Beispiel 1.1 (Einige Aufgaben zum Preisindex nach Laspeyres, Paasche u.a.)

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1 Beispiel 1.1 (Einige Aufgaben zum Preisindex nach Laspeyres, Paasche u.a.) 1 Aufgabe 1 Einem Konsumenten stehen drei Güter A, B, und C zur Verfügung. Die Preise der Güter und die vom Konsumenten verbrauchten Mengen waren Preise pro Mengeneinheit Mengeneinheiten A B C a) Ermitteln Sie für das Jahr 1984 den Preisindex nach Laspeyres für die drei Güter mit 1980 als Basisjahr. b) Ermitteln Sie für das Jahr 1984 den Preisindex nach Paasche für die drei Güter mit 1982 als Basisjahr. Lösung zu a) Indices nach Toernquist, Laspeyres, Paasche, Fisher Die Werte von p und q mit 3 Beobachtungen: erst die Basis, dann die Vergleichswerte p (Basis) q (Basis) p (Vergleich) q (Vergleich) s0 (Basis) s1 (Vergleich) Toernquist-Index (Preis)=.8494 (Menge) = Preis-Index (Laspeyres) = (Paasche) =.7000 (Fisher ) = Mengen-Index (Laspeyres)= (Paasche) = (Fisher )= Lösung zu b) Indices nach Toernquist, Laspeyres, Paasche, Fisher Die Werte von p und q mit 3 Beobachtungen: erst die Basis, dann die Vergleichswerte p (Basis) q (Basis) p (Vergleich) q (Vergleich) s0 (Basis) s1 (Vergleich) Toernquist-Index (Preis)= (Menge) = Preis-Index (Laspeyres) = (Paasche) =.7000 (Fisher ) = Mengen-Index (Laspeyres)= (Paasche) = (Fisher )=

2 2 Aufgabe 2 Das Lieblingsgericht des Studenten U besteht aus Currywurst (C) mit Pommes Frites (P) und einer extra Portion Ketchup (K), manchmal auch mit einer doppelten Portion. In den Mensen der von U besuchten Institute ergab sich für eine Woche folgender Verzehr zu folgenden Mengen (in Mengeneinheiten, ME) und Preisen (in DM): C (ME) P C (DM) P (ME) P P (DM) K (ME) P K (DM) Mensa Mensa Mensa Vergleichen Sie die Mensen, indem Sie jeweils einen Preisindex Ihrer Wahl (Laspeyres oder Paasche) -d.h. also insgesamt zwei- mit der Basis Mensa 1 berechnen. (Diese alte Klausuraufgabe ist nicht idiotisch, wie ein Prüfling in seiner Klausur vermerkte.)

3 3 Aufgabe 3 Der Warenkorb eines Durchschnittsdeutschen bestehe fiktiv aus Nahrungsmitteln, Miete und Kleidung. Die 1980 erworbenen Mengen und Preise 1980 und 1988 lauteten: Kategorie Menge Preis Preis Nahrungsmittel 200 kg 3 DM/kg 3,20 DM/kg Miete 12 Monate 900 DM/Monat 980,-- DM/Monat Kleidung 4 Stück 10 DM/Stück 180,-- DM/Stück Stellen Sie einen Preisindex der Lebenshaltung für 1988 auf der Basis 1980 auf und interpretieren Sie die Indexzahl. Lösung: Indices nach Toernquist, Laspeyres, Paasche, Fisher Die Werte von p und q mit 3 Beobachtungen: erst die Basis, dann die Vergleichswerte p (Basis) q (Basis) p (Vergleich) q (Vergleich) s0 (Basis) s1 (Vergleich) Toernquist-Index (Preis)= (Menge) = Preis-Index (Laspeyres) = (Paasche) = (Fisher ) = Mengen-Index (Laspeyres)= (Paasche) = (Fisher )= NB: Da nur eine Menge zur Verfügung steht,stimmen Laspeyres und Paasche Mengenindex (formal) überein Eine Variante ist die folgende Aufgabe 3 : Der Warenkorb eines Bewohners aus Land LLL bestehe aus Nahrung, Wohnung und Kleidung. Die 199 und 1996 erworbenen Mengen und Preise lauten: Kategorie Menge 199 Preis 199 Menge 1996 Preis 1996 Nahrung 200 kg 3 DM/kg 300 kg 2 DM/kg Wohnung 1 Jahr 1000 DM/Monat 1 Jahr 1200 DM/Monat Kleidung Garnituren 200 DM/Garnitur 4 Garnituren 300 DM/Garnitur Berechnen Sie einen Preisindex der Lebenshaltung Ihrer Wahl für 1996 auf der Basis von 199 und interpretieren Sie die sich ergebende Indexzahl.

4 4 Aufgabe 4 In den Jahren 1970 bis 1973 seien von den folgenden Gütern jeweils die Menge q zum Preis p abgesetzt worden: Zement q p Stahlbleche Stahlträger Bauholz Ziegelsteine q p q p q p q p Nehmen Sie an, der Index für Baustoffe setze sich aus den genannten Gütern zusammen. a) Bestimmen Sie den Preisindex nach Laspeyres für Baustoffe für das Jahr 1972 zur Basis b) Bestimmen Sie den Mengenindex nach Paasche für Baustoffe für das Jahr 1973 zur Basis Geben Sie die Ergebnisse als Dezimalzahl an. Aufgabe Der Warenkorb eines Bewohners aus Land LLL bestehe aus Nahrung, Wohnung und Kleidung. Die 199 und 1996 erworbenen Mengen und Preise lauten: Kategorie Menge 199 Preis 199 Menge 1996 Preis 1996 Nahrung 200 kg 3 DM/kg 300 kg 2 DM/kg Wohnung 1 Jahr 1000 DM/Monat 1 Jahr 1200 DM/Monat Kleidung Garnituren 200 DM/Garnitur 4 Garnituren 300 DM/Garnitur Berechnen Sie einen Preisindex der Lebenshaltung Ihrer Wahl für 1996 auf der Basis von 199 und interpretieren Sie die sich ergebende Indexzahl.

5 Aufgabe 6 Die jährlichen Ausgaben eines Mannes für Bekleidung sind in folgender Tabelle festgehalten: Menge Preis Menge Preis Menge Preis Schuhe Anzüge Hemden Krawatten a) Berechnen Sie die Preisindizes nach Laspeyres und nach Paasche für die Zeiträume von 1982 bis 198 sowie 1982 bis b) Berechnen Sie die Umsatzindizes für die Zeiträume von 1982 bis 198 sowie 1982 bis 1992 und führen Sie eine Preisbereinigung dieser Umsatzentwicklungen mit Hilfe der zugehörigen Paasche Preisindizes durch. Welche Mengenindizes erhalten Sie? c) Bestimmen Sie die durchschnittlichen Preissteigerungsraten pro Jahr für die Zeit von 1982 bis Aufgabe 7 Die Stadtwerke K versandten an den Haushalt H (so nach M. Missong, Aufgabensammlung zur deskriptiven Statistik, Aufgabe 7.4) folgende Abrechnungen: Preis/m 3, bzw /kwh Menge(m 3, bzw kwh) Gas DM 7 60 m 3 Strom DM kwh a) Errechnen Sie für das Berichtsjahr 1993 die beiden Preis- und Mengen-Indizes nach Paasche und Laspeyres mit 1991 als Basisjahr. b) Welche Energieart ist vergleichsweise billiger geworden? Aufgabe 8 Über Preise und Absatz von Milch, Butter und Käse (in kg) seien folgende Zahlen bekannt: Preise Mengen Milch Butter Käse Errechnen Sie für das Jahr 1984 die beiden Preisindices nach Paasche und Laspeyres mit 1982 als Basisjahr.

6 6 Aufgabe 9 Für einen Zoo-Markt erweisen sich die hergestellten Hundehütten, Kaninchenställe und Vogelbauer als "Renner". Mengen und Preise dieser Produkte sind für die Jahre 198 und 1990 in der folgenden Tabelle festgehalten: Produkte Menge Preis Menge Preis (in Stück) (in DM/Stück) (in Stück) (in DM/Stück) Hundehütten Kaninchenställe Vogelbauer a) Das Unternehmen berechnet zunächst einen Umsatz- oder Wertindex zur Basis 198, um einen Überblick über die Umsatzentwicklung zwischen 198 und 1990 zu gewinnen. Welcher Indexwert wird berechnet? b) In einem zweiten Schritt wird die reine Mengenentwicklung bestimmt. Dazu wird der Umsatzindex mittels eines Paasche-Preisindex preisbereinigt. Führen Sie diese Preisbereinigung durch; welche Mengenentwicklung ergibt sich? c) Zeigen Sie, daß Sie mit der Berechnung eines Laspeyres-Mengenindex zum gleichen Ergebnis gekommen wären. Aufgabe 10 Ein Unternehmen handelt mit den Rohstoffen A, B, C und D. Die Entwicklung der Verkaufspreise und Absatzmengen geht aus folgender Tabelle hervor: Preis (DM/t) Absatzmenge (1000 t) Rohstoff A B C D a) Berechnen Sie die Mengenentwicklung im Berichtszeitraum anhand der Mengen indices von Laspeyres und Paasche. b) Erläutern Sie den Unterschied. c) Berechnen Sie den Umsatzindex. d) Berechnen Sie die Preisentwicklung im Berichtszeitraum anhand der Preisindices von Laspeyres und Paasche. e) Berechnen Sie die durchschnittliche jährliche Preissteigerungsrate nach Laspeyres.

7 7 Aufgabe 11 Zu den Warengruppen Nahrungsmittel (N), Getränke (G) und Tabakwaren(T) seien folgende Preise (pro Mengeneinheit) und Mengen (in entsprechenden Einheiten) bekannt: Preis Menge N G T a) Bestimmen Sie die Preisindizes nach Laspeyres und Paasche von 1989 bezüglich des Basisjahres 1987 bzw b) Welcher Laspeyres-Index P(L,t) ergäbe sich (unabhängig von den obigen Zahlen), wenn der Tabakwarenpreis um % steigt, alle übrigen Preise unverändert bleiben und das relative Gewicht von Tabakwaren im Warenkorb 0.1 ist? c) Angenommen, P(L,t) zeige folgendes Verhalten: Sinkt der Tabakwarenpreis gegenüber dem Basiszeitpunkt um % und bleiben alle restlichen Preise unverändert, so ergibt sich P(L,t) = Mit welchem relativen Gewicht ist dann das Gut 'Tabakwaren' im Warenkorb vertreten? Lösung zu a) Indices nach Toernquist, Laspeyres, Paasche, Fisher p (Basis) q (Basis) p (Vergleich) q (Vergleich) s0 (Basis) s1 (Vergleich) Toernquist-Index (Preis)= (Menge) = Preis-Index (Laspeyres) = (Paasche) = (Fisher ) = Mengen-Index (Laspeyres)= (Paasche) = (Fisher )= Indices nach Toernquist, Laspeyres, Paasche, Fisher p (Basis) q (Basis) p (Vergleich) q (Vergleich) s0 (Basis) s1 (Vergleich) Toernquist-Index (Preis)= (Menge) = Preis-Index (Laspeyres) = (Paasche) = (Fisher ) = Mengen-Index (Laspeyres)= (Paasche) = (Fisher )= Lösung zu b) Sei p T1 = p T0 (1.0), dann 1.00, d.h. %o = 1/2% Lösung zu c) 0.08

8 8 Aufgabe 12 Für die folgenden 3 Güter sei für 3 verschiedene Jahre jeweils die abgesetzte Menge q und der Preis p gegeben: p q p q p q Feinzement Kies Kiefernholz Berechnen Sie die Umsatzindices U L := P L Q P für die Jahre 1973 und 197 zum Basisjahr Aufgabe 12 Auf die folgenden 4 Güter sei für 3 aufeinanderfolgende Jahre jeweils der Preis p und die abgesetzte Menge q gegeben. Jahr Gut p q p q p q Aluminium Kupfer Zinn Zink Wie groß ist der Preisindex für die Jahre 2 und 3 zum Basisjahr 1 a) nach Laspeyres b) nach Paasche?

9 9 Aufgabe 13 Von folgenden Getränkearten wurden in den angegebenen Zeitperioden die Mengen q k (in 1000 Liter) zum Preis p k (in 1000 DM) abgesetzt; k = 1, 2, 3, 4: Whiskey Rotwein Bier Weinbrand q 1 p 1 q 2 p 2 q 3 p 3 q 4 p 4 Jan Dez Jan a) Berechen Sie mit Hilfe von Laspeyres-Indices die Preissteigerungsrate dieser Getränke, und zwar: aa) für Januar 1977 gegenüber dem Vormonat, ab) für Januar 1977 gegenüber Januar b) Berechnen Sie auch den Paasche-Index für Januar 1977 auf der Basis des Vormonats, c) Welchen der beiden in aa) und b) berechneten Indices halten Sie als Index der Konsumentenpreise für aussagekräftiger und warum? Aufgabe 14 Für die Jahre 1970 bis 1973 werden der Preisindex der Lebenshaltungskosten und der Preisindex für Agrarprodukte im Land D ermittelt: Preisindex der Lebenshaltung Preisindex für Agrarprodukte a) Welche Indexreihe zeigt den größten relativen Preisanstieg? b) Sie sollen die Interessen der Lanswirtschaft nun gegenüber der Regierung des Landes D vertreten. Wie würden Sie die Daten verändern, um Subventionen besonders notwendig für die Landwirtschaft erscheinen zu lassen?

10 10 Aufgabe 1 Über das Konsumverhalten eines Haushalts zu vier Gütern (A,B,C,D) liegen folgende Informationen vor: Jahr Preis des Gutes gekaufte Menge des Gutes A B C D A B C D Berechnen Sie folgende Indices für t = 1971 und t =1972 (jeweils zur Basis 1970): 7 a) die Preisindices P tl von Laspeyres und P tp von Paasche, b) den Preisindex P tf := p tl.p tp von Fisher. Aufgabe 1 (eine Teil-Aufgabe zu der vorherigen) Für den Warenkorb eines Einwohners der Stadt S kommen nur drei wichtige Güter, nämlich A, B und C in Betracht, und es liegen folgende Informationen vor: Preis des Gutes gekaufte Menge des Gutes Jahr A B C A B C a) Bestimmen Sie den Laspeyres-Preisindex des Warenkorbs für 1992 auf der Basis von b) Wie ändert sich Ihr Ergebnis, wenn Gut C statt 10 Geldeinheiten in 1992 sich auf 20 Geldeinheiten verdoppelt? c) Wie ändert sich Ihr Ergebnis, wenn alle Güter in 1992 sich im Preis verdoppeln; d.h. auf 10, 16 und 20? d) Wie ändert sich Ihr Ergebnis, falls statt der Basis 1990 die Basis 1991 gewählt wird? Lösung: a) P = 2, b) P = 3 (Ein steigender (sinkender) Preis läßt den Index steigen (sinken).), c) P = 4 (Bei allseits verdoppelten Preisen ist der Index gleichfalls doppelt so hoch.)

11 11 Aufgabe 16 Für einen Vergleich der Lebenshaltungskosten in Deutschland (D) und Belgien (B) benutzen Sie bitte die beiden folgenden typischen Hauhaltsausgabeübersichten. Die belgischen Ausgaben sind bereits über den Wechselkurs in DM umgerechnet. Brot Fleisch Butter Obst & Gemüse Wein Milch Preise D Menge D Preise B Menge B a) Bestimmen Sie für beide Länder den Preisindex nach Laspeyres und Paasche, in dem Sie den Warenkorb des jeweilig anderen Landes als Basis nehmen. b) Beantworten Sie, ob es finanziell besser ist, bei einem Umzug den eigenen Warenkorb beizubehalten oder sich den landesüblichen Eßgewohnheiten anzupassen. c) Können Sie mit entsprechenden Überlegungen dem Bonner Beamten, der nach Berlin umziehen muß, einen geeigneten Ratschlag für die Umstellung von der rheinischen zur Berliner Küche erteilen? Lösung zu 3: a) Es gibt zwei Indexberechnungen, eine mit Basis D und eine mit Basis B: Basis D: Preis-Index (Laspeyres) = Preis-Index (Paasche) = Preis-Index (Fisher ) = für einen deutschen Haushalt ist das Haushalten nach deutschem Schema etwas ungünstiger in Belgien; d.h. 7% (der deutsche Warenkorb nach belgischen Preisen) Basis B: Preis-Index (Laspeyres) = Preis-Index (Paasche) =.9393 Preis-Index (Fisher ) =.9849 für einen belgischen Haushalt ist das Haushalten nach belgischem Schema in Deutschland teuerer als in Belgien, nämlich um 4% (der belgische Warenkorb nach deutschen Preisen) b) folgt aus a) c) Hier ist i.r. kein Ratschlag möglich, denn das Statistische Bundesamt differenziert den Lebenhaltungskostenindex nicht nach Bundesländern. Möglicherweise gibt es aber Überlegungen in den Statistischen Landesämtern, d.h. es kommt also darauf an. Daß auch kleine Regionen eigene Indices haben, dazu siehe Luxemburg im Vergleich zu Deutschland. Aufgabe 17 Im Land El Paradiso besteht der Warenkorb eines Einwohners nur aus zwei Gütern Milch und Honig. Trotz des schönen Landesnamens gibt es beide nicht umsonst, sondern sind mit der Landeswährung zu bezahlen. Die 198 und 1990 erworbenen Mengen und Preise sind wie folgt: Gut Menge Preis Menge Preis Milch 100 l 2 /l 80 l 3 /l Honig 20 kg /kg 30 kg 4 /kg Bestimmen Sie einen Laspeyres-Preisindex für die Lebenshaltung für 1990 auf der Basis von 198 und erklären Sie die Bedeutung der errechneten Indexzahl.

12 12 Aufgabe 18 Bewerten und vergleichen Sie über eine Preisindexberechnung die Kostensituation einer Firma, die in den zwei vergangenen Jahren im wesentlichen von den folgenden fünf Grundstoffen abhing: Grundstoff 1 Grundstoff 2 Grundstoff 3 Grundstoff 4 Grundstoff Preise Jahr Menge Jahr Preise Jahr Menge Jahr Lösung zu 18: Indices nach Laspeyres, Paasche, Fisher Die Werte von p und q mit Beobachtungen: erst die Basis, dann die Vergleichswerte p (Basis) q (Basis) p (Vergleich) q (Vergleich) Preis-Index (Laspeyres) = 1.191; (Paasche) = ; (Fisher)= Mengen-Index (Laspeyres) = ; (Paasche) = ; (Fisher)= Indices nach Laspeyres, Paasche, Fisher Die Werte von p und q mit Beobachtungen: erst die Basis, dann die Vergleichswerte p (Basis) q (Basis) p (Vergleich) q (Vergleich) Preis-Index (Laspeyres) = ; (Paasche) = ; (Fisher) = Mengen-Index (Laspeyres) = ; (Paasche) = ; (Fisher)=

13 13 Aufgabe 19 Im unruhegeschüttelten Reformstaat Novo-Macedonia ändern sich, wie die folgende Tabelle zweier aufeinander folgenden Monate zeigt, die Preise außerordentlich schnell: Gut des Preise pro Mengeneinheit Mengeneinheiten Warenkorbs Januar Februar Januar Februar A 1,0 1, B 2,00 3, C 10,00 8, D 1,0 2, E 4,0, Die Weltbank wird Novo-Macedonia nur dann einen zugesagten Kredit von $100 Mio. auszahlen, wenn die Inflation unter % pro Monat ist. Um die Bank von der Erfüllung dieser Kondition zu überzeugen, bittet der Vertraute des Ministerpräsidenten daher bei einem Abendessen den Präsidenten des international als unabhängig geachteten Statistischen Landesamt mit einem geeigneten Preisindex an die Öffentlichkeit zu treten. a) Welchen Preisindex wird das Amt publizieren? b) Gibt es überhaupt einen solchen Preisindex, der die Kondition erfüllt? Lösung zu 19: Gut des Menge Januar mit Preis Menge Februar mit Preis Warenkorbs Januar Februar Januar Februar A B C D E Preisindex (Laspeyres): 360 / 328 1,083 Preisindex (Paasche): 3460 / 330 1,033, dieser Index erfüllt die Bedingung

14 14 Aufgabe 20 In den Jahren 1970 bis 1972 seien von den folgenden Gütern jeweils die Menge q zum Preis p abgesetzt worden: Butter Mehl Eier Brot p q p q p q p q a) Berechnen Sie für die angegebenen Güter den Preisindex aa) nach Laspeyres für das Jahr 1972 zur Basis 1970 ab) nach Paasche für das Jahr 1972 zur Basis 1971 b) Der Mengenindex L Q 0t nach Laspeyres und der Mengenindex P Q 0t nach Paasche werden wie folgt berechnet, wobei der Subskript i das Gut i bezeichnet (i=1,2,3,4=m) und t die Zeit: m m Σ q t,i p 0,i Σ q t,i p t,i L Q 0t = i=1 i=1, P Q 0t = m Σ q 0,i p 0,i i=1 m Σ q 0,i p t,i i=1 Berechnen Sie für die angegebenen Güter den Mengenindex ba) nach Laspeyres für das Jahr 1971 zur Basis 1970 bb) nach Paasche für das Jahr 1972 zur Basis 1970 c) Der Umsatzindex U 0,t berechnet sich nach m Σ p t,i q t,i i=1 U 0,t = m Σ p 0.i q 0,i i=1 ca) Berechnen Sie den Umsatzindex U für das Jahr 1971 zur Basis cb) Zeigen Sie, daß gilt: L U 01 = L P. 01 P Q 01 d) Eine Verständisfrage: Um festzustellen, ob eine Umsatzsteigerung ausschließlich durch Preissteigerungen hervorgerufen wird oder ob auch Mengensteigerungen erfolgt sind, führt man die sogenannte Preisbereinigung des Umsatzes durch. Dazu dividiert man den Umsatzindex durch einen Preisindex. Führen Sie eine solche Preisbereinigung des Umsatzes sowohl mit dem Laspeyres-Preisindex als auch mit dem Paasche-Preisindex durch und vergleichen Sie die Ergebnisse mit dem Paasche- bzw. dem Laspeyres-Mengenindex.

15 1 Aufgabe 21 Der Autonarr Ottokar Raser möchte wissen, wie sich die Unterhaltskosten für sein Auto seit 1992 entwickelt haben. Er hat folgende Daten festgestellt: Produkte Preis 1992 Preis 1993 Menge 1992 Menge 1993 Benzin Wartungen Reparaturen Steuer, Vers a) Berechnen Sie Laspeyres- und Paasche Preisindex für das Jahr 1993 mit der Basis b) Wie groß ist die Umsatzänderung von 1992 bis 1993? c) Welcher Anteil der Umsatzänderung ist auf reine Mengenänderung zurückzuführen, wenn Sie die Preise des Jahres 1993 als Gewichtung verwenden?