fixe Kostestelleverteilug... 4 2.2 Mehrstufiges Umlageverfahre... 5 2.3 Kosolidierugsebee für die Wertekotrolle...

Mehr

3.1. Aufgaben zum chemischen Gleichgewicht

3.1. Aufgaben zum chemischen Gleichgewicht .. ufgabe zum chemische Gleichgewicht ufgabe : Reaktiosgeschwidigkeit Bei der Reaktio vo 5 mmol Mg mit 0 ml m Salzsäure wurde das olume (H ) i ml des etwickelte stoffgases über die Zeit t i Miute i die

Mehr

4 Deckungsrückstellung

4 Deckungsrückstellung eckugsrückstellug 33 4 eckugsrückstellug iel: erfhre zur Erittlug des Wertes eies ersicherugsvertrgs ud der zur eckug der Risike ötige Rückstelluge des ersicherugsuterehes. Proble: Präie werde kostt gezhlt,

Mehr