Ein geistiges Rüstzeug für Mathematik
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- Kilian Albert
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1 Günther Fuchs Ein geistiges Rüstzeug für Mathematik Verlag Dr. Kovac Hamburg 2015
2 IX 1 nhaltsverzeich n is 1. Was ist Mathematik? 2. Das abstrakte Universum der Mathematik Das mathematische Universum besteht aus gedachten Gegenständen Gedachte Vorgllnge können auf gedachte Gegenstllnde angewendet werden Gedachte Beziehungen können auf gedachte Gegenstllnde angewendet werden Die Sprache der Mathematik 3.1. Die Rolle der Sprache 3.2. Die Begriffe der Mathematik und ihre Bedeutung 3.3. Das Konzept der freien Variablen 3.4. Terme und ihre Bedeutung 3.5. Atomare Aussagen und ihre Bedeutung 3.6. Junktoraussagen und ihre Bedeutung 3.. Quantoraussagen und ihre Bedeutung 3.8. Mathematische Sprachkultur 4. Die Rolle von Bildern in der Mathematik Beweisen 5.1. Grundbegriffe und Axiome 5.2. Vermehrung der Wissensbasis 5.3. Definitionen als Sonderfall von Axiomen 5.4. Schließen 5.5. Was ist ein Beweis? 6. Rechnen ist Beweisen 6.1. Die Regeln für Gleichungen 6.2. Die Einsetzungsregel 6.3. Die Ersetzungsregeln 6.4. Beispiele zum Rechnen. Problemlösen mit Formeln.1. Was ist eine Formel?.2. Was ist ein Problem?.3. Das algorithmische Sprachmittel der Wertzuweisung.4. Problemlösen durch Äquivalenzumformung (Formelumstellung).5. Lineare Gleichungen
3 X 8. Schnellsiederkurs für rationale Zahlen 8.1. Wozu braucht man rationale Zahlen? 8.2. Die Dezimaldarstellung der natürlichen Zahlen 8.3. Der Divisionsalgorithmus für natürliche Zahlen 8.4. Die Bruchdarstellung rationaler Zahlen 8.5. Die Dezimaldarstellung rationaler Zahlen 8.6. Umrechnung der Darstellungen 8.. Verhältnisse und Proportionen 8.8. Tenndefinierte Funktionen und Wertetabelle 8.9. Größen und ihre gegenseitige Abhängigkeit Direkte und indirekte Proportionalität und "Schlussrechnung" Die so genannte Prozentrechnung Wo endet die Beschreibungskraft der rationalen Zahlen? 9. Ein Ausblick auf die reellen Zahlen 9.1. Messen in der realen Welt und im Universum der Mathematik 9.2. Die Dezimaldarstellung der irrationalen Zahlen 9.3. Streiflichter auf das sophistische Wesen der reellen Zahlen 10. Die Reelle Cartesische Ebene Paarbildung Reelle Zahlenpaare sind auch Punkte Funktionsgraphen reeller Funktionen und ihre Visualisierung Umkehrfunktion und ihre Visualisierung II.Mengen Was ist eine Menge? Das aufzählende Verfahren Das beschreibende Verfahren Das erzeugende Verfahren Durchschnitt und Vereinigung von Mengen I2. Der Wechsel zwischen einer Funktion und ihrem Graph Definition des Konzepts "Funktionsgraph" in der Mengenlehre Eine mögliche Vermeidung der Erweiterung von Sprachmitteln 13. Gerade in der Reellen Cartesischen Ebene Euklidische Geometrie 132. Das Geheimnis der Ähnlichkeit Analytische Geometrie Beschreibung von vertikalen Geraden I Il
4 13.5. Beschreibung von nichtvertikalen Geraden Parallele und aufeinander senkrechte Gerade Lösen einer linearen Gleichung mit zwei Lösungsvariablen 128 XI 14. Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen in 2 Variablen Lineare Gleichungssysteme mit 3 Gleichungen in 3 Variablen Lineare Funktionen I. Nichtvertikale Gerade sind Graphen linearer Funktionen Eine charakteristische Eigenschaft linearer Funktionen Linearer Zusammenhang zwischen zwei Größen Lineare Ungleichungen mit einer Variablen Der beweistechnische Umgang mit Quantoren Der beweistechnische Umgang mit dem Allquantor Der beweistechnische Umgang mit dem Existenzquantor! Der Nutzen einer Implikation und die Sprechweisen "notwendig" und 1 "hinreichend" 19. Wie beweist man eine Implikation A ~ B? Aussagenlogik Beweis von links nach rechts und von rechts nach links Indirekter Beweis Beweis durch Fallunterscheidung Kontraposition Die Regeln von De Morgan Distributivität von /\ und v Beweisbeispiele Erweiterte Mengenlehre Das Axiomensystem von Peano Einstellige Relationen Einbettung der Arithmetik in die Mengenlehre Induktive Definitionen 193
5 XII 24. Induktionsbeweis Ein Streiflicht auf Primzahlen Primfaktorenzerlegung Die Beschreibung des Konzepts einer Folge Eine Variante des Induktionsbeweises Zählen undanx.ahl Die Primzahlfolge p Ein Ausblick auf die Analysis Was ist Analysis? Der Grenzwert konvergenter Folgen Rechenregeln für Grenzwerte Beschrllnktheit und Monotonie Die Dezimaldarstellung reeller Zahlen Index 253
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