0.0.1 Rot-Schwarz Bäume

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1 0.0.1 Rot-Schwarz Bäum Rot-Schwarz Bäum sind binär Suchbäum, drn Knotn ntwdr rot odr schwarz gfärbt sind, d.h. si wrdn untrschidlich gknnzichnt. Wi bi andrn Binärbäumn bfindn sich di Datn in dn Blättrn. Dazu habn Rot-Schwarz Bäum folgnd Eignschaftn: jds Blatt ist schwarz, rot Knotn habn zwi schwarz Kindr, jdr Wg von dr Wurzl bis zu inm Blatt hat di glich Anzahl schwarzr Knotn. Daraus folgt, dass Rot-Schwarz Bäum logarithmisch Höh habn. Damit Rot- Schwarz Bäum bim Einfügn ins Elmnts dis Eignschaftn bwahrn, wrdn dabi wnn rfordrlich Rotationn durchgführt (so wi bi AVL-Bäumn). Bispil. Ein Rot-Schwarz Baum kann bispilhaft folgndrmaßn ausshn: Bmrkung. Wnn man rot Knotn mit ihrn schwarzn Vätrn vrschmilzt (sih Kris auf dr Abbildung), wird in Rot-Schwarz Baum zu inm (2,4)- Baum. Dis ist aussrdm auch dr Fall bi Brudrbäumn : wnn man Vatrknotn mit ihrn Einzlkindrn vrschmilzt, bkommt man inn AVL-Baum Wörtrbuchproblm für Wörtr bzw. Strings Ggbn ist in ndlichs Alphabt Σ, wobi Σ = k. Das Univrsum ist di Mng dr Wörtr in Σ. 1

2 Das Problm ist das glich wi bim normaln Wörtrbuchproblm, bzogn auf diss Univrsum. Man möcht also Elmnt suchn, infügn und strichn könnn. Anwndungn Diss Problm ist für folgnd Anwndungn rlvant: Für Suchmaschinn im Intrnt, da man nach bstimmtn Strings in Intrntsitn sucht. In dr Bioinformatik, da bi dr Gnomanalys Tilstrings bi dr Such nach inm größtn gminsamn Suprstring manipulirt wrdn. Für Datnkomprssion, wil s in inr Sprach twa Wörtr gibt, mit jwils im Mittl 5 Zichn, also insgsamt Zichn. Abr log(300000) 18, also 3 Byts, abr man bnutzt im Mittl 5 Byts. Es blibn also 2 Byts zum Komprimirn übrig. Datnstruktur Di bnutzt Datnstruktur für das Problm ist dr Tri (vom nglischn rtrival), auch digitalr Suchbaum gnannt. Es ist in Suchbaum, in dm jdr Knotn inn Buchstabn nthält. Jds sinr Kindr nthält dn nächstn Buchstabn, dr in inm dr Wörtr ds Alphabts vorkommn. So wird in Wort also durch inn Wg von dr Wurzl zu inm Knotn dargstllt. Man muss also Knotn, di das End ins Worts darstlln, spzill markirn. Bmrknswrt ist dabi, dass di Wurzl ds Baums kin Information nthält, da di Wörtr ja nicht all mit dm glichn Buchstab anfangn. Andrnfalls müsst man inn Baum pro Anfangsbuchstab habn. Bispil. Si das Alphabt Σ = {dr, di, das, inr, in, ins}. Erstlln wir dn dazughörndn Tri: Laufzit dr Oprationn Suchn, Einfügn und Strichn ins Worts W dr Läng W daurt O( W ). W ist nämlich di Läng ds Wgs, dr vom rstn Buchstab bis zum ltztn Buchstab führt, da in jdm Knotn nur in Buchstab gspichrt wird. Vrbssrung Man kann dis twas vrbssrn, indm man Folgn von Knotn, di nur in Kind habn, infach in inm Knotn zusammnschmilzt, wi bim folgndn Bispil: Knotnorganisation In dr Rgl bstht jdr Knotn aus inm Fld odr inr vrktttn List von Vrwisn auf di Kind-Knotn. Um schnll fststlln zu könnn, ob in Knotn in Kind hat, das inn bstimmtn Buchstabn nthält, kann man für jdn Knotn inn Bit-array dr Größ ds Alphabts spichrn. 2

3 a d u i i s r n n s Abbildung 1: Bispil : tri r in s Abbildung 2: Vrbssrung zum tri 0.1 Das Vrinig-Find-Problm (auch Union-Find odr Disjoint Sts ) Abstraktr Datntyp Dr abstrakt Datntyp, dr diss Problm darstllt, ist in fst ndlich Mng S (o.b.d.a. ist S = {1,...,n}). Si S in Partition von disr Mng S, mit S = {S 1,..., S k } (d.h. k i=1 S i = S und i, j mit i j: S i S j ). Jds S i wird durch inn Rpräsntantn - inm sinr Elmnt - dargstllt. Oprationn Bzüglich disr Mng solln folgnd Oprationn möglich sin: VEREINIGE(S i, S j ) mit S i, S j zwi Rpräsntantn. Dis Opration vrschmilzt zwi Mngn dr Partition S zu inr inzign. Di Partition wird also sozusagn vrgröbrt. Formal kann man s folgndrwis darstlln : S := S \ {S i, S j } {S i S j }). FINDE(a) mit a S. 3

4 Dis Opration lifrt dn Rpräsntantn von dr Mng S i aus S, di a nthält. Anwndungn Diss Problm hat folgnd Anwndungn : Si G = (V, E) in ungrichttr Graph. Di Zusammnhangskomponnt von G zu findn, ist in Vrinig-Find Problm : Si S di Mng dr Knotn und S zunächst in Mng von n inlmntigr Mngn. Man durchläuft di Mng E dr Kantn ; für jd Kant : = (u, v). Falls S i =FINDE(n) FINDE(v)=S j, dann VEREINIGE(S i,s j ). Zum Schluß nthält S di Zusammnhangskomponnt von G. Bi dr Such nach minimal spannnd Bäum (sih spätr im Skript). Bi dr Bildvrarbitung, wnn man Sgmntirung machn möcht, also das Eintiln ds Bilds in mhrr ähnlich Zonn (dr Farb nach). In dr Sprach Fortran gibt s dn Bfhl EQUIVALENCE(x,y), dr zwi Variabln x und y glichstllt. Bim Kompilirn gibt s dann in solchs Vrinig-Find Problm, wnn mhrr EQUIVALENCE-Bfhl im Cod vorkommn. (z.b. EQUIVALENCE(x,y) und EQUIVALENCE(y,z) ). Datnstruktur Di vrwndt Datnstruktur für das Problm ist in Wald, also in Mng von Bäumn. Für jd Mng S i stht in Baum, dssn Knotn di Elmnt von S i nthaltn. Vrwis sind Kind-Vatr-Vrwis (und nicht Vatr-Kind-Vrwis wi z.b. bi Binärbäumn). Dabi ist dr Rpräsntant dr Mng S i, di Wurzl ds Baums. 9 8 (1) Abbildung 3: Bispil : Wald Laufzit von Vrinig-Find Oprationn Analysirn wir kurz di Laufzit disr Oprationn : VEREINIGE(S i,s j ): Dis Opration macht di Wurzl ins dr bidn Bäum zum Kind dr andrn Wurzl. Das daurt nur O(1) Zit, wil s nur in Zigrmodifikation ist. 4

5 Bispil. sih Pfil (1) auf Abbildung 3. FINDE(a): Dis Opration rfolgt folgndrwis : Man rhält zunächst inn Vrwis auf di Stll ds Walds, wo sich a bfindt. Von dort folgt man dn Vatrvrwisn bis zur Wurzl. Dr Vrwis auf di Wurzl wird dann glifrt, da dis dn Rpräsntantn nthält. Di Laufzit disr Opration ist also O(h) wobi h di Höh ds Baums ist, dr a nthält, da wir dn ganzn Baum von untn nach obn durchlaufn. Im schlchtstn Fall ist das Θ(n), wnn dr Wald inn inzign Baum nthält, und disr in Form inr List ist (2). (1) (2) Abbildung 4: Altrnativ (1) wird angstrbt Dis kann abr vrbssrt wrdn, indm bi dr VEREINIGE-Opration dr Baum mit gringrr Höh an di Wurzl ds andrn ghängt wird (Wnn bid Höhn glich sind ist s gal). Dazu braucht man in zusätzlichs Fld Höh. Wnn i in Rpräsntant ist, ist Höh[i] di Höh ds ntsprchndn Baums. Bhauptung Höhnbalancirung Falls di Startsituation so ist, dass jds Elmnt dr Partition nur in Elmnt ntält ( S i = {i}, i=1,...,n), dann kann in Folg von VEREINIGE-FINDE Oprationn ausgführt wrdn, so dass di Höh ins ntstandnn Baums mit k Knotn ni größr ist als log(k). Satz Mit Höhnausglich gilt also: VEREINIGE-Oprationn rfolgn in O(1) Zit (dazu ist di Höhninformation dr Wurzl mit inm Fld in konstantr Zit aktualisirbar) FINDE-Oprationn rfolgn in O(log(n)) Zit. 5

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