Empirische Verteilungsfunktion

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1 Empirische Verteilungsfunktion H(x) := Anzahl der Werte <= x bzw. F (x) = H(x)/n = Anteil der Werte x i mit x i x F (x) = f (a 1 ) f (a j ) = f i, i:a i x wobei a j x und a j+1 > x ist. Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 97 / 119

2 Eigenschaften von F (x) monoton wachsende Treppenfunktionen mit Sprüngen an den Ausprägungen a 1,..., a k Sprunghöhen: h 1,..., h k bzw. f 1,..., f k rechtsseitig stetig H(x) = 0 für x < a 1, H(x) = n für x a k F (x) = 0 für x < a 1, F (x) = 1 für x a k Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 98 / 119

3 Empirische Verteilungsfunktion: Besipiel Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 99 / 119

4 Eindimensionale statistische Kennwerte Lagemaßzahlen Wo liegt die Masse der Daten? Wo liegt die Mehrzahl der Daten? Wo liegt die Mitte der Daten? Welche Merkmalsausprägung ist typisch für die Häufigkeitsverteilung? Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 100 / 119

5 Statistische Kennwerte Streumaßzahlen Über welchen Bereich erstrecken sich die Daten? Wie groß ist die Schwankung der Ausprägungen? Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 101 / 119

6 Der Modus Definition: Häufigster Wert Eigenschaften: oft nicht eindeutig nur bei gruppierten Daten oder bei Merkmalen mit wenigen Ausprägungen sinnvoll stabil bei allen eindeutigen Transformationen geeignet für alle Skalenniveaus Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 102 / 119

7 Der Median Definition: Wert für den gilt 50% der Daten sind kleiner oder gleich med 50% der Daten sind größer oder gleich med { x (k) falls k = n+1 med = 2 ganze Zahl 1 2 (x (k) + x (k+1) ) falls k = n 2 ganze Zahl x (1),..., x (n) sind geordnete Werte Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 103 / 119

8 Eigenschaften des Median anschaulich stabil gegenüber monotonen Transformationen geeignet für ordinale Daten stabil gegenüber Ausreißern Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 104 / 119

9 Das Quantil Definition: Wert für den gilt Anteil p der Daten sind kleiner oder gleich x p Anteil 1 p der Daten sind gößer oder gleich x p { x (k) falls np keine ganze Zahl und k kleinste Zahl > np [ x (k) ; x (k+1)] falls k = np ganze Zahl Es gibt weitere Definitionen von Quantilen (in R 9 Typen), die sich aber in der Praxis kaum unterschieden Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 105 / 119

10 Fünf-Punkte Zusammenfassung Minimum, 25%-Quantil, Median, 75%-Quantil, Maximum Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 106 / 119

11 Beispiele Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 107 / 119

12 Boxplot Einfacher Boxplot x 0.25 = Anfang der Schachtel (Box) x 0.75 = Ende der Schachtel d Q = Länge der Schachtel Der Median wird durch den Strich in der Box markiert Zwei Linien ( whiskers ) außerhalb der Box gehen bis zu x min und x max. Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 108 / 119

13 Boxplot Einfacher Boxplot x 0.25 = Anfang der Schachtel (Box) x 0.75 = Ende der Schachtel d Q = Länge der Schachtel Der Median wird durch den Strich in der Box markiert Zwei Linien ( whiskers ) außerhalb der Box gehen bis zu x min und x max. Modifizierter Boxplot Die Linien außerhalb der Schachtel werden nur bis zu x min bzw. x max gezogen, falls x min und x max innerhalb des Bereichs [z u, z o] der Zäune liegen. z u = x , 5d Q, z o = x , 5d Q Ansonsten gehen die Linien nur bis zum kleinsten bzw. größten Wert innerhalb der Zäune, die außerhalb liegenden Werte werden individuell eingezeichnet. Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 108 / 119

14 Boxplot Eindimensionale Darstellung auf der zugehörigen Skala Visualisieren der 5-Punkte-Zusammenfassung Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 109 / 119

15 Beispiele Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 110 / 119

16 Der Mittelwert (arithmetisches Mittel) x = 1 n n i=1 x i bekanntestes Lagemaß instabil gegen extreme Werte geeignet für intervallskalierte Daten Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 111 / 119

17 Mittelwert bei gruppierten Daten x = 1 n n i=1 x i = 1 n (x 1 + x x n ) = 1 n k h j a j j=1 h j : Häufigkeit von a j Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 112 / 119

18 Das geometrische Mittel x G = n n i=1 x i arithmetisches Mittel auf der log-skala nur geeignet für positive Werte geeignet für intervallskalierte Daten Deskriptive Statistik WiSe 2009/2010 Helmut Küchenhoff (Institut für Statistik, LMU) 113 / 119

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