Fotios Filis. Monte-Carlo-Simulation

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1 Fotios Filis Monte-Carlo-Simulation

2 Monte-Carlo-Methoden??? Spielcasino gibt Namen Monte Carlo war namensgebend für diese Art von Verfahren: Erste Tabellen mit Zufallszahlen wurden durch Roulette-Spiel-Ergebnisse im Spielcasino von Monte Carlo erzeugt. Die mit Glücksspielen zusammenhängenden Probleme waren durchaus Anlaß für Wissenschaftler und Gelehrte sich mit Fragen der Zufälligkeit von Ereignissen näher auseinanderzusetzen. Hinzu kamen Problemstellungen aus Versicherungsgesellschaften oder aus der Beobachtung von Naturphänomenen.

3 Monte-Carlo-Methoden gliedern sich in drei wesentliche Stufen: Die Monte-Carlo-Methode verwendet Prinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, um komplexe Probleme zumindest näherungsweise zu lösen. Sie wird deshalb auch als Methode der statistischen Versuche bezeichnet. Vorgehensweise: Für das ursprüngliche mathematische Modell muß ein stochastisches Modell gefunden werden, welches das Problem gut genug beschreibt. Es muß eine Folge von Zufallszahlen erzeugt werden, deren Folgenglieder mögliche reale Situationen simulieren, also insbesondere dieselbe vorgegebene Verteilung besitzen. Aus den Realisierungen der Zufallsgrößen müssen Schätzwerte für das Ausgangsproblem ermittelt werden.

4 Schwaches Gesetz der großen Zahlen Als schwaches Gesetz der großen Zahlen wird folgende Konvergenzaussage für eine unendliche Folge von Zufallsvariablen, die alle denselben Erwartungswert μ besitzen. Das arithmetische Mittel von n Zufallsvariablen konvergiert stochastisch gegen μ. Formal bedeutet dies: Für jede positive, beliebig kleine Zahl gilt;

5 Einsatzbereiche Monte-Carlo-Verfahren werden heute in extrem vielfältigen und unterschiedlichen Bereichen eingesetzt. Nur einige Beispiele sind: Numerische Probleme, wie Berechnung bestimmter Integrale oder Lösung gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen, Zuverlässigkeitsuntersuchungen technischer Systeme und anderer Produkte, etwa die Bestimmung der Lebensdauer von Glühlampen, Probleme des Operations Research, wie Lagerhaltungs- und Transportprobleme, Untersuchung von Erdbeben und weiteren Naturphänomenen, Entscheidungsfindung durch Simulation oder Risikobewertung von Portfolien im Investment Banking.

6 Bestimmung der Zahl Grundidee: Bestimme gleichverteilte Zufallspunkte im Einheitsquadrat. Bezeichne die Anzahl von Punkten im Viertelkreis. Dann ergibt sich: P( im _ kreis) 2 π r = = 2 a π 4

7 Integration mit der Monte-Carlo-Methode Es werden zwei Zufallszahlen x und y, die innerhalb des Rechtecks x1, x2, H1 und H2 liegen müssen, erzeugt. Wenn nun y < f(x) ist, liegt der Punkt unter dem Graph. n Paare von Zufallszahlen, t sogenannte "Treffer".

8 Streuprobleme mit der Monte- Carlo- Methode Beschreibung der Lichtausbreitung in trüben Medien:

9 Mie Streuung Als Mie-Streuung bezeichnet man die Streuung elektromagnetischer Wellen an sphärischen Objekten,deren Durchmesser in etwa der Wellenlänge der Strahlung entspricht. Einfallendes Licht θ Gestreutes Licht

10 Strahlungstransportgleichung I( r, Ω, λ ) I( r + d r, Ω, λ ) = [ k( λ ) + σ ( λ )] I( r, Ω, λ ) + S( r, Ω, λ ) ds Intensitätsänderung Intensitätsabnahme Einstreuung Ω I( r, Ω, λ ) = ( k( λ ) + σ ( λ )) I( r, Ω, λ ) + S( r, Ω, λ ) Anzahl Unbekannten = Anzahl Wellenlängen Anzahl Richtungen Anzahl Gitterpunkten

11 Monte-Carlo-Simulation Die Wahrscheinlichkeiten, dass der Strahl bei einer Schrittweite s gestreut wird, ist angegeben durch: P = 1 Exp( k s) k s k die Wahrscheinlichkeit, dass der Strahl dabei absorbiert wird, ist: Pσ = 1 Exp( σ s) σ s Der Streuwinkel wird durch Zufallszahlen aus der Phasenfunktion errechnet: I

12 Simulation mit ASAP Radianz 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, w inkel 1% 10% 50%

13 Quellen Stochastik mit Mathematica (Taschenbuch) von Maria Overbeck-Larisch (Autor), Wolfgang Dolejsky (Autor) de.wikipedia.org/wiki/monte-carlo-simulation

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